ESTRATEGIAS PROPUESTAS PARA EL SOLUCIONARIO 6
COMPETENCIA
CAPACIDAD
Actúa y piensa matemáticamente en Elabora y situaciones de regularidad, equivalencia y estrategias cambio.
INDICADORES
usa Emplea estrategias al resolver problemas de ecuaciones lineales expresadas con decimales o enteros.
ITEM 01: Rosa compra cierta cantidad de melocotones a S/. 10,80. Ella siente que el peso del producto no es el adecuado, así que realiza la verificación del peso en otra balanza y nota que esta registra 0,1 kg menos de lo esperado por cada kilo. Rosa retorna y presenta el reclamo respectivo, en el que pide la devolución del dinero cobrado en exceso. ¿Cuánto dinero le deben devolver a Rosa? a. S/. 1,10 b. S/. 1,00 c. S/. 4,00 d. S/. 0,30 Resolución: Tenemos como dato el precio del melocotón (lo encontramos en la figura): 1kg = S/. 2,70 Además gasto: S/. 10,80 Por lo tanto los kilos que compro: S/. 10,80 10,80 = 4kg
S/ 2,70
Por dato se nos indica que se peso 0,1kg menos por kilogramo, en 4 kilos sería: 0,1kg (4) = 0,4 kg Dinero devuelto = S/. 2,70(0,4) 2,70(0,4) = S/. 1,08 redondeando seria: S/. 1,10
Rpta: Le devuelven a Rosa S/. 1,10.
COMPETENCIA
CAPACIDAD
Actúa y piensa matemáticamente en Elabora y situaciones de regularidad, equivalencia y estrategias cambio.
INDICADORES
usa Emplea estrategias al resolver problemas de ecuaciones lineales expresadas con decimales o enteros.
Los comerciantes van al mercado mayorista y compran las frutas que venderán en sus puestos de fruta. Para trasladar la mercancía desde ese lugar hasta sus puestos, deciden contratar a un chofer para que los traslade en su camión. Este cobra S/. 10 por transportar a cada pasajero y S/. 0,30 por cada kilo de fruta. ITEM 02: Roberto es vendedor de frutas y dispone de S/. 350 para comprar frutas, pero desea invertir solo S/. 55 en el transporte de estas. ¿Cuántos kilos de fruta podrá transportar con este dinero? a. 295 kg b. 30 kg c. 55 kg d. 150 kg Resolución: Sabemos por dato que solo gasta en transporte: S/. 55 Además el costo de su pasaje es: S/. 10 y el transporte de 1kg de fruta le cuesta cuesta S/. 0,30
Número de kilos de fruta = x Formemos nuestra ecuación con los datos 0,30(x) + 10 = 55
0,30 (x) = 45
Rpta: Roberto podrá transportar 150kg de fruta.
x = 45 = 150 kg 0,30
COMPETENCIA
CAPACIDAD
Actúa y piensa matemáticamente en Elabora y situaciones de regularidad, equivalencia y estrategias cambio.
INDICADORES
usa Emplea estrategias al resolver problemas de inecuaciones lineales expresadas con decimales o enteros.
Los comerciantes van al mercado mayorista y compran las frutas que venderán en sus puestos de fruta. Para trasladar la mercancía desde ese lugar hasta sus puestos, deciden contratar a un chofer para que los traslade en su camión. Este cobra S/. 10 por transportar a cada pasajero y S/. 0,30 por cada kilo de fruta. ITEM 03: Con los S/. 350 que lleva Amanda, ¿qué cantidad de frutas podrá comprar y transportar, de modo que utilice su dinero al máximo?
RESOLUCIÓN:
Como nos indica utilizar al máximo su dinero elegiremos la fruta de menor costo: Elegimos la tuna: 1kg = S/. 1,20 Número de kilos = x 1,20 (x) + 0,30(x) + 10 ≤ 350 1,50 (x) + 10 ≤ 350 1,50 (x) ≤ 340
x ≤ 3 40
x ≤ 226,6
1,50 Rpta: Podrá transportar hasta 226,6 kg de fruta.
