Descripción: Problemas resueltos de expresiones algebraicas 2º ESO
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que significa evaluar una expresión algebraica
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para convertir del lenguaje cotidiano a expresiones algebraicas
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Racionalizacion de expresiones algebraicas
Actividad Álgebra SuperiorDescripción completa
Descripción: Ejercicio Sobre Expresiones Algebraicas
ute
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Breve explicación de las exprsiones algebraicasDescripción completa
4
Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 1
PÁGINA 98 P RACTICA T r a d u c c ió ió n a l e n g u a j e a l g e b r a i c o
1
Asocia a cada enunciado enunciado una de las expresiones algebraicas algebraicas que aparecen debajo: a) El cuadrado de un número número menos su doble. b) El 80% de un número. número. c) Un número número impar impar.. d) Los dos tercios de un número más cinco unidades. 2 x x + + 5; x 2 – 2 x ; 0,8 x ; 2 x x + +1 3
a) El cuadrado cuadrado de un número número menos su doble 8 x 2 – 2 x b) El 80% de un número número 8 0,8 x c) Un númer númeroo impar impar 8 2 x + 1 d) Los 2 de un númer númeroo más 5 unidade unidadess 8 2 x + 5 3 3
2
Expresa en lenguaje algebraico empleando una sola incógnita. a) El triple triple de un número menos menos dos. b) El producto de dos números consecutivos. c) El cuadrado de un número número más su mitad. mitad. d) La suma de un número con otro diez unidades mayor. mayor.
a) El triple triple de un núme número ro menos menos dos: dos: 3 x – 2. x + 1). b) El producto de dos números consecutivos: x ( x c) El cuadrado cuadrado de un número número más su mitad: x 2 + x . 2 x + 10) d) La suma de un número con otro diez unidades mayor: x + ( x 0)..
3
Expresa algebraicamente el perímetro y el área de estos rectángulos: A
3
x
x + 3) = 2 x + 6 °Perímetro = 2( x A ¢ £ Área = 3 x x + 2 + x ) = 4 x + 4 °Perímetro = 2( x C ¢ x + 2) x x = x 2 + 2 x £ Área = ( x
Unidad 4. El lenguaje algebraico
B
2 x
x
C
x
x + 2
°Perímetro = 2(2 x + x ) = 6 x B ¢ 2 £ Área = 2 x · x = 2 x
4
Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 2
4
Traduce a lenguaje algebraico utilizando dos incógnitas. a) La suma de los cuadrados de de dos números. b) El cuadrado de la diferencia diferencia de dos números. c) La mitad del producto de dos números. d) La semisuma de de dos números.
a) La suma de los cuadrado cuadradoss de dos números: números: x 2 + y 2. x – y )2. b) El cuadrado cuadrado de la diferencia de dos números: ( x c) La mitad del produc producto to de dos núme números: ros: x · y . 2 d) La semisuma de dos números: x + y . 2
5
Si x e y son las edades actuales de dos hermanos, expresa los siguientes enunciados utilizando ambas incógnitas: a) La suma de las edades que tenían hace 5 años. b) El producto de las edades que tendrán tendrán dentro de 6 años. c) La diferencia entre la la edad del mayor y la mitad del menor menor..
a) La suma de las edades edades que tenían hace hace 5 años: x – 5) + ( y y – 5) = x + y – 10 ( x b) El producto de las edades que tendrán dentro dentro de 6 años: x + 6)( y y + 6) = xy + 6 x + 6 y + 36 ( x c) La diferencia entre la edad del mayor y la mitad del menor: menor: x –
y
2
si la edad del mayor es x
y – x si la edad del mayor es y
2
6
Expresa algebraicamente el perímetro y el área de estos rectángulos: A
y
x
B x – 1
x + y ) = 2 x + 2 y °Perímetro = 2( x A ¢ £ Área = xy x – 1 + y ) = 2 x + 2 y – 2 °Perímetro = 2( x B ¢ x – 1) y y = xy – y £ Área = ( x x + y + 1) = 2 x + 2 y + 2 °Perímetro = 2( x C ¢ y + 1) = xy + x £ Área = x ( y
Unidad 4. El lenguaje algebraico
y
C x
y + 1
4
Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 3
Monomios
7
Indica el grado de cada uno de los siguientes monomios y di cuáles son semejantes: a) –5 xy b)(–7 x )3 c) 8 x d) ( xy xy )2 –3 yx e) 2 x 2 y 2 f ) 4 x 3 g) h) 1 x 2 5 3 5 2
a) Gr Grado 2. b) Grado 3. c) Gr Grado 1. e) Gr Grado 4. f ) Gr Grado 3. g) Gr Grado 2. Son semejan semejantes: tes: a) y g); g); b) y f); f ); d) y e).
d) Grado 4. h) Grado 2.
