Statistika

Bab 1 m o

c r .

k c

i fl .

i c t a

f a

:

e r m b

s t 2 . r m

S u

Statistika Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu melakukan pengolahan, penyajian dan penafsiran data dengan cara membaca dan menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive serta pemaknaannya, dan menghitung ukuran pemusatan, ukuran letak dan ukuran penyebaran data, serta menafsirkannya.

dengan konsep statistika, seperti permasalahan berikut. Selama dua tahun berturut-turut, supermarket mencatat keuntungan setiap bulannya (dalam jutaan rupiah) sebagai berikut. 43, 35, 57, 60, 51, 45, 60, 43, 48, 55, 57, 45, 43, 35, 48, 45, 55, 65, 51, 43, 55, 45, 65, 55. Dalam jangka waktu yang sama, supermarket B mencatat keuntungan setiap bulannya (dalam jutaan rupiah) sebagai berikut. 67, 78, 70, 83, 80, 56, 70, 81, 45, 50, 81, 56, 70, 55, 70, 61, 51, 75, 55, 83, 67, 54, 68, 54. Pada Maret tahun berikutnya, pengusaha supermarket memperoleh keuntungan 75 juta. Sedangkan supermarket B memperoleh keuntungan 84 juta. Pengusaha mana yang berhasil? Untuk mengetahui jawabannya, Anda harus mempelajari bab ini dengan baik.

A. B. C.

Penyajian ata Penyajian ata Statistik Penyajian Data Ukuran menjadi Data Statistik Deskriptif

1

Diagram Alur Untuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikan sebagai berikut. Statistika berhubungan dengan

Data mempelajari

Penyajian

Pengumpulan

Pengolahan

dapat berupa

Tabel

berhubungan dengan

Ukuran Statistika

Diagram disajikan dalam bentuk

Garis

Lingkaran

Ukuran Penyebaran

Ukuran Pemusatan terdiri atas

Mean

Median

Simpangan Rataan Hitung

Ragam

terdiri atas

Modus

Simpangan Baku

terdiri atas

Batang

Ukuran Letak terdiri atas

Pencilan

Jangkauan Antarkuartil

Jangkauan

Desil

Simpangan Kuartil

Tes Kompetensi Kompetensi Awal Awal Sebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal so al-soal berikut. 1

Jelaskan langkah-langkah yang Anda lakukan untuk membuat diagram garis.

2

Urutkan data berikut dari yang terkecil. Kemudian, urutkan lagi dari yang terbesar. Jelaskan pula cara mengurutkan data tersebut.

2

78, 23, 45, 58, 41, 89, 45, 12, 12, 13, 54, 85, 74, 41, 41. 3

Tentukan mean, median, kuartil bawah, dan kuarti kuartill atas dari data data berikut. berikut. a. 8, 7, 7, 9, 8, 6, 7, 8, 9, 6, 7 8, 5, 11, 9, 9, 3, 16 16,, 5, 15 15,, 9, 11, 12, b. 4, 3, 8, 9, 10, 8, 7, 5, 4, 8

Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

A. Pen enya yaji jian an Da Data ta Statistika berkaitan erat dengan data. Oleh karena itu, sebelum dijelaskan mengenai pengertian statistika, terlebih dahulu akan dijelaskan mengenai data.

1. Peng nger erti tian an Dat Datum um dan dan Da Data ta Di Kelas IX Anda telah mempelajari pengertian datum dan data. Agar tidak lupa pelajari uraian berikut. Misalkan, hasil pengukuran berat badan 5 murid adalah 43 kg, 43 kg, 44 kg, 55 kg, dan 60 kg. Adapun tingkat kesehatan dari kelima murid itu adalah baik, baik, baik, buruk, dan buruk. Data pengukuran berat badan, yaitu 43 kg, 43 kg, 44 kg, 55 kg, dan 60 kg disebut fakta dalam bentuk angka. Adapun hasil pemeriksaan kesehatan, yaitu baik dan buruk disebut fakta dalam bentu bentukk kategori. Selanjutnya, fakta tunggal dinamakan datum. Adapun kumpulan datum dinamakan data.

2. Pe Penge ngertia rtian n Popu Populas lasii dan dan Sampe Sampell Misal, seorang peneliti ingin meneliti tinggi badan ratarata siswa SMA di Kabupaten Lubuklinggau. Kemudian, ia kumpulkan data tentang tinggi badan seluruh siswa s iswa SMA di Kabupaten Lubuklinggau. Data tinggi badan seluruh siswa SMA di Kabupaten Lubuklinggau disebut opulasi. Namun, karena k arena ada ad a beberapa kendala seperti keterbatasan waktu, dan biaya, maka data tinggi badan seluruh siswa SMA di Kabupaten Lubuklinggau akan sulit diperoleh. Untuk mengatasinya, dilakukan pengambilan tinggi badan dari beberapa siswa SMA di Kabupaten Lubuklinggau yang apat mewakili keseluruhan siswa SMA di Kabupaten Lubuklinggau. Data tersebut dinamakan ata dengan dengan nilai perkiraan sedangkan sebagian siswa SMA yang dijadikan objek penelitian disebut sampel . Agar diperole diperoleh h hasil yang berlaku berlaku secara umum maka dalam pengambilan sampel, diusahakan agar sampel dapat mewakili populasi. Berikut ini skema pengambilan sampel dari populasi. Populasi Popula si me menca ncakup kup sel seluru uruh h sisw siswa a SMA SMA yan yang g ada ada di Kab Kabupa upaten ten Lub Lubukl ukling inggau gau.. SMA 1 SMA 2 SMA 3 SMA 4 SMA 5 SMA 6 SMA 7

SMA 8

SMA 9

SMA 10

SMA 11

SMA 12

SMA 13 SMA 14 SMA 15 SMA 16 SMA 17 SMA 18

Statistika

3

Sampel dapat diam il dari dari e erapa siswa SMA yang ada di Ka Ka upaten Lubuklinggau yang mewaki li. SMA 2 SMA 5 SMA 7 SMA 10 SMA 14 SMA 17

. Pengumpulan ata

Ingatla Kerapkali data yang Anda peroleh merupakan bilangan desimal. Agar perhitungan mudah dilakukan, bilangan tersebut dibulatkan. Adapun aturan pembulatan sebagai berikut. 1) Ji Jika ka an angk gka a yan yang g dibulatkan lebih dari atau sama dengan 5, pembulatan dilakukan dengan menambah 1 angka di depannya. 2) Ji Jika ka an angka gka ya yang ng aka akan n dibulatkan kurang dari 5, angka tersebut dianggap idak ada atau nol. Sekarang, coba cari di buku petunjuk penggunaan atau tanya ke kakak kelas cara membulatkan bilangan dengan menggunakan kalkulator ilmiah.

Menurut sifatnya, data dibagi menjadi 2 golongan, yaitu sebagai berikut. 1) Dat Dataa kuanti kuantitat tatif if adala adalah h data data yang yang berben berbentuk tuk angk angkaa atau bilangan. Data kuantitatif terbagi terbagi atas dua bagian, yaitu data cacahan dan data ukuran. a) Dat Dataa cacaha cacahan n (data (data disk diskrit rit)) adala adalah h data data yang yang diper diper-oleh dengan cara membilang. Misalnya, data tentang banyak anak dalam keluarga. b) Dat Dataa ukura ukuran n (data (data konti kontinu) nu) ada adalah lah data data yang yang dip diper er-oleh dengan cara mengukur mengukur.. Misalnya, data tentang ukuran tinggi badan murid. 2) Data kual kualita itatif tif adala adalah h data data yang yang bukan bukan berbe berbentu ntuk k bilanga bilangan. n. Data kualitatif berupa ciri, sifat, atau gambaran dari kualitas objek. Data seperti ini disebut atribut . Sebagai contoh, data mengenai kualitas pelayanan, yaitu baik, sedang, dan kurang. Cara untuk mengumpulkan data, antara lain adalah melakukan wawancara, mengisi lembar pertanyaan (questionery), melakukan pengamatan (observasi), atau menggunakan data yang sudah ada, misalnya rataan hitung nilai rapor.

4. Datum Terke erkecil, cil, Datum Datum Terbesar Terbesar,, Kuartil Bawah, Median, dan Kuartil Atas Data berikut adalah tinggi badan 12 anak (dalam cm). 1 4 1 170 1 7 71 172 162 164 168 165 63 160 Dari data data tersebut tersebut Anda dapat dapat mengetah mengetahui ui hal- al berikut. a) Ana Anak k yang yang pal paling ing pen pendek dek tin tinggi gginya nya 160 cm. b) 50% dari dari kedu keduaa belas belas anak anak itu itu tinggi tingginya nya tida tidak k lebih lebih dari dari 165,5 cm. c) 25% dar darii kedua kedua bel belas as anak anak itu itu tingg tingginy inyaa lebih lebih dari dari 169 169 cm.

4


Untuk mengetahui hal-hal tersebut diperlukan statistik lima serangkai, yaitu data statistik x x 1, Q1 Q , Q dan dengan 1 atum ter ecil , Q1= kuartil bawah, Q = me ian, Q3 = kuartil atas, dan datum terbesar ( 1 dan x dapat diketahui). Untuk menentukan datum terkecil dan datum terbesar Anda perlu menyusun data tersebut dalam suatu urutan berdasarkan nilainya, yaitu sebagai berikut. 160 162 163 164 64 165 166 167 168 170 71 172 Amati bahwa setelah data diurutkan Anda dapat menemukan datum terkecil dan datum terbesar dengan mudah, yaitu datum terkecil = 160 cm dan datum terbesar = 172 cm. Jika data yang telah diurutkan itu dibagi menjadi 2 bagian yang sama, diperoleh urutan berikut: 160 162 163 164 164 165 166 167 168 170 171 172

Q Tampak bahwa median membagi data ini menjadi dua bagian yang sama, yaitu enam datum kurang dari median dan enam datum lebih lebih dari median. median. Median untuk data tersebut adalah

=

165  166

= 165,5. Dengan demikian, Anda

2 dapat mengatakan bahwa 50% dari data itu tingginya tidak lebih dari 165,5 cm. Bagaimana menentukan median jika banyak data ganjil? Dari uraian tersebut, dapatkah Anda Anda menduga rumus menentukan median? Cobalah nyatakan rumus tersebut t ersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari tersebut merupakan hal khusus dari hal umum berikut. Misalkan diketahui data terurut x ,, , , ..., x dengan n dengan n = ba bany nyak ak da datu tum. m. 1) 2)

Untu n genap maka mediannya adalah Q Untuk

gan ga njil maka me mediannya ad adalah Q

 



x n

n 2

+1



n+1 2

Jika data yang telah diurutkan dibagi menjadi 4 bagian yang sama, diperoleh 160 162 163 164 164 165 166 167 168 170 171 172

Q1

Q

Statistika

5

Tampak bahwa kuartil membagi data menjadi empat bagian yang sama, yaitu tiga datum kurang dari kuar kuartil til bawa bawah h (Q1), tiga datum antara Q1 an Q , tiga datum antara Q an kuartil atas (Q ), dan tiga datum lebih dari Q3. Kuartil bawah dan kuart kuartil il atas dapat ditentukan, ditentukan, yaitu yaitu 1 8 170 1 3 1 4 = 163,5 dan Q = = 169. Q1 = 2 2 Dengan demikian, Anda dapat mengatakan bahwa 25% dari kedua belas anak itu tingginya lebih dari 169 cm. Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menemukan langkah-langka langkah -langkah h cara menentukan kuartil? Cobalah tentukan langkah-langkahnya dengan menggunakan kata-kata Anda sendiri. Berikut ini adalah langkah-langkah langkah-langkah menentukan menentukan kuartil.

ngat a Statistik lima serangkai, yaitu   kuartil bawah Q    Q kuartil atas Q    n

1.

Data di Data diur urut utka kan n da dari ri da datu tum m terk terkec ecil il ke ke da datu tum m terb terbes esar ar.. x ,, x x x ,, , ..., .

2.

Te n t u k a n kuartil kedua atau median (Q ( Q ) dengan membagi data menjadi dua bagian sama banyak. Tentukan kuartil bawah (Q1) dengan membagi data di bawah Q bawah Q2 menjadi dua bagian sama banyak. Tentukan kuart kuartil il atas (Q dengan membagi data di atas Q menjadi dua bagian sama banyak.

