SVEUČILIŠTE U ZAGREBU GRAĐEVINSKI FAKULTET
TEOREM MÜLLER – BRESLAUA ZAVRŠNI RAD
Studentica: Maja Mrša Mentor: prof. dr. sc. Krešimir Fresl, dipl. ing. građ. Ak.god. 2010./11.
Zagreb, 13. rujna 2011.
Sadržaj 1. Uvod
2
2. Definicija utjecajne funkcije i utjecajne linije
3
3. Primjena utjecajnih linija
5
3.1.
Utjecaj jedne koncentrirane sile .................................................................... 5
3.2.
Utjecaj niza koncentriranih sila ..................................................................... 5
3.3.
Utjecaj distribuirane distribuirane sile ................................................................................. 7
3.4.
Utjecaj koncentriranog momenta .................................................................. 9
4. Iskaz teorema Müller – Breslaua
10
5. Pomoćni teoremi
10
5.1. Teorem o uzajamnosti radova (Betti) (Betti) ................................................................. 10 5.2. Teorem o uzajamnosti pomaka (Maxwell) ....................................................... 12 5.3. Teorem o virtualnim pomacima za elasti čna tijela ............................................. 13 6. Varijante dokaza teorema Müller – Breslaua
15
6.1.
Dokaz pomoću Bettijevog Bettijevog teorema teorema ................................................................ 15
6.2.
Dokaz pomoću Maxwellovog teorema ........................................................... 17
6.3.
Dokaz pomoću virtualnog rada ...................................................................... 23
7. Primjena teorema – crtanje utjecajnih linija
25
8. Zaključak
41
Literatura
42
1
1. Uvod
u
U ovom ćemo radu obraditi teorem Heinricha M ller ller - Breslaua i njegovu primjenu pri određivanju utjecajnih funkcija i utjecajnih linija na stati čki neodređenim sistemima. Najprije ćemo objasniti pojmove utjecajne funkcije i utjecajne linije i prikazati njihovu primjenu, te iskazati sam teorem. Obradit ćemo i pomoćne teoreme: Bettijev teorem o uzajamnosti radova, Maxwellov teorem o uzajamnosti pomaka i teorem o virtualnim pomacima za elastična tijela, te provesti varijante dokaza teorema M ller ller - Breslaua pomoću svakog od njih. Na kraju ćemo prikazati primjenu teorema na nekoliko primjera, pri ćemu će sistemi biti riješeni metodom sila i metodom pomaka. Za crtanje utjecajnih linija primijenit ćemo Mohrovu analogiju.
u
2
2. Definicija utjecajne funkcije i utjecajne linje
Određene konstrukcije, poput mostova, nadvožnjaka, kranskih staza služe preuzimanju pokretnih opterećenja kao što su cestovna cestovna vozila, vlakovi ili kranovi. kranovi. Prilikom proračuna takvih konstrukcija nailazimo na odre đene probleme. Kao prvo, određivanje reakcija i unutarnjih sila za pokretna optere ćenja postupcima koji se primjenjuju za nepomi čna opterećenja dosta je složeno. Naime, promjenom položaja optere ćenja mijenjaju se i vrijednosti statičkih i drugih veličina u nosačima. Poseban problem nastaje ako se opterećenja kreću velikim brzinama. Tada dolazi do ubrzanja dijelova nosa ča, te se javljaju i inercijalne sile koje treba uzeti u obzir u prora čunu. Uz pretpostavku da se optere ćenja kreću manjim brzinama, inercijalne je sile mogu će zanemariti, jer su proporcijalne ubrzanjima. Upravo se pri takvim pokretnim optere ćenjima najviše koristimo utjecajnim linijama i utjecajnim funkcijama. Upotrebljavamo ih tako đer i pri ostalim oblicima pokretnih opterećenja kao i u provo đenju proračuna za nepokretna opterećenja ako ih ima više vrsta. Već smo spomenuli da se prilikom promjene položaja optere ćenja u nosaču mijenjaju reakcije, unutrašnje sile i pomaci. Da bi odredili kako se te veli čine mijenjaju, potrebno ih je izračunati više puta, u razli čitim karakteristi čnim položajima opterećenja. Proračun nosača pomoću utjecajnih linija brz je i jednostavan, ako možemo primijeniti princip superpozicije. Utjecajne funkcije su u op ćenitom obliku funkcije dviju varijabli, jedna varijabla je mjesto na nosaču u kojem se želi odrediti neka veli čina, a druga je položaj jedini čnog opterećenja. U praktičnim proračunima se mjesto tražene veličine unaprijed zadaje, te je stoga utjecajna funkcija funkcija jedne varijable, i to položaja jedini čnog opterećenja.
Neka na nosač djeluje jedini čna sila u to čki i neka neka je pri tom tom djelovanju djelovanju vrijednost određene sile ili pomaka h . Prema principu superpozicije će pri djelovanju sile v rijednosti u vrijednost te veli čine biti h , uz pretpostavku da promjena vrijednosti sile ne
·
uzrokuje mijenjanje pravaca pravaca njezina djelovanja.
Utjecajna funkcija za statičku ili kinematičku veličinu u točki je funkcija položaja jedinične sile koja pokazuje ovisnost veličine o položaju jedinične sile na nosaču.
Utjecajna funkcija, dakle, svakom položaju jedini čne sile na nosaču pridružuje vrijednost tom silom izazvane poopćene sile ili poop ćenog pomaka u nekoj fiksnoj to čki nosača:
:x gdje je
(x) vrijednost veličine
(x);
u točki .
3
Utjecajna linija je grafički prikaz utjecajne funkcije na linijskim nosačima, a utjecajna ploha predstavlja grafički prikaz na plošnim nosačima. Utjecajna linija za neku veličinu je, prema tome, linija čije ordinate daju vrijednosti te veličine ako jedinična sila djeluje u točkama za koje očitavamo te ordinate.