8
Calcula el valor numérico de los monomios del ejercicio anterior para x = x = –1 e y y = = 3.
Efectúa. a) 5 x x – – x 2 + 7 x 2 – 9 x x + +2 c) x 2 y 2 – 3 x 2 y y – – 5 xy 2 + x 2 y y + + xy 2
b) 2 x x + + 7 y y – – 3 x x + + y y – – x 2
a) 5 x – x 2 + 7 x 2 – 9 x + 2 = 6 x 2 – 4 x + 2 b) 2 x + 7 y – 3 x + y – x 2 = – x 2 – x + 8 y c) x 2 y 2 – 3 x 2 y – 5 xy 2 + x 2 y + xy 2 = x 2 y 2 – 2 x 2 y – 4 xy 2
11
Efectúa los siguientes productos de monomios: a) 6 x 2 (–3 x ) b) (2 xy 2)(4 x 2 y ) c) 3 x 3 1 x 3 4 2
( )( )
a) 6 x 2 (–3 x ) = –18 x 3 c) 3 x 3 1 x 3 = 3 x 6 4 2 8
( )( )
Unidad 4. El lenguaje algebraico
( )( )
d) 1 xy 3 xz 4 2
b)(2 xy 2)(4 x 2 y ) = 8 x 3 y 3 d) 1 xy 3 xz = 3 x 2 yz 4 2 8
( )( )
4
Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 4
Polinomios
12
Simplifica las siguientes expresiones: a) (2 x 3 – 5 x x + + 3) – (2 (2 x 3 – x 2 + 1) b) 5 x x – – (3 x x + + 8) – (2 (2 x 2 – 3 x ) ¿Cuál es el grado de cada polinomio?
a) 2 x 3 – 5 x + 3 – 2 x 3 + x 2 – 1 = x 2 – 5 x + 2 8 Grado 2. b) 5 x – 3 x – 8 – 2 x 2 + 3 x = –2 x 2 + 5 x – 8 8 Grado 2.
13
Considera estos polinomios: A = 3 x 3 – 5 x 2 + x x – –1 B = B = 2 x 4 + x 3 – 2 x x + +4 Halla: A Halla: A + B ; A – C C ;; A – B B + + C
C = C = – x 3 + 3 x 2 – 7 x
A + B = 3 x 3 – 5 x 2 + x – 1 + 2 x 4 + x 3 – 2 x + 4 = 2 x 4 + 4 x 3 – 5 x 2 – x + 3 A – C = (3 x 3 – 5 x 2 + x – 1) – (– x 3 + 3 x 2 – 7 x ) = = 3 x 3 – 5 x 2 + x – 1 + x 3 – 3 x 2 + 7 x = 4 x 3 – 8 x 2 + 8 x – 1 A – B + C = (3 x 3 – 5 x 2 + x – 1) – (2 x 4 + x 3 – 2 x + 4) + (– x 3 + 3 x 2 – 7 x ) = = 3 x 3 – 5 x 2 + x – 1 – 2 x 4 – x 3 + 2 x – 4 – x 3 + 3 x 2 – 7 x = = –2 x 4 + x 3 – 2 x 2 – 4 x – 5
PÁGINA 99 14
Efectúa, reduce y di cuál es el grado del polinomio resultante. a) x x (( x x 2 – 5) – 3 x 2 ( x + x + 2) – 7 ( x x 2 + 1) b) 5 x 2 (–3 x x + + 1) – x x (2 (2 x x – – 3 x 2) – 2 · 3 x c) 1 x 2 – 3 x 2 + 6 x x – –9 3 2
(
)
x 2 – 5) – 3 x 2 ( x x + 2) – 7( x x 2 + 1) = x 3 – 5 x – 3 x 3 – 6 x 2 – 7 x 2 – 7 = a) x ( x = –2 x 3 – 13 x 2 – 5 x – 7 8 Grado 3. b) 5 x 2 (–3 x + 1) – x (2 x – 3 x 2) – 2 · 3 x = –15 x 3 + 5 x 2 – 2 x 2 + 3 x 3 – 6 x = = –12 x 3 + 3 x 2 – 6 x 8 Grado 3. c) 1 x 2 – 3 x 2 + 6 x – 9 = – 1 x 4 + 2 x 3 – 3 x 2 8 Grado 4. 3 2 2
(
15
)
Opera y simplifica. a) (2 x 2 + 3)( x – x – 1) – x – x (( x – x – 2) c) ( x x 2 – 5 x x + + 3)( x x 2 – x ) – x – x (( x x 3 – 3)
b) ( x + x + 4)( )(2 2 x 2 + 3 x x – – 5) – 3 x x (– (– x x + + 1) d) 1 x 2 + 5 x x + + 1 (6 x x – – 12) 2 3 6
