KASIHANILAH AKU
. Penilaian
No
Deskripsi Penilaian
Bobot (%)
1
Tugas
10 %
2
Ujian Tengah Semester
40 %
3
Ujian Akhir Semester
50 %
(Standar Mutu penilaian Jurusan)
≥ 81 – 100 – 100 = A 61 – 61 – 80,9 80,9 = B 45 – 45 – 60,9 60,9 = C 21 – 21 – 44,9 44,9 = D 0 – 20,9 – 20,9 = E Keterangan: Untuk penilaian nomor 1 sampai dengan nomor 3, semua jenis penilaian harus mempunyai point/bobot. Jika salah satu penilaian kosong , maka mahasiswa yang bersangkutan dinyatakan gugur pada mata kuliah ini.
STATISTIK DAN ANALISA DATA
BAB I PENDAHULUAN Untuk mempelajari alam dapat didekati dg dua sifat, pertama sifat alam yang sistematik, deterministik dan yang kedua adalah sifat alam yang berpola acak atau random. Pola sifat sistematik dapat dirumuskan dg formula matematik yang memperlihatkan keterkaitan antar parameter atau kejadian. Tetapi sifat random hanya dapat dirumuskan dengan pendekatan konsep statistik dimana sifat parameter alam tersebut dinyatakan dalam besaran prediksi pada suatu tingkat kepercayaan. Sifat fisis dari batuan adalah deterministic karena sifat tersebut mengikuti hukum-hukum fisika, kimia, biologi dan umumnya dapat dinyatakan dengan formula matematik. Dalam kasus pendekatan matematik sifat alam dapat didekati dengan besaran parameter yg sederhana misalnya densitas batuan yg homogen, resivitas batuan yg homogen, kecepatan gelombang homogen pada satu lapisan batuan sehingga model parameternya dapat dirumuskan.
≥ 81 – 100 – 100 = A 61 – 61 – 80,9 80,9 = B 45 – 45 – 60,9 60,9 = C 21 – 21 – 44,9 44,9 = D 0 – 20,9 – 20,9 = E Keterangan: Untuk penilaian nomor 1 sampai dengan nomor 3, semua jenis penilaian harus mempunyai point/bobot. Jika salah satu penilaian kosong , maka mahasiswa yang bersangkutan dinyatakan gugur pada mata kuliah ini.
STATISTIK DAN ANALISA DATA
BAB I PENDAHULUAN Untuk mempelajari alam dapat didekati dg dua sifat, pertama sifat alam yang sistematik, deterministik dan yang kedua adalah sifat alam yang berpola acak atau random. Pola sifat sistematik dapat dirumuskan dg formula matematik yang memperlihatkan keterkaitan antar parameter atau kejadian. Tetapi sifat random hanya dapat dirumuskan dengan pendekatan konsep statistik dimana sifat parameter alam tersebut dinyatakan dalam besaran prediksi pada suatu tingkat kepercayaan. Sifat fisis dari batuan adalah deterministic karena sifat tersebut mengikuti hukum-hukum fisika, kimia, biologi dan umumnya dapat dinyatakan dengan formula matematik. Dalam kasus pendekatan matematik sifat alam dapat didekati dengan besaran parameter yg sederhana misalnya densitas batuan yg homogen, resivitas batuan yg homogen, kecepatan gelombang homogen pada satu lapisan batuan sehingga model parameternya dapat dirumuskan.
Tetapi berlainan dengan sifat fisis, keberadaan dari materi batuan atau mineral dalam bumi dapat besifat random, ataupun berpola fractal karena banyaknya parameter lingkungan yang mempengaruhi keberadaan batuan tersebut. Hanya beberapa saja parameter yang dapat diperkirakan bagaimana dan berapa besar peranannya terhadap pembentuk batuan.sebagai contoh parameter tekanan, temperatur, reaksi kimia, unsur mineral dan sebagainya. Namun dapat dikemukakan masih banyak lagi parameter lingkungan yg belum atau tidak diketahui mempengaruhi proses terbentuknya suatu batuan. Pada suatu formasi batuan sering ditemukan keberadaan materi dan berbagai macam mineral ditemukan dalam keadaan yang tidak teratur atau acak. Dalam hal ini pendekatan analisa yang dilakukan adalah dengan metode statistik. Penggabungan kedua sifat alam deterministic dan acak ini dapat dilakukan dengan optimal berdasarkan pada pendekatan statistik. Ilmu statistik dalam ilmu dan teknologi kebumian sisebut juga geostatistik. Statistik dalam geologi akan dapat dilihat peranannya dengan lebih mudah, terutama dalam menganalisa data dalam data dalam beberapa contoh kasus seperti pengolahan data kekar, uratan stratigrafi, stratigrafi, estimasi mineral, mineral, klasifikasi data fosil, dan sebagainya
BAB II KARAKTERISTIK POPULASI DATA
2.1. Karakteristik Populasi Penduduk berhubungan dengan kegiatan PERTAMBANGAN Dampak
Kegiatan
Dampak
PERTAMBANGAN
Dampak sosial Ekonomi budaya
Dampak Biofisik
Dampak Biofisik
Dampak Sosial ekonomi budaya
Dampak Primer
Dampak Sekunder
Kenaikan Kesejahteraan Tujuan
Gb.1.Pembangunan mempunyai tujuan untuk menaikan tingkat kesejahteraan rakyat Contoh perhitungan prakiraan dampak. Dengan menggunakan metode bagan alir dalam identifikasi dampak, bagan alir itu kita gunakan sebagai tuntunan dalam prakiraan dampak selangkah demi selangkah. Hasil yang didapatkan dari langkah yang satu digunakan sebagai masukan untuk perhitungan dalam langkah berikutnya.