Na statički određenim sistemima utjecajne su funkcije za stati čke veličine po dijelovima linearne funkcije ili konstante, pa su utjecajne linije uvijek sastavljene od dijelova pravaca, dok su kod stati čki neodređenih sistema utjecajne funkcije nelinearne, a utjecajne linije, po dijelovima, krivulje. Utjecajne linije za (poop ćene) pomake su po dijelovima krivulje na svim sistemima. Za određivanje utjecajnih funkcija i utjecajnih linija neke stati čke veličine možemo primijeniti statički ili kinemati čki postupak.
U statičkom postupku izraz za iznos tražene veli čine u točki u obliku funkcije položaja izvodi se iz uvjeta ravnoteže nosača opterećenog jediničnom silom u po volji odabranoj to čki
.
u
Kinematički postupak temelji se na teoremu M ller ller - Breslaua. Kod stati čki određenih sistema postupak odre đivanja utjecajne linije zasniva se na teoremu o virtualnim pomacima krutih tijela, pa utjecajnu liniju crtamo kao plan pomaka mehanizma nastalog raskidanjem raskidanjem veze koja u izvornom sistemu prenosi doti čnu silu, ako zadamo jedini čki pomak na mjestu i u smislu suprotnom od djelovanja te sile. Za stati čki neodređen izvorni sistem, raskidanjem odgovarajuće veze, dobivamo sistem koji je geometrijski nepromjenjiv, te crtamo njegovu progibnu liniju. Ovaj se postupak zasniva na teoremu o uzajamnosti radova, na teoremu o uzajamnosti pomaka ili na teoremu o virtualnim pomacima za deformabilna tijela.
4
3. Primjena utjecajnih linija
U nastavku ćemo detaljnije opisati kako se pomo ću utjecajnih funkcija ili utjecajnih linija mogu izračunati tražene veli čine za djelovanja raznih optere ćenja. Pretpostavit ćemo zasad
da su su nam nam utjec utjecajn ajnaa funk funkcij cijaa i utjec utjecajn ajnaa linij linijaa za tražen traženu u veli veli činu u točki poznate. Da bi primjena bila jednoznačna moraju biti definirani koordinatni sustav i pretpostavljene pozitivne orijentacije optere ćenja i veličine .
3.1. Utjecaj jedne koncentrirane sile
=
= · .
Neka na nosač djeluje koncentrirana sila u to čki i neka je vrijednost utjecajne utjecajne linije u toj točki h ). Tada će vrijednost veličine F u to čki b iti h
Za izračunavanje vrijednosti treba paziti da li je ta vrijednost pozitivna ili negativna. Ako predznak ordinate h ima isti smisao kao djelovanje sile , vrijednost će biti pozitivna (slika
1.a), a u suprotnom negativna (slika 1.b).
Slika 1.
3.2. Utjecaj niza koncentriranih sila
, ,…, = ,…, = · ;
Neka na nosač djeluju koncentrirane sile niza su vrijednosti utjecajne funkcije h
=
u to čkama
). Tada će ukupan utjecaj biti
u kojima
h
pri čemu treba uvažiti predznake vrijednosti h i orijentacije sila.
5
Slika 2.
=1,…,
U posebnom slučaju, kada je na dijelu nosa ča na kojem djeluje niz koncentriranih sila , , utjecajna linija dio pravca, može se dokazati da je utjecaj tog niza sila jednak utjecaju njihove rezultante, pa tada možemo pisati
gdje je
= ∑
= ,
vrijednost rezultante R sila
.
Slika 3. Na temelju toga utjecaj se može izra čunati množenjem vrijednosti rezultante s ordinatom utjecajne linije umjesto da se odre đuju ordinate ispod svake sile i zatim rezultat dobiva iz sume produkata svih sila s odgovarajućim ordinatama utjecajnih linija. Pri tome treba napomenuti da, ako je utjecajna linija sastavljena od nekoliko dijelova pravca, treba na ći onoliko rezultanti koliko je i dijelova, jer jedna rezutanta može zamijeniti samo one sile koje djeluju na istom prav častom segmentu.
6
3.3. Utjecaj distribuirane sile
, = dQ = dQ = = = . , = =
Uzmimo da na nosač izme đu točaka funkcijom q.
i
djeluje distribuirana sila čija je vrijednost opisana
Ako opterećenje q na odsječku silom dQ čija je vrijednost dQ
zamijenimo infinitenzimalnom koncentriranom s hvatištem u x, tada će utjecaj te sile biti h
Ukupni utjecaj distribuirane sile na dijelu
d obit ćemo integracijom: .
Slika 4. Za slučaj kad je kontinuirana sila jednoliko raspodijeljena,
= 1,2 A
gdje
1,2=
A
,
=
, bit će
,
predstavlja površinu između krivulje
i koordinatne osi x na
segmentu . No ta površina nije geometrijska veli čina, njezina vrijednost, tj. vrijednost integrala može biti i negativna (slika 5.).
7
Slika 5. Zaključujemo da se utjecaj jednoliko distribuiranog optere ćenja može izračunati kao umnožak njegove vrijednosti i površine izme đu utjecajne linije i koordinatne osi x na dijelu nosača na kojem optrećenje djeluje, vode ći računa o predznacima.
Za slučaj kada je pak utjecajna funkcija na dijelu nosa ča na kojem djeluje distribuirana sila q linearna, utjecaj distribuirane sile jednak je utjecaju rezultante te sile (slika 6.) :
gdje je
=
=
,
v rijednost rezultante distribuirane sile q.
Slika 6. Kao i kod ra čunanja utjecaja niza sila, moramo voditi računa o tome je li utjecajna linija, na dijelu nosača na kojem djeluje distribuirana sila, sastavljena od više dijelova pravaca. Ako jest, za svaki takav segment treba izračunati rezultantu i utjecaje zbrojiti (slika7.: h h .
=
Slika 7.