(
)
x – 1) – x ( x x – 2) = 2 x 3 – 2 x 2 + 3 x – 3 – x 2 + 2 x = 2 x 3 – 3 x 2 + 5 x – 3 a) (2 x 2 + 3)( x x + 4)(2 x 2 + 3 x – 5) – 3 x (–x + 1) = 2 x 3 + 3 x 2 – 5 x + 8 x 2 + 12 x – 20 + 3 x 2 – 3 x = b) ( x = 2 x 3 + 14 x 2 + 4 x – 20
Unidad 4. El lenguaje algebraico
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Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 5
x 2 – 5 x + 3)( x x 2 – x ) – x ( x x 3 – 3) = x 4 – x 3 – 5 x 3 + 5 x 2 + 3 x 2 – 3 x – x 4 + 3 x = c) ( x = –6 x 3 + 8 x 2 d) 1 x 2 + 5 x + 1 (6 x – 12) = 3 x 3 – 6 x 2 + 10 x 2 – 20 x + x – 2 = 2 3 6 = 3 x 3 + 4 x 2 – 19 x – 2
(
16
(
E xtrae factor común. a) 12 x 3 – 8 x 2 – 4 x c) 2 xy 2 – 4 x 2 y + x 2 y 2
b)–3 x 3 + x x – – x 2 d) 2 x 2 + 1 x 3 – 5 x 3 3 3
a) 12 x 3 – 8 x 2 – 4 x = 4 x (3 x 2 – 2 x – 1) b)–3 x 3 + x – x 2 = x (–3 x 2 + 1 – x ) c) 2 xy 2 – 4 x 2 y + x 2 y 2 = xy (2 y – 4 x + xy ) d) 2 x 2 + 1 x 3 – 5 x = 1 x (2 x + x 2 – 5) 3 3 3 3
17
Extrae factor común como en el ejemplo. • 3 x x (( x + x + 1) – x 2 ( x + x + 1) + ( x + x + 1)( x x 2 – 2) = ( x + x + 1) [ 3 x x – – x 2 + x 2 – 2] = = ( x + x + 1) 1)(3 (3 x x – – 2) a) 2 x x (( x – x – 2) + x 2 ( x – x – 2) – 3 ( x – x – 2) b) x b) x 2 ( x + x + 1) – x 2 ( x + x + 2) + 2 x 2 ( x – x – 3) c) 3 x 2 ( x + x + 3) – 6 x x (( x + x + 3) x – 2) + x 2 ( x x – 2) – 3( x x – 2) = ( x x – 2)(2 x + x 2 – 3) a) 2 x ( x x + 1) – x 2 ( x x + 2) + 2 x 2 ( x x – 3) = x 2 [ x x + 1 – ( x x + 2) + 2( x – 3)] = x 2 (2 x – 7) b) x 2 ( x 2( x x + 3) – 6 x ( x x + 3) = x ( x x + 3)(3 x – 6) c) 3 x 2 ( x
Identidades notables
18
Desarrolla estas expresiones: a) ( x + x + 6)2 c) (3 x x – – 2)2 e) ( x – x – 2 y )2 x + 6)2 = x 2 + 36 + 12 x a) ( x
c) (3 x – 2)2 = 9 x 2 + 4 – 12 x x – 2 y )2 = x 2 + 4 y 2 – 4 xy e) ( x
Unidad 4. El lenguaje algebraico
b) (7 – x )2 2 d) x x + +1 2
( ) f ) ( 2 x x – – 1 y ) 5 3
2
b)(7 – x )2 = 49 + x 2 – 14 x 2 d) x + 1 = x 2 + 1 + x 2 4 2 f ) 2 x – 1 y = 4 x 2 + 1 y 2 – 4 xy 5 3 25 9 15
( ) ( )
4
Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 6
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Efectúa estos productos: a) ( x + x + 7)( x – x – 7) b) (3 + x )(3 )(3 – x – x ) d) ( x x 2 + 1)( x x 2 – 1) e) 1 x x – – 1 1 x x + +1 2 2
(
x + 7)( x x – 7) = x 2 – 49 a) ( x c) (3 + 4 x )(3 )(3 – 4 x ) = 9 – 16 x 2 e) 1 x – 1 1 x + 1 = 1 x 2 – 1 2 2 4
(
20
)(
)
)(
c) (3 + 4 x )(3 )(3 – 4 x ) f) 1 + 1 1 – 1 x x