Sebagai contoh bagan alir pada rencana indentifikasi dampak pada pembangunan PERTAMBANGAN sbb:
Pembangunan Wilayah Pertambangan
Persiapan
Operasional (ekplorasi)
Pembebasan lahan
Kenaikan kepadatan penduduk
Pencemaran air
Penurunan Penggusuran produksi penduduk hasil pertanian
Konstruksi prasarana & kompleks pertambangan
Kenaikan Kenaikan tekanan penduduk air larian
Kerusakan hutan
Kenaikan air Kenaikan Larian laju erosi
Erosi gen
Urbanisasi
Kenaikan produksi limbah pertambangan
Gb. 2 Sebagian bagan alir identifikasi dampak pembangunan pertambangan POPULASI PENDUDUK
Dengan merunut dampak dalam bagan alir kita dapatkan: Kenaikan kepadatan penduduk desa dihitung dengan jumlah penduduk perluas daerah (orang/km2). Angka jumlah penduduk dan luas daerah dapat didapatkan dari catatan di kantor desa atau kecamatan. Garis dasar untuk kepadatan penduduk dihitung dengan rumus
Dtp = Po(1+ r tp)t
(rumus 1)
L tot Dimana : Dtp = kepadatan penduduk”tanpa proyek” pada waktu ti Po = jumlah penduduk pada waktu acuan (to) rtp = laju tahunan pertmbuhan penduduk “tanpa proyek” t
= periode waktu perhitungan ti-to (tahun)
Ltot = luas total daerah desa atau kecamatan (km2) Nilai r dapat didapatkan dari laporan statistik. Jika tidak ada, r dapat dihitung dari pencatatan jumlah penduduk pada waktu yang berbeda. Walaupun r dapat dihitung dari pencatatan penduduk dalam dua tahun yang berurutan, tetapi seyogyanya duhitung dalam piriode yang lebih panjang, misalnya 10 tahun. Kepadatan penduduk desa “dengan proyek” dihitung dari proyek
Ddp = Po(1+ r dp)t L tot – Li Po,t dan L sama seperti pada rumus 1 r dp = laju tahunan pertumbuhan penduduk “dengan proyek” Li = luas lahan yang dipakai untuk pengembangan wilayah, termasuk lahan untuk komplek pertambangan, prasarana perumahan dan jalan, dengan anggapan daerah ini dikeluarkan dari daerah administrasi desa dan administrasi badan khusus. Dapat diprakirakan pembangunan wilayah akan menarik
imigrasi penduduk karena
adanya lapangan kerja baru. Oleh karena itu laju pertumbuhan penduduk dengan proyek r dp akan menjadi lebih besar dari pada r tp. Dengan penelitian kasus-kasus industry pertambangan yang sejenis dengan skala yang serupa dan lokasi yang serupa pula diperkirakan besarnya r dp dapat di tentukan dengan analogi (dengan jalan yang sama) Dampak pembangunan wilayah terhadap kepadatan penduduk ialah ∆D = Ddp - Dtp Contoh perhitungan i) Besar dampak
Luas kota tempat pengembangan wilayah akan dibangun ialah 1.000 ha. Luas pengembagan wilayah pertambangan dan sarananya direncanakan 150 ha. Catatan desa menunjukkan jumlah penduduk 2000 : 6.000 orang 2010 : 7.680 orang Berapa dampak pembangunan wilayah pada tahun 2015 waktu pembanguan selesai dan siap digunakan ? Laju pertumbuhan penduduk pertahun antara tahun 2000 dan 2010 dihitung dari rumus pertumbuhan penduduk, yaitu Pt = Po (1 + r )t Log (1+r) = log Pt – log Po t Log(1+r) = log 7680-log 6000 10 Kalau dihitung r = 2,5 % Dengan demikian kepadatan penduduk desa tersebut “tanpa proyek” pada tahun 1975 ialah : Dtp = Po (1 + r tp)t
orang/km2
L tot Dtp = Po (1 + rtp)t orang/km2 Ltot = 983 orang/km2 Data historis proyek-proyek sejenis di daerah lain menunjukkan laju pertumbuhan penduduk yang meningkat mula-mula perlahan-lahan kemudian naik pesat. Laju pertumbuhan penduduk bervareasi antara 3,5 % pertahun sampai 6,0 % pertahun dengan nilai rata-rata 4,5 % per tahun. Angka rata-rata ini digunakan sebagai prakiraan laju pertumbuhan penduduk “dengan proyek”, sehingga kepadatan penduduk “dengan proyek” ialah Ddp = Po (1 + r dp)t orang/km2 Ltot – Li = 11927 orang/km2 8,5 = 1403 orang/km2
dampak proyek terhadap kepadatan penduduk ialah menaikkan kepadatan penduduk sebesar Ddp – Dtp = (1403 – 983) orang /km2 = 420 orang/km2
2.2.KARAKTERISTIK POPULASI DATA Universe Universe (semesta) adalah ruang total materi yang dianalisa. Dengan demikian semua data yang dapat diambil disebut sebagai ruang sampel atau “universe”. Karakter suatu universe adalah dapat dianalisa dari satu macam atau lebih parameter (unit atau multi demiensi) tergantung pada jumlah parameter yang diukur pada masing-masing sampel. Sebagai contoh pada teknologi pertambangan dalam proses evaluasi cadangan, universe adalah deposit mineral yang terdapat pada daerah yang sedang dipelajari. Dengan demikian dalam kasus ini universe adalah deposit mineral misalnya untuk tambang tembaga, nikel, emas, timah atau mineral lainnya. Pada servey geofisika semua data yang mungkin diperoleh dalam daerah penelitian disebut universe. Sebagai contoh pengukuran gaya berat, magnetic, geolistrik, elektromagnetik akan merupakan ruang sampel atau universe pada daerah yang diselidiki. Universe harus terdifinisi dengan limit (batas) area. Batas universe dapat terbentuk struktur geologi atau didefinisikan dalam batas posisi koordinat dan atau kedalaman misalnya ditentukan sampai Lintang dan Bujur serta dengan interval kedalaman tertentu ( 50 m – 100 m, permukaan sampai 250 m dsb).
Unit sampel Bagian dari universe dimana pengukuran dilakukan disebut unit sampel atau titik sampel. Dengan unit sampel tersebut, karakter suatu universe nantinya diharapkan dapat dianalisa dan dijelaskan. Pemilihan unit sampel dapat ditentukan berdasarkan pada tiga hal pokok yaitu : 1. Ketersediaan data 2. Metode statistik yang digunakan 3. Hasil target yang diharapkan Ketiga hal tersebut saling tergantung misalnya hasil target yang diharapkan sangat tergantung pada ketersediaan data dan metode yang dipunyai. Demikian juga metode yang dipilih tersebut dapat tergantung pada data dan target yang dicapai. Ukuran unit sampel sangat penting karena populasi sampel jarak 10 feet dapat berbeda dengan populasi sampel jarak 50 ft. karena itu ukuran unit sampel perlu ditentukan agar karakterisasi daerah penelitian nantinya dapat mememenuhi tujuan dengan efektif. Pada kasus lapangan ukuran unit sampel ini tergantung pada ukuran target geologi, keadaan lingkungan, teknologi yang digunakan, dana dan sebagainya. Penampilan populasi data yang sangat sederhana adalah dengan menggunakan histrogram. Caranya adalah dengan mem-plot distribusi frekuensi pada sumbu ordinat dan nilai data pada sumbu absisi dan hasilnya disebut grafik histogram, dapat dilihat pada gambar berikut ;
6
5
4 Series 1 3
Series 2 Series 3
2
1
0 Category 1
Category 2
Category 3
Category 4
Buat grafik histogram seperti model tersebut : Data lapangan dari mining nickel eksploitation dengan data produksi Sbb : 1. Tahun 2005 produksi 1 juta ton bijih nikel dengan komposisi Nikel (Ni) 20 ppm; Cobalt (Co) 15ppm; Molibdat (Mo) 10 ppm dan Besi sebagai besi oksida (FeO) 55 ppm 2. Tahun 2006 Produksi 1,5 juta ton dengan komposisi seperti pada tahun pertama. 3. Tahun 2007 produksi 2 juta ton dengan komposisi seperti pada tahun pertama 4. Tahun 2008 produksi 1,5 juta ton dengan komposisi Ni 25 ppm; Co 20 ppm; Mo 15 ppm dan sisanya adalah besi.