8
3.4. Utjecaj koncentriranog momenta
P = P = M⁄
P P
Uzmimo zasad da je utjecajna linija linearna (slika 8.a). Koncentrirani moment M vrijednosti M, koji djeluje u to čki , zamijenit ćemo spregom sila i vrijednosti λ, gdje je λn jihova me đusobna udaljenost. Utjecaj tog sprega će biti
P, P = M tg
α,
gdje je αo rijentirani kut izme đu osi x i pravca utjecajne linije.
Slika 8. Kako je utjecajna funkcija u našem slu čaju rastuća, slijedi da je kut αp ozitivan.
Prema tome, za ravninu imamo da je pozitivan onaj kut čiji je smisao jednak smislu vrtnje kazaljke na satu, dok neke veli čine, poput momenta ili kuta zaokreta osi nosa ča smatramo pozitivnim ako im je smisao suprotan smislu vrtnje kazaljke na satu, bez obzira u kojem se koordinatnom sustavu nalaze. Kako izraz
M tg
e ovisi o razmaku sila λ, možemo pisati: αn
(Negativan predznak u izrazu za kuta .)
= M tg α
.
posljedica je suprotnih smjerova smjerova vrtnje momenta M i
Možemo zaključiti da za linearnu utjecajnu funkciju položaj hvatišta koncentriranog momenta ne utječe na vrijednost .
Ako je utjecajna funkcija nelinearna (slika 8.b), utjecaj je koncentriranog momenta
gdje je
=
,
o rijentirani kut nagiba tangente na utjecajnu liniju u hvatištu
m omenta M. 9
Kako se nagib tangente na krivulju utjecajne linije mijenja duž osi nosa ča, sada položaj hvatišta momenta utje če na vrijednost veli čine . 4. Iskaz teorema Müller – Breslaua
Teorem Müller – Breslaua je temelj za kinemati čki postupak određivanja utjecajnih linija za statičke veličine na statički neodređenim sistemima. Kako su utjecajne funkcije za takve sisteme najčešće nelinearne funkcije, tako su i utjecajne linije naj češće sastavljene od dijelova krivulja. Prema tom teoremu utjecajna linija jednaka je progibnoj liniji nosa ča zbog jediničnog prisilnog pomaka pomaka na mjestu mjestu i u smislu suprotnom suprotnom od statičke veličine za koju tražimo utjecajnu liniju. 5. Pomoćni teoremi 5.1. Teorem o uzajamnosti radova (Bettijev teorem)
Promatramo prostu gredu na koju djeluju dva uravnotežena sustava sila, sistem sila I, F k' (k=1,2,...,m), i sistem sila II, F j'' (j=1,2,...,n).
F1'
Fm'
I)
Fk '
v j'
vk'
F1''
II)
vk''
Fn''
F j ''
v j''
Slika 9. Pretpostavit ćemo da djelovanje jednog sistema sila ne ovisi o djelovanju drugoga sistema, tj. da vrijedi zakon superpozicije. Tako su pomak v k' na mjestu i u smjeru sile F k' i pomak v j' na mjestu i u smjeru sile F j'' nastali zbog zajedni čkog djelovanja sila sistema I, dok su pomak v j'' na mjestu i u smjeru sile F j'' i pomak vk'' na mjestu i u smjeru sile F k' nastali zbog zajedničkog djelovanja svih sila sistema II.
10
Kada bismo na prostu gredu oba sistema sila nanosili istodobno, onda bi pomak na mjestu i u smjeru sile F k' iznosio vk = v k' + vk'', a na mjestu i u smjeru sile F j'' v j = v j'' + v j'. Ukupan rad će u tom slu čaju biti
1 1 = 2 · · 2 · .
Ako bismo pak na promatranu gredu prvo nanijeli sistem sila I, rad pri tome iznosi
1 = 2 · · .
A zatim na istu gredu nanosimo sistem II, rad sila sistema II iznosi
1 = 2 · · .
Rad koji obave sile sistema I na pomacima izazvanim silama sistema II bit će
, =
· .
Konačno, ukupan će rad u tom slu čaju biti R v
= ,
.
Ako zamijenimo redoslijed nanošenja sila, tako da gredu prvo opteretimo sistemom sila II, a potom sistemom I, ukupni će rad iznositi Rv
gdje je
= , , = · .
Budući da ukupan rad vanjskih sila ne ovisi o redoslijedu kojim sile nanosimo na tijelo, ove radove možemo izjednačiti, te će onda biti
· = · . ′
11
Ova jednadžba predstavlja Bettijev teorem o uzajamnosti radova koji glasi: Rad sila prvog sustava na odgovarajućim pomacima koji su izazvani silama drugog sustava, jednak je radu sila drugog sustava na odgovarajućim pomacima izazvanim silama prvog sustava. Ovaj teorem vrijedi za materijale koji se ponašaju po Hookeovom zakonu. Iz njega proizlaze teoremi: Maxwellov teorem teorem o uzajamnosti pomaka, teorem o uzajamnosti reakcija reakcija i teorem o uzajamnosti reakcija i pomaka.
5.2. Teorem o uzajamnosti pomaka (Maxwellov teorem)
Promatramo prostu gredu u dva različita ravnotežna stanja. Sistem I čini sila F1 sa pripadnim ležajnim reakcijama, a sistem II sila F 2s odgovaraju ćim ležajnim reakcijama.
F1
I)
v1'
v2'
F2''
II)
v1''
v2''
Slika 10. Za ova stanja opterećenja prema Bettijevom teoremu o uzajamnosti radova, dobivamo sljedeću jednadžbu :
Pomaci , odnosno princip superpozicije:
· = · . ′′
′
mogu se izraziti pomo ću pomaka od jediničnih sila, jer vrijedi
· · =
d ,
=
d ,
′′
′
12
gdje su
i zazvan silom = 1, - pomak na mjestu i u smjeru sile izazvan silom = 1.
d - pomak na mjestu i u smjeru sile d
Uvrštavanjem ovih izraza u gornju jednadžbu o uzajamnosti radova, dobivamo izraz
· · · · =
d
d ,
odakle je
d = d .