COMPETENCIA CAPACIDAD Actúa y piensa matemáticamente en Elabora y usa estrategias situaciones de regularidad, equivalencia y cambio.
INDICADORES Emplea estrategias al resolver problemas de ecuaciones lineales expresadas con decimales o enteros.
ITEM 4: Marcos es el dueño del camión frutero. Lleva cierta cantidad de frutas correspondientes a cuatro personas. Si hoy recibió por el transporte S/. 265, ¿cuántos kilos de fruta transportó hoy en el camión? a. 883 kg
b. 800 kg
c. 750 kg
d. 680 kg
Resolución: Con la información dada al inicio:
Para trasladar la mercancía desde ese lugar hasta sus puestos, deciden contratar a un chofer par a que los traslade en su camión. Este cobra S/. 1 0 por transportar a cada pasajero y S/. 0,30 por cada kilo de fruta. Planteamos una ecuación Sea x = la cantidad de kilos de fruta que transportó. Tenemos: Cobro por 4 personas = 4(10) Cobro por cada kilo de fruta transportada = 0 ,30 Para saber la cantidad kilos de fruta que t ransportó el camión debemos dividir el cobro total entre la cantidad que cobra por cada kilo. Rpta: Transportó hoy en el camión 750 kg de fruta. Otra forma:
Obtenemos el cobro de transportar 4 personas 4 personas = S/.40 Recibió por el transporte S/. 265 Descontamos al cobro total, el cobro realizado por las 4 personas: S/ 265
-
S/. 40
=
S/.225
El cobro por el transporte de fruta es S/.225 Si por cada kilo de fruta transportado cobra S/.0,30 Entonces para saber la cantidad de kilos transportado por e l camión, debemos dividir: Cobro total por el transporte de fruta El costo por cada kilo transportado #Kg=
225 = 750 kg 0,3
Rpta: Transportó hoy en el camión, 750 kg de fruta.
CLAVE: C
2250 = 750 kg 3
COMPETENCIA
CAPACIDAD
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, Elabora y usa estrategias equivalencia y cambio.
INDICADORES Emplea estrategias al resolver problemas de inecuaciones lineales expresadas en decimales o enteros
ITEM 5: Luis paga S/. 1,80 por cada kilo de mandarinas, pero venderá cada kilo a S/. 2,20. ¿Cuántos kilos de mandarinas debe comprar y vender como mínimo para obtener una utilidad mayor de S/. 40? a. 10 kg b. 72 kg c. 80 kg d. 100 kg
Resolución: Para determinar la utilidad primero determinemos la ganancia por kilo de mandarina:
Rpta: Debe comprar y vender como mínimo 100 kg de mandarina para obtener utilidades mayores a S/.40 CLAVE: D
COMPETENCIA CAPACIDAD Actúa y piensa matemáticamente en Elabora y usa estrategias situaciones de regularidad, equivalencia y cambio.
INDICADORES Emplea operaciones con polinomios y transformaciones de equivalencia al resolver problemas de ecuaciones lineales.