.. 1 ppm artinya adalah = .. = ppm = part per million =
Variabel Random (V.R)
Variabel random adalah variabel dimana dapat diambil suatu kejadian dari beberapa kemungkinan. Misalnya kemungkinan untuk mendapatkan V.R. x adalah jumlah kemunculan x dibagi jumlah total semua sampel. Distribusi Kemungkinan (Probabilitas) Kemungkinan muncul satu sampel dari seleksi acak digambarkan dengan distribusi probabilitas V.R. Misalnya kemungkinan untuk mendapatkan satu grade dalam interval 2 – 4 % pada suatu endapan mineral atau berapa kemungkinan kita mendapat batu pasir dalam reservoir dengan analisa seismic. Dalam kenyataan distribusi probabilitas tidak pernah diketahui, tapi dapat dihitung dari ekperimen dan kemudian dicoba untuk menentukan distribusi teoritik yang dihasilkannya. Pada data diskrit (ciri-ciri tersendiri) dengan nilai integer, distribusi kemungkinan akan berhubungan dengan setiap kemungkinan harga x yang dinyatakan dengan probabilitas p(x). Probabilitas p(x) selalu positif sehingga p(x) >0 dan jumlah total semua p(x) = 1 untuk harga x dalam universe. Pada distribusi kontiniu, berlaku untuk setiap x, distribusi probability dinyatakan dengan suatu fungsi densitas probabilitas f(x). Probabilitas p(x) selalu positif sehingga p(x) >0 dan jumlah total semua p(x) = 1 untuk semua harga x dalam universe. Pada distribusi kontiniu, berlaku untuk setiap x, distribusi probability dinyatakan dengan suatu fungsi densitas probabilitas f(x). Sehingga probabilitas satu harga yang terletak antara x dan (x + dx) menjadi f(x)dx dimana dx =0. Untuk probabilitas pada x kecil dari x 0 p(x
{≤} = ∫− () = F (x ) Untuk probabilitas x yang berada antara a dan b adalah : { ≤ ≤ } = ∫ () Prop Prop
0
(1) (2)
Sebagai syarat adalah bahwa total
probabilitas sama dengan satu
(3) ∫− () = 1 Istilah probabilitas adalah probabilitas ∞ , ℎ X dan komulatifnya ditulis F(x ), sehingga dapat ditulis dimana F(- ∞) = 0 dan F (+ ∞) =1 (4) sehingga,
0
0
Pada grafik distribusi frekuensi karakter populasi mempunyai beberapa ciri dalam statistik yaitu : harga rata-rata, median, dan modus. Nilai x rata-rata Harga x rata-rata dari semua data didefinisikan sebagai berikut : Rata-rata X =
∑
(5)
Harga rata-rata merupakan harga prediksi x dalam populasi atau ditulis ekspektasi E (x) = x Median Median adalah nilai yang terletak ditengah pada ruang distribusi dimana kumpulan harga tersebut diurut dari yang kecil menuju ke yang besar. Jadi untuk jumlah data yang ganjil dan genap masing-masing median M-nya adalah :
+; n = ganjil + ] 2 ; M = [ X + M=
n/2
n = genap
(6)
Modus
Mode (modus) merupakan harga x dengan frekuensi kemunculannya paling besar dari semua harga data x Modus = L + (
) c +
Dimana L = tepi bawah frekuensi kelas modus d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya c = panjang kelas modus Mid- range Harga mid-range adalah perkiraan harga pertengahan antar harga maximum dengan harga minimum. Midrange = ½(Max + Min) (7) Nilai midrange ini dapat digunakan juga untuk mendekati harga ratarata x atau untuk melihat apakah distribusi harga x semetris dengan x rata-rata sebagai sumbu tengahnya. Bagi data yang semetris dengan x rata-rata sama dengan midrange. Bahan Latihan : Tabel 1. Kandungan Ni untuk masing masing blok A,B,C,D,E dan F BLOK % Ni A 2,0 2,0 2,1 2,1 B 2,2 2,3 2,2 2,3 C 2,3 1,9 2,1 2,3 D 2,2 2,3 2,3 2,3 E 2,7 2,7 2,6 2,5 F 2,0 1,9 2,2 2,0 G 2,3 2,4 2,4 2,4 Tentukan : Mean, Median, Modus dan Midrange data dalam tabel. Distribusi data Distribusi data dalam grafik distribusi frekuensi dapat dibagi menjadi beberapa bagian dengan tiap bagian mengandung jumlah data yang sama yaitu sebagai berikut : a. Quartile (kwartil)
Jajaran datadibagi menjadi 4 kelompok yang sama banyaknya dengan demikian disebut kwartil dengan harga batas terletak pada jumlah komulatif relative q 1 = 0,25; q 2 = 0,5 dan q 3 = 0,75 b. Deciles (desil) Jajaran data dibagi sepuluh dengan harga batas terletak pada jumlah komulatif relative d1, d2, ……………. D 9 = 0,1,0,2 ………, 0,9 c. Persentil Jajaran data dibagi seratus bagian yang sama jumlahnya sehingga batasnya terletak pada haerga p 1,p1 …………….p99 = (0,01,0,02, ……. 0,99) 2.2 Besaran Dispersi Untuk penyebaran, variabilitas atau disperse suatu distribusi kemungkinan digunakan antara lain : a. Jangkauan yang berarti beda antara nilai maximum dengan minimum b. Simpangan rata-rata yaitu ekspektasi harga mutlak selisih x dengan meannya yaitu E( X 1 – X ) c. Variansi δ2 d. Standar deviasi δ Untuk mengetahui penyebaran harga sekitar mean digunakan deviasi standar s yang dihitung dari sampel
(−) S = ∑
(8)
