SOLUCIONARIO DE LA OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA 2004-II FASE
1. A una fiesta asistieron 153 personas. En un momento determinado 17 damas y 22 caballeros no bailaban y el resto bailaban en parejas formadas por una dama y un caballero. ¿Cuántas damas asistieron a la fiesta? Solución: Datos Total asistentes : 153 No bailan: 22 caballe ros y 17 damas Bailan: x damas y x caballeros
Planteo y operación 22+17 + x + x = 153 39 + 2x = 153 X = 57 Total damas: los que bailan + lo que no bailan = 57 + 17
Respuesta
Asistieron a la fiesta 74 damas
6. Una caja cúbica sin tapa de 4 cm X 4cm X 4cm contiene 64 pequeños cubos que llenan la caja exactamente. ¿Cuántos cubos tocan alguna cara lateral o el fondo de la caja? Solución: Datos
Observemos cuidadosamente la figura:
Planteo y operación Nos damos cuenta que los únicos cubitos que no tocan ninguna pared lateral ni el fondo son los doce que están en la parte central de la figura
Respuesta
Tocan alguna cara lateral o el fondo de la caja : 64 – 12 = 52 Cubitos.
2. Cada día del mes de agosto, un alumno comió de postre, durante el almuerzo, una naranja, una manzana o ambas frutas. Si comió naranjas 25 días y manzana 18 días, ¿Cuántos días comió amabas frutas? Solución: Datos
Planteo y operación 25 –x + x + 18 – x = 31
43 – x = 31 x- 12
7. Un agricultor cosecha cierto número de plantas de lechuga y solicita a cuatro de sus trabajadores que las cuenten: El 1º las agrupó de 11 en en 11 pero le faltó uno, el 2º de 13 en 13 y le sobraron doce, el tercero de 7 en 7 pero le faltó uno, el cuarto les agrupó de 12 en 12, pero no le faltó ni sobró. ¿Cuántas plantas de lechuga tiene exactamente el agricultor, sabiendo Respuesta que son menos de 8000? Solución:Sea x la cantidad de plantas de lechuga X = 1001k – 1 = 12k , asignando Ambas El 1º contó 11k – 1 valores a k = 5 .resulta: frutas El 2º contó 13k – 1 X = 5004 comió 12 El 3º contó 7k – 1 Respuesta: Hay 5004 plantas días El 4º contó 12 k Entonces X = mcm de (11;13 y 7) -1 = 1001k - 1
Total 31 días 3. El producto de las tres cifras de un número es 126 y la suma de sus dos últimas cifras es 11. ¿Cuál es la cifra de las centenas de dicho número? Solución: Datos
Sea el número de tres cifras: abc, donde a.b.c=126 y b + c = 11 cifra de centenas es a
Planteo y operación a b c 7 2 9 3 8 4 7 5 6 De acuerdo a la tabla y por tanteo, a es 7 y b y c son 2 y 9
Respuesta La cifra de las centenas es 7
4. En una división, sin considerar decimales, el divisor es 15, el cociente es 10 unidades mayor que el divisor y el residuo es 5. Calcula en cuanto aumenta el cociente si aumentamos 20 unidades al dividendo y luego lo duplicamos, y este nuevo dividendo lo dividimos entre el mismo divisor. Solución:
8.Un estudiante leyó un número telefónico de 7 dígitos escrito en la forma siguiente: abc defg y pensó que se trataba de una resta, la efectuó y obtuvo -95; sabiendo que todos los dígitos del número telefónico son distintos Halla el menor menor valor posible del número abc Solución: Según los datos se tiene: 95 . O sea 9bc + abc - defg = - 95 95
Ahora buscamos números
10fg
diferentes que cumplan con la suma, siendo b=4 y c= 2 Respuesta: El menor valor posible de abc = 942
9. Sean p y q números primos distintos mayores que 1 y menores que 100, tales que : p+6, p+10, q+4, q+10 y p+q+1 son todos números primos. Calcular el mayor valor que pueda tomar p+q . Solución: Nº
p+6
p+10
q+4
q+10
P+q+1
Datos
d= 15 Q = 15 + 10 = 25 r=5 D d 25 5
Planteo y operación D = 15 (25) +5 = 380 Si aumentamos 20 y duplicamos el dividendo ahora es 800 800 d 53 5
Respuesta
primos
El cociente aumentó en 53 – 25 = 28 unidades.
p
hallar CD .
Solución:
Datos
0,3C= D11 , 3C99= D11
3C = 9D
Planteo y operación 3C = 9D 30 + C = 9D Por tanteo: C =6 y D =4
(3k+1) +10 3k+4
3k+10
(3k+1) +3k+1
Los primos menores que 100 son: 2;3;5;7;11;13,17;19;23;29;31;37;41;43,47;53;59;61;67;71;73; 79;83;89 y 97. De donde p= 97 y q= q= 3 (mayor valor posible) Respuesta: p+q = 100
5. Sean C y D dos dígitos tales que4 se cumpla la siguiente igualdad: 0,3C= D11,
q
(3k+1) +6
Respuesta
El número es 64
10. Se tiene 12 números enteros positivos y distintos que satisfacen la siguiente condición: Si calculas todas las diferencias positivas posibles, tomando los números de 2 en 2, se forma un conjunto de 20 enteros positivos consecutivos. Calcula la diferencia entre el mayor y el menor valor de los 12 números. Solución: Sean 12 números enteros positivos y distintos, en forma ordenada: 0
