STEFAN-BOLTZMANN

TÉCNICAS EXPERIMENTALES III

LEY DE STEFAN-BOLTZMANN

________________________________________________________________________ __________________________________ ______________________________________ ____

TÉCNICAS EXPERIMENTALES III ESTUDIO DE LA RADIACIÓN TÉRMINICA LEY DE STEFAN-BOLTZMANN ________________________________________ ____________________________________________________________ ______________________________ __________

Gabriel Wolfgang Castellanos González Universidad Autónoma de Madrid Facultad de Ciencias



_______________________________________________________________________ _____

ÍNDICE A. INTRODUCCIÓN 1. Breve desarrollo teórico 2. Objetivos de la práctica 3. Instrumentación: Descripción de la práctica 4. Realización de la práctica

B. RESULTADOS 1. Ley de Stefan-Boltzmann 2. Ley del inverso del cuadrado de la distancia 3. Ley de

C. CONCLUSIONES 1. Resultados esperados y resultados obtenidos: Discusión

D. BIBLIOGRAFÍA ______________________________________________________________________



_____________________________________ ______________________________________ _

A. INTRODUCCIÓN 1. Breve desarrollo teórico Antes de empezar a discutir lo que se va a medir y como se realizará el montaje, quizá sea necesario tocar el aspecto teórico, a modo de toma de contacto con la práctica, aunque el aspecto teórico más profundo se toca en cada apartado de los resultados. ¿Qué es un cuerpo negro? Tal termino se debe a Gustav Kirchhoff, quien lo introdujo en 1862, como un objeto teórico ideal que absorbe toda radiación que incide sobre él y a diferencia de otros cuerpos no refleja nada. Estos cuerpos también emiten (radiación del cuerpo negro), en tanto que considerando su superficie:

Cuerpo no negro:

propiedad de absorber al mismo ritmo que emite, y la misma energía, sin reflejar nada. La ley de Stefan-Boltzmann establece que un cuerpo negro emite radiación térmica con una potencia emisiva superficial (W/m ² ) proporcional a la cuarta potencia de su temperatura: !

!:

!"#$#%#&'&

=

!" !! !

!

(!"#" !" !"#$%& !"#$% !

=

1)

!! : á!"# !"#$"%&' !:

!"#$%&#%' !"

!"#$%& − !"#$%&'((

2. Objetivos de la práctica En la práctica se pretende comprobar la ley de Stefan-Boltzmann mediante la medición de la radiación del cuerpo negro a diferentes temperaturas. Para ello disponemos de un horno eléctrico. Conociendo la superficie radiante y realizando una representación de los datos frente a una parametrización a la cuarta potencia de la temperatura se espera encontrar una recta cuya pendiente sea de valor cercano a la constante de Stefan-Boltzmann. A su vez se estudiará la dependencia con la distancia y con el ángulo (Ley de Lambert) de la radiación del cuerpo negro.

3. Instrumentación Cuerpo negro:

Esta descripción del comportamiento viene dada por la termodinámica del equilibrio, es decir, un cuerpo negro en equilibrio tiene la

El montaje ya viene realizado en gran parte. Hay que comentar no obstante las diferentes partes que lo constituyen así como comentar varios aspectos. El montaje de la práctica lo observamos en la siguiente figura:

1. Termopar de medida: Aparece conectado a un controlador digital, que nos permite controlar la temperatura del horno eléctrico.



_____________________________________ ______________________________________ _

2. Horno eléctrico: En su interior se encuentra un objeto metálico hueco y ennegrecido que actúa como el cuerpo negro. El horno lo calienta y su radiación sale a través del pequeño orificio que tiene el horno. 3. Diafragma: Para evitar que las propias paredes del horno eléctrico afecten a la medida (sólo queremos medir la radiación del orificio) hay un diafragma en torno al orificio enfriado por un caudal continuo de agua.

de Stefan-Boltzmann se tomó con voltímetro y polímetro digital.

4. Realización de la práctica Antes de empezar a medir: -

Abrir el grifo que controla el caudal de agua al diafragma. Este caudal se mantendrá constante y moderado mientras que el horno esté encendido.