Pada keadaan populasi bersifat acak maka rata-rata dari (xi – x) sama dengan 0. Kalau sifat penyebarannya data diperlihatkan dengan menggunakan nilai mutlak I x i – xrt I maka analisa akan mengalami kesulitan diantaranya adalah karena turunannya tidak kontiniu di x = x rt. Dengan demikian maka sering dipilih parameter standar deviasi s atau variansi s2. Dari populasi dengan distribusi probabilitas kontiniu f(x) maka dapat dihitung standar deviasi sebagai berikut ;
δ =
∫− () ∫()
(9)
Dimana m adalah harga rata-rata populasi. Satuan standar deviasi s dan δ sama dengan satuan dari variabel x. sebagai contoh bila asli dinyatakan dalam satuan (%) maka satuan vareansi adalah (%)2. Bila harga x hampir sama atau tidak mempunyai variansi harga yang besar maka harga s akan kecil. Pada keadaan jumlah data terbatas maka s digunakan sebagai estimator untuk δ dan harga xrt sebagai estimator untuk m. Karakterisasi distribusi Distribusi frekuensi n sampel seperti pada gambar 1, dapat ditransformasi menjadi distribusi probabilitas dengan membagi frekuensi kemunculan dengan n. Beberapa contoh histogram sampel dengan beberapa bentuk (pola) diperlihatkan pada gambar 2 berikut :
%
X
Parameter kecenderungan sentral dapat dilihat dari harga rata-rata x pada persamaan 5. Xrt = 1/n Dari teori probabilitas harga rata-rta dapat dirumuskan dengan :
∑=
m=
∫− ()
(10)
Harga m merupakan harga ekspektasi dari x dan ditulis m = E(x) (11) seperti yang telah dinyatakan diatas bahwa harga rata-rata x adalah estimator dari m kecuali untuk kasus dimana terjadi harga sangat (ekstrem) besar (kasus emas) maka perlu menggunakan t-estimator. Bila “expected value” X, E(x) = m maka estimator tersebut disebut “unbiased” tidak ada kesalahan sistematik. Persamaan 9 dapat ditulis menjadi variansi δ2 = ∫(x-m)(x-m)f(x)dx
(12)
untuk mendapatkan estimator yang “unbiased” persamaan 8 dibagi dengan (n-1)
(− rt)(−rt) s = n−
(13)
Dan persamaan 12 dapat ditulis dengan notasi δ2 = E (x-m)(x-m) Variansi dapat ditulis
(14)
2
(− rt)(−rt) = S = n− 2
n
∑ - ( ∑ )/n ( n-1 )
Tabel 2 Data Kandungan Cromium (Cr) dalam ppm No Cr( ppm) 1 205
Xi2 42025
(15)
2 3 4 5
255 195 220 235 = 1110
∑
65025 38025 48400 55225 2 =248700
∑
∑ = 222 (∑ ) =1232100 − (∑) ∑ S =∑ (−) = 5 x 248700-1232100 : 20 S = √ = √570 - S = 23.88 X =
2
2
2
Arti s terhadap nilai (ppm) Cr adalah sebagai berikut dimana pada range harga x : X S = Kecil
±
Arti s terhadap nilai (ppm) Chromium (Cr) adalah sebagai berikut dimana pada range harga x : X s = 222 + 23.88 = 245.88 222 – 23.88 =198.12 Range 198.12 – 245.88 Maka 60 % pengukuran atau data akan jatuh dalam harga range tersebut. Sedangkan untuk range harga x:besar
±
±
X 2s = 222 + 47,76 = 269,76 222 – 47,76 = 174,24 Maka 100 % harga data akan berada dalam range tersebut, namun ketepatan harga x menjadi menurun karena range harganya makin besar.
Kesimpulan : sebagai kesimpulan dari pengertian daerah penerimaan adalah dengan range besar akan memberikan ketepatan prediksi akan rendah. Tetapi sebaliknya dapat dikatakan bahwa dengan range kecil confidence level (tingkat kepercayaan) menjadi tinggi. Blok A ppm)
(Nikel dlm Blok B (Nikel dalam Blok C (Nikel dalam ppm) ppm) 100 95 80 65 70 95 79 90 105 110 55 58 80 70 80 66 85 95 75 102 45 50 60 75 40 50 35
1. Tentukan harga range masing masing blok dan beri kesimpulan. 2. Blok A seluas 100 ha; Blok B seluas 75 ha dan Blok C seluas 150 ha Hitung berapa cadangan nikel masing masing blok jika kedalam bor rata-rata 10 meter dan berat jenis batuan rata-rata = 6,5 2.3. HUBUNGAN DUA VARIABEL Hubungan dua variabel yang dapat disebut variabel dua dimensi (2D) diperlihatkan oleh variansi gabungan yang disebut sebagai kovariansi (covariance). Kovariansi dihitung dari kedua harga variabel tersebut terhadap meannya (rata-rata) masing-masing
Cov =
∑( )( ) n-1
∑ ∑ ∑
=n
cov
n(n-1) Selanjutnya koefisien korelasi r adalah rXY = cov
xy ,
→ syarat -1 ≤ r ≤1
SxSy
Besarnya korelasi antara variable x dan y dinyatakan dengan koefisien korelasi r yang mempunyai harga dari -1 sampai dengan 1 Contoh :
Xi2
Ni (ppm)
Tabel 2.3 Hubungan Ni dengan Co Co (ppm) Yi2
Xi
Yi
205
130
255
165
195
100
220
135
235
145
∑
∑
2
∑
∑
Harga rata-rata X dan Y
∑ ∑ ∑
Cov (xy) = = n
= 537.5
n(n-1) Hubungan X dan Y dapat dinyatakan dengan koefisien korelasi (r)
XiYi
2
∑
r =
()
- -1 ≤ r ≤ 1 = 0.95
Latihan Hitunglah koefisien korelasi r antara panjang dan lebar dari brachiopoda, dari tabel berikut Tabel 2.4 Panjang dan lebar dari 6 sampel Brachiopoda Panjang (mm)
Lebar (mm)
18,4
15,4
16,9
15,1
13,6
10,9
11,4
9,7
7,8
7,4
6,3
5,3
Sebagai petunjuk buatlah tabel X i
Panjang (xi) 18,4 16,9 13,6 11,4 7,8 6,3
∑
Xi2
Xi2
∑
Yi
Yi2
XiYi, kemudian hitung koefisien korelasi
Lebar (yi) 15,4 15,1 10,9 9,7 7,4 5,3 2
∑
Yi2
∑
xiyi
2
∑ ∑ ∑
Cov (xy) = = n
n(n-1)
cov = 19.47 sx = 4.84; s y= 4.08
r=
.4 = 0.99 4.4. 4.
