UNIVERSIDAD METROPOLITANA ESCUELA DE MATEMATICA RAZONAMIENTO BÁSICO FB 08-09 A Algunas sugerencias y soluciones de ejercicios de la Guía # 0 Objetivos La Guía de Ejercicios # 0 se ha diseñado para que el estudiante: estudiante:
O1) Se plantee la actividad actividad de resolver un problema problema como un entretenimiento entretenimiento que ayuda al desarrollo intelectual. O2) Observe ciertas ciertas regularidades regularidades geométricas geométricas o numéricas particulares e intente intente descubrir descubrir posibles relaciones generales o “patrones” O2) Verifique si una cierta cierta relación general entre números, números, obtenida obtenida por un proceso proceso intuitivo intuitivo o inductivo (repetición de un hecho en varios casos particulares), es o no válida. O4) Perciba algunas diferencias entre los procesos intuitivos, inductivos y deductivos. O5) Explore la posibilidad de resolver un problema usando como estrategia el ensayo y el error. Trilogía conceptual, relacional, procedimental (o trilogía CRP) Conceptos Un concepto es una “etiqueta” que se pone a un cierto conjunto de regularidades. Así por ejemplo, en esta guía, hay conceptos tales como: número entero, número primo, figura y otros. Relaciones Una relación es un vínculo proposicional entre conceptos. Así por ejemplo, en esta guía, hay relaciones tales como: si se suman dos enteros, el resultado es un entero. Procedimientos Un procedimiento es una secuencia de pasos, operaciones o transformaciones que permite cambiar un conjunto de datos y relaciones, de un estado A (inicial) a un Estado B (final). Así por ejemplo, si en la expresión n 2 -n+11 se reemplaza n por 4 y se realizan las operaciones indicadas (el 4 se eleva al cuadrado, a él se le resta 4 y a este resultado se le suma 11), se obtiene 23.
Solución de un Problema y presentación de dicha solución. Dos de las mayores dificultades dificultades en el aprendizaje aprendizaje de un nuevo tema son: (1) Resolver un problema y (2) Comunicar Comunicar por escrito dicha solución. Los siguientes ejemplos tienen el propósito de ayudarle en ambas tareas.
Ejercicio N 5 Considere la expresión n 2- n+11. Si n=1 se obtiene obtiene 11; 11; para n=2 se obtien obtiene e 13 y para n =3 el valor valor 17. Los número números s 11, 13 y 17 son primos. primos. ¿Se cumpl cumplirá irá siemp siempre re que al sustit sustitui uirr en la expresión n por un entero, el resultado será un número primo?
Algunas soluciones de la Guía #° 0 Prof. Cipriano Cruz
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Apoyo en la trilogía CRP
Un proceso mental posible posible
Conceptos: número número primo primo y cuadra cuadrado do de un número: Un número es primo si y solamente • sí es divisible por 1 y por sí mismo. n2=n•n •
Puede verificarse que las afirmaciones dadas son verdaderas Se pueden realizar otros “experimentos con los números n=4, n=5, u otros. ¿Cuántos “experimentos deberán realizarse para “convencerse” de que la conclusión “se cumplirá siempre” o, por el contrario “alguna vez no se cumple”
Se invita al lector a realizar las sustituciones y cálculos que le permitan darse de que: Si n=4, entonces n 2- n+11=23, número que es primo, Si n=5, entonces n 2- n+11=31, número que también es primo, Pero si n=11, entonces n 2- n+11=121, el cual no es primo. Luego, no siempre se cumple que al sustituir n por un número entero, la expresión n 2- n+11 da como resultado un número primo. Pregunta: ¿Cuántas veces habrá que hacer un experimento para: (a) probar que el resultado es cierto o (b) probar que el resultado general no es cierto? Se invita a los estudiantes a leer la cartelera que está en la Entrada de la Escuela de Matemáticas. Ejercicio N 8 El matemático Augustus De Morgan vivió en el siglo XIX. En una ocasión afirmó: “Yo tenía x años en el año x 2 .” ¿En qué año nació De Morgan?
Apoyo en la trilogía CRP
Un proceso mental posible posible
Conceptos: • • • •
x es una variable numérica. x es un entero. x2 es el producto de x por sí mismo. Cuadrado “perfecto”
Relaciones •
Se debe cumplir la relación 1801 ≤ x2 ≤ 1900
El siglo XIX comprende los años que van del 1801 al 1900 ¿Cuáles de los años 1801 al 1900 son “cuadrados perfectos”? El cumpleaños número x del personaje se celebró en el año x 2 El número x2 debe estar entre 1801 y 1900. ¿Habrá un tal número?, ¿será único?
Solución El número x buscado debe ser mayor que 40 pues 40 2 = 1600 y menor que 45 pues 45 2=2025. 412=1681, 422=1764, 432=1849, 442=1936 Luego el (único) número x tal que su cuadrado x 2 se encuentra entre 1801 y 1900 es x=43, de manera que De Morgan celebró su cumpleaños número 43 en el año 1849, por lo tanto nació en el año 1849-43=1806.
Comentario La estrategia utilizada se llama Ensayo y Error, quizás una de las más antiguas de aquellas que los seres humanos usan para resolver problemas.
Algunas soluciones de la Guía #° 0 Prof. Cipriano Cruz
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