Ova relacija predstavlja Maxwellov teorem o uzajamnosti pomaka koji glasi: Pomak na mjestu i u smjeru prve jedini čne sile uzrokovan drugom jedini čnom silom, jednak je pomaku na mjestu mjestu i u smjeru smjeru druge jedinične sile izazvanom prvom jedini čnom silom. Ako su sile F 1 i F 2j ednake, slijedi da je
= . ˝
′
Za ovakav slučaj možemo Maxwellov teorem iskazati na sljede ći način: Ako su sile prvog stanja jednake silama drugog stanja, onda je pomak na mjestu i u smjeru sile prvog stanja izazvan silom drugog stanja jednak pomaku na mjestu i u smjeru sile drugog stanja izazvanom silom prvog stanja.
3.3. Teorem o virtualnim pomacima za elastična tijela
U mehanici deformabilnih tijela virtualni su pomaci definirani kao zamišljeni dovoljno mali pomaci koji ne narušavaju neprekinutost tijela i ležajne uvjete, odnosno, koji zadovoljavaju uvjete kompatibilnosti pomaka i koji su na ležajevima jednaki nuli, neovisno o mogu ćim zadanim prisilnim pomacima ležajeva. Teoremom o virtualnim pomacima izražavaju se uvjeti ravnoteže deformabilnih tijela na indirektan način, uz pretpostavku da se pri virtualnim pomacima ravnotežne vrijednosti stvarnih sila ne mijenjaju i da pravci na kojima djeluju te sile ostaju paralelni s pravcima na kojima su djelovale sile prije pomicanja. Konačno, teorem o virtualnim pomacima za elasti čna tijela glasi: Ako se elasti čno tijelo pod zadanim sistemom sila nalazi u ravnoteži, tada je rad stvarnih vanjskih sila na virtualnim pomacima jednak radu stvarnih unutarnjih sila ili naprezanja na odgovarajućim virtualnim deformacijama.
13
A vrijedi i obrat : Ako je rad stvarnih vanjskih sila na bilo kakvim virtualnim pomacima jednak radu stvarnih unutarnjih sila na odgovarajućim deformacijama, tada su vanjske i unutarnje sile u ravnoteži . Kako se rad stvarnih stvarnih sila na virtualnim virtualnim pomacima naziva virtualnim virtualnim radom, ovaj se teorem često naziva i teoremom o virtualnom radu. Teorem je formalna osnova za niz metoda, ponajviše numeri čkih, poput klasične Galerkinove metode i metode kona čnih elemenata u Galerkinovoj formulaciji. Poopćenje teorema, u kojem virtualni pomak u odabranoj to čki ne mora zadovoljavati rubne uvjete i/ili uvjete neprekidnosti, osnova je metode jedini čnog pomaka koja se primjenjuje, primjerice, u određivanju utjecajnih linija/funkcija te koeficijenata krutosti u metodi pomaka.
14
6. Varijante dokaza teorema Müller – Breslaua 6.1. Dokaz pomoću Bettijevog teorema
Valjanost postupka Müller – Breslaua dokazat ćemo na primjeru utjecajne funkcije za reakciju B na srednjem ležaju kontinuiranog nosa ča preko dva raspona i pripadne utjecajne linije, uz primjenu Bettijevog teorema za uzajamnost radova u dva razli čita ravnotežna stanja. 1
a) x
x 1
b) ? B(x)(x) B
c)
d)
w(x)
1
e)
Slika 11.
15
Na slici 11.a) prikazano je prvo stanje u kojem promatramo naš kontinuirani nosa č na koji djeluje jedini čna sila okomita na njegovu os u nekoj proizvoljno odabranoj to čki x. Drugo je stanje prikazano na slici 11.d) u kojem je zadan prisilni jedini čni pomak srednjeg ležaja po pravcu okomitom na os nosa ča. Slika 11.b) prikazuje sve sile koje u prvom stanju djeluju na nosač. To su zadana jedini čna sila u općem položaju te uravnotežuju će reaktivne sile. Progibna linija nosa ča zbog djelovanja jedinične sile skicirana je na slici 11.c). Da bismo primijenili Bettijev teorem, zamislit ćemo da te sile rade na pomacima drugog stanja (slika 11.d). U tom se stanju krajnji ležaji ne pomi ču, pa samo sila B(x) i jedini čna sila obavljaju rad, i to na pravcima po kojima se odvijaju pomaci njihovih hvatišta, a vrijednosti tih pomaka su 1 i w(x). Kako je smisao jedini čnog pomaka suprotan smislu djelovanja sile B(x), rad je sila prvog stanja na pomacima drugog stanja
B ·11 ·1 1 · x (x)
( ).
Prema Bettijevu teoremu rad je sila prvog stanja na pomacima drugog jednak radu sila drugog stanja na pomacima prvoga. U drugom se stanju zbog prisilnog jedini čnog pomaka javljuju samo reakcije (slika 11.e), a kako u prvom stanju nema pomaka ležajeva, rad je sila drugog stanja na pomacima prvog stanja jednak nuli. Stoga iz Bettijeva teorema slijedi
B ·11 ·1 1 · x B = x (x)
pa je
(x)
( ) = 0,
( ).
16
4.2. Dokaz pomoću Maxwellovog teorema
Najprije ćemo prikazati stati čki postupak određivanja utjecajnih funkcija. Na kontinuiranom nosaču tražimo utjecajnu liniju za prekobrojnu silu X 1. P=1 A
a)
B
C
x l
b) ? X1
X1
Slika 12.
Na nosač djeluje jedini čna sila (P = 1) na udaljenosti x od ležaja A. Sila se kre će po nosaču i potrebno je odrediti prekobrojnu silu kao funkciju položaja jedini čne sile. Na slici 12.b) prikazan je osnovni sistem. Osnovna jednadžba metode sila u ovom slu čaju glasi
· δ δ = 0,
iz čega slijedi da je
= .