Syarat -1 ≤ r ≤ 1. Kesimpulan : ada korelasi sebesar 99 %
∑
2.4 TEST Z (KURVE NORMAL) Standar Normal Z dihitung dengan rumus Z1 =
−
Didapat distribusi frekuensi dengan unit standard deviasi s dan mean, Z sama dengan nol. Misalnya pada suatu distribusi frekuensi komposisi kandungan Ni mempunyai standar deviasi : X mean = 14,2 dan S = 4,7. Maka berapa probabilitas ditemukan Ni lebih kecil dari 3 %. Ketelitian 100 % Z1 =
,−4, = -2,4 (LIHAT TABEL KURVE NORMAL Z) 4,
Dari tabel probabilitas kumulatif untuk distribusi normal diperoleh F(-2,4) = 0,0082 Dengan demikian probabilitas ditemukannya Ni dengan kandungan ≤ 3 % adalah cukup kecil yaitu mendekati nol. Di coba cari probabilitas ditemukan kandungan Ni ≥ 20 % Z2 =
,−4, = 1,2 (LIHAT TABEL KURVE NORMAL Z) 4,
F(1,2) = 0,8849 Dengan demikian probabilitas diketemukan Ni ≥ 20% adalah 1,0 – 0,8849 = 0,1151. Dengan demikian kemungkinan diketemukan Ni ≥ 20 % adalah 1 diantara 10. 0,1151 x 100 % = 11,51% diketemukan Ni ≥ 20%. Jadi setiap 100 data yang di prakirakan memiliki kemungkinan dari harga Ni tersebut 100 x 11,51/100 = 11 sampel data Sama dengan 1 muncul diantara 10. SOAL . DARI DATA BORING DITEMUKAN KANDUNGAN NIKEL DARI SUATU BLOK KAJIAN SBB SAMPEL Ni dalam % 1 10 2 30
3 4 5 6 7 8 9 10
25 40 14 28 35 5 15 50
Hitung : 1. Deviasi standar dari data tersebut 2. Range harga x nya. Berapa % kemungkinan kemunculan dari data tersebut dengan menggunakan range kecil dan besar. 3. Tentukan probabilitas dengan menggunakan Z test untuk Ni antara 10 dan 20 %; Standar normal z dihitung dengan rumus : Z1 =
– = −. = - 1.07;Z = −. = -0.36 S 4. 4. 2
Probabilitas dari data yg diinginkan antara 10 -20 % terletak pada harga – 1.07 – (-0.36) = 0.1587 – (0.3821) = 0.2234. 10 sampel =22.34 x10/100 = 2 - 3 sampel Didapat distribusi frekuensi dengan unit standar s dan mean pada z sama dengan nol. Misalnya pada suatu distribusi frekuensi komposisi kandungan Ni mempunyai harga mean dan standar deviasi : x = 14,2 δ = 4,7 Maka berapa probabilitas ditemukan Ni lebih kecil dari 3 % Z=
,−4, = -2,4 4,
Dari tabel probabilitas komulatif untuk distribusi normal diperoleh
F(-2,4) = 0,0082 Dengan demikian dapat dikatakan bahwa probabilitas ditemukan kandungan Ni < 3% adalah cukup kecil yaitu mendekati nol. Kalau dicari beberapa probabilitas ditemukan kandungan Ni > 20%, maka dihitung lebih dulu : Z =
,−4, 4,
= 1.2. Dengan menggunakan tabel probabilitas komulatif z diperoleh : P(Z > 1,2) = 1,0 – P(1,2) = 1,0 – 0,8849 = 0,1151 Dengan demikian kemungkinan ditemukannya kandungan Ni > 20% adalah 1 dalam 10 sampel
LATIHAN 2. Dari hasil analisa geokimia diperoleh data seperti dalam tabel berikut Data sampel (n) Konsentrasi emas(Au) dalam batuan (ppm) 1 25 2 10 3 5 4 2 5 15 6 14 7 20 8 22 9 50 10 40 11 35 12 28 13 35 14 2 15 0 Pertanyaan :
1. Tentukan probabilitas kemunculan dengan menggunakan analisa statistik range harga x (kecil & besar) a. X ± S = 20.2 ± 15.2 range harga x antara 5 – 35.4 Probabilitas dg range harga x kecil = 66,6 % b. X ± 2S = 20.2 ± 2(15.2) range harga x antara -10.2 – 50.6. Probabilitas dengan range harga x besar =100 % level of confident adalah 66,6 % 2. Sampel dalam tabel tersebut mewakili daerah 100 ha dan hanya 75 % yang mengandung deposit Au, kedalaman pengeboran 15 m dan berat jenis batuan yang mengandung Au rata-rata 7. Hitung cadangan emas daerah tersebut dalam ton. 100 ha x 75/100 = 75 ha = 75 x 10.000m 2x 15m = 11.250.000 m3 Berat keseluruhan = 7 x 11.250.000 = 78.750.000 ton = 78.750.000 x 1000 kg = 20.2 x 10-6kg/kg x 78.750.000.000 kg =20.2 x 78.750 kg emas = 20.2 x 78.750 kg = 1.590.750 kg/1000 = 1.590,750 ton 3. Kalau harga emas rata-rata Rp. 230.000,- per gram berapa perkiraan nilai ekonomi daerah tersebut 4. Kalau diinginkan ekploitasi emas pada nilai 20 s/d 50 ppm tentukan probabilitasnya dengan menggunakan test z. Z =
−. .
= -0.01
lihat tabel z dengan penyimpangan 0,02
(ketelitian 98 %) = 0.4920 Z=
−. = . = 1.9 lihat tabel z dengan penyimpangan 0,02 = . .
0.9726 .Probabilitasnya = 0.972 – 0.4920 = 0.48 jadi probabilitasnya 48 % Latihan : Tentukan probabilitas ditemukan 10 % < Ni < 20% Z=
−4, = -0,89 4,
P(1.2) = 0,89
P(-0,89) = 0,19 0,70 Dengan demikian kemungkinan kandungan Ni antara 10 % - 20 %, dari 10 sampel kemungkinan muncul 7.
Teorema limit sentral Xx = μ Bila distribusi rata-rata cenderung normal variansinya adalah : S2x = δ2/n standar error dari x adalah :
Se
=
=δ
Sebagai contoh Brachiopoda X untuk 6 sampel adalah 30 mm dan diketahui suatu kelompok populasi braciopoda mempunyai x = 14,2 δ = 4,7 untuk mengetahui apakah 6 sampel tersebut sama dengan kelompok Brachiopoda maka dilakukan perbandingan mean dan S e H1 : μ1 ≠ μ0 Tes hypotesa nol (Ho) tidak ada perbedaan. Ho : μ1 = μ0 Alternatif hasilnya adalah bisa termasuk tipe Brachiopoda atau bertipe lain. Untuk memutuskan apakah H 1 atau H2 yang diterima, maka dilakukan tes Z Z=
X− μ = −
Tabel 2. Kesalahan tipe I α dan kesalahan tipe II β Hipotesa benar Hipotesa diterima Keputusan benar
Hipotesa salah Type II error β
Hipotesa ditolak
Type I error α
Keputusan benar
δ2 = 22,1 δ = 4,7 Hipotesa H0 : μ1 = μ0 H1 : μ1 μ0
≠
Dengan level of significance α = 0,05 Tes Z =
− 4, 4,
= 8,2 dengan menggunakan tabel komulatif
Z untuk α = 0,05 maka Z = 8,2 tidak dapat dibaca karena lebih besar dari 3,4 kita asumsikan harganya = 1 dan harga Z = 1,9 = 0,974 Karena harga Z jatuh pada daerah penolakan dimana 1 =1 (0,994 dibulatkan menjadi 1) (didapat dari tabel z dengan z=1,9 dan significansi = 0,05 maka dapat dinyatakan bahwa kedua populasi tersebut sama, dengan demikian hipotesa diterima. 2.5. Tes t Pada distribusi student t dibutuhkan derajat kebebasan υ = n adalah jumlah parameter Pada distribusi t harga t dihitung dengan rumus : t=
X− μ = −
X = mean sampel μ0 = Mean populasi n = jumlah populasi S = standar deviasi observasi Se = standar error observasi Contoh :
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sehingga diperoleh :
(%) Cu 13 17 15 23 27 29 18 27 20 24
213 X = 21,3 S2 = 30,46 S = 5,52 Se = 1,74 Test ini mempunyai satu ekor maka disebut one line test α = 5 % dilihat dalam tabel, nilai kritis harga t untuk derajad kebebasan n-1 = 10 -1 =9 & α = 0,05. Harga t = 1,833
H0 : μ1 ≤ 18% H1 : μ1 > 18% Harga t hitung adalah t =
.−. = 1.89. .