-

La alimentación del horno debe estar conecta al controlador de temperatura que se encuentra alimentado por la red. El panel del controlador dispone de 4 teclas:

4. Termopila de Moll: Una termopila consiste en una serie de termopares conectados en serie. Las uniones calientes reciben la radiación, mientras que las uniones frías se encuentran aisladas en la oscuridad. La tensión termoeléctrica se mide mediante un amplificador lineal, con varias escalas de amplificación, y un voltímetro. Es aproximadamente proporcional al flujo de energía que le llega.

o

o

Consideraciones adicionales: Se puede emplear un placa para aislar uno de los lados del horno eléctrico, para evitar cualquier interferencia en la medida. El otro lado está de cara a la pared, que podemos considerar mucho más grande que el horno y que permanece a temperatura constante. Además aislar el otro lado es importante a la hora de medir la potencia radiada en función del ángulo puesto que una vez superada el cono de área abarcado por el diafragma se entra en una región donde el horno afecta a la medida, cosa que hay que evitar. Las dimensiones de la termopila. Nos interesan también las de el orificio de entrada (la abertura): ∅!"#$%&$! ∅!"#$.

!"#$

∅!"#$#%#! !"#.

2.1 ± 0.05

=

=

.

!"#$

=

.

Como aconseja el guión, para el correcto funcionamiento no tocaremos ninguna de las otras dos teclas.

-

La termopila se conecta al amplificador (entradas 0 y U). El amplificador se conecta al voltímetro o polímetro.

-

El amplificador debe estar conectado a la red de alimentación. Lo que hay que saber de este instrumento: o

o

o

!"

3.1 ± 0.05

Teclas Arriba y Abajo: Al tocarlas se muestra la temperatura durante unos instantes. Esta temperatura difiere de la marcada por la termopila de Moll, pero es esta última la que es válida. Con las teclas subimos o bajamos la temperatura

El selector de amplificación: En la parte superior central. El mando marcado como ∆!, que debe estar siempre en la posición 0. Mando inferior central: Para cortocircuitar la entrada. Lo usamos al ajustar el cero.

!"

3.6 ± 0.05

o

!"

La sensibilidad de la termopila constante y vale 0.15!" /!" .

es

Por último, parte de las medidas se tomaron con el voltímetro digital, pero la ley

Ajuste del cero: Una vez todo conectado y encendido, llegando señal de la termopila, señal que distinguimos con un factor de amplificación adecuado, cortocircuitamos la entrada y ajustamos el cero con el botón marcado como → 0 ←.



_____________________________________ ______________________________________ _

1. Ley de Stefan-Boltzmann

Nota: En cada escala se necesario ajustar el cero antes de medir.

Desarrollo teórico y mediadas a realizar:

Una vez se va a medir:

Como se ha dicho al final de la anterior sección, se van a tomar datos del voltaje a intervalos aproximados de 10ºC que ajustaremos una recta para obtener una pendiente que debe cumplir con ley de Stefan-Boltzmann.

-

-

-

Hay que tener en cuenta que la de StefanBoltzmann es una ley que se aplica a cuerpos en equilibrio. Su temperatura de emisión debe ser constante y su emisividad uno. Por lo tanto las medidas deben tomarse en una situación de equilibrio. En la práctica no es posible de forma totalmente fiable que las medidas hayan sido tomadas en equilibrio pero hay que procurar que así sea en la medida de lo posible.

-

¿Cómo conseguir tomar medidas lo más fiables posibles? Se ha decidido tomar voltajes cada intervalos 10ºC así que se procede de esta manera: Subir la temperatura del controlador por encima de la temperatura deseada (unos 40ºC o 50ºC aprox.). Cuando la temperatura esté a unos 5ºC de la temperatura deseada reducir a unos 20-30ºC por encima y dejar que se alcance el equilibrio controlando los pequeños cambios en la temperatura.