)
(
)(
)
b) (3 + x )(3 )(3 – x ) = 9 – x 2 x 2 + 1)( x x 2 – 1) = x 4 – 1 d) ( x f) 1 + 1 1 – 1 = 1 – 1
(
)(
x
)
x
x 2
Simplifica todo lo posible las expresiones siguientes: a) ( x + x + 3)( x – x – 3) – ( x + x + 3)2 b)(2 x x + + 3)2 – (2 x x – – 3)2 – 9 c) 3 x x (( x + x + 1)2 – (2 x x + + 1)( )(2 2 x x – – 1) d) ( x x 2 + 2)( x x 2 – 2) – ( x x 2 – 1)2 x + 3)( x x – 3) – ( x x + 3)2 = x 2 – 9 – ( x x 2 + 9 – 6 x ) = 6 x – 18 a) ( x b)(2 x + 3)2 – (2 x – 3)2 – 9 = 4 x 2 + 9 – 12 x – (4 x 2 + 9 – 12 x ) – 9 = = 4 x 2 + 9 – 12 x – 4 x 2 – 9 + 12 x – 9 = –9 x + 1)2 – (2 x + 1)(2 x – 1) = 3 x ( x x 2 + 1 + 2 x ) – (4 x 2 – 1) = c) 3 x ( x = 3 x 3 + 3 x + 6 x 2 – 4 x 2 + 1 = 3 x 3 + 2 x 2 + 3 x + 1 x 2 + 2)( x x 2 – 2) – ( x x 2 – 1)2 = x 4 – 4 – ( x x 4 + 1 – 2 x 2) = x 4 – 4 – x 4 – 1 + 2 x 2 = d) ( x = 2 x 2 – 5
21
Transforma en diferencia de cuadrados. a) (2 x x + + 7)( )(2 2 x x – – 7) b) (4 x x – – 1)(4 x x + + 1) c) ( x x 2 + x )( )( x x 2 – x ) d) (1 – 5 x )(1 ) (1 + 5 x )
a) (2 x + 7)( )(22 x – 7) = 4 x 2 – 49 x 2 + x )( x 2 – x ) = x 4 – x 2 c) ( x )( x
22
Completa con el término que falta para que cada expresión sea el cuadrado de una suma o el de una diferencia: a) x 2 + … + 4 x b) x b) x 2 + … – 10 x c) x 2 + 9 + … d) x 2 + 16 – …
a) x 2 + 4 + 4 x c) x 2 + 9 + 6 x
23
b) (4 x – 1)(4 x + 1) = 16 x 2 – 1 d) (1 – 5 x )(1 )(1 + 5 x ) = 1 – 25 x 2
b) x 2 + 25 – 10 x d) x 2 + 16 16 + 8 x
Expresa como cuadrado de una suma o de una diferencia, como en el ejemplo. • x 2 + 25 + 10 x x = = x 2 + 52 + 2 · 5 x x = = ( x + x + 5)2 a) x 2 + 49 – 14 x b) x b) x 2 + 1 – 2 x c) 4 x 2 + 1 + 4 x d) x d) x 2 + 12 x x + + 36 x – 7)2 a) x 2 + 49 – 14 x = ( x c) (4 x 2 + 1 + 4 x ) = (2 x + 1)2
Unidad 4. El lenguaje algebraico
x – 1)2 b) x 2 + 1 – 2 x = ( x x + 6)2 d) x 2 + 12 x + 36 = ( x
4
Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 7
Fracciones algebraicas
24
Simplifica estas fracciones algebraicas: a) 9 x 2 12 x
x (( x + x + 1) b) x 5 ( x + x + 1)
2 x + 2) c) x ( x + 2 x 3
a) 9 x 2 = 3 12 x 4 x
x + 1) = x b) x ( x x + 1) 5 5 ( x
x + 2) = x + 2 c) x ( x 2 x 2 x 3
25
2
Simplifica las siguientes fracciones algebraicas. Para ello, saca factor común: 2 a) x –24 x x
b)
2 + 4 x d) 2 x x 3 + 2 x 2
3 2 e) 8 x – 4 x 2 (2 x x – – 1)
3 x x 2 + 2 x
x + +3 c) 3 x ( x + x + 1)2 3 f ) 5 x 4 + 5 x x + x 2
2 x – 4) = x – 4 a) x –24 x = x ( x 2
x
b)
x 2
x
x
3 x = 3 x = 3 x + 2) x + 2 + 2 x x ( x