Dengan derajat kebebasan υ = 9 dan α = 0,05 maka didapat pada tabel, t = 1.833, dengan demikian data t jatuh dalam daerah kritis sehingga H 0 ditolak. Dengan demikian kandungan prosentasi Cu lebih besar dari 18 % t hit > t tabel H 0 ditolak 2.6. Tes F
Untuk membandingkan distribusi dua popilasi yang berbeda dapat dilihat dari kesamaan atau perbedaan variansi kedua populasi tersebut. Perbandingan tersebut akan dilihat berdasarkan tingkat kesamaan variansi distribusi populasi dengan tes –F adalah sebagai berikut. F = S12/S22 Dengan dua macam derajat kebebasan dari masing-masing populasi yaitu υ1 = n1-1 υ2 = n2 -1 tes statistik dilakukan dengan menguji hipotesa
Hipotesa H0 : S12 = S22 H1 : S12 S22 Misal nilai kritis F untuk υ 1 = 9 dan υ2 = 9 dan level significance α = 0.05 maka dalam tabel F diperoleh harga : F = 3.18 Contoh : Kandungan (%) x pada tabel 6 sebelumnya dibandingkan dengan populasi kandungan (%) X pada tabel 7 berikut ini : Tabel 7 Jumlah sampel X(%) 11 15 12 10 13 15 14 23 15 18 16 26 17 24 18 18 19 19 20 21 189 X = 18,9 S2 = 23.21 S = 4.82
≠
∑
xi189 X = 18.9 S2 = 23.21 S = 4.82 F = S12/S22 = 30.46/23.21 = 1.3 Dengan demikian harga F data lebih kecil dari harga F yang diperoleh dari tabel yaitu 1.3 < 3.18 sehingga hipotesa H0 diterima
ANALISIS REGRESI DAN KORELASI LINIER Persamaan regresi linier sederhana memiliki dua variabel, misalnya x dan y Y=a + bX
2.34
∑−∑ ∑()−(∑)(∑) b= (∑ )–(∑) a=
dengan : b = koefisien arah garis regresi a = intersep n = banyaknya pasangan data semua jumlahan dihitung nilai b dan a untuk data populasi dan produk Contoh Tabel 2.9 Blok
Jumlah pekerja
Jumlah produk Batu bara (ton)
X
Y
XY
X2
1
10
50
500
100
2
20
100
2000
400
3
30
150
4500
900
4
40
200
8000
1600
5
50
250
12500
2500
6
60
300
18000
3600
7
70
350
24500
4900
8
80
400
32000
6400
9
90
450
45000
8100
10
100
500
50000
10000
∑ = 550
∑= 2750
192500
∑ = 38500 2
a=0 b=5 Jadi persamaan garis regresi adalah : Y = 5x Jik produksi 5000 ton/hari berapa tenaga kerjanya ?
KESALAHAN STANDAR SAMPEL ESTIMASI Diperlukan nilai kesalahan standar populasi
s untuk memperoleh kesimpulan regresi.
Nilai kesalahan standar populasi ini merupakan nilai simpangan baku (standard deviation) yang mengukur variasi titik-titik diatas dan dibawah garis regresi populasi. Jika kita tidak mengetahui nilai S, kita mengestimasi dengan Se yaitu kesalahan standard estimasi sampel. Nilai S merupakan suatu simpangan baku secara matematis sbb:
Se =
∑−∑−−∑
2.35
Contoh Soal. Untuk menghitung cadangan Nikkel disuatu lapangan ditentukan dengan persamaan matematik yang di buat dengan berdasarkan data yang diperoleh dari Lab .Geokimia sbb : No
Larutan Standard Ni (dlm ppm)
Absorbsi panjang gelombang pada alat spektrofotometer (nM)
1
0
100
2
1
125
3
2
140
4
3
160
5
4
175
6
5
190
7
6
210
8
7
228
9
8
245
10
9
260
11
10
265
Pertanyaan : 1. Buat persamaan matematiknya : Y = 106.58 + 16,83 X 2. Jika sampel yang berasal dari lapangan rata-rata setelah dianalisa menunjukkan kisaran panjang gelombang (absorbansi) 227. Hitung berapa kandungan nikelnya. X = 7,16 ppm 3. Jika hasil analisa tersebut mewakili daerah 1 hektar kedalaman rata-rata dari bor 10 meter dan berat jenis batuan rata-rata 5. Hitung cadangan nikelnya.