3. 4.

Conto 1.1 Tentukan datum terkecil, datum terbesar, median, kuartil bawah, dan kuartil atas dari data berikut: a. 8, 7, 9, 4, 6, 5, 4 6, 5, 4 b. 9, 8, 7, 9, 4, 6, Jawab: a. Ba Bany nyak ak da data ta ( ) sam samaa den denga gan n 7. Ji Jika ka da data ta in inii diu diuru rutk tkan an dar darii yang terkecil, diperoleh No. Urut Data

x

Nilai Data

4

4

5

6

8

9

• Datum Dat um ter terkec kecil il ada adalah lah 1 = 4. • Datum Dat um ter terbes besar ar ada adalah lah 7 = 9. • Median merupakan datum tengah setelah data diurutkan. Jadi, median (Q2) = x4 = 6. Jika menggunakan rumus Q2 = x 1 2

= x

x4 2

=6

6


Kuar Ku arti till ba bawa wah h (Q1) = median dari 4 4 5 1 Jadi, Q1 = (nilai paling tengah) • Kuarti Kuar till at atas as (Q ) = median dari 7 8 9 3 Jadi, Q2 = 8 (nilai paling teng ngaah) Bany ak d atum ( ) sama d eng an 8 . Jika data d iuru tkan, diperoleh •

b.

No.

rut

Nilai

ata

1

2

ata

6

5

7

8

6

• Datum Dat um ter terkec kecil il ada adalah lah 1 = 4. • Datum Dat um ter terbes besar ar ada adalah lah 8 = 9. Medi Me dian an ti tida dak k da dapa patt di dite tent ntuk ukan an de deng ngan an ca cara ra se sepe pert rtii so soal al (a). Median untuk data genap (n = 8) ditentukan dengan menggu men ggunaka nakan n rum rumus us seb sebaga agaii ber beriku ikut. t.

Q2 = = =

1

 2 1 2 1 2

( x x4 +



x

m a asan Soa

1 2



x 8

1 2



) =

1 2

(6 + 7) = 6,5

Dengan cara yang sama, coba Anda tentukan Q1 dan Q2. Jika Anda menyelesaikannya dengan benar, diperoleh 1 = 4,5 dan Q3 = 8,5.

Hasil dari suatu pengamatan adalah sebagai berikut. 12 11 9 8 9 10 9 12 Median dari pengamatan tersebut adalah .... Jawab: Jawab: Data diurutkan dari yang terkecil. 8 9 9 9 10 11 12 12 Mediannya adalah

= 9,5 Soal PPI 1982

. Jang Jangka kaua uan n Da Data ta,, Ja Jang ngka kaua uan n Antarkuartil, dan Simpangan Kuartil a. Jangkauan Data Jangkauan Jangkau an data atau disebut juga rentang data adalah selisih antara antara datum datum terbesar terbesar dan datum terkecil. terkecil. Jika jangk jangkauan auan data dinotasikan , datum terbesar x dan datum terkecil 1 maka J = x n – x

Jangkauan antarkuartil atau disebut juga re rentang ntang inter inter-adala alah h selis selisih ih kua kuarti rtill atas atas ( ) dan dan kuart kuartil il bawa bawah h (Q1). kuartil ad Jika Ji ka ja jang ngka kaua uan n ant antar arku kuar arti till din dinot otas asik ikan an maka ma ka JK = Q3 – Q1

Statistika

7

50% data

1

JK

2

Gambar 1.1

Perbedaan antara jangkauan data data dan jangkauan antarantarkuartil diperlihatkan pada Gambar 1.1. Dari gambar tersebut tampak bahwa jangkauan antarkuartil merupakan ukuran penyebaran data yang lebih baik daripada rentang sebab JK mengukur rentang dari 50% data yang di tengah. Selain jangkauan dan jangkauan antarkuartil, dikenal pula simpangan simp angan uart uartil il atau rentang semi-interkuartil . Simpangan kuartil (SK ) adalah setengah setengah dari dari jangk jangkauan auan antarkua antarkuartil rtil ( K ). ). S =

1 2

JK = JK =

1

(Q3 – Q Q1

Conto 1. Seorang peneliti mengambil masing-masing 1 kg air dari 20 sungai yang berbeda untuk diuji kadar garamnya. Hasil pengujian (dalam mg) adalah 193 282 243 243 282 214 185 128 243 159 218 161 112 131 201 132 194 221 141 136 Dari data tersebut tentukan: a jangkauan data; jang ngka kaua uan n an anttar arku kuar arti til; l; b. ja pan ngan kuartil. c. simpa Jawab: Data diurutkan hasilnya sebagai berikut: No. Urut Data

x

x

x

Datum

112

128

131

132 136 141

x

x

214

218 221 243

No. Urut

ata

Datum

• • • •

201

x1

6

x1

159

x

x

x

161

185

193

282

282

0

1

243

243

Dat D atum um te terk rkec ecil il ( x x1) adalah 112. Datu Da tum m te terb rbes esar ar ( x xn) adalah 282. 1 Median (Q2) = ( x x + x11) = (193 + 194) = 193,5. 2 10 Kuar Ku arti till ba bawa wah h (Q1) = median dari 1

2

112

=

8

194

5

1 2

128

(

3

131

+ x6) = 5

4

132

1 2

5

136

6

141

7

159

8

161

9

10

185

193

(136 + 141) = 138,5.


•

Kuar Ku arti till at atas as (Q ) = median dari 11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

194

201

214

218

221

243

243

243

282

282

=

1 2

(

15

+ x16) =

1 2

(221 + 243) = 232

Jangka Jang kaua uan n dat dataa ( J J ) J = xn – x1 = 282 – 112 = 170 Jangkaua auan n ant antark arkuar uartil til ( JK b. Jangk JK ) JK = Q3 – Q1 = 232 – 138,5 = 93,5 a.

c.

SK =

1

JK =

b. Pencilan

1

(93,5) = 46,75.

Outlier

Nilai statist statistik ik jangk jangkauan auan ( ) dan jangk jangkauan auan antar antarkuart kuartil il ( K ) dapat digunakan untuk memperoleh gambaran tentang penyebaran data dengan cepat. Untuk keperluan tersebut didefinisikan satu ang ah se ag agai ai er erik ikut ut..

Definisi . Satu langkah ( L L) adalah satu setengah kali panjang jangkauan 1 antarkuartil ( JK ). Secara matematis, ditulis L = 1 JK . JK ). 2

Nilai yang letaknya satu langkah di bawah Q1 dinamakan pagar alam ( PD PD). Adapun nilai yang letaknya satu langkah di atas Q dinamakan pagar luar ( PL PL) PD = Q1 – L L

dan

PL = Q +

Semua data yang nilainya kurang dari pagar dalam atau lebih dari pagar luar disebut encilan. Pencilan adalah datum yang memiliki karakteristik berbeda dari datum lainnya. Dapat dikatakan bahwa pencilan merupakan datum yang tidak konsisten dalam kumpulan data.

Conto 1. Hasil tes matematika dari 20 siswa tercatat sebagai berikut. 70, 68, 71, 68, 66, 73, 65, 74, 65, 64, 78, 79, 61, 81, 60, 97, 44, 64, 83, 56. Jika ada data pencilan, tentukan datum tersebut.

Statistika

9

Jawab: Data setelah diurutkan menjadi 44, 56, 60, 61, 64, 64, 65, 65, 66, 68, 68, 70, 71, 73, 74, 78, 79, 81, 83, 97

Q1 •

Q1 =

•

Q2 =

•

Q3 =

64 + 64 2 68 + 68 2 + 2

Q2

Q3

= 64

•

= Q3 – Q1 = 76 – 64 = 12 JK =

= 68

•

= 1 L = 1 JK =

1

1

2

2

. 12 = 18

= 76

PD = Q1– L = 64 – 18 = 46 PL = Q3 + L = 76 + 18 = 94 Dengan demikian, ada dua pencilan dalam data ini, yaitu 44 dan 97.

Tes Kompetensi Subbab A Kerjakanlah pada buku latihan Anda. 1.

2.

A li li i ng n g in in m em e m be b e li l i s eb eb ot o t ol o l m in in ya ya k wangi. Sebelum transaksi dilakukan, ia meneteskan dua tetes minyak wangi itu pada pakaiannya untuk mengetes keharumannya. Tentukan populasi dan sampelnya.

.

elaska elas kan n apa apa ya yang ng di dima maks ksud ud de deng ngan an da data ta kualitatif dan data kuantitatif.

.

Data ula Data ulanga ngan n nil nilai ai ma matem temati atika ka sis siswa wa kel kelas as XI B sebagai berikut. 5, 55, 52, 50, 78, 80, 85, 86, 80, 55, 75, 80, 48.

Menurutt BPS, Menuru BPS, ba bany nyak ak se seko kola lah h di di set setia iap p provinsi di Indonesia pada tahun 2004/2005 tercatat sebagai berikut.

Selain data tersebut, masih terdapat tujuh data lagi yang belum tercatat akibat datanya terhapus. Akan tetapi, berdasarkan catatan kecil yang sempat terbaca, diketahui bahwa median data setelah ditambah data yang hilang adalah 70,5, dan kuartil bawah data yang hilang adalah 60. Tentukan tujuh data yang hilang itu jika pada tujuh data yang hilang terdapat tiga kelompok data yang setiap kelompok bernilai sama.

48, 476, 91, 43, 39, 119, 33, 139, 493, 398, 547, 128, 708, 61, 25, 55, 16, 55, 30, 34, 56, 51, 39, 134, 21, 26, 24. Dari data itu, tentukan datu tum m te terk rkec ecil il da dan n da datu tum m te terb rbes esar ar;; a. da kuartill bawah, bawah, median, median, dan kuarti kuartill b kuarti atas; jangka gkauan uan dat dataa ja jangk ngkau auan an ant antark arkuar uarti til, l, c. jan dan simpangan kuartil; d. apakah ada data outlier ? Jika ada, tentukan data tersebut.

10

.

elaska elas kan n den denga gan n kat kataa-ka kata ta An Anda da send sendir iri, i, cara mengecek apakah dalam data ada pencilan atau tidak.


B. Pen enya yaji jian an Da Data ta Stat Statis isti tik k Ada dua cara penyajian data yang sering dilakukan, yaitu a) daf afta tarr at atau au ta tab bel el,, b) grafik at atau au di diag agra ram. m.

1. Pen enya yajia jian n Dat Data a dalam dalam Ben Bentuk tuk Tabe abell Misalkan, hasil ulangan Bahasa Indonesia 37 siswa kelas XI SMA 3 disajikan dalam tabel di samping. Penyajian data pada Tabel 1.1 dinamakan penya penyajian jian data Darii tab tabel el 1.1 1.1,, An a apa apatt men menent entuka ukan n ban banyak yak se erhana. Dar siswa yang mendapat nilai 9, yaitu sebanyak 7 orang. Berapa orang siswa yang mendapat nilai 5? Nilai berapakah yang paling banyak diperoleh siswa? Jika data hasil ulangan bahasa Indonesia itu disajikan dengan cara mengelompokkan data nilai siswa, diperoleh tabel frekuensi berkelompok seperti pada Tabel 1.2. Tabel 1.2 dinamakan Tabel Distribusi Frekuensi.

Tabel 1.1 Nilai

Frekuensi

5

5

9 1

1

Jumlah

37

Tabel 1.2. T 1.2. Tabel abel Distribusi Frekuensi Frekuensi Interval Ke Kelas

2. Pen enya yaji jian an Da Data ta da dala lam m Bent Bentuk uk Diagram Kerapkali data yang disajikan dalam bentuk tabel sulit untuk dipa dipa ami. Lain halnya halnya jika jika data tersebut tersebut disajik disajikan an dalam bentuk diagra diagram m maka maka Anda akan dapat dapa t lebih lebi h cepat memaham m emahamii data itu. Diagram adalah gambar yang menyajikan data secara visual yang biasanya berasal dari tabel yang telah dibuat. Meskipun Meskip un demikian, demikian, diagr diagram am masih memiliki memiliki kelemahan, kelemahan, yaitu pada pada umumnya umumnya diagra diagram m tidak dapat dapat memberikan memberikan gambaran yang lebih detail.

urus

Frekuensi

1– 3–4

3

5–

8

7– –10 Jumla

a. Diagram Ba Battang Diagram batang biasanya digunakan untuk menggambarkan data diskrit (data cacahan). Diagram batang adalah bentuk penyajian data statistik dalam bentuk batang yang dicatat dalam interval tertentu pada bidang cartesius. Ada dua jenis jenis diagr diagram am batang, batang, yaitu 1) ia iagr gram am ba bata tan ng ve verrti tik kal al,, dan 2) di diag agra ram m ba bata tang ng ho hori rizo zont ntal al..

