LAPORAN PERTEMUAN KE-6 PROYEK METODE STATISTIKA PENDUGA TITIK DAN INTERVAL
OLEH
Nama
: Rizki Ardani
NPM
: F1A014038
Dosen Pengampuh
: 1. Pepi Novianti, S.Si.,M.Si 2. Idhia Sriliana, S.Si.,M.Si
Asisten Kordinator
:
Renny Alvionita
( F1A011008 )
Asisten Pratikum
: 1. Rima Atika Sari
( F1A011018 )
2. Mia Puspita Sari
( F1A012013 )
LABORATORIUM MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS BENGKULU 2014
PENDUGA TITIK DAN INTERVAL 1. Tujuan Mempelajari program SPSS untuk melakukan pendugaan titik dan pendugaan selang
kepercayaan. 2. Landasan Teori
2.1 Pendugaan klasik Pendugaan klasik yaitu Pendugaan dilakukan berdasarkan sepenuhnya pada informasi sampel yang diambil dari populasi Parameter populasi yang biasanya tidak diketahui nilainya dapat diduga dengan menggunakan statistik sampel. Dalam pendugaan titik , kita tentukan suatu nilai tunggal yang mendekati nilai parameter tersebut. Suatu penduga yang baik adalah penduga yang memenuhi sifat antara lain : takbias dan paling efisi en. Definisi.
Suatu statistik
̂ dikatakan penduga tak bias dari parameter jika : (̂) .
Contoh :
saling bebas , masing-masing mempunyai mean dan variansi . Penduga tak bias untuk dan adalah dan dimana : Misalkan
dan ∑ ( ) (Anonym, 2012). ∑ Pendugaan Interval untuk Mean Populasi
Misalkan
X 1 , X 2 , , X n
suatu sampel acak yang diambil dari populasi
dan variansi maka mean sampel akan berdistribusi normal dengan mean dan variansi , sehingga berdistribusi normal dengan mean
. √
Kita dapat menyatakan :
Dengan mensubstitusikan Z diperoleh :
⁄√
adalah
Jadi, jika
mean dari sampel acak berukuran n yang diambil dari
populasi normal dengan variansi
2
diketahui, maka interval kepercayaan
untuk adalah : ⁄ √ ⁄ √ ^
Dalam hal ini jelas bahwa nilai-nilai dari variable random dijelaskan sebelumnya, adalah :
^
L
dan
U yang
̂ ⁄ √ ̂ ⁄ √
Sampel yang berbeda akan menghasilkan nilai taksiran interval bagi bagi parameter
yang
x
yang berbeda sehingga
dihasilkan juga akan berbeda.
Kasus 2 : Misalkan
suatu
sampel acak yang diambil dari populasi
. Jika ukuran sampel cukup besar, mean sampel akan mendekati distribusi normal dengan mean mendekati distribusi dan variansi . Jadi :
berdistribusi semba- rang dengan mean dan variansi
√
Dengan cara yang sama pada kasus 1)
sehingga
⁄√ . Jadi, jika adalah mean dari sampel acak berukuran ( besar ) yang diambil dari populasi sebarang dengan variansi diketahui, maka interval kepercayaan untuk adalah : ⁄ √ ⁄ √ . (Tarmizi, 2010). Yang dimaksud dengan Pendugaan Interval adalah suatu dugaan terhadap parameter berdasarkan suatu interval, di dalam interval mana kita harapkan dengan keyakinan tertentu parameter itu akan terletak. Hasil pendugaan interbal ini diaharapkan akan lebih obyektif. Pendugaan interval akan memberikan kita nilai parameter dalam suatu interval dan bukan nilai tunggal. Pendugaan
interval
akan
merapakan
interval
keyakinan
atau
interval
kepercayaan atau confidence limit yang dapat dirumuskan sebagai berikut :
dimana ; penduga atau statistik sample deviasi standard sampel
⁄ koefisien yang sesuai dengan interval keyakinan yang dipergunakan dalam pendugaan interval dan nilainya diberiklan dalam tabel
luas
kurva
normal.