-

Ahora bien, la potencia radiada por el cuerpo negro y la potencia medida por la termopila, ¿cómo se relacionan? La sensibilidad de la termopila nos da la relación entre la potencia medida y la tensión producida pero hay para la potencia medida hay que considerar que:

! !!"#$#%&

-

-

!

∝

!

! ! !"

=

! ! !"

=

!!"#$#%

≃

!! ! !

!

*

Relacionamos ambas potencias:

− !!"#

Antes que nada, errores que consideraremos a lo largo de la práctica: !"#$í!"#$% !"!#ó!"#$ : ∆! !"#$í!"#

%$!"#"$%&

!"#$%"#&'(#! !"#$%&'% !!"# ≈ 20º! 0.5!! !" !" !"#$%: ∆! !" !" á!"#$% !"# !"#$%&'"!#('" : ∆!

=

=

0.5!"

0.5!"

=

=

*

! !"

!! !!"#"$#%&

=

!!"#$#%&

!!"#"$#%&

·

B. RESULTADOS

!"#$%&' :

cos

Pero el detector no tiene una área diferencial, aunque considerando que 0º la aproximación: !

!!"#$#%

!" !"

!!

=

≃

-

!

=

Integrando sobre el área de la abertura: !!"#$#%&

También hay que tener en cuenta la temperatura ambiente del laboratorio, de forma que el cuerpo negro no radia según la temperatura medida, si no la diferencia: !

La radiación del cuerpo negro es isótropa, pero no la que sale por el agujero. Es más importante hacia delante que hacia los lados y sigue la ley de Lambert del coseno:

0.5º

En la parte de la ley de StefanBoltzmann la termopila se mantuvo a una distancia constante de R=26cm.

!!"#$%&$!

La potencia emitida si se relaciona de forma directa con la ley de Stefan-Boltzmann, de forma que:

!!"#$#%

=

!!" !! !!

!

!

!

!

− !!!"#

A continuación se muestra la tabla de datos recogida durante la práctica, en la que se ha hecho un ajuste frente a la cuarta potencia de la temperatura lo que permite confirmar dicha dependencia en la ley de Stefan-Boltzmann si



_____________________________________ ______________________________________ _ resulta un proporción lineal que se pueda dar por una recta. Se deben encontrar dos términos: !"#$%"#&": ! !é!"#

%$=

!!" !! !

!!

!

!"#$%%"#!%"&% : !

=

!!" !! !

!!

! !!!"#

Con los que hemos ajustado un recta de la forma y=Ax +B; x=T 4 (K4 ). A través de la pendiente obtendremos la constante de StefanBoltzmann. La tabla de datos y su gráfica:

Temperatura Voltaje Potencia 110 0,206 0,000686667 122 0,266 0,000886667 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270

0,312 0,366 0,412 0,491 0,555 0,642 0,714 0,798 0,88 0,978 1,067 1,135 1,268 1,375 1,475

0,00104 0,00122 0,001373333 0,001636667 0,00185 0,00214 0,00238 0,00266 0,002933333 0,00326 0,003556667 0,003783333 0,004226667 0,004583333 0,004916667

280 290 300

1,585 1,704 1,804

0,005283333 0,00568 0,006013333

5

) 4 W ( 3 3 0 1 · M2 P 1 0 6

7

T4·10-10(K 4)

!!" !!

∆! +

!2!

!!" !!

! ∆!

+

!!

! !

!!" !!

! ∆ !!

+

!!

!

! !!" !!

! ∆ !!"

8

9

=

(!. !"# ± !. !!" ) · !"!!

! !

!

!!

Las medidas las ajustamos a una gráfica que nos permita obtener la pendiente como una recta (una gráfica log-log, como se nos indica en el guión es la mejor idea):

²

5

!

Manteniendo a 300ºC el horno, en equilibrio, se van a tomar medidas de la potencia radiada con la distancia, cada 2cm desde una posición cercana al horno hasta una cierta distancia alejada de él. No es aconsejable medir demasiado cerca de la abertura pues puede que las medidas fluctúen cuanto más cerca.

y = 0,6282x - 0,5629 R = 0,99766

4

!! =

2. Ley del inverso del cuadrado de la distancia

7

3

∆!