Statistika

11

Conto 1.4 Selama 1 tahun, toko "Anggo" mencatat keuntungan setiap bulan sebagai berikut. Tabel 1.3

Keuntungan Toko Toko "Anggo" per Bulan (dalam jutaan rupiah) Bulan ke

1

Keuntungan 2,5

a. b.

2

3

4

5

7

1,8 2,6 4,2 3,5 3,3

8

9

10 10

11

12

,0 5,0 2,0 4,2 6,2

,2

Buatla Buat lah h di diag agra ram m bata batang ng ver verti tika kall dari dari dat dataa ters terseb ebut ut.. Berapak Ber apakah ah keuntu keuntungan ngan ter terbes besar ar yang yang dipero diperoleh leh Toko "Ang "Anggo" go" selama 1 tahun? Kapan Kap an Toko "An "Anggo ggo"" memp mempero eroleh leh keu keuntu ntunga ngan n yang yang sam samaa selama dua bulan berturut-turut?

c.

Jawab: Diagra gram m batan batang g verti vertikal kal dar darii data data ters tersebut ebut,, tampak tampak pada a. Dia gambar berikut.

6 5

n a g n4 u t n u3 e K

2 1 1

b.

c

2

3

4

5 6 Bulan ke

7

8

9

10

11

12

Dari dia Dari diagr gram am ters tersebu ebutt tampa tampak k bahw bahwaa keunt keuntung ungan an ter terbe besar sar yang diperoleh Toko "Anggo" selama 1 tahun adalah sebesar Rp6.200.000,00. Toko "Anggo" memperoleh keuntungan yang sama selama dua bulan beturut-turut pada bulan ke-11 dan ke-12.

. Diagram Ga Garis

Sumber: Koran Tempo, 2005

Gambar 1.2 Grafik nilai tukar dolar terhadap rupiah pada 26 Januari 2005 sampai dengan 1 Februari 2005.

12

Pernahkah Anda melihat grafik nilai tukar dolar terhadap rupiah atau pergerakan saham di TV? Gra fik yang seperti itu disebut diag diagram ram gar garis is. Diagram garis biasanya digunakan untuk meng me ngga gam m ar arka kan n ata ten tentan tang g ke keaa aa aan n ya yang ng erkesinambungan (sekumpulan data kontinu). Misalnya, jumlah penduduk penduduk setiap seti ap tahun, perkembang perkembangan an berat badan bayi ba yi setiap bulan, bulan, dan dan suhu suhu badan pasien setiap jam.


Seperti halnya diagram diagram batang, batang, diagr diagram am garis garis pun memerlukan sistem sumbu datar (horizontal) dan sumbu tegak (vertikal) yang saling berpotongan tegak lurus. Sumbu mendatar biasanya menyatakan jenis data, misalnya waktu dan berat. Adapun sumbu tegaknya menyatakan frekuensi data. Langkah-langkah yang dilakukan untuk membuat diagram garis adalah sebagai berikut. 1) Bua Buatla tlah h suatu suatu koordi koordinat nat (berb (berbent entuk uk bilan bilangan gan)) dengan dengan sumbu mendatar menunjukkan waktu dan sumbu tegak menunjukkan data pengamatan. 2) Gamb Gambarla arlah h titik titik koor koordin dinat at yang yang men menunju unjukka kkan n data data pengamatan pada waktu t . 3) Secar Secaraa berur berurutan utan sesua sesuaii denga dengan n waktu waktu,, hubung hubungkan kan titiktitik koordinat koordinat tersebut tersebut dengan garis lurus. lurus.

Conto 1.

g

2

3

9

Berikut ini adalah tabel berat badan seorang bayi yang dipantau sejak lahir sampai berusia 9 bulan.

8 7 6 5

sia (bulan) Berat Badan ( g)

ratt ra 10

4 3

3,5

4

5,2

6,4

6,8

,5

7,5

8

8,8

8,6

2 1

a. b. c.

Buatlah diagram gar garisnya. Pada Pa da usia usia bera berapa pa bula bulan n berat berat bada badann nnya ya menur menurun? un? Pada Pa da usi usiaa bera berapa pa bul bulan an ber berat at bad badan anny nyaa teta tetap? p?

Jawab: a. Langkah ke-1 Buatlah sumbu mendatar yang menunjukkan usia anak (dalam bulan) dan sumbu tegak yang menunjukkan berat badan anak (dalam kg). Langkah ke-2 Gambarlah titik koordinat yang menunjukkan data pengamatan pada waktu bulan. Langkah ke-3 Secara berurutan sesuai dengan waktu, hubungkan titik-titik koordinat tersebut dengan garis lurus. Dari ketiga ketiga langkah tersebut, tersebut, diperoleh diperoleh diagra diagram m garis dari data tersebut tampak pada Gambar 1.3. b Dari diagram tersebut dapat dilihat bahwa berat badan bayi menurun pada usai 8 sampai 9 bulan. Berat at bada badan n bayi bayi teta tetap p pada pada usia usia 5 sampa sampaii 6 bul bulan. an. Dar Darima imana na c. Ber Anda memperoleh hasil ini? Jelaskan.

0

1

4 5 6 7 8 Usia (Bulan)

9

Gambar 1.3 Berat badan bayi sejak usia 0 bulan–9 bulan

Sumber:: Dokumentasi Penerbit Sumber

Gambar 1.4 Keadaan gizi bayi dapat dipantau dari kartu KMS.

Statistika

13

ugas .

ersama ti tiga or orang teman, catatlah nilai tukar dolar terhadap rupiah selama seminggu. Kemudian, buatlah diagra dia gram m gar s sert serta a analisisnya analis isnya.. Dari diagr diagram am garis tersebut, dapatkah Anda memprediksi nilai tukar untuk hari berikutnya? Hasilnya laporkan dan bacakan di depan kelas. . uatlah ke kelompok ya yang terdiri atas 5 orang. Cari in ormasi ke posyandu posyandu atau dokter spesialis anak, bagaimana cara membaca KMS (kartu menuju sehat). KMS dijadikan acuan untuk memantau apakah gizi seorang balita baik atau tidak. Kamu pun dapat mencari in ormasi terse tersebut but di buku buku atau majalah. Tulis dan kumpulkan. Beberapa perwakilan kelompok membacakan hasilnya di depan kelas.

Observasi: Interpolasi dan Ekstrapolasi Data Anda dapat melakukan observasi terhadap kecenderungan ata yang disaj disajikan ikan pada suatu iagr iagram am gari garis. s. Dari Dari obse observasi rvasi ini, Anda dapat membuat perkiraan-perkiraan dengan cara interpolasi dan ekstrapolasi. Hal ini ditempuh dengan mengganti garis patah patah pada diagram garis menjadi garis lurus. lurus. Interpolasi data adalah menaksir data atau memperkirakan data di antara dua keadaan (misalnya waktu) yang berurutan. Misalkan, dari gambar grafik Contoh 1.7 dapat diperkirakan berat badan bayi pada usia 5,5 bulan. Coba Anda amati grafik tersebut, kemudian tentukan berat badan bayi pada usia 5,5 bulan. Ekstrapolasi data adalah menaksir atau memperkirakan data untuk keadaan (waktu) mendatang. Cara yang dapat ilakukan untuk ekstrapolasi adalah dengan memperpanjang ruas garis terujung ke arah kanan. Misalkan, dari gambar grafik Contoh 1.7 dapat diperkirakan berat badan bayi pada usia 10 bulan. Jika garis lurus sudah ditentukan, ditentukan, Anda dapat menentukan interpolasi data. Untuk ekstrapolasi data, Anda harus berhati-hati. berhati-hati. Menurut diagram garis, berapa kira-kira berat badan bayi pada usia 10 bulan? Berikan alasan Anda.

. Diag agrram Li Lingkaran Untuk mengetahui perbandingan suatu data terhadap keseluruhan, suatu data lebih tepat disajikan dalam bentuk diagram lingkaran. Diagram lingkaran adalah bentuk penyajian data statistika dalam bentuk lingkaran yang dibagi menjadi beberapa juring lingkaran. Langkah-langkah untuk membuat diagram lingkaran adalah sebagai berikut. 1. Bu Buat atla lah h sebu sebuah ah lin lingk gkar aran an pad padaa kert kertas as.. 2. Bag Bagila ilah h lingkar lingkaran an terseb tersebut ut menjad menjadii beberap beberapaa juring juring lingkaran untuk menggambarkan kategori yang datanya telah diubah ke dalam derajat. Agar lebih jelasnya, pelajarilah contoh berikut.

Conto 1. Tabel berikut menunjukkan banyaknya siswa di suatu kabupaten menurut tingkat sekolah pada tahun 2007.

14

ingkat Pendidikan

Banyaknya Siswa

M MA

17 0 2


a b. c.

Buatlah diagra Buatlah diagram m lingkaran untuk data tersebut. tersebut. Berapa Ber apa pers persen en siswa siswa yang yang menye menyeles lesaik aikan an sekol sekolah ah sampa sampaii pada pada tingkat SMP? Berapa Ber apa per persen sen sis siswa wa yang yang men menyel yelesa esaika ikan n sekol sekolah ah samp sampai ai pada pada tingkat SMA?

Jawab: Jumlah seluruh siswa adalah 1.000 orang. Seluruh siswa a diklasifikasikan menjadi 5 katagori: SD = 175 orang, SMP = 600 orang, dan SMA = 225 orang. 175 • Si Siswa SD = × 100% 100% = 17,5% 17,5% 1.000 Besar sudut sektor lingkaran = 17,5% × 360° = 63° 600 • Si Sisw swaa SM SMP P= × 100% = 60% 1.000 Besar sudut sektor lingkaran = 60% × 360° = 216° 225 • Sis Siswa wa SM SMA A= × 100% = 22,5% 1.000 Besar sudut sektor lingkaran = 22,5% × 360° = 81° Diagram lingkaran ditunjukkan pada Gambar 1.5. Persen sentas tasee siswa siswa yang yang menye menyeles lesaik aikan an sekol sekolah ah samp sampai ai pada pada b. Per ting ti ngka katt SM SMP P ad adal alah ah 60 60%. %. Persen sentas tasee siswa siswa yan yang g menye menyeles lesaik aikan an seko sekolah lah sam sampai pai pad padaa c. Per ting ti ngka katt SM SMA A ad adal alah ah 22 22,5% ,5%

SMA 22,5%

SMP 60%

SD 17,5%

Gambar 1.5

3. Tabel Distri Distribusi busi Fr Frekue ekuensi, nsi, Fr Frekue ekuensi nsi Relatif dan Kumulatif, Histogram, Poligon Frekuensi, dan Ogive .

Tabel Distribusi Frekuensi

Data yang beru berukuran kuran besar ( > 30) 30) lebih lebih tepat tepat disajik disajikan an dalam tabel distribusi frekuensi, yaitu cara penyajian data yang datanya disusun dalam kelas-kelas tertentu. Langkah-langkah penyusunan tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut. • Langkah ke-2 menentukan banyak interval ( K K ) dengan rumus "Sturgess" ya yaitu: = 1 + 3, 3,3 lo log n dengan n adalah banyak data. Banyak kelas harus merupakan bilangan bilangan bulat positif hasil has il pembulatan. • Lang La ngka kah h ke ke-3 -3 me mene nent ntuk ukan an pa panja njang ng in inte terv rval al kelas kelas ( ) dengan menggunakan rumus: I =

Ingatla Menentukan banyak kelas interval dengan aturan Sturges dimaksudkan agar interval tidak terlalu besar sebab hasilnya akan menyimpang dari keadaan sesungguhnya. Sebaiknya, jika interval terlalu kecil, hasilnya tidak menggambarkan keadaan yang diharapkan.