x + 1) = 3 c) 3 x + 32 = 3 ( x x + 1) x + 1)2 x + 1 ( x ( x 2 + 4 x 2 x ( x x + 2) = 2 d) 2 x = x + 2) x x 3 + 2 x 2 x 2 ( x 3 2 2 2 e) 8 x – 4 x 2 = 4 x (2 x – 21) = 4 x 2 x – 1 (2 x – 1) (2 x – 1) 3 x 2 + 1) = 5 5 x ( x f ) 5 x 4 + 5 x = x + x 2 x 2 ( x x 2 + 1) x
26
Opera, y simplifica si es posible. posi ble. a) x · 32 x + x + 1 x c)
3 : 2 2 x – 1 ( x – x – 1) x –
x + + 2 : x x + +1 b) 3 x x – x –1 x 2 d) ( x + x + 1 ) : x – 1 2
3 x = 3 a) x · 32 = x + 1 x x + 1) x x x + 1) x x 2 ( x ( x 2 b) 3 x + 2 : x + 1 = x (3 x + 2) = 3 x 2 + 2 x x – 1 x x + 1)( x x – 1) ( x x – 1 x – 1) = 3 c) 3 2 : 2 = 3( x 2 x – 1) 2( x x – 1) x – 1 2( x x – 1) ( x 2 x + 1) = 2( x x + 1) = 2 x + 1) : x – 1 = 2( x d) ( x x + 1)( x x – 1) x – 1 ( x 2 x 2 – 1
Unidad 4. El lenguaje algebraico
4
Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 8
PÁGINA 100 27
Efectúa. a) 1 + 1 2 – 1 3 6 x 3 x 2 x
x – –1 b)) 2 + x b x x x – –7
x – –1 d) 2 x – x x – x – 3 x x + +3
e)
3 + 1 + x x – x – 1 2 x 4
x + +1 c) 2 – 3 + x x x x – – 4 x x – –4 f)
3 – 1 +2 x + x + 1 x 2 + x
2 –3 a) 1 + 32 – 1 3 = x + 18 x 3 6 x x 2 x 6 x
x – 7) + x ( x x – 1) = 2 x – 14 + x 2 – x = x 2 + x – 14 b) 2 + x – 1 = 2( x x x – 7 x ( x x – 7) x 2 – 7 x x 2 – 7 x x – 4) – 3 x + x ( x x + 1) = 2 x – 8 – 3 x + x 2 + x = x 2 – 8 c) 2 – 3 + x + 1 = 2 ( x x x – 4 x – 4 x ( x x – 4) x ( x x – 4) x 2 – 4 x x 2 – 4 x + 3) = x + 3) – ( x x – 1)( x x – 3) = 2 x + 6 – ( x d) 2 – x – 1 = 2 ( x x – 3 x + 3 x – 3)( x x + 3) ( x x 2 – 9 2 + 4 x – 3 – x 2 + 6 x + 3 = 2 x + 6 – x = x 2 – 9 x 2 – 9 x – 1)4 x – 1)2 x · x = 1)4 + ( x e) 3 + 1 + x = 2 x · 4 · 3 + ( x x – 1 2 x 4 x – 1) · 2 x · 4 ( x 3 2 3 2 = 24 x + 4 x – 4 + 2 x – 2 x = 2 x – 2 x + 28 x – 4 = x – 1) · 2 x · 4 x – 1) · 2 x · 4 ( x ( x
x 3 – x 2 + 14 x – 2) = x 3 – x 2 + 14 x – 2 = 2( x x – 1) · 2 x · 4 ( x 4 x 2 – 4 x x + 1) = f ) 3 – 2 1 + 2 = 3 – 1 + 2 = 3 x – 1 + 2 x ( x x + 1 x + x x + 1 x ( x x + 1) x ( x x + 1) 2 2 = 3 x – 1 + 2 x + 2 x = 2 x +2 5 x – 1 x ( x x + 1) x + x
P IENSA Y RESUELVE 28
Expresa algebraicamente: a) El ár área de del tr triángulo az azul. c) La longi longitud tud de de l .
/3) · x = 1 x 2 a) (2 x /3) 2 3 c) l =
x + x /3) /3) · x = 2 x 2 b) ( x 2 3
√ ( ) =√ x 2
2 x + — 3
2
b) El ár área de del tr trapecio am amarillo.
13 — x 2 9
x —
3
l x
Unidad 4. El lenguaje algebraico
x
4
Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 9
29
Expresa algebraicamente el área de la parte coloreada.