U gornjem izrazu je konstantna veli čina, dok je jedinične sile na osnovnom sistemu.
δ
promjenjiva i ovisi o položaju
Pretpostavit ćemo prvo da jedinična sila P = 1 djeluje u prvom polju nosa ča, što znači da vrijedi 0 < x ≤ l/2. Na slici 13. nacrtani su dijagrami na zadanom nosa ču za jediničnu vrijednost prekobrojne sile i za silu P = 1 na proizvoljnom mjestu u prvom polju nosa ča.
17
a)
l 4
x 2
x 3
l 6
1 l 2
2x 3
l 2
x 3
l -x 2 1
b) x(l-x) l
x 2
x
l-x
Slika 13.
x:
Iz gornjih dijagrama možemo na ći izraze za δ i δ
l l 1 2 l 1 l δ = 4 · 2 · 2 · 3 · 4 ·2· EI = 48EI, δx = xl l x · x · 12 · 3x xl l x · l2x2 · 12 · 23 · 2x 13 · 4l 2x · l2x2 · 12 · 13 · 2x 23 · 4l 2x · 2l · 12 · 23 · 4l · EI1 x 3l 4x = 48EI , x 3l 4x x= l .
što uvršteno u izraz za
d aje
Kada bi jedini čna sila P = 1 djelovala u drugom polju nosača, momentni dijagram za jediničnu silu bio bi zrcalna slika dijagrama sa slike 13.b), što je prikazano na slici 14.b).
18
l 4
l 6
l-x 2
a)
l-x 3
1 l 2
l 2
l 2
x- l 2
l-x 3
2(l - x) 3
1
b)
l-x 2
x
x(l-x) l
l-x
Slika 14.
δ δx δx = l 2 x · 2l · 12 · 6l l 2 x · 2xl2 · 12 · 13 · l 2 x 23 · 4l 2xl2 · xl l x · 12 · 23 · l 2 x 13 · 4l xl l x · l x · 12 l 3 x · EI1 l l x l 8lx4x = 48EI , l x l l 8lx4x x = l . j e konstantan, a
pa izraz za
s ada iznosi
u ovom slu čaju glasi:
19
Konačno, izraz
x3l l 4x za 0 2l , x= x ll 8lx4x l za 2 , l X
predstavlja jednadžbu utjecajne linije za prekobrojnu silu utjecajna linija.
A
. Na slici 15. je nacrtana ta
B
C
l
1
Slika 15. Sada ćemo prikazati kinemati čki postupak određivanja utjecajnih linija koriste ći teorem o uzajamnosti pomaka (Maxwellov teorem) koji za naš primjer glasi:
1
v
v
Pomak na mjestu, pravcu i u smjeru sile u to čki ( ) zbog jedinične sile koja djeluje u to čki ( ) jednak je pomaku na mjestu, pravcu i u smjeru sile u to čki ( ) zbog djelovanja jedinične sile u točki ( ),
1
ili, iskazano jednadžbom:
δ = δ = .
Ovo znači da jednadžbu iz našeg primjera možemo napisati u sljede ćem obliku
δ
.
Kako je pomak na mjestu i u smjeru vanjskog djelovanja (zna či u smjeru i na mjestu jedinične sile čiji se položaj mijenja) izazvan jedini čnom silom na mjestu i u smjeru prekobrojne sile , to znači da ćemo utjecajnu liniju za prekobrojnu silu dobiti ako nađemo progibnu liniju zbog jedinične sile u smjeru i na mjestu prekobrojne sile i to podijelimo sa .
δ
X
X
20
Tako smo problem nalaženja utjecajne linije sveli na traženje progibne linije, tj. linije pomaka u smjeru zadanog optere ćenja.
x x l 4
x 2
l-x 2 1
l/2
l/2
Slika 16. Prema slici 16. izraz za moment u presjeku bit će
x2 za 0 2l , M = l x l 2 za 2 .
Iz jednadžbe progibne linije imamo (za x ≤ ) :
te za x >
wx = MEI = 2EIx , x EIw x = 4 C , x EIwx = 12 Cx C . wx = MEI = 2EIl x , EIwx = l2x x4 C , l x x EIwx = 4 12 Cx C.
21
Rubni uvjeti za naš nosa č su: w(x) = 0 za x= 0 i x=l. A budući da je momenti dijagram, a tako i progibna linija simetri čna u odnosu na l/2, tangenta u l/2 mora biti horizontalna, pa dodatni rubni uvjet glasi: w '( l/2) =0. Iz rubnog uvjeta w(0)=0 w(0)=0 dobivamo izravno da je C2 = 0. Iz uvjeta w ' (l/2) =0 za x ≤l /2 dobivamo da je Na kraju iz w(l) =0 dobijemo C 4 = -
.
C =
, , a za x>l/2 da je je C 3 =
.
Nakon uvrštavanja, dobivamo izraz za progib:
4x za 0 l , x3l48EI wx = δ = x ll 8lx4x l 2 48EI za 2 . δ
Isti smo izraz ranije dobili za , samo s razli čitim predznakom. Predznak se mijenja mijenja jer su kod utjecajne linije ordinate pozitivne ako su suprotne djelovanju optere ćenja, a kod progiba je uzeto da su su pomaci pozitivni ako ako su prema dolje. dolje. Prema tome, jasno je da ćemo dobiti i isti izraz na
.
Iz gornjeg slijedi: Utjecajnu liniju na stati čki neodređenom sistemu za neku stati čku veličinu dobivamo kao reduciranu progibnu liniju izazvanu jedini čnom silom na mjestu i u smjeru veli čine za koju tražimo utjecajnu liniju pod uvjetom da smo raskinuli vezu koja prenosi tu silu. Dobivenu progibnu liniju treba podijeliti sa . Znači da je faktor redukcije .