J K

Statistika

15

•

•

•

Langka Lang kah h kee-4 4 me mene nen ntu tuka kan n ba bata tass-b bat atas as ke kela las. s. Da Data ta te terk rkec ecil il aruss mer aru merup upaka akan n bat batas as baw bawah ah int interv erval al kel kelas as per pertam tamaa ata atau u ataa te at terb rbes esar ar ad adal alah ah at atas as at atas as in inte terv rvaal kel elas as te terrak akh hir ir.. Langkah ke-5 memasukkan data ke dalam kelas-kelas yang ya ng se sesu suai ai da dan n me mene nent ntuk ukan an ni nila laii fr frek ekue uens nsii se setia tiap p ke kela lass deng de ngan an si siste stem m tu turu rus. s. Menuli Men uliska skan n tur turusus-tur turus us dal dalam am bil bilang angan an yan yang g ber berses sesuai uaian an deng de ngan an ba bany nyak ak tu turu rus. s.

Contoh . Seorang peneliti mengadakan penelitian tentang berat badan dari 35 orang. Data hasil penelitian itu (dalam kg) diberikan berikut ini: 48 32 4 27 43 4 25 41 40 58 1 3 21 42 47 55 60 58 6 44 63 66 28 56 50 21 56 55 25 74 3 37 51 53 39 Sajikan data tersebut ke dalam tabel distribusi frekuensi.

Tabel 1.6 Interval Kelas

urus

Frekuens

1 –25

5

2 –35

3

3 –4 4 –

10

– –75 35


urus

Frekuensi

15–24 25–34

5

35–44 4 – – –7 35

16

Jawab: 1. Jangkauan ( J 58. J ) = m- n = 4 – 16 = 58 2. Banyak kelas ( ) = 1 + 3,3 log = 1 + 3,3 log 35 = 6,095. Banyak kelas dibulatkan menjadi "6". 58 3. Pa Panj njan ang g in inte terv rval al ke kela lass ( ) ad adal alah ah 9 6 . 6 K Panjang interval kelas dibulatkan menjadi "10". Dengan panjang interval kelas = 10 dan banyak kelas ke las = 6, diperoleh tabel distribusi frekuensi seperti pada Tabel 1.6 atau Tabel 1.7 Cara I : Batas bawah kelas pertama diambil datum terkecil. Amati Tabel 1.6. Dari tabel tersebut tampak bahwa frekuensi paling banyak dalam interval 46–55. Artinya, berat badan kebanyakan berkisar antara 46 kg dan 55 kg. Cara II : Batas atas kelas terakhir diambil datum terbesar. Amati Tabel 1.7. Dari tabel tampak frekuensi paling sedikit dalam interval 65–74. Artinya, berat badan antara 65 kg dan 74 kg ada 2 orang. Perhatikan interval kelas yang pertama, yaitu 15–24. 15 disebut batas bawah dan 24 disebut batas atas. Ukuran 15–24 adalah hasil pembulatan, ukuran yang sebenarnya terletak pada 14,5–24,5. 14,5 disebut tepi bawah kelas (batas bawah nyata) dan 24,5 disebut tepi atas kelas (batas atas nyata) pada interval kelas 15–24. Dalam menentukan tepi bawah kelas dan tepi atas kelas pada setiap interval kelas, harus diketahui satuan yang dipakai. Dengan demikian, untuk tepi bawah kelas adalah adal ah batas bawah 1 kelas dikurangi satuan ukuran. Jadi, tepi kelas dari interval 2 kelas 15–24 menjadi 14,5–24,5.


b. Fr Freku ekuens ensii Rela Relatif tif dan Ku Kumul mulati atif f Frekuensi yang dimiliki setiap kelas pada tabel distribusi frekuensi bersifat mutlak. Adapun frekuensi relatif dari suatu data adalah dengan membandingkan frekuensi pada interval kelas itu dengan banyak data dinyatakan dalam persen. Contoh: interval frekuensi kelas adalah 20. Total data seluruh interval kelas = 80 maka frekuensi relatif kelas 20 1 ini adalah  sedangkan frekuensi relatifnya adalah 80 4 1 × 1 % = 25%. 4 Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan rumus rumus frekuensi relatif? Cobalah nyatakan rumus frekuensi relatif dengan kata-kata Anda sendiri. Frekuensi relatif dirumuskan sebagai berikut. rekuensi rekuen si kelas kelas kkee-k

Frekuensi relatif kelas ke-k ke-k = =

anyak dat

Frekuensi kumulatif kelas ke-k adalah adalah jumlah frekuensi pada kelas yang dimaksud dengan frekuensi kelas-kelas sebelumnya. Ada dua macam frekuensi kumulatif, yaitu 1) fre frekue kuensi nsi kumul kumulati atiff "kuran "kurang g dari" dari" ("kura ("kurang ng dari" dari" diamb diambil il terhadap tepi atas kelas); 2) fre frekue kuensi nsi kumu kumulat latif if "lebih "lebih dari dari"" ("lebih ("lebih dari dari"" diambil diambil terhadap tepi bawah kelas). Tepi atas = batas atas +

1 2

satuan pengukuran

Tepi bawah = batas bawah –

1 2

satuan pengukuran

Informations

Contoh 1.8 Dari Tabel 1.6 untuk interval kelas 46 – 55 (kelas 4), hitunglah nsii relatif; a. frekuens b frekuensi kumulatif "kurang dari"; frekuensi kumulatif "lebih dari". c Jawab: Frek ekue uens nsii rel relat atif if ke kela lass keke-4 4 a. Fr frekuens fre kuensii kelas ke-4 = banyak datum b. c

In ormas untu An a



10 35

100%

28, 57%

Frekuensi Frekuen si kumul kumulati atiff "kuran "kurang g dari" dari" untuk untuk inte interva rvall kelas kelas 46 – 55 = 5 + 3 + 9 + 10 = 27 (kurang dari tepi atas kelas 55,5) Frekuensi kumulatif "lebih dari" untuk interval kelas 46 – 55 = 10 + 6 + 2 = 18 (lebih (lebih dari tepi bawah kelas 45,5).

or You Kata istogram berasal dari bahasa Yunani, yaitu histo yang berarti kertas dan gram yang berarti menulis atau menggambar. The root of “histogram” is from the Greek, histo which means tissue, gram which means write or draw. Sumber::www.DrMath.com Sumber

Statistika

17

c. His Histo togr gram am dan dan Pol Polig igon on Fre Freku kuen ensi si Histogram merupakan diagram frekuensi bertangga bertangga yang bentuknya seperti diagram batang. Batang yang berdekatan harus berimpit. Untuk pembuatan histogram, pada setiap interval kelas diperlukan tepi-tepi kelas. Tepi-tepi kelas ini digunakan unntuk menentukan titik tengah kelas yang dapat ditulis sebagai berikut. Titik tengah kelas =

1

(tepi atas kelas + tepi bawah kelas)

Poligon frekuensi dapat dibuat dengan menghubungkan titik-titik tengah setiap puncak persegipanjang dari histogram secara berurutan. Agar Agar poligon "tertutup" maka sebelum kelas paling bawah dan setelah kelas paling atas, masing-masing ditambah satu kelas.

Contoh 1.9 Tabel 1.8 Kela Ke lass In Inte terv rval al

Frek Fr ekue uens nsii

21–30

2

31–40

3

41–50

11

51–60

20

61–70

33

71–80

24

81–90

7 100

Tabel distribusi frekuensi hasil ujian matematika Kelas XI SMA Cendekia di Kalimantan Barat diberikan pada Tabel 1.8. Buatlah histogram dan poligon frekuensinya. Jawab: Jumlah Siswa

30

Histogram

20

Poligon Frekuensi

10

0

10,5 20,5 30,5

40,5 50,5

60,5

70,5

80,5

90,5 100,5

Hasil Ujian

Dari histogram tersebut tampak bahwa kebanyakan siswa memperoleh nilai antara 60,5 dan 70,5. Coba Anda ceritakan hal lain dari histogram tersebut.

18


d. Og Ogiv ive e (Og Ogif) if) Grafik yang menunjukkan frekuensi kumulatif kurang dari atau frekuensi kumulatif lebih dari dinamakan poligon kumulatif Untuk populasi yang besar, poligon mempunyai banyak ruas garis patah yang menyerupai menyerupai kurva sehingga poligon poligon frekuensi kumulatif dibuat mulus, yang hasilnya disebut ogif Ada dua macam ogi yaitu sebagai berikut. a. Ogi Ogiff dari dari frek frekuen uensi si kumu kumulat latif if kura kurang ng dar darii diseb disebut ut ogi ositif b. Og Ogif if dari dari frek frekuen uensi si kumul kumulati atiff lebih lebih dari dari diseb disebut ut ogif negati

Conto 1.1 Tabel 1.9 dan 1.10 berturut-turut adalah tabel distribusi frekuensi kumulatif "kurang dari" dan "lebih dari" tentang nilai ulangan Biologi Kelas XI SMA 3. a. Buatlah ogif positif dan ogif negatif dari tabel tersebut. b. Berapakah jumlah siswa yang mempunyai nilai Biologi kurang dari 85? c. Berapakah jumlah siswa yang mempunyai berat badan lebih dari 40? Jawab: a. Ogif positif dan ogif negatif dari tabel tersebut tampak pada gambar 1.6.

Tabel 1.9 Nilai

< 20,5 < 30,5 < 40,5 < 50,5 < 60,5 < 70,5 < 80,5 < 90,5

Nilai

100

70 60 50 40 Kurang dari (ogif positif )

30 20

Frekuensi

> 20,5 > 30,5 > 40,5 > 50,5 > 60,5 > 70,5 > 80,5 > 90,5

Lebih dari (ogif negatif )

80

0 2 5 16 36 69 93 100

Tabel 1.10

Jumlah siswa

90

Frekuensi

100 98 95 84 64 31 7 0

10 10

b. c.

20

30 40 4550

60 70

80 85 90 100

Nilai ujian

Gambar 1.6

Dari kurva ogif positif, tampak siswa yang mempunyai nilai kurang dari 85 adalah sebanyak 93 orang. Dari kurva ogif negatif, tampak siswa yang mempunyai nilai lebih dari 40 adalah sebanyak 96 orang.

Statistika

19

Tes Kompetensi Subbab B Kerjakanlah pada buku latihan Anda. Buat atla lah h daft daftar ar dis distr trib ibus usii freku frekuen ensi si dar darii 1. Bu data berikut. 79, 15, 90, 84, 48, 84, 76, 89, 78, 60, 43, 74, 62, 88, 72, 64, 54, 83, 71, 41, 67, 81, 98, 80, 25, 78, 75, 64, 10, 52, 76, 55, 85, 92, 65, 41, 95, 81, 77, 80, 23, 60, 79, 32, 57, 74, 52, 70, 82, 36. 2.

Misalk Misa lkan an,, bera beratt bad badan an seo seora rang ng bay bayii yang yang dipantau sejak lahir sampai berusia 9 bulan, menunjukkan data sebagai berikut.

mur (Bulan)

1

erat (kg)

,

a. b.

1 8 15 147 176

,

4,

4,

4,

,

5,

,1

5.

Diagram berikut menunjukan data produksi padi di setiap desa di kecamatan Sukajaya

,

Data ber Data berik ikut ut ada adala lah h data data tin tingg ggii bada badan n dari dari 40 siswa SMA HEBAT, diukur sampai sentimeter terdekat. 1 5 169 151 163

17 170 150 149

159 1 0 167 166

1 3 1 0 168 175

175 1 4 160 158

158 153 150 166

170 154 148 164

170 150 161 167

Buatlah tabel distribusi frekuensinya. Buatlah histogram poligonnya.

4. Data berikut adalah berat badan dari 16 anak (dalam kg). 36 30 28 33 42 32 37 35 32 34 41 32 30 40 32 42 Buatlah diagram batang dari data ter tersebut. sebut. Tentukan pula kecenderungan penyebaran data.

Buatllah di Buat diag agra ram m ga gari ris. s. Pada Pa da us usia ia be bera rapa pa bu bula lank nkah ah bera beratt badannya menurun? Pada Pa da us usia ia be bera rapa pa bu bula lank nkah ah be bera ratt badannya tetap?

c. 3.