2
y
2 x
A = xy – ( x x – 4)( y y – 4) = xy – ( xy xy – 4 x – 4 y + 16 16)) = 4 x + 4 y – 16
30
Expresa algebraicamente el área y la diagonal mayor de este trapecio: x y
3 x
y Área = (3 x + x ) y = 2 xy 2
Diagonal: √ y 2 + (3 x )2
32
Reduce las siguientes expresiones:
(
) x + + 6 – x x + + 1 + 3 x x – –1 b) 12 ( x 3 2 4 ) c) 4 [( x – x – 2) – 3 x – 4] 4 x (( x – x – 2) – ( x + x + 1) + 1 d) 30[ x 15 2] 6 x – – 4 + 2 x x – – 3 – x x – –1 a) 6 5 x 6 2 3
2
2
2
x – 1) = a) 6 5 x – 4 + 2 x – 3 – x – 1 = 5 x – 4 + 3(2 x – 3) – 2( x 6 2 3 = 5 x – 4 + 6 x – 9 – 2 x + 1 = 9 x – 12
(
)
x + 6) – 6( x + 1) b) 12 x + 6 – x + 1 + 3 x – 1 = 4( x 6( x 1) + 3( 3(33 x – 1) = 3 2 4 = 4 x + 24 – 6 x – 6 + 9 x – 3 = 7 x + 15
(
)
x – 2)2 – 3 x 2 – 4 = 4( x x 2 + 4 – 2 x ) – 3 x 2 – 16 = 4 x 2 + 16 – 8 x – 3 x 2 – 16 = c) 4 ( x 4 = x 2 – 8 x
[
]
x – 2) – ( x x + 1)2 + 1 = 2 x ( x x – 2) – 5( x x 2 + 1 + 2 x ) + 15 = d) 30 x ( x 15 2 6 = 2 x 2 – 4 x – 5 x 2 – 5 – 10 x + 15 = –3 x 2 – 14 x + 10
[
Unidad 4. El lenguaje algebraico
]
4
Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 10
33
Multiplica cada expresión por el mín.c.m. de los denominadores y simplifica el resultado. x + +1 a) 3 + x – 5 – x – x 8 6 12
b) 3 ( x – x – 1) – 1 ( x + x + 1) + 1 4 3 6
x – – 5)2 – ( x + x + 1)2 c) (2 x 9 6
x (( x – x – 3) + x x (( x + x + 2) – (3 x x + + 2)2 d) x 2 4 8
x ( x + x + 3) x – 1)2 – 7( x + x + 2)2 + x ( e) 5 ( x – 2 9 12
a) 3 + x – 5 – x – x + 1 = 24 3 + x – 5 – x – x + 1 = 8 6 12 8 6 12 x + 1) = = 3(3 + x ) – 4(5 – x ) – 2( x = 9 + 3 x – 20 + 4 x – 2 x – 2 = 5 x – 13
(
x – 1) – b) 3 ( x 4
)
1 ( x x + 1) + 1 = 12 3 ( x x – 1) – 1 ( x x + 1) + 1 = 3 6 4 3 6 x – 1) – 4( x + 1) + 2 = 9 x – 9 – 4 x – 4 + 2 = = 3 · 3( x = 5 x – 11
(
)
2 x + 1)2 = 18 (2 x – 5)2 – ( x x + 1)2 = 2(4 x 2 + 25 – 20 c) (2 x – 5) – ( x 20 x ) = 9 6 9 6 x 2 + 1 + 2 x ) = 8 x 2 + 50 – 40 x – 3 x 2 – 3 – 6 x = = –3( x = 5 x 2 – 46 x + 47
(
)
x – 3) + x ( x x – 2) – (3 x + 2)2 = 8 x 2 – 3 x + x 2 + 2 x – 9 x 2 + 4 + 12 x = d) x ( x 2 4 8 2 4 8 x 2 – 3 x ) + 2 ( x x 2 + 2 x ) – (9 x 2 + 4 + 12 x ) = = 4( x = 4 x 2 – 12 x + 2 x 2 + 4 x – 9 x 2 – 4 – 12 x = = –3 x 2 – 20 x – 4
(
)
x + 3) = x – 1)2 – 7( x x + 2)2 + x ( x e) 5( x 9 12 2 x 2 + 1 – 2 x ) – 7( x x 2 + 4 + 4 x ) + x 2 + 3 x = = 36 5( x 9 12 2 x 2 + 1 – 2 x ) – 3 · 7( x 2 + 4 x + 4) x 2 + 3 x ) = = 4 · 5( x 4) + 18 18(( x = 20 x 2 + 20 – 40 x – 21 x 2 – 84 x – 84 84 + 18 x 2 + 54 x = 17 x 2 – 70 x – 64
(
34
)
Expresa como el cuadrado de una suma, como el cuadrado de una diferencia o como una diferencia de cuadrados. a) x 2 + 9 – 6 x b) 4 x 2 + 1 + 4 x c) 4 x 2 – 9 d) 9 x 2 – 12 x x + +4 e) 16 x 2 – 1 f ) 16 x 2 + 40 x x + + 25 x – 3)2 a) x 2 + 9 – 6 x = ( x c) 4 x 2 – 9 = (2 x + 3) 3)(2 (2 x – 3) e) 16 x 2 – 1 = (4 x + 1)( )(44 x – 1)