.. = 1 ppm = .. Ppm = part Permillion =
SOAL. Dalam penelitian mengenai banyaknya curah hujan dan jumlah kotoran udara yang terbawa hujan, terkumpul data berikut : Curah hujan, x Zarah terbawa, y (0,01 cm)
(microgram per m3)
4,3
126
4,5
121
5,9
116
5,6
118
6,1
114
5,2
118
3,8
132
2,1
141
7,5
108
a. Cari persamaan garis regresi untuk memprediksikan zarah yang terbawa hujan dari banyaknya curah hujan harian . Persamaan Regresinya adalah Y = 153,17 – 6,32X b. Taksir banyaknya sarah yang terbawa hujan bila curah hujan harian x = 4,8 satuan. Sarah yang terbawa hujan y = 153,17 – 6,32 (4,8) = ----- microgram/m3 c. Hitung kesalahan standar deviasi dari sampel tersebut dengan rumus sbb Se =
∑−∑−−∑
B. REGRESI GANDA Analisis regresi ganda digunakan oleh peneliti, bila peneliti bermaksud meramalkan bagaimana keadaan (naik turunya) variabel depeneden (kriterium), bila dua atau lebih variabel independen sebagai factor predictor dimanipulasi (dinaik turunkan nilainya). Analisis regresi ganda akan dilakukan bila jumlah variabel independennya minimal 2. Persamaan regresi untuk dua predictor adalah ; Y = a + b1X1 + b2X2 Regresi ganda dua predictor No X1 X2 Y X1Y X2Y X1X2 X12 X22 1
10
7
23
230
161
70
100
49
2
2
3
7
14
21
6
4
9
3
4
2
15
60
30
8
16
4
4
6
4
17
102
68
24
36
16
5
8
6
23
184
138
48
64
36
6
7
5
22
154
110
35
49
25
7
4
3
10
40
30
12
16
9
8
6
3
14
84
42
18
36
9
9
7
4
20
140
80
28
49
16
10
6
3
19
114
57
18
36
9
jumlah
1 ∑ 2 1 2 ∑ 12=267 ∑ 1 406 2 60 =40 170 1122 737 182
Y = produktivitas;
X1 = kemampuan kerja pegawai
n = jumlah sampel
X2 = Kemampuan managerial
Untuk menghitung harga-harga a, b 1; b2 dapat menggunakan persamaan berikut ;
∑ = an + b ∑ 1 + b ∑ 2 ………………………………….Pers I ∑ 1 = a ∑ 1 + b1∑ 1 + 2∑ 12 ……………………. Pers II ∑ 2 = a ∑ 1 1 ∑ 1 + b ∑ 2 …………………. Pers III 1
2
2
Dengan Cara Substitusi/dengan eliminasi maka harga-harga a, b 1 dan b2 dapat dicari ! DATA DARI 12 MAHASISWA TEKNIK TAMBANG SBB MAHASISWA NILAI STATISTIK
NILAI INTELEGENSIA
BANYAKNYA MANGKIR KULIAH
Y
X1
X2
1
85
65
1
2
74
50
7
3
76
55
5
4
90
65
2
5
85
55
6
6
87
70
3
7
94
70
2
8
98
65
6
9
81
70
3
10
91
55
4
11
76
50
1
12
74
55
4
A. BUAT PERSAMAAN REGRESINYA B. TAKSIR NILAI STATITISTIK SEORANG MAHASISWA YANG MENDAPAT NILAI INTELEGENSI 60 DAN MANGKIR 4 KALI
UJI KORELASI KORELASI GANDA Ry (1,2) =
b∑ + b ∑ ∑
= 1,08
Koefisien determinasi (R2) = Ry(1,2) Uji signifikasi korelasi ganda
F =
(−−) (−)
F = 1,08 (10-2-1) : 2(1-1,08) = - 47,25 ; F tabel = 1,812
Harga ini selanjutnya dikonsultasikan dengan F tabel, dengan didasarkan pada dk pembilang = 2 dan dk penyebut (10-2-1) = 7 untuk kesalahan 5 % Kesimpulan jika F hitung lebih besar F tabel koefisien korelasi yang diuji adalah signifikan sehingga dapat diberlakukan untuk populasi yang diteliti dengan taraf kesalahan 5 %
BAB III. ANALISA SEQUENCE Pada bab ini dibahas data dari fenomena alam yg berdimensi satu. Oleh karena itu metode untuk membahasnya disebut analisa sekuensi (sequence Analysis). Datanya berupa deret atau seri dalam waktu, jarak atau berupa satu variabel tertentu. Variabel Tersebut dapat berupa temperatur, besar butir, berat, lintasan survey dan sebagainya. Dalam geofisika banyak ditemukan data profil, data bor , data pengamatan dalam waktu. Misalnya data letusan gunung api dicatat dalam skala waktu dengan demikian variabel bebasnya adalah waktu. Data anomaly gaya berat pada profil yang menjadi variabel adarah jarak sepanjang profil. Perubahan densitas terhadap temperatur berarti variabel adalah temperatur. Data pengamatan dapat diperoleh dengan jarak yang sama. Pada proses tertentu misalnya untuk filter, korelasi, konvulsi dibutuhkan data dengan interval sama, oleh karena itu dibawah ini dibahas terlebih dahulu bagaimana merobah data menjadi berinterval sama.
1.1.
Membuat Interval data sama
Interpolasi Linier Posisi dan harga jarak yang sama dihitung dengan cara interpolasi linier dari dua titik terdekat. Harga Y” pada X ” yang dihitung dengan rumus sbb : Y” =
X
(−)("−)=) 1 (−) Y
420
5
424
? (Y”) = 7
430
10
Y” =
(−)(44−4)=) 5 (4−4)
Y” = (5)(4) /10 + 5 = 2 + 5 = 7
1.2.
Runs Test
Runs test adalah metoda yang digunakan untuk data dikotomi yaitu mempunyai dua pilihan misalnya muncul tidak muncul. Urutan kemunculan data tersebut dapat diselidiki apakah pergantian kemunculan kedua bentuk tersebut bersifat acak atau tidak. Untuk melihat acak atau tidak digunakan Runs Test dimana satu run adalah urutan yang datanya sama. Sebagai contoh deret data berikut 13 runs (selang tanpa terjadi pergantian kemunculan), Jumlah data H(n1) = 11 dan jumlah data T(n2) = 9 H T HH T H TTT H T H T HH TT HHH 13 runs n1 = 11 n2= 9 Jumlah rata-rata runs estimasi bersifat acak adalah : υ =
nn 1 +
Variansi harapannya (expected variance-nya) adalah ,
δ2u =
(nn−n−n) (+)(+)(+−)
Z test → Z =
−
dimana u = jumlah runs
HIPOTESA H0 : υ ≤ u H1 : υ > u Banyak runs H0 di tolak
atau H0 : υ ≥ u atau H1 : υ < u sedikit runs H0 di tolak
Tes seperti ini disebut one-tailed karena daerah penolakannya hanya terdapat pada satu ujung
H0 : υ = u H1 : υ ≠ u
ANALISA VARIANSI SATU ARAH MENGGUNAKAN TES F Model anova satu arah (one-way analysis of variance) digunakan untuk pengujian perbedaan antara k rata-rata sampel apabila subyek-subyek observasi atau penelitian ditentukan secara random pada setiap grup atau kelompok perlakuan yang ditentukan. Persamaan linier yang menggambarkan model uji satu arah : Xik = μ + αk + eik Dengan : μ = rata-rta keseluruhan dari semua k populasi klasifikasi. αk = efek klasifikasi dalam k kelompok tertentu darimana nilai data dijadikan sampel. eik = kesalahan random yang tergabung dengan proses sampling Ringkasan anova satu arah dapat dilihat pada tabel 2.8 berikut ini.