,

4

a. b.

155 158 174 159

Desa A 151,2

Desa E

˚

Desa D 72

Desa B 90

˚

˚

Desa C 36 ˚

a.

Tentukan persentase produksi padi yang dihasilkan desa E.

b.

Jika produksi padi yang dihasilkan kecamatan Sukajaya 180 ton, tentukan produksi padi pada setiap desa.

C. Pen Penyaj yajian ian Dat Data a Uku Ukura ran n men menjad jadii Data Statistik Deskriptif 1. Ra Rata taan an Hit Hitun ung g (Mea (Mean) n) Masih ingatkah Anda cara menghitung rataan hitung? Misalnya, seorang guru mencatat hasil ulangan 10 orang siswanya, sebagai berikut. 6 5 5 7 7,5 8 6,5 5,5 6 9 Dari data tersebut, ia dapat menentukan nilai rataan hitung, yaitu 6 8 5 5 9  10

6 55

Jadi, nilai rataan hitungnya adalah 6,55.

20


Secara umum, apabila nilai data kuantitatif tidak dikelompokkan dan dinyatakan oleh 1, , …, (terdapat n buah datum), nilai ra rataa taan n itu itung ng (mean) ditentukan oleh rumus berikut. 

atau

 ... 

x

n

x i

n i =1

Perhitungan nilai rataan hitung akan menjadi lain jika guru tersebut mencatat hasil ulangan 40 orang siswanya sebagai berikut: 3 orang mendapat nilai 4 4 orang mendapat nilai 5 6 orang mendapat nilai 5,5 8 orang mendapat nilai 6 7 orang mendapat nilai 7 10 orang mendapat nilai 8 2 orang mendapat nilai 9 Nilai rataan hitung siswa dapat dicari sebagai berikut: 3 4   4 5  6 5 5

8 6

7 7

10 8  2 9

40

260 40

6 5

Jadi, nilai rataan hitungnya adalah 6,5. Secara umum, apabila nilai-nilai data kuantitatif dinyatakan dengan 1 …, x (terdapat buah datum) dengan setiap nilai datum mempunyai frekuensi f f , …, f maka ma ka ra rata taan an hi hitu tung ng ( ) ditentukan ditentukan oleh oleh rumus rumus berikut. berikut. n

+ x2 +

+ ... + x +

+ ..f

atau

 x i= 1

 i= 1

Conto 1.11 1.

2.

Seorang Seora ng penel peneliti iti menc mencata atatt banyak banyak bayi bayi yang lahi lahirr selama selama seta setahun hun di 20 kecamatan. Hasil pencatatannya disajikan berikut. 13 140 220 19 193 130 158 242 127 184 213 200 131 111 1 0 217 281 242 242 281 192 a. Hi Hitu tungl nglah ah rata rataan an hitu hitung ng (mea (mean) n) data data ters tersebu ebut. t. entukan jangkauan datanya. b. entu en tuka kanl nlah ah ja jang ngka kaua uan n ant antar arku kuar arti til. l. c. Nilai Nil ai rata rataan an hitun hitung g (rata (rata-ra -rata) ta) uji ujian an mate matemat matika ika dari 38 orang orang siswa adalah 51. Jika nilai dari seorang siswa lain yang bernama Rahman digabungkan dengan kelompok itu maka nilai rataan hitung ujian matematika dari 39 orang siswa sekarang menjadi 52. Tentukanlah nilai yang diperoleh Rahman.

Ingatla = rataan rataan hitung hitung dari suatu sampel

Statistika

21

Jawab: Untuk me menye nyele lesai saikan kan soa soall ini, ini, dapa dapatt digun digunaka akan n dua dua 1. a. Untuk cara, yaitu tanpa menggunakan kalkulator dan dengan menggunakan kalkulator kalkulator.. • Tanp anpaa kal kalkul kulato atorr (de (dengan ngan rum rumus) us)::  ..  192 3 800 136  190 20 20

•

Sumber:: www.upload.wikimedia.org Sumber

Dengan kalk Dengan kalkulat ulator or ( x–3600 Pv), taha tahapan pan perh perhitun itungan gan sebagai berikut: 1) ka kalk lkul ulat ator or ON ON"" 2) MODE 3 program SD 3) mas masukka ukkan n dat dataa 136 data 140 data

Gambar 1.8 Untuk data yang banyak, Anda dapat menggunakan kalkulator ilmiah untuk menghitung mean data.

m a asan Soa Jika 30 30 siswa siswa kelas kelas XI XI A mem mem-punyaii nilai rata rata 6,5; 5 punya sisw si swa a kela kelass XI A me memp mpun unya ya nilai rata rata rata 7; dan dan 20 siswa siswa kelas kel as XI A mem mempun punyai yai nila nilaii ra a ra rata ta 8, te tent ntuk ukan an ra rata ta ra a nilai tujuh puluh lima siswa kelas XI tersebut. Jawab

 = =

30

 25

530 = 7,067 7

20 8 7,07

Soal UMPTN 1997

22

192 data 4) tek tekan an tom tombol bol x = 190 Untuk kalkulator jenis lainnya, coba Anda cari informasi cara menghitun menghitung g ean dengan kalkulator tersebut. Jangka gkauan uan dat datany anyaa ada adalah lah:: J = x – 1 = 281 – 111 = 170. b. Jan Setel telah ah dat dataa diu diurut rutkan kan,, dip dipero eroleh leh Q1 = 138 dan Q = 231. c. Se Jangka Jan gkauan uan ant antark arkuar uartil til ada adalah lah JK = Q3 – Q1 = 93. 2. Diketahui: Nila Ni laii ra rata taan an hi hitu tung ng 38 si sisw swaa ad adal alah ah 51 51.. Ni Nila laii ra rata taan an hi hitu tung ng 39 sisw si swaa ad adal alah ah 52 52.. Ditanyakan: Nilai uj Nilai ujia ian n ma mate tema mati tika ka ya yang ng di diper perol oleh eh Ra Rahm hman an.. Pengerjaan: Misalkan, nilai ai uj ujia ian n ma matem temat atik ikaa dar darii si siswa swa ke-i dengan i = 1, 2, ..., 38 xi = nil = nilai nilai uj ujia ian n ma mate tema mati tika ka ya yang ng di dipe pero role leh h Ra Rahm hman an 39 Dengan Denga n me meng nggu guna naka kan n ru rumu muss ra rata taan an it itun ung, g, be berl rlak aku: u:  ...  38 51 .... (1) 38  ...  39 .... (2)  52 39 Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh 51 38  9 52  x39 = 52(39) – 51(38) = 90 39 Jadi, nilai ujian matematika yang diperoleh Rahman adalah 90.


. Mengh Menghitu itung ng Rat Rataan aan Hit Hitung ung den denga gan n Menggunakan Rataan Hitung Sementara Selain menggunakan rum rumus us di Subbab C.1, rataan ra taan hitung m a a s a n Soal dapat pula ditentukan dengan menggunakan rataan hitung sementara ( s). Untuk kumpulan data berukuran besar, Perhatikan data berikut. nilai ujian 3 4 5 6 7 8 9 biasanya rataan hitung ditentukan dengan menggunakan frekuensi 3 5 12 17 14 6 3 rataan hitung sementara sebab apabila dihitung dengan rumus Seorang siswa dinyatakan di Subbab C.1, perhitungannya akan rumit. Langkah pertama dalam menentukan rataan hitung lulus jika nilai ujiannya lebih tinggi dari nilai nilai ratarata- ata dengan menggunakan rataan hitung sementara adalah me- dikurangi 1. Dari data di atas, nentukan rataan sementara dari nilai tengah salah satu kelas yang lulus adalah interval. Kemudian, semua nilai tengah pada setiap kelas Jawab: Jawab: interval dikurangi rataan hitung sementara tersebut.  x Setiap hasil pengurangan tersebut disebut simpangan x  terhadap rataan rataan hitun hitung g sementa sementara ra itu itu ( ). Adapun Adapun rumus untuk f   mencari rataan hitung sementara adalah sebagai berikut. 

=

=

Dalam hal ini

i s

= rekuensi kelas ke= rataan rataan hit hitung ung sem sement entara ara d = si simp mpan anga gan n dar darii tit titik ik te teng ngah ah ke kela lass keke-ii dengan rataan hitung sementara. s





 7

0

= 6,07 Siswa dinyatakan lulus jika nilainya lebih dari ,07 – 1 = 5,07. Jadi, jumlah yang lulus adalah = 17 + 14 + 6 + 3 = 40 orang. Soal Sipenmaru 1985

Contoh 1.1 Tabel 1.11 menunjukkan hasil ulangan Fisika dari 71 siswa Kelas XI SMA Merdeka. Tentukanlah Tentukanlah rataan hitung dengan menggunakan rataan hitung sementara. Jawab: Lengkapilah Tabel 1.11 dengan langkah-langkah sebagai berikut. entukan ukan nil nilai ai tenga tengah h dari dari setiap setiap kela kelass sepert sepertii beriku berikut. t. 1. Tent batas bawah bawah kelas + batas batas atas kelas kelas 2 2.

3.

Pilih nilai Pilih nilai ten tengah gah dari dari sua suatu tu kela kelass sebaga sebagaii rataa rataan n sement sementara ara.. Misaln Mis alnya, ya, ki kita ta pil pilih ih ra rataa taan n se semen menta tara ra ada adala lah h ni nilai lai te tenga ngah h keke-6. 6. 65  69 Jadi, s 67 2 Untuk Unt uk setia setiap p kelas, kelas, tent tentuka ukan n simpan simpangan gan nila nilaii tengah tengahnya nya terhadap x , yaitu d = xi –


Frekuensi

40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 0– 4 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 85 – 89 90 – 94

Statistika

3 4 6 8 10 11 15 4 2 2

23

Hasilnya tampak pada tabel berikut. Kelas Interval

ilai Tengah ( x x )

d

f d

40–4

4

–25

–75

47

–20

–80

–1

–

–10

–80

–

–

45–49

4

0– 55–59

8

0–

1

57

65–69

67

70–74

15

72

5

5–7

5

1

80–84

4

82

5–8

15

7

60 4

0–

25

50

=

=–

4.

Ten entu tuka kan n ha hasi sill ka kali li d i dan

5.

Hitung x dengan rumus x x

x 

 





i

x

90 71

. i



 65, 73

. Mod Modus, us, Med Median ian,, Kuart Kuartil, il, dan Des Desil il a. Modus (Mo) Seorang guru ingin mengetahui nilai manakah yang paling banyak diperoleh siswanya dari data hasil ulangan matematika. Tentunya, ia akan menentukan datum yang paling sering muncul. Misalnya, data hasil ulangan 10 orang siswa sebagai berikut 7 4 6 5 7 8 5,5 7 6 7 Data yang paling sering muncul disebut odus. Modus dari data itu adalah 7 sebab nilai yang paling sering muncul adalah 7. Modus mungkin idak ada atau atau jika jika ada mod modus us tidak tunggal (lihat Contoh 1.16). Jika data yang diperoleh berukuran besar, data perlu dikelompokkan agar penentuan modus mudah dilakukan. Modus dari data yang dikelompokkan dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut. o= L

24



i



d

d +

2




dengan L = batas bawah bawah nyata nyata (tepi (tepi bawah) bawah) dari modus = selisih antara frekue frekuensi nsi dari dari kelas kelas 1 mengandung modus dan frekuensi dari yang mendahuluinya (sebelumnya). = selisih antara frekue frekuensi nsi dari dari kelas kelas mengandung modus dan frekuensi dari berikutnya = int interv erval al kelas/p kelas/panj anjang ang kelas kelas..

kelas kelas yang ya ng kelas yang ya ng kelas

Telah Anda ketahui modus adalah datum yang paling sering muncul. Prinsip ini digunakan untuk menentukan kelas modus pada data yang dikelompokkan. Kelas modus adalah kelas yang frekuensinya paling banyak.

Contoh 1.13 1.

2.