!

Ley de Stefan-Boltzmann

2

El error en la pendiente se obtiene a través de propagación de errores:

Despejando de la pendiente las áreas obtenemos la constante de Stefan Boltzmann:

Amplificación: x2000

6

La pendiente obtenida es m=0.6282 W·/K4. Ahora que hay que tener en cuenta los factores de escala en los ejes, que hemos cambiado para mayor precisión, de esta forma se obtiene que m=6.282·10 -14 W· K -4.

10

11



Distancia (m) Voltaje (V) 0,123 1,412 0,143 1,13 0,163 0,934 0,183 0,798 0,203 0,683 0,223 0,589 0,243 0,524 0,263 0,459 0,283 0,409 0,303 0,366 0,323 0,328 0,343 0,294 0,363 0,264 0,383 0,238 0,403 0,217

Distancia (m) Voltaje (V) 0,143 0,337 0,163 0,277 0,183 0,237 0,203 0,204 0,223 0,175 0,243 0,155 0,263 0,136 0,283 0,122 0,303 0,109 0,323 0,097 0,343 0,088 0,363 0,079 0,383 0,071 0,403 0,064



_____________________________________ ______________________________________ _ La gráfica para el factor de amplificación x2000 es la mostrada a continuación:

Título del gráﬁco

0,2 0,1

∆!

0 0,1

0,3

0,5

0,7

0,9

-0,1

) ) V (

milimetrada y por el uso en esta parte del voltímetro, con un máxima precisión en mV en la escala de 1V. Teniendo esto en cuenta y con el error en el logaritmo: →

∆ log !

! log ! =

!"

∆!

∆! =

!

Este es el error que hay para cada medida al representarla en una gráfica log-log.

-0,2

T

U ( g o l -

3. Ley de Lambert del coseno

-0,3 -0,4

y = 1,5677x - 1,26 R = 0,99755

-0,5

²

-0,6 -0,7

-log(Distancia(m))

En este caso para que los datos estén en el primer cuadrante se ha representado log frente a – log. Por eso la pendiente obtenida es positiva. Con esto en cuenta se ve que su valor es realmente negativo.

En el montaje descrito en la introducción, la regleta en el que se monta la termopila de Moll, dispone además de un porta-ángulos justo frente a la abertura del horno, con un soporte libre de recorrer un cierto ángulo. Montamos la termopila en este soporte de manera que si variamos el ángulo respecto la regleta (que se sitúa alineada con la abertura, es decir a 0º) la potencia medida debe cumplir la ley de Lambert del coseno. Manteniendo el horno a 300ºC tomamos el voltaje para varios ángulos, entre 0º y 70º como se aconseja en el guión.

La siguiente es para el factor de amplificación de 600. Con estas dos gráficas comparamos resultados obtenidos al usar distintas escalas del amplificador:

Ley de inverso del cuadrado de la distancia 1,3 1,2

) ) V (

T

U ( g o l -

1,1

y = -1,5885x + 1,7976 R = 0,99732

1

²

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,35

0,45

0,55

0,65

0,75

0,85

-log(Distancia(m))

Hay que tener en cuenta que como se dijo al principio de la práctica para cierto ángulo se estará fuera del límite en el que el diafragma aísla del horno a la termopila así que es recomendable disponer de alguna placa que pueda proteger una vez se supera cierto intervalo de ángulos. A su vez, supondremos que el área del detector es suficientemente pequeña para que de un extremo al otro del detector el ángulo se considere que no hay variado significativamente. A esto ayuda si no colocamos muy cerca el detector (abarcaría mayor ángulo). El área de la termopila debe estar siempre perpendicular a la dirección que la une con la abertura. Los datos medidos:

Los errores, son por propagación, a través del logaritmo, de los errores, por una parte en la medición de la distancia con una regla



_____________________________________ ______________________________________ _

4. DISCUSIÓN

Amplificación: x2000 Ángulo (º)