TABEL 2.8 PROGRAM ANALYSIS OF VARIANCE (ANOVA) Sumber Variansi
Jumlah kuadrat
(d.f)
Kuadrat rata-
(SS)
rata
∑ SSA= = -
K-1
SSE= SST-SSA
N-K
∑= ∑=
N-1
Di antara criteria
F test
MSA =
−
F=
kelompokkelompok A Diantara dalam
−
MSE =
samples Total variation
SST=
Hipotesis nol dan hipotesis alternative untuk anova satu arah : H0:αk = 0 Ha : αk 10 Jika hipotesis nol benar, berarti : μ1 = μ2 =μ3 = ---= μk
ANOVA (Analysis of Variance) CONTOH 2.8 Ada tiga sampel random dari 3 group tenaga kerja berhubungan dengan penurunan produktivitas sbb ; Kelompok A Kelompok B Kelompok C 7
11
4
8
9
6
7
9
5
9
8
8
9
12
5
11
8 6
Total Besar sampel
T1= 40
T2=60
T3 = 42
N = 18
n1 = 5
n2 =6
n3 = 7
Jawaban ada 10 step (10 langkah) Banyak kelompok sampel k =3 Jumlah data ketiga kelompok sampel N = n1 + n2 + n3 = 5 + 6 +7 = 18 Perhitungan 1. Jumlah nilai masing-masing sampel : T1 = 40; T2 = 60; T3 = 42 2. = 40 + 60 + 42 = 142 3. ( )2 = 20164 4. Jumlah kuadrat masing-masing kelompok :
∑ ∑ ∑
=
+ 4 +
4 + = 1172
+
∑()
5. = 72 + 82 + 72 + 92 +92+112 …..+ 52 + 82 + 62 = 1202 6. Jumlah kuadrat di antara kelompok-kelompok : 7.
(∑) ∑ SSB = - = 1172 – 20164/18 = 51,778 Jumlah kuadrat di dalam kelompok-kelompok : = 1202 – 1172 = 30 SSW = ∑() - ∑
8. Kuadrat rata-rata di antara kelompok-kelompok ; MSB =
−
=
, = 25,889 −
Dengan d.f = K-1 = 3-1 = 2 9. Kuadrat rata-rata di dalam kelompok-kelompok : MSW =
= = 2 − −
Dengan ; d.f = N- K = 15 10. Nilai rasio F didapat dengan : F=
= , = 12,94 (F hitung)
Analisis: 1. Hipotesis H0 = penurunan rata-rata pada setiap populasi sama Ha = penurunan rata-rata pada setiap populasi ada yang tidak sama 2. Nilai kritis d.f diantara kriteria kelompok-kelompok (numerator ) = K -1 = 3-1 =2 d.f kesalahan sampling ( denumerator ) = N- K = 18-3 = 15; α = 0,01 F(2;15;0,01) = 6,36 (dilihat dari tabel F). Harga F tabel = 6,36 3. Nilai hitung ; F = 12,94 4. Kesimpulan Karena nilai Fhitung = 12,94 lebih besar dari nilai F (Tabel)(2;15;0,01) = 6,36 berarti nilai F hitung berada di daerah penolakan H 0. Dengan demikian H0 kita tolak dan menerima Ha. ini berarti bahwa ada penurunan pada setiap populasi terhadap tiga kelompok yang tidak sama.
Contoh : Kandungan Karbonat dalam Batuan (%)
Replikat
SAMPEL 1
2
3
4
5
1
19,2
18,7
12,5
20,3
19,9
2
18,7
14,3
14,3
22,5
24,3
3
21,3
20,2
8,7
17,6
17,6
4
16,5
17,6
11,4
18,4
20,2
5
17,3
19,3
9,5
15,9
18,4
6
22,4
16,1
16,5
19,0
19,1
Tt1 =115,4
Tt2 =106,2
Tt3 =72,9
Tt4 =113,7
Tt5 =119,5
n1 = 6
n2 = 6
n3 = 6
n4 = 6
n5 = 6
Jawab : Banyak Kelompok sampel K = 5 Jumlah data ke lima kelompok sampel : N = n1 + n2 + n3 + n4 + n5 = 30 Perhitungan : 1. Jumlah nilai masing-masing sampel Tt1 = 115,4 , Tt2 = 106,2 , Tt3 = 72,9, Tt4 = 113,7 Tt5 = 119,5 2. ST = 527,7 3. (ST)2 = 278467,29 4. Jumlah kuadrat rata-rata masing-masing kelompok :
∑
13317,16/6 + 11278,44/6 + 5314,41/6 + 12927,69/6 + 14280,25/6 = 2181,227+ 1879,74 + 885,74 + 2154,62 + 2380,04 = 9519,66
∑ = 9519,66 5. S(X)2 = (19,2)2 + (18,7)2 +(21,3)2 + (16,5)2 + (17,3)2 + (22,4)2 +(18,7)2 +(14,3)2 +(20,2)2 +(17,6)2 +(19,3)2 +(16,1)2 +(12,5)2 +(14,3)2 +(8,7)2 +(11,4)2 +(9,5)2 +(16,5)2 + (20,3)2 +(22,5)2 +(17,6)2 +(18,4)2 +(15,9)2 + (19,0)2 + (19,9)2 +(24,3)2 +(17,6)2 + (20,2)2 + (18,4)2 +(19,1)2 = 368,6 + 349,69 + 453,69 + 272,25 + 299,29 + 501,76 + 349,69 + 204,49 + 408,04 + 309,76 + 372,49 + 259,21 + 156,25 + 204,49 + 75,69 + 129,96 + 90,25 + 272,25 + 412,09 + 506,25 + 309.76 + 338.56 + 252,81 + 361 + 396,01 + 590,49 + 309.76 + 408,04 + 338,56 + 364,81 = 9666,03 6. Jumlah kuadrat diantara kelompok-kelompok SSB =
∑ - (ST) /N = 2
9519,66 - 278467,29/30
= 9519,66 – 9282,243 = 237,417 7. Jumlah kuadrat di dalam kelompok-kelompok : SSW = S(X)2 -
∑ = 9666,03 – 9519,66 = 146,37
8. Kuadrat rata-rata diantara kelompok-kelompok : MSB =
= ,4 = ,4 = 59,35 − − 4
Dengan d.f. = K -1 = 5-1 =4 9. Kuadrat rata-rata di dalam kelompok-kelompok : MSW =
= 4, =4, = 4, = 5,85 − − −
Dengan : d.f. = N-K = 30 -5 = 25 10. Nilai rasio F didapat dengan : F =
= , = 10,15 ,
(F hitung)
Analisis : Hipotesis 1. H0 = pengurangan berat rata-rata pada setiap populasi sama
Ha = pengurangan berat rata-rata pada setiap populasi ada yang tidak sama 2. Nilai kritis d.f. di antara kriteria kelompok-kelompok (numerator) = K-1 = 5-1 =4 d.f. kesalahan sampling (denumerator) = N- K = 30 -5 = 25 α = 0,05 F(4;25;0,05) = 2,76 (F Tabel) 3. Nilai hitung . F hitung = 10,15 4. Kesimpulan Karena nilai hitung Fhitung = 10,15 lebih besar dari nilai F(Tabel) (4;25;0,05) = 2,76 maka nilai Fhitung berada didaerah penolakan H 0. Dengan demikian kita menolak H 0 dan menerima Ha
Kerjakan soal ini dengan teliti waktu 30 menit Sekelompok data seperti dalam tabel berikut Komposisi Nikel dalam batuan (dalam %) sbb : NO Ni (%) 1 10 2 20 3 25 4 35 5 40 6 50 7 60 8 70 9 80 10 90 n = 10
Xi2