Tentukan modus dari data berikut ini. a. 45, 50, 50, 64, 69, 70, 70, 70, 75, 80 b. 50, 65, 65, 66, 68, 73, 73, 90 c. 35, 42, 48, 50, 52, 55, 60 Tabel 1.2 menunjukkan hasil ulangan matematika dari 71 siswa Kelas XI SMA Bhinneka. Tentukan modus dari data tersebut. ter sebut.

Jawab: 1. a. Oleh karena nilai 70 muncul paling banyak (yaitu tiga kali muncul), modusnya adalah 70. b. Oleh karena nilai 65 dan 73 muncul paling banyak (yaitu dua kali muncul), modusnya adalah 65 dan 73 (tidak tunggal). c. Data 35, 42, 48, 50, 52, 55, 60 tidak mempunyai modus (mengapa?). 2. Oleh karena kelas ke-7 mempunyai frekuensi terbesar (frekuensinya 15) maka kelas ke-7 merupakan kelas modus. i = 44,5 – 39,5 = 5 69,5 (tepi (tepi bawah bawah kelas) L = Batas bawah nyata kelas ke-7 = 69,5 d 1 = 15 – 11 = 4 d 2 = 15 – 6 = 9


Frekuensi

40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 0 – 74 5 – 79 80 – 84 85 – 89 0 – 94

2 2 6 8 10 11 15 6 4 4 3

 d 1   Jadi, Mo  L  i   d  d  1 2  4   = 69,5 + (5)   4  9 

= 69,5 + 1,54 = 71,04 7 1,04 Cobalah tentukan nilai modus tersebut dengan menggunakan kalkulator.. Apakah hasilnya sama? kalkulator

Statistika

25

. Me ian an Kuartil Dari data kuantitatif yang tidak dikelompokkan dan dinyatakan oleh x1, x , …, xn, (dengan x1 < x < … < n) untuk yang berukuran besar (yang dimaksud n berukuran besar yaitu n ≥ 30) maka nilai ketiga kuartil, yaitu Q1 (kuartil bawah), (median), dan Q (kuartil atas) ditentukan dengan rumus berikut. •

Q =

1 4

Q =

•

n 

1 2

Q =

•

n 1

3 4

n 

Contoh 1.14 Tentukan median, kuartil berikut. 67 86 77 63 79 89 75 103 81 66 78 88 72 96 78

bawah, dan kuartil atas dari data 92 72 95 87 93

75 83 72 85 82

70 74 63 67 71

Jawab: Urutkan data dari kecil ke besar hasilnya sebagai berikut. No. Urut Data ( xi)

2

3

4

5

8

9

10

63 63

66

67

67 70 71 72

72

72

No. Urut Data ( xi) 11 12

13

14

15 16 17 18

19

20

74 75

75

77

78 78 79 81

82

83

No. Urut Data ( xi) 21 22

23

24 25 26 27 28

29

30

87

88 89 92 93 95

96

103

Nilai Data

Nilai Data

Nilai Data

•

1

85 86

Kuartil bawah (Q1) = x 1 4

n1

= 71  •

Median (Q2) = x 1 2

n1

= 78  •

Kuartil atas (Q3) = x 3 4

 x1 2

1 2

4

3 4

 301

7

3  x 3 = x7   x8  x7  7

 72  71  71

 301

x

15

4

4

3 4 1

1

 x15   x24  x15  2

2

 78  78  78

n1

= 87 

26

 x1

6

 x3 4

1 4

301

x

23

1

1

 x23   x24  x23  4

4

88  87  87

1 4


Untuk data yang dikelompokkan, nilai median ( Me) dan kuartil kuart il ( ) ditentu ditentukan kan denga dengan n rumus rumus sebaga sebagaii beriku berikut. t. 1  i 4

•

n





1



ngat a . .

= median pada dan adalah sebagai indeks. yang berdiri sendiri adalah sebagai panjang kelas. 2

i 2

•

•





3  n  i  4  





dengan: L = batas batas bawah bawah nya nyata ta dari dari kela kelass Q jumlah ah frekuen frekuensi si kelas-ke kelas-kelas las sebelum sebelum kelas kelas F = juml kuartil kefrekuensi kelas kuartil keban nya yak k dat dataa n = ba = pan panjan jang g kelas/ kelas/int interv erval al kelas kelas

Conto 1.1 Tentukan median, kuartil bawah, dan kuartil atas dari data pada Tabel.1.12.

Interval Kelas

Jawab: Kelas Interval

Frekuensi

40 – 44 45 – 4 0– 4 55 – 5 0– 4 – – 5–7 0– 4 5–8 0– 4

Q  Q Q

Q1 = 4

Tabel 1.12

1

1 4

711

Frekuensi Kumulatif

1

4

18

Frekuensi

40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 85 – 89 90 – 94

2 2 6 8 10 11 15 6 4 4 3

.

Jadi, kelas Q1 ada di kelas ke-4 (kelas 55 – 59)

Q2 = 2

n1

 711

3

.

Jadi, kelas Q2 ada di kelas ke-6 (kelas 65 – 69)

Statistika

27

Q =

1

4

4

x4.

711

Jadi, kelas 3 ada di kelas ke-7 (kelas 70 – 74) Dengan demikian, 1, 2, Q3 dapat ditentukan sebagai berikut.

1

n

F



i

Q

5

= 54,

75

8

1   i  2   = 64 5 

= 69 5 

1 64, 5  5 2

 5

11

  





11





5 = 64,5 + 3,4 = 67,9 

3



   

 69, 5  5

14, 25

15



 15

  

59 34



   i  4  

Q

1      54, 5  5  4 



5 = 69,5 + 4,75 = 74,25

c. Desi

ugas Coba bersama kelompok belajar Anda selidiki, mengapa untuk menentukan desil, banyak data (n) harus lebih besar dari atau sama dengan 10 (n ≥ 10). Tulis Tuliskan kan hasil penyelidikan, kemudian kumpulkan kepada guru Anda.

Untuk data sebanyak dengan n ≥ 10, Anda dapat membagi data tersebut menjadi 10 kelompok yang memuat data sama banyak. Ukuran statistik yang membagi data (setelah diurutkan dari terkecil) menjadi 10 kelompok sama banyak disebut desil . Sebelum data dibagi oleh desil, data harus diurutkan dari yang terkecil. Oleh karena data dibagi menjadi 10 kelompok sama banyak maka didapat 9 desil. Amati pembagian berikut. xmin

D1

D2

D

D4

D

D6

D7

D8

D

xmak

Terdapat 9 buah desil, yaitu desil pertama( D D1), desil kedua ( D D ), ..., desil kesembilan ( D D ). Letak desil ditentukan dengan rumus berikut. Letak ( D Di ) = data ke-

i n 10

1

atau D atau D =

Dala Da lam m ha hall ini ini = 1, 2, 3, ... ...,, 9 da dan n

28

i n



10

= ba bany nyak ak da data ta..


Contoh 1.16 Tentukan desil ke-1 dan desil ke-5 dari data berikut. 47, 33, 41, 37, 46, 43, 39, 36, 35, 42, 40, 39, 45 Jawab: Data setelah diurutkan menjadi 33, 35, 36, 37, 39, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 46, 47. Banyak data adalah n = 13.

D1 = data ke-

113  1 10

= data ke–1, 4 = x1 + 0,4( x x2 – x1) = 33 + 0,4 (35–33) = 33 + 0,8 = 33,8.

D5 = data ke-

5 13 13  1 10

= data ke–7 = x7 = 40. Jadi, desil ke -1 adalah 33,8 dan desil ke-5 adalah 40.

Untuk data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi, nilai desil ditentukan sebagai berikut. i n

Di = (t (t b

10 Di





Inga In gatt a 1 + 1 + 5 + 7 dapat dilihat pada kolom frekuensi kumulatif (kelas 45 – 49)

 1

p 1

Dalam hal ini = 1, 2, 2, 3, 3, ..., 9 ( ) Di = te tepi pi ba bawa wah h kel kelas as D frekuensi kumulatif sebelum kelas D F = fr frek ekue uens nsii ke kela lass D = pa panj njan ang g kel kelas as

Contoh 1.17 Tentukan nilai desil ketiga dari data pada Tabel 1.13. Jawab:

Diketahui i = 3 maka

Tabel 1.13 Frekuensi Kumulatif

Nilai

in 10



3 40 10

 12.

Desil ketiga ( D3) terletak di kelas: 51–60 (karena kelas 51–60 memuat data ke-9, 10, 11, 12, 13). 12  8 .10 = 50,5 + 8 = 58, 5. D3 = 50,5 + 5

31–40 41–50 51–60 61–70 71–80 81–90 91–100

5 3 5 6 9 8 4

5 8 13 19 28 36 40

Statistika

29

4. Simpan Simpangan gan RataRata-Rat Rata, a, Ragam, Ragam, dan Simpangan Baku .

Tokoh Matematika

Simpangan Rata-Rata

Sekumpulan data kuantitatif yang tidak dikelompokkan dinyatakan oleh 1, x …, x n. Dari data tersebut dapat ditent dit entuka ukan n simpang simpangan an ratarata-rat rataa ( ) dengan dengan meng menggun gunaka akan n rumus: S =

1 n

x i=

Contoh 1.18 Hitung simpangan rata-rata dari data kuantitatif berikut: 12, 3, 11, 3, 4, 7, 5, 11 Carl Friedrich Gauss (1777–1855) Seorang ahli matematika Jerman, Carl Friedrich Gauss, mempelajari penyebaran dari berbagai macam data. Ia menemukan mene mukan istilah “Standar deviasi” untuk menjelaskan penyebaran penye baran yang terjadi. Para ilmuwan sekarang, mengguna menggu nakan kan standar deviasi untuk mengestimasi akurasi pengukuran data. Sumber:: Ensiklopedi Matematika, 2002 Sumber

Jawab: 1 x  n 

12 

1

xn

(12 + 3 + 11 + 3 + 4 + 7 + 5 + 11) = 7

8

 3   11   3

5      

30

  11

7

5

8

Jadi, simpangan rata-ratanya adalah 3,25. Coba Anda tentukan simpangan rata-rata tersebut dengan menggunakan kalkulator. Apakah hasilnya sama?

Untuk sekumpulan data yang dinyatakan oleh x x , …, x dan masing-masing nilai data tersebut mempunyai frekuensi , …, di dipe pero role leh h nil nilai ai si simp mpan anga gan n rat rataa-ra rata ta (S ) dengan menggunakan rumus:

S =

Simpangan rataan hitung menunjukkan rataan hitung jauhnya datum dari rataan hitung.

 7 

8



Ing In gat a

4

i



=

Contoh 1.19 Hitunglah simpangan rata-rata nilai ulangan Fisika dari siswa Kelas XI SMA Merdeka seperti Tabel 1.11 Contoh 1.11. Jawab: Dari Da ri Co Cont ntoh oh 1. 1.15 15,, di dipe pero role leh h

= 65, 65,7 7 (di (dibul bulat atka kan) n)..


Inga In gatt a

Nilai engah ( )

Kelas nterva

x

40 – 44

x

3

23,7

1,

45 – 4

4

4

8,7

4,

50 – 54

52

6

,7

,

55 – 59

57

8

8,7

69,6

3,7

3

1,3

14,3

,3

4,5

0– 4 65 – 69

67

11

0 – 74 75 – 79

7

0– 4 85 – 8

7

90 – 94

92

6

1,

67,8

4

6,3

65,

2

21,

2,

26,3

52,6 7 7

x

Jadi, simpangan rata-rata (S ) =

671 7 71

= 9,46.

Untuk menghitung simpangan baku dari data kuantitati kuanti tati : 2, 5, 7, 4, 3, 3, 11, 3 dengan kalkulator ilmiah v ) adalah sebagai ( x – berikut. 1) Ka Kalk lkul ulat ator or “O “ON” N” 2) MO MODE DE 3 Prog Pr ogra ram m SD 3) Ma Masu sukk kkan an da data ta data data … … … data 4) Tek ekan an to tomb mbol ol x   = 2,878491669 = 2,88 Coba Anda hitung simpangan baku untuk Contoh Soal 1.26 dengan kalkulator. Apakah hasilnya sama?

b Simpangan Baku Diketahui sekumpulan data kuantitatif yang tidak dikelompokkan dan dinyatakan oleh x1, x , , x . Dari data tersebut, terseb ut, dapat dapat diperoleh diperoleh nilai nilai simpangan simpangan baku baku ( ) yang ditentukan oleh rumus berikut. n

 S =

2

x 

=

n

1

untuk sampel

dan







i1

n

untuk populasi

Contoh 1.20 Dari 40 orang siswa diambil sampel 9 orang untuk diukur tinggi badannya, diperoleh data berikut: 165, 170, 169, 168, 156, 160, 175, 162, 169. Hitunglah simpangan baku sampel dari data tersebut. Jawab: x = 1

S 





1

Statistika

31

antangan untu A



Pada Contoh 1.20, dengan x = 1 . . Hitunglah







.