ITEM 6: Cada kilo de manzana delicia cuesta S/. 3,80; y cada kilo de manzana Israel, S/. 2,70. Silvia, en lugar de comprar x kilos de manzana delicia compra x + 1 kg de manzana Israel. De esta manera, logra ahorrar S/. 3,90. ¿Cuántos kilos de manzana Israel compró Silvia? a. 6 kg b. 4,4 kg c. 4 kg d. 7 kg
Solución: En ambas situaciones, su dinero es el mismo: 1° Cuando compra x kilos de manzana Delicia a un costo de S/. 3,80 2° Cuando compra x+1 kilos de manzana Israel a un costo de S/. 2,70
Gasto = (3,8) ( x) Gasto = (2,7)(x+1) = 2,7x + 2,7
Como nos dice que se produce un ahorro de S/. 3,90 al comprar las manzanas Israel, entonces para igualar ambas situaciones debemos agregar los ahorros a los gastos en la manzana Israel: 2,7x + 2,7 + 3,9 Igualamos ambas expresiones: 3,8x = 3,8x – 2,7x = 1,1x = X= X=
2,7x+2,7+ 3,9 2,7 + 3,9 6,6 6,6/1,1 6 Kg
66/11
3° Determinamos X +1 que representa los kilos de manzana Israel comprados, reemplazamos: x+1 = 6 + 1 = 7 kg
Rpta: Silvia compró 7kg de manzana Israel.
CLAVE: D
COMPETENCIA
CAPACIDAD
INDICADORES
Actúa y piensa matemáticamente en Elabora y usa Emplea operaciones con polinomios y situaciones de regularidad, equivalencia y estrategias transformaciones de equivalencia al resolver cambio. problemas de ecuaciones lineales. ITEM 7. Se sabe que 1kg de manzana roja vale los mismo que 2kg de mandarinas más S/. 0,20.También, que el precio de 1kg de mandarinas es el mismo que el de 1,5kg de plátanos más S/. 0,30. Entonces, ¿Cuántos kilos de manzanas rojas valen lo mismo que 6 kg de plátanos más S/. 0,70?
Resolución: Del enunciado podemos establecer las siguientes variables: Cantidad de kilos de manzanas rojas: x Cantidad de kilos de mandarinas: y Cantidad de kilos de plátanos: z Como 1kg de manzana roja vale los mismo que 2 kg de mandarinas más S/. 0,20, lo representaremos por: X = 2y + 0,20……….. (1)
Y como el precio de1 kg de mandarinas es el mismo que el de 1,5 kg de plátanos más S/. 0,30, tendremos: Y = 1,5z +0,30………(2)
Entonces, podemos establecer una relación entre la cantidad de kilos de los plátanos (Z) y la cantidad de kilos de las manzanas (X), remplazando en la ecuación (1) el valor de y de la ecuación (2). X= 2(1,5z + 0,30) +0,20 X= 3z + 0,60 + 0,20 X= 3z + 0,80 Y para encontrar la cantidad de kilos de manzanas rojas que valen lo mismo que 6 kg de plátanos más S/.0,70 Procedemos a multiplicar a ambos miembros de la ecuación por 2, teniendo lo siguiente: (X).2 = (3z + 0,80).2
Debemos despejar 6z + 0,70 que nos iden damos forma restando 0 90.
2x = 6z +1,60 2x – 0,90 = 6z + 1,60 – 0,90 2x – 0,90 = 6z + 0,70. Por lo tanto, 2 kilos de manzanas rojas menos S/. 0,90 valen lo mismo que 6 kg de plátanos más S/. 0,70
Rpta. 2 kilos de manzanas rojas menos s/. 0,90.
COMPETENCIA Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio.
CAPACIDAD Elabora y usa estrategias
INDICADORES Emplea estrategias al resolver problemas de inecuaciones lineales expresadas en decimales o enteros
ITEM 8. En una bolsa se colocan 25 manzanas. Si se sabe que de 5 a 7 de estas manzanas equivalen a 1 kg, ¿entre qué valores estará el peso de la bolsa? a. Entre 3 kg y 5 kg. b. Entre 5kg y 7 kg. c. Entre 4 kg y 5 kg. d. Entre 6kg y 8 kg.
Resolución: Del enunciado sabemos que de 5 a 7 manzanas equivale a 1 Kg, por tanto tenemos que: Si 5 manzanas equivalen a 1 kg, entonces 25 manzanas pesaran:
25/5 = 5 kg.
Si 6 manzanas equivalen a 1 kg, entonces 25 manzanas pesaran:
25/6 = 4,16 kg.