Apabila kita menggunakan pendugaan interval sebesar maka artinya bahwa dalam jangka panjang jika pendugaan itu dilakukan secara berulangulang dengan cara yang sama, maka parameter populasi kan tercakup di dalam interval tersebut dari seleruhan waktu atau dalam jangka panjang kita akan mentolerir kesalah diga (error of estimate) sebesar . (Hartatik, 2012). 2.2 Pendugaan Parameter Untuk mengetahui ukuran populasi atau disebut dengan Parameter biasanya seorang peneliti mengukurnya tidak secara langsung melainkan dengan cara mengambil sebagian kecil dari populasi (disebut dengan sample) kemudian mengukurnya. Selanjutnya hasil pengukuran sample tersebut digunakan untuk “menduga” ukuran sebenarnya (ukuran populasinya atau parameternya). Dari sinilah berasal berasal istilah “Pendugaan Parameter”. Secara umum parameter yang diduga ialah nilai tengah (mean), proporsi, atau ragam, masing-masing. a. Selang Kepercayaan (Confidence Interval)
Selang
Kepercayaan
(Confidence
Interval)
yaitu
ukuran
yang
menunjukan nilai parameter yang asli mungkin berada. Selang Kepercayaan 95% artinya kita percaya bahwa 95% sample yang kita ambil akan memuat nilai parameter aslinya. Selang Kepercayaan 99% artinya kita percaya bahwa 99% sample yang kita ambil akan memuat nilai parameter asli nya. b. Tingkat Ti ngkat Kepercayaan (Confidence Interval)
Tingkat kepercayaan atau disebut juga confidence interval atau risk level didasarkan pada gagasan yang berasal dari Teorema Batas Sentral (Central Limit Theorem). Gagasan pokok yang berasal dari teorema tersebut ialah apabila suatu populasi secara berulang-ulang ditarik sampel, maka nilai ratarata atribut yang diperoleh dari sampel-sampel tersebut sejajar dengan nilai populasi yang sebenarnya. Lebih lanjut, nilai-nilai yang diperoleh tersebut yang berasal dari sampel-sampel yang sudah ditarik didistribusikan secara normal dalam bentuk nilai benar / nyata. Bentuk nilai-nilai tersebut akan menjadi nilai-nilai sampel yang lebih tinggi atau lebih rendah jika
dibandingkan dengan nilai populasinya. Dalam suatu distribusi normal, sekitar 95% nilai-nilai sampel berada dalam dua simpangan baku (standard deviation)dari nilai populasi sebenarnya. Dengan kata lain, jika tingkat kepercayaan sebesar 95% dipilih, maka 95 dari 100 sampel akan mempunyai nilai populasi yang sebenarnya dalam jangkauan ketepatan sebagaimana sudah dispesifikasi sebelumnya. Ada kalanya bahwa sampel yang kita peroleh tidak mewakili nilai populasi yang sebenarnya.Tingkat kepercayaan berkisar antara 99% yang tertinggi dan 90% yang terendah. Dalam SPSS tingkat kepercayaan secara default diisi 95%.(Anonim, 2012). Inferensi statistik , yaitu pengambilan kesimpulan mengenai populasi berdasarkan hukum statis- tika , berhubungan dengan persoalan pendugaan parameter dan pengujian hipotesis. Informasi yang relevan dari populasi dapat dinyatakan dengan cara memilih ukuran-ukuran deskriptif yang bersifat numerik yang disebut : parameter. I. Pendugaan Titik Penduga titik adalah suatu nilai angka tertentu sebagai estimasi untuk parameter yang tidak diketahui. Parameter populasi yang biasanya tidak diketahui nilainya dapat diduga dengan menggunakan statistik sampel. Dalam pendugaan titik , kita tentukan suatu nilai tunggal yang mendekati nilai parameter tersebut. Suatu penduga yang baik adalah penduga yang memenuhi sifat antara lain : takbias dan paling efisien. 1. Tak bias Nilai harapan penduga titik itu harus sama dengan parameter yang ditaksir. 2. Paling Efisien Setiap penduga titik adalah variabel random, jadi penaksir titik harus mempunyai variansi terkecil dari penaksir titik yang lain II. Pendugaan Interval Pada pendugaan titik, parameter yang tak diketahui hanya diduga dengan satu nilai, sehingga kecil kemungkinannya untuk menduga parameter secara tepat. Akan lebih baik bila kita dapat menentukan
suatu interval dimana kita berharap bahwa nilai parameter yang sebenarnya akan terletak di dalam interval tersebut. Penduga interval adalah interval antara dua statistik yang dengan probabilitas tertentu memuat nilai yang sebenarnya dari parameter itu. Misal: untuk menduga interval µ harus didapatkan dua nilai statistik L
– Interval hasilnya dinamakan dugaan interval dengan kepercayaan untuk (rataan populasi) yang tidak diketahui dan N sedemikian sehingga
L dan N dinamakan batas kepercayaan atas dan bawah, sedang
dinamakan
koefisien kepercayaan. Jika
,
diperoleh
selang kepercayaan III.