δ
1⁄δ
22
6.3. Dokaz pomoću virtualnog rada 1
a) x
? B(x) B(x)
b)
w
w(x)
1
M
c)
d) K
Slika 17. Promatramo kontinuirani nosač preko dva raspona na koji u presjeku x djeluje jedini čna sila (slika 17.a). Polje virtualnih pomaka w(x) je progibna linija nosa ča izazvana jediničnim pomakom srednjeg ležaja (slika 17.b). Kao što je ranije navedeno, prema teoremu o virtualnim pomacima za sistem u ravnoteži mora rad stvarnih vanjskih sila na virtualnim pomacima biti jednak radu stvarnih unutarnjih sila na virtualnim deformacijama:
W = W
.
Vanjske sile koje rade na prikazanom sustavu su jedini čna sila u x i reakcija virtualni rad vanjskih sila
W = Bx·11·w x Bx =wx
B(x),
pa je
( ),
gdje je w(x) virtualni pomak hvatišta jedini čne sile. Da bi iz tog izraza dobili
, moramo dokazati da je
W
= 0.
23
Prema Bernoulli-Eulerovoj teoriji zanemarujemo utjecaj popre čnih sila, a kako u primjeru nema uzdužnih sila, jedine unutranje sile koje vrše rad su momenti savijanja M uzrokovani jediničnom silom u presjeku x (slika 17.c). Momenti savijanja rade na promjenama kutova zaokreta osi nosača κ (x). (x). Prema tome, ukupan je virtualni rad unutarnjih sila
W = Mx xdx κ
x
gdje su κ
poop ćene virtualne deformacije.
δB
U stvarnom, ravnotežnom stanju našeg kontinuiranog nosa ča (slika 17.a) ležaj u kojem djeluje reakcija je nepomi čan; njegov je vertikalni pomak jednak nuli. Taj pomak možemo izračunati provodeći deformacijsku kontrolu, koja u fizikalnom smislu zna či izračunavanje pomaka unaprijed poznatog iz geometrijskih rubnih uvjeta na konstrukciji.
B
Za osnovni sistem imamo da je:
1
a) b) m
Slika 18.
δB δB = MxEImx dx,
Primjenom redukcijskog stavka dobivamo izraz za
:
mx
gdje je M(x) dijagram od vanjskog optere ćenja (slika 17.c), a dijagram od jedini čnog opterećenja u smjeru traženog vertikalnog pomaka, prikazan na slici 18.b).
Na slici 17.d) prikazan je dijagram κ k oji je prema Hookeovu zakonu jednak izrazu
gdje vrijednost
Mx
κx =
,
m ožemo izraziti uvo đenjem nepoznanice α,
M x mx = α ·
. 24
Sada za unutarnji virtualni rad možemo pisati
M W = M x EIx dx , odnosno W = Mx α mx dx . EI Kako Mxmx dx EI predstavlja izraz za pomak δB , za koji znamo da je jednak nuli, dobivamo da je W =α0=0, što smo i trebali dokazati.
7. Primjena teorema – crtanje utjecajnih linija
Problem određivanja utjecajne funkcije svodi se na problem odre đivanja funkcijskog izraza za progibnu liniju. Drugim riječima, treba riješiti diferencijalnu jednadžbu
wx=
,
gdje je M funkcija koja opisuje vrijednosti momenata savijanja izazvanih prisilnim jedini čnim pomakom u smislu suprotnom od pozitivnog smisla djelovanja sile za koju tražimo utjecajnu funkciju. Kako je funkcijski izraz w naj češće kompliciran i teško ga je izvesti analiti čkim rješavanjem diferencijalnih jednadžbi, u našim ćemo primjerima, nakon nalaženja momentnog dijagrama, odmah preći na crtanje progibne linije postupkom utemeljenim na Mohrovoj analogiji. Tražene vrijednosti utjecajne funkcije tada o čitavamo na utjecajnoj liniji, koja je, kao što smo dokazali, upravo ta progibna linija. Za očitavanje vrijednosti moraju mjerila na crtežu biti definirana. Za primjenu Mohrove analogije gredu, kojoj ležajni uvjeti ne trebaju biti definirani, „opterećujemo“ zamišljenom „distribuiranom silom“ čije su vrijednosti zadane funkcijom (x) = k (x)
.
Zaključnu liniju određujemo zadovoljavanjem geometrijskih rubnih uvjeta na zadanom sistemu. 25
Primjer 1.
B.
Tražimo utjecajnu liniju za M omentni dijagram odredit ćemo metodom sila. EI
a)
1,5 EI
EI
2l
l
1 l
b) X1
X2
3l 4
c)
d)
l 4
m1
3l 4
l 4
m2
13 EI 10 l2
e)
M
23 EI 2 10 l
Slika 19.
δ, X · δ, X · δ, =1, δ, X · δ, X · δ, = 0. δ, δ,
Za osnovi sistem sa slike 19.b) jednadžbe su neprekinutosti +
+
Kako na zadanom sistemu nema vanjskog optere ćenja, momentni dijagram od vanjskog opterećenja je M 0=0, pa su i i sto jednaki nuli. Uz dijagram m1s a slike 19.c) dobivamo
mx 1 1 3l 2 3l 1 l 2 l δ, = EIEIx dx= dx = EI 2 · 4 · l · 3 · 4 2 · 4 · l · 3 · 3 1 1 3l 2 3l 1 l 1 l 41l = 72EI.
1,5EI 2 · 4 ·2l·3 · 4 3 · 4 2 · 4 ·2l·13 · 3l4 23 · 4l 26
Budući da su dijagrami m 1 i m2 zrcalni, vrijedi
δ, = δ,.
δ, mxmx 1 1 3l 2 l 1 l 2 3l δ, = EIx dx= dx = EI 2 · 4 · l · 3 · 4 2 · 4 · l · 3 · 4 1,51EI 12 · 3l4 ·2l·23 · 4l 13 · 3l4 12 · 4l ·2l·13 · 4l 23 · 3l4 31l = 72EI. δ, , δ, i δ, 31EI X = 41EI i X = 10l 10l . Još nam ostaje da odredimo
Kada izraze za dobivamo
:
u vrstimo u jednadžbe neprekinutosti, za nepoznanice X 1 i X 2
Konačni momentni dijagram je oblika M = X 1·m1 + X 2·m2, i prikazan je na slici 19.e).