Si 7 manzanas equivalen a 1 kg, entonces 25 manzanas pesaran:
25/7 = 3,57 kg.
Entonces, los valores en que estará el peso de la bolsa de manzanas son entre 3 kg y 5kg.
Respuesta: a. El peso de la bolsa estará entre 3 kg y 5 kg COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADORES Actúa y piensa matemáticamente en Emplea estrategias al resolver problemas de Elabora y usa situaciones de regularidad, equivalencia y inecuaciones lineales expresadas en decimales o estrategias cambio. enteros ITEM 9. En un huerto de manzanas se recolectó cierta cantidad de manzanas delicia y el doble más 20 kg de manzanas rojas. Luego se llenaron bolsas con 10 kg de manzanas en cada una de ellas. Cada bolsa con manzanas delicia se vendió a S/. 30 y cada bolsa con manzanas rojas a S/. 35. Si por la venta total de manzanas se recibieron/. 570, ¿cuántos kilos de manzanas se recolectaron en total? a. 65 kg b. 130 kg c. 170 kg d. 235 kg
Resolución: Interpretando el enunciado podemos establecer lo siguiente: La cantidad de kilos de manzanas delicia lo representaremos por: x Como la cantidad de kilos de manzanas rojas es el doble más 20 kg lo representamos por: 2x + 20
Pero como llenaron bolsas con 10 kg de manzanas en cada una de ellas, tendremos:
Las manzanas delicias:
Las manzanas rojas:
Como por cada bolsa con manzanas delicia se vendió a S/. 30 tenemos: y cada bolsa con manzanas rojas se vendió a S/. 35 tenemos:
Si por la venta total de manzanas se recibieron S/. 570
Por tanto los kilos de manzanas que se recolectaron en total será: La cantidad de kilos de manzanas delicias será: X = 50kg La cantidad de kilos de manzanas rojas será: 2X +20 = 20 (50) +20= 100 + 20 = 120kg El total de kilos de manzanas que se recolectaron será: 50 + 120 = 170kg Respuesta: Se recolectaron 170kg de manzanas. clave A
COMPETENCIA
CAPACIDAD
Actúa y piensa matemáticamente en Elabora y situaciones de regularidad, equivalencia y estrategias cambio.
INDICADORES
usa Emplea estrategias al resolver problemas de inecuaciones lineales expresadas en decimales o enteros
Observa la siguiente información:
Recuperado de La República (2013). Evolución de la exportación de la palta Hass. Portal web La República.
ITEM 10.
Se tienen 15 kg de cada variedad de palta: palta fuerte y palta Hass. ¿Entre qué valores oscilará la diferencia entre la cantidad de palta fuerte y palta Hass?
Resolución: 1° Del gráfico podemos establecer los siguientes intervalos, con respecto al peso: 230 g < 1 P.H. < 250 g 300 g < 1 P.F. < 400 g 2° Si tenemos 15 kg de Palta Hass ( P.H. ), establecemos un intervalo entre el número menor y mayor de Paltas Hass, así : 60 Paltas < 15 kg de P.H. < 65,2 Paltas Como el número de paltas es una cantidad entera, tenemos:
60 Paltas < 15 kg de P.H. < 65 Paltas 3° Si tenemos 15 kg de Palta Fuerte ( P.F. ), establecemos un intervalo entre el número menor y mayor de Paltas Fuerte, así : 37,5 Paltas < 15 kg de P.F. < 50 Paltas Como el número de paltas es una cantidad entera, tenemos: 38 Paltas < 15 kg de P.F. < 50 Paltas 4° Ahora representamos estos dos intervalos en la recta numérica Q:
o…………………..……o …………………………o…….……o ………………………………
…………………………………
38
50
60
65
5° Para calcular entre qué valores oscilará la cantidad de Palta Hass y Palta Fuerte analizamos en los dos intervalos: el extremo máximo y el extremo mínimo de uno y otro intervalo, así:
o………..………………o …………………………o……….…o ………………………………
…………………………………
38
50
60
65
Menor valor de la diferencia o……….……………o 50
60
Mayor valor de la diferencia o……………………………….………………..….……… o 38
65
6° Entonces, el Menor valor será: 60 50 = 10 y el Mayor valor será: 65 38 = 27 –
–
7° Representamos el intervalo: 10 < Dif. Cant. P.H y P.F. en 15 kg < 27
Respuesta: La diferencia entre la cantidad de Paltas Hass y Paltas fuerte que hay en 15 kg de estas estará comprendida u oscilará entre 10 y 27 unidades.
COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADORES Actúa y piensa matemáticamente en Elabora y usa Emplea estrategias al resolver problemas de situaciones de regularidad, equivalencia y estrategias inecuaciones lineales expresadas en cambio. decimales o enteros ITEM 11: Si la tendencia de crecimiento o decrecimiento en la evolución de la palta Hass de España y Estados Unidos continúa de forma constante, ¿en cuánto tiempo coincidirán los valores de las exportaciones hacia ambos países? d. 0,15 años. a. 1,15 años. b. 1,2 años. c. 3,5 años.
Resolución: En primer lugar determinemos la tendencia de crecimiento (estados unidos) y decrecimiento en (España) y esto lo podemos observar en la grafica:
2011
2012
Variación
España - (decrecimiento)
37828
33671 33671 - 37828 = - 4157
Estados Unidos – (crecimiento)
23484
26003 26003 – 23484 = 2519
Asumimos para el Tiempo: X Por condición del problema asumimos que la variación permanece constante y nos pide el tiempo para que coincidan los valores de las exportaciones (Igualamos las expresiones de cambio, partiendo del año 2012): España (2012)
Estados Unidos (2012)
33671 – 4157 x = 26003 + 2519 x
(aplicamos la transposición de términos)
33671 26003 = 2519x + 4157x –
7668 = 6676 x 7668 = x 6676
1,148 = x redondeando X = 1,15
5° Respuesta: Las exportaciones de España y Estados Unidos coincidirían dentro de un año y quince centésimos de año aproximadamente.
Alternativa “a”
COMPETENCIA
CAPACIDAD
Actúa y piensa matemáticamente en Elabora y situaciones de regularidad, equivalencia y estrategias cambio.
INDICADORES
usa Emplea estrategias al resolver problemas de inecuaciones lineales expresadas en decimales o enteros
ÍTEM 12 ¿Entre qué años se produjo la mayor diferencia en la exportación total de la palta Hass? d. 2011-2012 a. 2006-2007 b. 2007-2008 c. 2010-2011 Resolución:
1° Calculamos la diferencia en la exportación total de Palta Hass en los siete intervalos de tiempo que se presentan, así tenemos: Entre los años 2 006 y 2 005:
38 793 – 23 367 = 15 426
Entre los años 2 007 y 2 006:
46 812 - 38 793 = 8 019
Entre los años 2 008 y 2 007:
72 692 – 46 812 = 25 880
Entre los años 2 009 y 2 008:
67 552 – 72 692 = - 5 140
Entre los años 2 010 y 2 009:
84 849 – 67 552 = 17 297
Entre los años 2 011 y 2 010: Entre los años 2 012 y 2 011:
161 180 – 84 849 = 76 331 AQUÍ ESTÁ LA MAYOR DIFERENCIA 136 326 – 161 180 = - 24 854
2° Como podemos observar del gráfico y el cálculo que hemos realizado, la mayor diferencia se produjo entre 2 010 y 2 011.
Respuesta: La mayor diferencia en la exportación total de Palta Hass se produjo entre los años dos mil diez y dos mil once. Alternativa “c”
CAPACIDAD
COMPETENCIA
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio.