3. Hitunglah





.

 x



.

.

9



9

1



272 2 8

n

 S =

  i

an

i=

2



n 1

untuk sampel



i

i= 1



untuk populasi

Contoh 1. 1 Hitunglah simpangan baku dari nilai ulangan Fisika dari 71 siswa kelas XI SMA Merdeka sesuai Tabel 1.11. Jawab: Dari hasil perhitungan sebelumnya diperoleh

42 52

3 6

7 67

11 6

7

2



= 65,7.





2

x  

x

–23,7

561,69

1.685,07

–1 ,7 ,7

349,6

1.398,76

–13,7

187,69

1.126,14

– ,7

5,6

605,5

– ,7

3,6

36,

1,3

1,69

18,59

6,3

39,6

95,3

11,3

127,69

66,14

6,3

65,6

1.062,76

1,3

453,69

07,3

6,3

91,6

1.383,3





 60

Jadi, simpangan bakunya

32

 5 83

Sekumpulan data kuantitatif yang dikelompokkan, dapat dinyatakan oleh x1, x , …, dan ma masing-masing da data mempun mem punyai yai fre frekue kuensi nsi , , …, . Sim Simpan pangan gan bak baku u (S ) dari data tersebut diperoleh dengan menggunakan rumus

. Amat Amatil ilah ah ha hasi sill-has hasil il perhitungan 1 sampai deng de ngan an 4. Bu Buat atla lah h suatu dugaan umum (kesimpulan). 6. Uji ke kesi simp mpul ulan an An Anda da dengan menghitung



 36 

.



x

9

Jadi, simpangan bakunya adalah 5,83.

. Hitunglah

. Hitunglah

1

 

9.

, 99 71

2

   9.

, 9

 11, 68.


c. Var ans (Ragam Untuk data yang tidak dikelompokkan ataupun data yang dikelompo dikelompokkan, kkan, diperoleh diperoleh nilai variansi variansi ( ) dengan dengan menggunakan rumus: v = S

=

dan

untuk sampel

2



untuk populasi

Contoh 1.22 Hitunglah variansi dari data Contoh 1.26. Jawab: Dari hasil perhitungan perhitungan Contoh Contoh 1.23 dipero diperoleh leh S = = 5,83 maka = S = (5,83)2 = 33,99.

d. Koefisien Keragaman (KK) 1

Rumus koefisien keragaman (KK) dari sekumpulan data ..., x adalah K 

x

10

Dalam hal ini S = simpangan baku x = rataan

Contoh 1.22 Pak Murtono seorang pengusaha. Bidang usaha yang ia jalani adalah penerbitan, tekstil, dan angkutan. Dalam 5 bulan terakhir, ia mencatat keuntungan bersih ketiga bidang usahanya. Hasilnya tampak pada Tabel 1.14. Ta el 1. 1.14 14 Keuntungan Bersih Usaha Pak Murtono Selama 5 Bulan Terakhir.

Bidang Usaha

Penerbitan Tekstil Ang utan

Keuntungan Bersih (dalam puluhan juta rupiah)

60 60

116 2

0 0

1 1

04 1

Situs Matematika Anda dapat mengetahui informasi lain tentang Statistika melalui internet dengan mengunjungi situs berikut.   ac.id  

ika Pak Murtono berpendapat bahwa bidang usaha yang akan dipertahankan hanya dua bidang usaha dengan kriteria bidang usaha dengan keuntungan bersih yang stabil , tentukanlah bidang usaha yang sebaiknya tidak dilanjutkan. Jawab: Langkah ke-1 Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal tersebut. Diketa Dik etahui hui : • keuntu keu ntunga ngan n ber bersih sih sel selama ama 5 bul bulan an ter terakh akhir ir yan yang g disajikan pada Tabel 1.14.

Statistika

33

• bida bidang ng us usah ahaa ya yang ng di dipe pert rtah ahan anka kan n ad adal alah ah ya yang ng memi me mili liki ki ke keunt untung ungan an be bers rsih ih ya yang ng st stab abil il.. Dita Di tany nyak akan an:: bi bida dang ng us usah ahaa yan yang g se seba baik ikny nyaa ti tidak dak di dila lanj njut utka kan. n. Langkah ke-2 ke-2 Menent Men entuka ukan n kon konsep sep yan yang g aka akan n dig diguna unakan kan dal dalam am men menyel yelesa esaika ikan n soa soal. l. Padaa soa Pad soall ini ini,, kon konsep sep yan yang g dig diguna unakan kan ada adalah lah rat rataan aan,, sim simpan pangan gan baku baku,, dan da n ko koeefisie sien n kera keragam gaman. an. Langkah ke-3 ke-3 Meng Me nghi hitu tung ng ra rata taan an,, si simp mpan anga gan n ba baku ku,, da dan n ko koeefisi sien en ker kerag agam aman an dari da ri se seti tiap ap bi bidan dang g us usah aha. a.  Bid Bidang ang usa usaha ha pen penerb erbita itan n x

S 

 x

60 



n x

2

1

n



2



3584 4

2

 5

Hal Pent ng                     

96



2

       

 2

5

  x







2





2



1

29, 93 93 96

31

 Bi Bida dang ng us usah ahaa te teks ksti till x

156

40,6 ,69 9 S = 40 S 40 69  0 26 KK   156

 Bi Bida dang ng us usah ahaa an angk gkut utan an x

161, 6

S = 100.58 S 100, 58 KK    161 6

62

Jadi,, se Jadi seba baik ikny nyaa Pa Pak k Mu Murt rton ono o ti tida dak k me mela lanj njut utka kan n us usah ahaa an angk gkut utan an kare ka rena na ke keun untu tung ngan annya nya ti tida dak k st stab abil il (n (nil ilai ai KK pal paling ing bes besar) ar)..

34


Tes Kompetensi Subbab C Kerjakanlah pada buku latihan Anda.

.

.

Dari da Dari data ta be beri riku kutt in ini, i, te tent ntuk ukan anla lah h modu dus, s, me medi dian an,, kua kuart rtil il ba bawa wah, h, dan dan a. mo kuartil atas; . ra rataa taan n hit hitung ung,, si simpa mpanga ngan n rat rataan aan hit hitung ung,, simpangan baku, dan variansinya. 1) 5, 8, 10 10,, 4, 4, 8, 8, 7, 7, 5, 5, 6, 6, 3, 3, 4 2) 55 55,, 62, 62, 70 70,, 50, 50, 75 75,, 55, 55, 62 62,, 50, 50, 70 70,, 55, 75, 80, 48, 62 3) 16 165, 5, 155 155,, 160 160,, 156 156,, 168 168,, 174, 174, 180 180,, 160, 160, 165, 155, 166, 170, 156, 178, 175, 172 4) 20 203, 3, 23 235, 5, 22 224, 4, 207 207,, 205 205,, 215 215,, 230, 230, 220, 225, 224, 230, 207, 215, 235, 225, 220, 215, 203, 220, 205 Tab abel el ber berik ikut ut mem memper perli liha hatk tkan an dat dataa hasi hasill ulangan bahasa Indonesia Kelas XI SMA Hebat. Interval Kelas

Frekuensi

40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 85 – 89 90 – 94

1 2 3 5 8 26 18 18 10 5

Tentukanlah rataan hitungnya menggunakan rataan hitung sementara. .

.

Kelass XI A, XI B, da Kela dan n XI XI C ma masi sing ng-masing terdiri atas 40 orang, 39 orang, dan 38 orang. Jika nilai rataan hitung ujian Biologi kelas XI A, XI B, XI C masingmasing 50, 65, dan 68, hitunglah nilai rataan hitung ujian Biologi dari seluruh siswa kelas XI itu. Nilaii rat Nila rataa aan n hitu hitung ng uji ujian an Ma Mate tema mati tika ka dari sekelompok siswa yang berjumlah 42 orang adalah 62,5. Jika siswa dari kelompok itu yang bernilai 70 dan 75 tidak dimasukkan dalam perhitungan nilai rataan hitung, berapa nilai rataan hitung ujian matematika yang baru?

.

Nilaii rata Nila rataan an hit hitung ung uj ujian ian Fi Fisik sikaa Kelas Kelas XI A yang terdiri atas 39 orang adalah 60. Jika seorang siswa mengikuti ujian susulan, berapakah nilai yang harus diperoleh siswa itu agar nilai rataan hitungnya naik 0,25? Hitunglah simpangan rataan hitung dari data nilai Bahasa Indonesia Indo nesia kelas XI SMA Megah pada soal nomor 2.

Hitunglah ah simpan simpangan gan baku baku dan vari varians ansii 7. Hitungl dari data tinggi badan siswa Kelas XI SMA Megah pada soal nomor 7. Selama dua dua tahun super supermark market et A menca mencatat tat 8. Selama keuntungan setiap bulannya (dalam jutaan rupiah) sebagai berikut. 3, 35, 57, 60, 51, 45, 60, 43, 48, 55, 57, 45, 43, 35, 48, 45, 55, 65, 51, 43, 55, 45, 65, 55 Dalam jangka waktu yang sama supermarket B mencatat keuntungan keuntungan setiap bulannya (dalam jutaan rupiah) sebagai berikut. 67, 78, 70, 83, 80, 56, 70, 81, 45, 50, 81, 56, 0, 55, 70, 61, 51, 75, 55, 83, 67, 54, 68, 54 Jika pada bulan tertentu pengusaha supermarket A memperoleh keuntungan keuntu ngan 75 juta, sedangkan supermarket B memperoleh keuntungan 84 juta, pengusaha mana yang berhasil? Jelaskan. Dari 50 orang siswa diambil sampel secara acak 15 orang untuk diukur tinggi badannya, diperoleh data sebagai berikut. 157 172 165 148 173 166 165 155 172 157 162 164 165 Hitunglah: rataan hitung, a . simpa pan ngan ba baku, dan c. variansinya.

160 170

Pak Amran Amran dan dan Pak Kadi Kadi masing masing-ma -masin sing g 0. Pak memiliki lima ekor kambing. Berat rataan hitung kambing Pak Amran 36 kg, sedangkan berat rataan hitung kambing Pak Kadi hanya 34 kg. Seekor kambing

Statistika

35

Pak Kadi ditukarkan dengan seekor kambing Pak Amran sehingga berat rataan hitung kambing Pak Kadi sama dengan berat rataan hitung kambing Pak Amran. Tentukan selisih berat kambing yang ditukarkan itu.

1

elaskan dengan kata-kata Anda sendiri, apa yang dimaksud modus, mean, median, kuartil, dan desil. Jelaskan pula perbedaan dan manfaatnya.

Rangkuman •

Rataan dar Rataan darii sek sekump umpula ulan n dat dataa ada adalah lah jum jumlah lah sel seluru uruh h dat dataa dib dibagi agi oleh ol eh ba banya nyak k da data ta.. Rumu Ru muss ra rata taan an se seba baga gaii be beri riku kut. t. Untuk Untu k da data ta tu tung ngga gall x =

, dengan x = data ke-i x = rataan n = banyak data

•

Unt ntuk uk da data ta ya yang ng di dike kellom ompo pokk kkan an x = deng de ngan an = fr frek ekuen uensi si dat dataa . Modu Mo duss adal adalah ah dat datum um yan yang g pali paling ng ser serin ing g munc muncul ul..

Rumus modus sebagai berikut. Untuk data yang dikelompokkan o

= L +

1

i

Dalam hal ini, M = modus L = tepi bawah dari kelas modus. selisih ih antara frekuens frekuensii dari kelas yang yang mengandung mengandung d 1 = selis modus dan frekuensi dari kelas sebelumnya. selisih ih antara frekuens frekuensii dari kelas yang yang mengandung mengandung d 2 = selis modus dan frekuensi dari kelas berikutnya. interv erval al kel kelas. as. i = int Sekarang, lanjutkanlah rangkuman di atas.