Unidad 4. El lenguaje algebraico
b) 4 x 2 + 1 + 4 x = (2 x + 1)2 d) 9 x 2 – 12 x + 4 = (3 x – 2)2 f ) 16 x 2 + 40 x + 25 = (4 (4 x + 5)2
4
Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 11
35
Transforma en producto como en el ejemplo. • x 3 + 2 x 2 + x x = = x x (( x x 2 + 2 x x + + 1 ) = x = x (( x + x + 1)2 a) x 3 – 4 x b) 4 x 3 – 4 x 2 + x c) x 4 – x 2 d) 3 x 4 – 24 x 3 + 48 x 2 x 2 – 4) = x ( x x + 2)( x x – 2) a) x 3 – 4 x = x ( x b) 4 x 3 – 4 x 2 + x = x (4 x 2 – 4 x + 1) = x (2 x – 1)2 x 2 – 1) = x 2( x x + 1)( x x – 1) c) x 4 – x 2 = x 2( x x 2 – 8 x + 16 x – 4)2 d) 3 x 4 – 24 x 3 + 48 x 2 = 3 x 2 ( x 16)) = 3 x 2( x
36
Simplifica. Para ello, transforma en producto el numerador y el denominador. x + +4 x + +1 x – –2 a) 2 x b) x c) 2 x 2 2 3 x + 6 x x – 1 x + 4 – 4 x 2 d) x 2– 3 x x – 9
e)
x 2 – 4 x 2 + 4 x x + +4
3 2 f ) x + 2 x + x 3 x x + +3
x + 2) = 2 x + 1 = x + 1 + 4 = 2( x 1 a) 2 x b ) = x + 2) 3 x x + 1)( x x – 1) x – 1 x 2 – 1 ( x 3 x 2 + 6 x 3 x ( x 2 x – 3) = x c) 2 x – 2 = x – 2 2 = 1 d) x 2– 3 x = x ( x x + 3)( x x – 3) x + 3 ( x x + 4 – 4 x ( x x – 2) x – 2 x – 9 2 x + 2)( x x – 2) = x – 2 e) 2 x – 4 = ( x x + 2 x + 2)2 ( x x + 4 x + 4 3 2 x 2 + 2 x + 1) = x ( x x + 1)2 = x ( x x + 1) f ) x + 2 x + x = x ( x x + 1) x + 1) 3 3 x + 3 3( x 3( x
PÁGINA 101 37
Expresa cada enunciado con una identidad: a) La raíz cuadrada del cociente de dos dos números es igual al cociente de las las raíces cuadradas del dividendo y del divisor. b) La potencia del producto de dos números es igual al producto de las potencias de los factores. c) La hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos. d) El producto de un número por el siguiente es igual a ese ese número más su cuadrado.
a)
√
a — = √ a b √b
c) a = √ b 2 + c 2
Unidad 4. El lenguaje algebraico
b) (a · b)n = a n · b n x + 1) = x 2 + x d) x ( x
4
Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 12
R EFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA 38
¿Cuándo se dice que un número es raíz raíz de de un polinomio? Comprueba si 3 es raíz de alguno de estos polinomios: P = P = x 3 – 2 x 2 + x x – – 12 Q = Q = x 3 – 5 x 2 – 7 x R = R = ( x x 4 – 5 x x + + 10 10)( )( x – x – 3) ¿Es 0 raíz de alguno de los polinomios anteriores?
Cuando al sustituir x por ese número, el valor del polinomio es 0. P = 33 – 2 · 3 2 + 3 – 12 = 27 27 – 18 + 3 – 12 = 0 8 3 es raíz de P . Q = 33 – 5 · 32 – 7 · 3 = 27 – 45 45 – 21 ? 0 8 3 no es raíz de Q . R = (34 – 5 · 3 3 + 10) (3 – 3) 3) = 0 8 3 es raíz de R .
39
¿Cuál debe ser el valor de k para que –2 sea raíz del polinomio: x 3 – 5 x 2 – 7 x x + + k ? Justifica tu respuesta. respuesta.