Pendugaan Parameter Untuk mengetahui ukuran populasi atau disebut dengan Parameter biasanya. biasanya.seorang. seorang peneliti. .peneliti.mengukurnya. mengukurnya.tidak .secara. secara.langsung. langsung.melainka n dengan cara mengambil sebagian kecil dari populasi (disebut dengan sample) kemudian mengukurnya. Selanjutnya hasil pengukuran sample tersebut. tersebut.digunakan. digunakan.untuk .“menduga”. “menduga”.ukuran. ukuran.sebenarnya. sebenarnya.(ukuran. (ukuran popul .popul asinya. asinya.atau. atau parameternya).. . parameternya)..Dari. Dari.sinilah. sinilah berasal. . berasal.istilah. istilah.“Pendugaan. “Pendugaan.Para meter”. Secara umum umum parameter yang diduga ialah nilai tengah (mean), proporsi, atau ragam, masing-masing a) b) c) d) e) f) g) h) i)
satu nilai tengah beda dua nilai tengah populasi beda lebih dari dua nilai tengah populasi populasi satu proporsi beda dua nilai proporsi beda lebih dari dua nilai proporsi satu ragam beda dua nilai ragam beda lebih dari dua nilai ragam Pendugaan parameter berarti melakukan estimasi terhadap nilai
dugaan/taksiran suatu parameter tertentu, karena pada umumnya nilai parameter suatu distribusi tidak diketahui. Nilai angka suatu penduga yang dihitung dari suatu data sampel dinamakan dugaan/taksiran( dugaan/taksiran ( (Widarman, 2013).
3. Langkah kerja. kerja .
3.1 Menguji pernyataan dengan membuat selang kepercayaan 1. Pilih menu File NewData. Kemudian klik mouse pada sheet tab Variable View. Isi tabel seperti berikut:
Gambar 1.1 Tampilan pada variable view
2. Kemudian klik mouse pada sheet tab Data View. Masukkan data seperti berikut:
Gambar 1.2 Tampilan pada data view
3. Pada layar utama SPSS pilih menu Analyze Compare MeansPaired
samples t-test.
Gambar 1.3 Tampilan tahapan analisis
4. Masukkan variable Data pada kolom Variable(s) 5. Lalu pilih option 6. Lalu ketik besar selang kepercayaan dalam bentuk persen.
Gambar 1.4 Tampilan pengisian variable
7. Klik Continu 8. Lalu pilih OK untuk mengakhiri prosedur pengisian analis.
3.2 Menduga rata-rata dan membuat selang kepercayaan 1. Pilih menu File NewData. Kemudian klik mouse pada sheet tab Variable View. Isi tabel seperti berikut:
Gambar 1.5 Tampilan pada variable view
2. Kemudian klik mouse pada sheet tab Data View. Masukkan data seperti berikut:
Gambar 1.6Tampilan pada data view
3. Pada layar utama SPSS pilih menu Analyze Compare MeansOne
samples t-test.