Refleksi Setelah Anda Anda mempelajari Bab 1 1. tul tulisk iskanl anlah ah mat materi eri man manaa yan yang g men menuru urutt And Andaa sul sulit it dan yang mudah, 2. bag bagian ian man manaka akah h yang yang menu menurut rut And Andaa amat amat menar menarik ik dan dan penting untuk dipelajari.

36


es Kompetensi Bab Kompetensi Bab 1 A.

Pilihl Pil ihlah ah salah salah satu satu jawaba jawaban n dan beri berikan kan alas alasann annya. ya.

1

Nilai rataan hitung sekelompok siswa yang berjumlah 40 orang adalah 51. Jika seorang siswa dari kelompok itu yang mendapat nilai 90 tidak dimasukkan dalam perhitungan rataan hitung tersebut maka nilai rataan hitung ujian akan menjadi .... 50 a d 47 46 b 49 e 48 c

.

Nilaii Baha Nila Bahasa sa Ind Indon ones esia ia dar darii 10 ora orang ng siswa yang diambil secara acak adalah 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9. Pernyataan berikut yang benar adalah .... (1)) ra (1 rata taan an hi hitu tung ngny nyaa = 6 (2)) me (2 medi dian anny nyaa = 6,5 6,5 (3) modus = 7 (4) jangkauan = 6 Pernyataan yang benar adalah .... (1), (2), dan (3) a b (1) dan (3) (2) dan (4) c d (4) Semua benar e

Simpangan gan rat rataan aan hit hitung ung dat dataa 10, 10, 10, 10, 9, 3. Simpan 8, 8, 7, 7, 6, 6, 5 adalah .... a d 2,2 7, 1,4 b 6,6 e 2,8 c .

.

Simp Si mpan anga gan n rat rataa aan n hit hitun ung g dat dataa x1, 2, ... , adalah 2,29. Jika setiap data ditambah 10 satu maka simpangan rataan hitungnya adalah .... 0,29 a d 2,39 b 1,29 e 4,58 2,29 c Tes Mat Matema emati tika ka dib diberi erikan kan kep kepada ada tig tigaa kelas siswa berjumlah 100 orang. Nilai rataan hitung kelas pertama, kedua, dan ketiga adalah 7,8, dan 7,5. Jika banyaknya

siswa kelas pertama 25 orang dan kelas ketiga 5 orang lebih banyak dari kelas kedua, nilai rataan hitung seluruh siswa adalah .... ,65 ,68 a. d. . ,66 ,69 e. ,67 c .

Nilaii rat Nila rataa aan n hitu hitung ng pad padaa tes tes Mate Matema mati tika ka dari 10 siswa adalah 55 dan jika digabung agi dengan 5 siswa, nilai rataan hitung menjadi 53. Nilai rataan hitung dari 5 siswa tersebut adalah .... a. 49 d. 50,5 49,5 51 e c. 50 Dari empat bilangan diketahui bilangan yang terkecil adalah 30 dan yang terbesar 58. Rataan hitung hitung keempat bilangan itu tidak mungkin .... (1) < 37 (3) > 51 (2) < 40 (4) > 48 Pernyataan yang benar adalah .... (2), da dan (3 (3) a. (1), (2 . (1) dan (3) c. (2) dan (4) d. (4) Semua benar e Untuk kelompok bilangan 2, 3, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 11 (1) mod modus us leb lebih ih dar darii rata rataan an hit hitung ung (2) med median ian kur kurang ang dar darii rataa rataan n hitun hitung g (3) mo modu duss = me medi dian an (4)) mo (4 modu duss = ra rata taan an hi hitu tung ng Pernyataan yang benar adalah .... (2), da dan (3 (3) a. (1), (2 . (1) dan (3) c. (2) dan (4) d. (4) e. Semua benar

Statistika

37

9 Untuk memudahkan perhitungan, semua nilai data pengamatan dikurangi 1300. Nilai-nilai baru menghasilkan jangkauan 28, rataan hitung 11,7, simpangan kuartil 7,4 dan modus 12. Data aslinya mempunyai .... (1)) ra (1 rata taan an hi hitu tung ng = 1311 1311,7 ,7 (2)) ja (2 jang ngka kaua uan n = 28 (3) modus = 13 1312 (4)) si (4 simp mpan anga gan n kuar kuarti till = 657, 657,4 4

Pernyataan yang benar adalah .... (2), da dan (3 (3) a. (1), (2 b. (1) dan (3) (2) dan (4) c d. (4) e. Semua benar

a

. c.

1 2 3

d e.

Diketa etahui hui dat dataa 1, 2, 3, 3, 3, 4, 1, 1, x. 3. Dik ika mean = median = 2 maka nilai adalah .... 0 a d 1,5 0,5 2 e c. 1 Median dari dari data data yang disaj disajika ikan n histogra histogram m 14. Median berikut adalah .... Frekuensi 45

20

memperlihatka lihatkan n distri distribusi busi 10. Tabel berikut memper frekuensi yang salah satu frekuensinya belum diketahui.

18 14

4

ata

4 5

6

Frekuensi 30,5 40,5 50,5 60,5 70,5 80,5 90,5

a. . c.

5

Rataan hitung yang mungkin dari data itu adalah .... a. d. b. 2 e. 5 c. 3 Pernyataa taan n yang benar benar berd berdasa asarka rkan n tabel tabel 11. Pernya distribusi frekuensi berikut adalah ....

a. b c. d. e.

Data

Frekuensi

2 4 6 8

4 3 2 2

modus < me medi diaan < me mean mean = median modus < mean < medi diaan mean < median < modus median < modus < mean

12. Jika Jika jangk jangkaua auan n data data 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, x sama dengan rataan hitungnya maka n il a i a d al a h . .. .

38

60,5 65 65,5

d. e.

67,5 0,5

5 Empat kelompok siswa yang masingmasing terdiri atas 5, 8, 10, dan 17 orang menyumbang korban bencana alam. Rataan hitung sumbangan masing-masing kelompok adalah Rp4.000,00; Rp2.500,00; Rp2.000,00; dan Rp1.000,00. Rataan itung sumbangan setiap siswa seluruh kelompok itu adalah .... a. Rp2.025,00 d. Rp1.625,00 . Rp1.925,00 e. Rp1.550,00 c. Rp1.750,00

Diketa tahu huii da data ta 1, 2, ..., x10. Jika setiap 6. Dike nilai data ditambah 10 maka .... (1) rat rataan aan hit hitungn ungnya ya dit ditamb ambah ah 10 (2) sim simpan pangan gan rat rataan aan hit hitungn ungnya ya teta tetap p (3)) me (3 medi dian anny nyaa dit ditam amba bah h 10 10 (4)) mo (4 modu dusn snya ya te teta tap p Pernyataan yang benar adalah .... (2), da dan (3 (3) a. (1), (2 . (1) dan (3) c. (2) dan (4)


d e.

(4) semua benar

66,9 66,6 66,2

a

Data tinggi tinggi bada badan n 30 siswa siswa sebag sebagai ai 17. Data berikut. 168 159 159 161 158 158 161 158 162 159

. c. 1.

Rataan hitung dari data di atas adalah .... a. 163,13 d. 166,20 b. 164,13 e. 167,5 c. 165,03 18 Gaji rataan hitung pegawai suatu perusahaan Rp250.000,00. Gaji rataan hitung pegawai prianya Rp260.000,00, sedangkan gaji rataan hitung pegawai wanitanya Rp210.000,00. Berapakah perbandingan jumlah pegawai pria dan pegawai wanita perusahaan itu? 1:9 a d 3:2 b. 1 : 4 e. 4 : 1 c. 2: 3 19.

Nilai Ujian Matematika Frekuensi

4 5 8 20 40 70

10 10

xi

Nilai

Frekuensi

30 – 39 0 – 49 50 – 59 60 – 69 0 – 79 80 – 89 0 – 99

1 3 11 21 43 32 9

5

3

1

10

2

3

1

2

1 3 4

a. . c.

d. e.

8 9

Rataan aan hitung hitung dari dari data data beri berikut kut adala adalah h .... 2. Rat Nilai

1

2

3

4

5

6

7

8

9

11

Frekuensi

1

2

1

3

1

1

2

1

2

1

a. . c.

4,5 5,0 5,5

d. e.

6 6,5

Simpangan an baku baku dari dari data data 3, 6, 6, 6, 2, 6, 6, 2, 3. Simpang 1, 1, 5, 3 adalah .... a. 1,6 d. 2,3 . 1,9 e. 2,4 c. 2,1 Simpang pangan an kuarti kuartill dari data data tabel tabel beriku berikutt 4. Sim adalah ....

Dalam tabel di atas, nilai rataan hitung ujian matematika adalah 6. Oleh karena itu, a adalah .... a. d. 20 b. 5 e. 30 c. 10 Kuartil bawa bawah h dari dari data data pada pada tabel tabel dis20. Kuartil tribusi frekuensi berikut adalah ....

6,1 66,0

abel be abel beri riku kutt mem mempe perl rlih ihat atka kan n sua suatu tu pengukuran. Rataan hitungnya adalah ....

155 169 163 159 157 156 161 161 1 3 1 2 187 162 158 159 154 188 160 187 162 168

d e.

a. . c

Nilai

Frekuensi

1 – 10 11 – 20 21 – 30 31 – 40 41 – 50 51 – 60

2 4 25 47 17 5

1,2 2,5 3,4

d. e.

4,8 5,9

Statistika

39

B.

Jawabl Jaw ablah ah den dengan gan sin singka gkat, t, tep tepat, at, dan jel jelas. as.

1.

Dari data berikut, tentukan ukuran terkecil, ukuran terbesar, median, kuartil bawah, kuartil atas, jangkauan data, dan jangkauan antarkuartil. a. 75, 65, 50, 48, 72, 60, 75, 80, 48, 70, 55 b. 165, 158, 164, 173, 168, 160, 172, 156, 170, 164, 169, 155, 168 c. 212, 225, 220, 217, 224, 208, 222, 205, 220, 210, 205, 215 d. 315, 300, 306, 325, 320, 315, 330, 312, 325, 310, 320, 318, 305, 317

2.

3.

40

4.

Tahun 1993 1994 1995 1996 1997 1998 Tri wulan I II III IV

a. b.

c.

Tabel berikut menunjukkan data tinggi badan Kelas XI SMA Megah. Frekuensi

147 – 151 152 – 156 157 – 161 162 – 166 167 – 171 172 – 176

9 5 10 28 27 12

Tentukanlah: a. modus b. median, kuartil bawah, dan kuartil atas c. rataan hitungnya.

19,0 19,6 21,3 23,5

18,9 25,2 25,5 29,9

23,7 24,4 29,1 32,7

28,6 29,1 38,5 43,8

34,5 39,1 39,5 39,4

46,9 50,7 69,6 61,6

Sumber: BPS, 1998

Suatu keluarga mempunyai lima orang anak. Anak termuda berumur t tahun dan yang tertua 2(2t – – 1) tahun. Tiga anak yang lain masing-masing berumur (t + + 2) tahun, (2t + 1) tahun, dan (3t – – 1) tahun. Jika rataan hitung umur mereka 8,8 tahun, tentukan umur anak termuda dan tertua.

Interval Kelas

Tabel berikut menunjuk menunjukkan kan data tabungan domestik (dalam triliun rupiah) per triwulan dari tahun 1993–1998.

d. 5.

Buatlah diagram garisnya (tidak setiap triwulan). triwulan). Pada triwulan dan tahun berapa tabungan domestik terbesar? Jelaskan. Pada triwulan dan tahun berapa tabungan domestik terkecil? Jelaskan. Berapa kali tabungan domestik mengalami penurunan? Jelaskan.

Dalam suatu ujian yang diikuti 42 orang diperoleh rataan nilai ujian 30, median 35, dan simpangan baku 8. Oleh karena rataannya terlalu rendah, semua nilai dikalikan 2, kemudian dikurangi 5. a. Hitung rataan nilai yang baru. b. Hitung median yang baru. c. Hitung simpangan baku baru.


Statistika

Recommend Documents