Para que –2 sea raíz de ese polinomio, al dar a x ese valor el polinomio debe ser igual a 0. Por tanto: (–2)3 – 5 (–2)2 – 7 (–2) + k = 0 8 –8 – 20 + 14 + k = 0 8 k = 14
40
¿Cuál es el resultado de multiplicar una fracción por su inversa? Comprúebalo con x y su inversa. x + x +2
El producto de una fracción por su inversa es igual a 1. x · x + 2 = x ( x x + 2) = 1 x + 2 x x + 2) x ( x
41
a) Simplifica esta expresión: a 2 – (a (a + + 1)(a a – – 1). b) ¿Sab ¿Sabes es cuál es el valor valor de 7 5002 – 7 501 · 7 499 sin utilizar utilizar la calculad calculadora? ora?
a) a 2 – (a + 1)(a – 1) = a 2 – (a 2 – 1) = a 2 – a 2 + 1 = 1 b)75002 – 7 501 · 7 499 = 1, según hemos compr comprobado obado en en el apartado a).
42
a) Simplifica Simplifica la expresión (a a + + 1)2 – (a (a – – 1)2. b) Halla, sin utilizar la calculadora, calculadora, el valor valor de 2 5012 – 2 49 499 92
a) (a + 1)2 – (a – 1)2 = (a 2 + 1 + 2a ) – (a 2 + 1 – 2a ) = a 2 + 1 + 2a – a 2 – 1 + 2a = 4a b)25012 – 2 49 49992 = 4 · 2500 2 500 = 10000 10 000
43
Averigua cuál debe ser el valor de a , en cada caso, para que las dos expresiones sean idénticas: a) (3 x x + + a )(3 )(3 x x – – a ) + 7 y 9 x 2 – 18 b) ( x – x – a )2 + 2 xa xa – – 46 y y x x 2 + 18
Unidad 4. El lenguaje algebraico
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Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 13
a) (3 x + a )(3 )(3 x – a ) + 7 = 9 x 2 – a 2 + 7 Si 9 x 2 – a 2 + 7 = 9 x 2 – 18 8 –a 2 + 7 = –1 –188 8 a 2 = 25
a = 5 a = –5
x – a )2 + 2 xa – 46 = x 2 + a 2 – 2 xa + 2 xa – 46 = x 2 + a 2 – 46 b) ( x a = 8 a = –8
Si x 2 + a 2 – 46 = x 2 + 18 8 a 2 – 46 = 18 8 a 2 = 64
P ROFUNDIZA 44
Opera y simplifica todo lo posible las siguientes expresiones: x + +2 a) 2 x : 3 – 2 b) – 4 x 2 + 1 · x x + + 1 x x – –1 x + + 2 x 2 + 4 x – 1 x ( x + x + 2) x
( ) ( ) c) 1 – 3 : [( x + x + 2) – x + 1] x x a) x : ( 3 – 2 ) = x : ( 3 x – 3 – 2 x – 2 ) = x : x – 5 = x – 1 x + 1 x – 1 x – 1 x – 1 x – 1 x – 1 2
2
2
= b)
(
2
2
2
x ( x x 2 – 1) = x x 2 – 1)( x x – 5) x – 5 ( x
– 4 x + 1 · x + 2 = – 4 x + x + 2 · x + 2 = x + 2)2 x + 2 x 2 + 4 x + 2)2 x 2 + 4 ( x ( x x + 2) = = –3 x + 22 · x 2+ 2 = (–3 x + 22)( x x + 2) x + 4 ( x x + 2) ( x x 2 + 4) ( x –3 x + 2 = x + 2)( x x 2 + 4) ( x
)
(
)
2 x + 2) – x 2 – 1 = x + 2) – x + 1 = 1 – 3 : x ( x c) 1 – 3 : ( x
x
[
x
]
x
[
x
]
2 2 = 1 – 3 : x + 2 x – x – 1 = 1 – 3 : 2 x – 1 =
x
=1–
45
(
x
)
x
x
3 x = 1 – 3 = 2 x – 1 – 3 = 2 x – 4 x (2 x – 1) 2 x – 1 2 x – 1 2 x – 1
Expresa algebraicamente el área total y el volumen de un ortoedro cuyas dimensiones son tres números consecutivos.
x + 1)( x x + 2 ) + x ( x x + 1) + x ( x x + 2) Área: 2[( x 2)]] = x 2 + 3 x + 2 + x 2 + x + x 2 + 2 x ) = = 2( x = 2(3 x 2 + 6 x + 2) = 6 x 2 + 12 x + 4
x + 2
x + 1)( x x + 2) = x ( x x 2 + 3 x + 2) = Volumen: x ( x = x 3 + 3 x 2 + 2 x x + 1 x
Unidad 4. El lenguaje algebraico
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Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 14
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Expresa algebraicamente el área total y el volumen de un cilindro cuya altura mide el doble del radio de la base.