Gambar 1.7 Tampilan tahapan analsis
4. Masukkan variable Data pada kolom Variable(s) 5. Lalu pilih option
6. Lalu ketik besar selang kepercayaan dalam bentuk persen.
Gambar 1.8 Tampilan pengisian variable
7. Klik Continu 8. Lalu pilih OK untuk mengakhiri mengakhiri prosedur pengisian analis.
4. Teladan Penerapan ( soal )
1. Data berikut berupa besarnya kredit yang diambil oleh nasabah Bank Kurt di dua Bank Kurt unit yang berbeda. Tabel 1. Teladan no 1
Bank Kurt Unit A
Bank Kurt Unit B 9,7
10,3 8,2 9,4 12,3 11,0 9,2 8,7 17,5 9,8 8,8 12,8 Buat selang kepercayaan 90 % bagi selisih rata-rata besarnya kredit yang diambil dikedua Bank Kurt unit asumsikan bahwa besarnya kredit mempunyai sebaran yang menghampiri normal dengan ragam yang tidak sama s ama . 2. Data berikut ini berupa volume dalam desiliter, 10 kaleng buah manggis hasil produksi sebuah perusahaan didesa pantang mudur. mudur. 45,6
48,1
49,5
47,2
45,6
48,9
45,4
42,0
48,1
44,9
Dugalah rata-rata volume buah manggis ! Buatlha selang kepercayaan 95 % !
5. Hasil dan Pembahasan Pembahasan
5.1 Hasil Output dan Gambar
Gambar 1.9 Hasil teladan no 1
Gambar 2.0 Hasil teladan no 2
5.2 Pembahasan Untuk membuat selang kepercayaan 90% bagi selisih rata-rata besarnya kredit yang diambil di kedua Bank Kurt Unit dapat dicari dengan option pada confidence interval menjadi 90% sehingga di dapat nilai mean untuk Bank Kurt Unit A = 9,840 Standar deviasi Bank Kurt Unit A = 0,8735 sedangkan nilai mean untuk Bank Kurt Unit B = 11,380 Standar deviasi Bank Kurt Unit B = 3,7413. Untuk membuat selang kepercayaan 95% hasil produksi buah manggis suatu perusahaan dapat dicari dengan option pada confidence interval menjadi 95% sehingga di dapat nilai mean 46,830 Standar deviasi = 2,2608..
6.
Kesimpulan
Untuk mengetahui ukuran populasi atau disebut dengan Parameter biasanya seorang peneliti mengukurnya tidak secara langsung melainkan dengan cara mengambil sebagian kecil dari populasi (disebut dengan sample) kemudian mengukurnya. Selanjutnya hasil pengukuran sample tersebut digunakan untuk “menduga” ukuran sebenarnya (ukuran populasinya atau parameternya). Dari sinilah berasal istilah “Pendugaan Parameter”. Secara umum parameter yang diduga ialah nilai tengah (mean), proporsi, atau ragam, masing-masing.
DAFTAR PUSTAKA
Anonim.. Anonim..2011.. 2011. Penduga. . Penduga Parameter.. .Parameter..http://www.slideshare.net/yusrinans/penduga parameter-rina.diakses pada parameter-rina.diakses pada tanggal 8 Desember 2014 pada pukul pukul 22.00 WIB. Anonym.. Anonym. .2012.. 2012. Pendugaan. . Pendugaan.Titik.. Titik..http://repository.binus.ac.id/2012-1/content/ http://repository.binus.ac.id/2012-1/content/D0712/D D0712/D 071284576.doc. Diakses pada 9 desember 2014 pukul 20.29 WIB. Hartatik.. Hartatik..2012.. 2012. Penduga. . Penduga Interval.. . Interval..http://lecturer.d3ti.mipa.uns.ac.id/hartatik/.files/2012/ 09/6-penduga-interval.pdf. Diakses 09/6-penduga-interval.pdf. Diakses pada 9 desember 2014 pukul 20.44 WIB. Tarmizi,. Tarmizi,.Fahmi.. Fahmi..2010.. 2010. Pendugaan. . Pendugaan Interval.. . Interval..http://lecturer.eepis-its.edu/Fahmi-Tarmizi/ materi/ statistik/estimasi.pdf. Diakses statistik/estimasi.pdf. Diakses pada 9 desember 2014 pukul 19.43 WIB. Widarman,. Widarman,.Agung.. Agung. .2013.. 2013. Pendugaan. . Pendugaan Parameter .Parameter .:.http://www.slideshare.net/agung_wid arman/pendugaan-parameter. Diakses arman/pendugaan-parameter. Diakses pada: 7 Desember 2014. 4:59 AM.