Crtamo utjecajnu liniju za
B
Mjerilo duljina:
1 l l/k=m,
[ cm] :: /k /k [m], k=2
m = l/2 Kutovi između tangenata:
= 10l23 · 12 · l = 20l23 m 529 m = 15l23 · 12 · 23l18 = 540l 169 m = 15l13 · 12 · 13l18 = 540l 13 m = 10l13 · 12 · l = 20l
F
°
F
°
F
°
F
°
27
EI
a)
1 ,5 E I
EI
B(x) 13 EI 10 l 2
b)
M
23 EI 10 l2
O /3
O /4
13 13 10 l 2 15 l 2
c)
23 23 15 l 2 10 l2 O /1
O /2
K 4 0
3
d)
O /1 1 4 2
O /2
O /4 3 2
0
O /3
1
H
e)
Slika 20.
Mjerilo kutova:1 [cm] ::
[ m°]
Duljine kutova u poligonu kutova na crtežu:
= 2,30cm cm =1, 9 66cm = 0,63cm cm =1, 3 00cm
F* F* F* F*
Polna udaljenost:
[ m°] H = 3 [cm] = = , = 1 H=
→
28
Progibna linija dobivena pomoću program DiM:
Slika 21.
Primjer 2.
Za isti ćemo nosačt ražiti utjecajnu liniju za
.
Ovaj put ćemo momenti dijagram odrediti inženjerskom metodom pomaka i time pokazati primjenu teorema u metodi pomaka.
t t
EI
a)
3l/4
1,5 EI
EI
2l
l
l
b)
1
Mt-t(x)
c) ІΨІ1,2
1
2
3
4
Ψ2,1
Slika 22. Koeficijenti krutosti:
k = k = EIl k = 1,2l5EI = 3EI4l
29
Kutovi zaokreta:
l / 4 1 = = l 4 3l / 4 3 = = l 4
Ψ
Ψ
Momenti upetosti:
M = 33 · k · =3· EIl · 34 = 9EI4l M =M = M = 0 M = 3·k · φ M = 3 · EIl · φ 9EI4l M = 4·k · φ 2·k · φ = 4 · 3EI4l · φ 2 3EI4l φ M = 2·k · φ 4·k · φ = 2 · 3EI4l · φ 4 3EI4l φ M = 3·k · φ = 3 · EIl · φ M M = 0 M M = 0 3 · EIl · φ 9EI4l 4 · 3EI4l · φ 2 3EI4l φ = 0 M M = 0 2 · 3EI4l · φ 4 · 3EI4l · φ 3 EIl φ = 0 6EIl · φ 9EI4l 3EI2l φ = 0 3EI2l · φ 6EIl · φ = 0 Ψ
Izrazi za momente na krajevima štapova:
Jednadžba ravnoteže momenata u čvoru 2:
tj.
Jednadžba ravnoteže momenata u čvoru 3:
Iz ravnoteže čvora 2 i 3 dobivamo dvije jednadžbe s dvije nepoznanice :
30
Rješavanjem sustava dobivamo da je
= 0,4 = 0,1. M =1,05 EIl M = 1,05 · EIl M =0,30 EIl M = 0,30· EIl ,
Dobivamo konačne vrijednosti momenata:
Crtanje utjecajne linije za
Mjerilo duljina:
1 l l/k=m,
[ cm] :: /k /k [m], k=2
m = l/2 Kutovi između tangenata:
=1m = 0,7l88 · 12 · 3l4 =0,295m = 0,7l88 1,0l 5 · 2l · 4l =0,229m = 1,0,49 l · 12 · 0,7l 0 =0,544m = 0,0,49 l · 12 · 0,l2 =0,044m = 0,l30 · 12 ·l=0,15m
F
°
°
F
°
F
°
F
°
F
F
°
31
t
EI
a)
1,5 EI
EI
t
1,05
b)
EI l
0,30
EI l
M
O2 O1
O3
1,05 0,70 l l
c)
K
O0
0,20 l O4
0,30 l O5
O1
d)
0 1
O4 O5
3 2
4
1
5 0 6
4
O3 5
3
O0 6
2 O2 H
e) Slika 23.
m°
Mjerilo kutova:1 kutova:1 [cm] :: 0,20 [
cm = 5cm = 1,48cm cm =1, 1 55cm = 2,72cm =0, 2 2cm cm =0, 7 55cm
]
F* F* F* F* F* F*
32
polna udaljenost: H = 0,6 [
]→
= 3 [cm]
Progibna linija dobivena pomoću programa Dim:
Slika 24. Primjer 3.
Sad ćemo za naš nosač naći utjecajnu liniju za
. Momentni dijagram ćemo odrediti
inženjerskom metodom pomaka.
a)
1
t
EI
2
1,5 EI 1,5l
l
b)
t t
3
2l
2,3
EI
4
l
1
2,3
Slika 25. Kinemati čki postupak:
33
k = k = EIl k = 1,2l5EI = 3EI4l
Koeficijenti krutosti:
Momenti upetosti:
M = M = 66 · k · =6· 3EI4l · 2l1 = 9EI4l M = 3·k · φ = 3 · EIl · φ M = 4·k · φ 2·k · φ M = 4 · 3EI4l · φ 2 3EI4l φ 9EI4l M = 2·k · φ 4·k · φ M = 2 · 3EI4l · φ 4 3EI4l φ 9EI4l M = 3·k · φ = 3 · EIl · φ M M = 0 M M = 0 3 · EIl · φ 4 · 3EI4l · φ 2 3EI4l φ 9EI4l = 0 M M = 0 2 · 3EI4l · φ 4 · 3EI4l · φ 9EI4l 3 EIl φ = 0 6EIl · φ 3EI2l φ 9EIl = 0 3EI2l · φ 6EIl · φ 9EIl = 0 = 0,3/l = 0,3/l Ψ
Izrazi za momente na krajevima štapova:
Jednadžba ravnoteže momenata u čvoru 2:
tj.