INDICADORES
Elabora y usa estrategias
Emplea estrategias al resolver problemas de ecuaciones lineales expresadas con decimales o enteros.
ITEM 13. ¿Qué expresión representa el costo por fumigar n hectáreas con la empresa Sanidad Total? a. 50n + 250 b. 50 + 250 n
c. 50n – 250
d. 300 n
RESOLUCIÓN: Analizando la tabla anterior y tomando en cuenta los datos de la empresa Sanidad Total tenemos el costo por hectárea y considerando el costo fijo de S/. 50. por cualquier cantidad de hectáreas: EMPRESA SANIDAD TOTAL Número de hectáreas
1
2
3
…
n
Costo por hectárea(S/.)
50 +(1) 250= 300
50 + (2) 250=550
50 +(3) 250= 800
…
50 +(n) 250
Finalmente, luego del análisis para n cantidad de hectáreas se tiene la siguiente expresión: 50 + 250 n. Respuesta: b
COMPETENCIA Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio.
CAPACIDAD Elabora y usa estrategias
INDICADORES Emplea estrategias al resolver problemas de inecuaciones lineales expresadas en decimales o enteros
ITEM 14. Un agricultor tiene 3 hectáreas de cultivos de fruta. Sin embargo, solo dispone de S/. 700 para invertir en su fumigación. ¿Qué empresa le convendría contratar para abarcar la mayor área posible? ¿Cuántas hectáreas de sus cultivos quedarían sin fumigar? a. Le convendría contratar a Sanidad Total, pero quedarían sin fumigar 0,4 hectáreas. b. Le convendría contratar a Sanidad Total, pero quedarían sin fumigar 2,6 hectáreas. c. Le convendría contratar a Cultivo Sano, pero quedarían sin fumigar 0,75 hectáreas. d. Le convendría contratar a Cultivo Sano, pero quedarían sin fumigar 2,25 hectáreas. Resolución: Usando la letra “x” para representar la cantidad de hectáreas que se podrán fumigar:
Las ecuaciones que modelan la siguiente situación según cada empresa son las siguientes:
Utilizando el cobro de la empresa SANIDAD TOTAL :
50 + x(250) =700 250 x= 650 x=2,6
En este caso se podrá fumigar 2,6 hectáreas. Le quedaría sin fumigar: 3 - 2,6= 0,4 hectáreas.
Utilizando la empresa CULTIVO SANO:
25 + x(300) =700 300x= 675 x = 2,18
En este caso alcanzaría para fumigar 2,18 hectáreas. Le quedaría sin fumigar 3 - 2,18 = 0,82 hectáreas.
Finalmente comparando la cantidad de hectáreas que se pueden fumigar, le convendría contratar a la empresa SANIDAD TOTAL. Por lo que le quedaría sin fumigar solo 0,4 hectáreas.
Respuesta. alternativa “a” COMPETENCIA
CAPACIDAD
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio.
Elabora y usa estrategias
INDICADORES Emplea operaciones con polinomios y transformaciones de equivalencia al resolver problemas de ecuaciones lineales.
ITEM 15. ¿Para cuántas hectáreas el precio en las dos empresas fumigadoras es el mismo? a. 2 ha
b. 1/2 ha
c. 1/5 ha
d. 5 ha
Resolución: Modelando cada situación según presenta el cobro cada empresa tenemos:
SANIDAD TOTA: Costo = 50 + x(250) CULTIVO SANO: Costo = 25 + x(300) Para saber para cuantas hectáreas el precio en las dos empresas es el mismo igualamos las dos ecuaciones:
50 + x(250) = 25 + x(300) Despejamos la variable “x” 50 + 250x = 25 + 300x
25= 50x
X= 25/50
X=1/2 ó X= 0,5 Finalmente obtenemos que para que el precio sea el mismo en ambas empresas se tiene que fumigar
Respuesta: alternativa “b”
½ hectárea.