Jednadžba ravnoteže momenata u čvoru 3:
Iz ravnoteže čvora 2 i 3 dobivamo dvije jednadžbe s dvije nepoznanice :
Rješavanjem sustava dobivamo da je , ,
.
34
Dobivamo konačne vrijednosti momenata:
M =0,9 EIl M = 0,9· EIl M =0,9 EIl M = 0,9 · EIl
Crtamo utjecajnu liniju za
T
Mjerilo duljina:
1 l l/k=m,
[ cm] :: /k /k [m], k=2
m = l/2 Kutovi između tangenata:
= 0,l9 · 12 · l = 0,4l 5 m = 0,l6 · 12 · l = 0,3l 0 m = 0,l3 · 12 ·0,5l= 0,0l75 m 6 1 0, 2 25 · ·0, 5 l= = 0, 3 0, l 2 l m = 0,l9 · 12 · l = 0,4l 5 m m° = 2,25cm =1, 5cm cm =1,125cm =2, 2 5cm
F
°
F
°
°
F
°
F
F
°
Mjerilo kutova:1 kutova:1 [cm] :: 0,20/l [
]
F* F*
F* = 0,375 F* F*
35
EI
a)
t
1,5 EI
EI
t
0,9
b)
0,9
M
EI l 2
O3
O1
O4
O5
0,6 0,9 0,3 l 2 l 2 2 l
0,9 0,6 l2 l2
c)
EI l 2
K O2
O1
3 2
0
d)
0,5 O5
1 1,4 O2
O4
3 2
O3
3 4 5
H
e)
Slika 26.
polna udaljenost:
m° H
H = 0,6/l [
= =
]→
= 3 [cm]
= · · · 3,33 cm = = =
36
Primjer 4.
I na kraju ćemo za naš nosaču tjecajnu liniju za nad drugim ležajem. ležajem. Za odre đivanje momentnog dijagrama koristimo se inženjerskom metodom pomaka.
a)
1
EI
(x) 1,5 EI
2
l
b)
2l
3
EI
4
l
1
Ψ2
Slika 27. Kutovi zaokreta:
=1
Ψ
Momenti upetosti:
M = 33 · k · =3· EIl ·1= 3EIl M =M = M = 0 M = 3·k · φ M = 3 · EIl · φ 3EIl M = 4·k · φ 2·k · φ = 4 · 3EI4l · φ 2 3EI4l φ M = 2·k · φ 4·k · φ = 2 · 3EI4l · φ 4 3EI4l φ M = 3·k · φ = 3 · EIl · φ Ψ
Izrazi za momente na krajevima štapova:
Jednadžba ravnoteže momenata u čvoru 2: 37
M M = 0 M M = 0 3 · EIl · φ 3EIl 4 · 3EI4l · φ 2 3EI4l φ = 0 M M = 0 2 · 3EI4l · φ 4 · 3EI4l · φ 3 EIl φ = 0 6EIl · φ 3EIl 3EI2l φ = 0 3EI2l · φ 6EIl · φ = 0 = 0,53 = 0,13. M =1,40 EIl M = 1,40 · EIl M =0,40 EIl M = 0,40· EIl
tj.
Jednadžba ravnoteže momenata u čvoru 3:
Iz ravnoteže čvora 2 i 3 dobivamo dvije jednadžbe s dvije nepoznanice :
Rješavanjem sustava dobijemo da je ,
Dobivamo konačne vrijednosti momenata:
Crtamo utjecajnu liniju za
Mjerilo duljina:
1 l l/k=m,
[ cm] :: /k /k [m], k=2
m = l/2
38
EI
a)
1,5 EI
1,4
b)
EI l
0,4
O1
EI l
M
O2
1,4 l
c)
EI
14 15 l
K
O0
4 15 l
0,4 l O4
O3
O1
d)
1 O3
0
2
1
3
O4 4
5
3 4 5 0
O0
2 O2 H
e) Slika 28. Kutovi između tangenata:
=1m = 1,l4 · 12 ·l=0,70m = 1,0,49 l · 12 · 15l14 =0,726m = 0,0,49 l · 12 · 15l4 =0,059m = 0,l40 · 12 ·l=0,20m
F F
°
°
F
°
F
°
F
°
39
m°
Mjerilo kutova:1 kutova:1 [cm] :: 0,20 [
cm = 5cm = 3,50cm =3, 6 3cm = 0,30 cm = 1cm
]
F* F* F* F* F*
polna udaljenost:
m° H = = = · H = 0,6 [
]→
= 3 [cm]
Progibna linija na sistemu sa zglobom iznad drugog ležaja, optere ćenim parom momenata, dobivena pomoću program DiM:
Slika 29.
40
8. Zaključak
u
Tema ovog rada je teorem Heinricha M ller-Breslaua, ller-Breslaua, koji je temelj za kinemati čki postupak određivanja utjecajnih linija za stati čke veličine na stati čki neodređenim sistemima. U radu smo iskazali teorem i njegovu valjanost dokazali pomo ću Bettijeva teorema o uzajamnosti radova, pomoću Maxwellovog teorema o uzajamnosti pomaka te pomo ću teorema o virtualnim pomacima za elastična tijela. Na kraju smo riješili nekoliko primjera primjenom metode sila i metode pomaka te nacrtali utjecajne linije.
41
Literatura
1 2 3
V. Šimi ć : Otpornost materijala II , Školska knjiga, Zagreb, 1995. evna statika 1.: bilješke i skice s predavanja, K. Fresl: Građ evna http://www.grad.hr/nastava/gs/bilj1/index.html evna statika 2.: bilješke i skice s predavanja, K. Fresl: Građ evna http://www.grad.hr/nastava/gs/bilj2/index.html
42