Potencia (V) 10

1,715

15

1,68

20

1,627

25

1,565

30

1,491

35 40

1,417 1,347

45

1,241

50

1,161

55

0,995

60

0,881

65

0,772

70

0,494

Los resultados obtenidos han sido bastante satisfactorios. Se ha comprobado que efectivamente la ley de Stefan-Boltzmann sigue una dependencia a la cuarta con la temperatura, lo que hemos comprobado haciendo un ajuste frente a la cuarta potencia de T, lo que a su vez nos permite obtener una pendiente que relacionamos con la constante de StefanBoltzmann:

!!"#

La gráfica se ha representado la potencia normalizada (dividimos entre el valor a cero grados) frente al coseno de cada ángulo respectivo:

Ley de Lambert del coseno 1

y=1,0072x-0,0132 R²=0,99208

0,3 0,2 0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

cosθ

Los errores son en esta gráfica los del voltímetro analógico, normalizados, es decir divididos entre el máximo valor del voltaje medido (a 0º) y los del ángulo, a través del coseno: ∆!

! ∆!

=

∆

!!

=

!!

! +

!

!!

∆!!

! cos ! ∆!

→

∆ cos !

=

!"

∆!

=

(!. !"# ± !. !!" ) · !"!!

! !

!

!!

El valor teórico para esta constante es:

* Valor a 0º: 1,756 V

a d 0,9 a z i l 0,8 a m r 0,7 o n 0,6 a i c 0,5 n e t o 0,4 P

=

|sin ! |∆!

!

=

(!. !"!") · !"!!

! !

!

!!

Si bien hay cierta discrepancia, -8 considerando el rango de 10 en el que tenemos que trabajar para calcular la constante se puede considerar un resultado satisfactorio. Los posibles errores accidentales que no se han podido evitar como fluctuaciones en la temperatura ambiente, radiaciones no deseadas del espectro infrarrojo… pueden explicar parte de esta discrepancia. En cuanto a la dependencia con el cuadrado inverso de la distancia hemos obtenido resultados bastante próximos a dos que confirman experimentalmente que la potencia medida cae con R-2. Aquí se ha dispuesto de dos tandas de datos por la curiosidad de contrastar dos factores de amplificación. Resultó que el factor de amplificación da un valor más cercano al valor esperado. Por último, la ley de Lambert del coseno. Aquí se ha obtenido el mejor resultado con un valor muy cercano a 1 y que difiere sólo en 0.01% aprox. El éxito de este resultado se debe en gran parte al buen aislamiento que se hizo de la parte no protegida por el diafragma una vez superado un ángulo crítico.

*Cuestiones adicionales a) ¿Qué tipo de radiación es emitida por el horno? Para contestar a esta pregunta, me voy a referir a otra de las leyes obtenidas en el estudio



_____________________________________ ______________________________________ _ del cuerpo negro: la ley del desplazamiento de Wein. Esta ley nos dice que un cuerpo negro a una temperatura emite una radiación que tiene por característica un pico máximo que va como el inverso de T: !!"#

=

0.0028976

!

·!

!

De esta forma para el rango de temperaturas en el que se ha trabajado (373K-573K) resulta que las longitudes de onda son del orden de 7.76 ! m a 5.05 ! m. Estas longitudes de onda pertenecen al espectro infrarrojo, espectro en el que emite el horno.

b) ¿Por qué debe utilizarse un cuerpo negro y n otro objeto caliente? Sólo los cuerpos negros cumplen con la relación a uno entre la energía absorbida y la energía emitida (emisividad e=1). No ocurre lo mismo con otros materiales. Cuando se habla de cuerpos no negros, la desviación del comportamiento de un cuerpo negro esta determinada por la estructura geométrica y la composición química, y sigue la ley de Kirchhoff para la radiación térmica: emisividad igual a absortividad (para un objeto en equilibrio térmico). Así un cuerpo que no absorbe toda la radiación, no emite toda la radiación respecto a un cuerpo negro.

c) ¿Qué es un termopar? Un termopar está formado pos dos metales, de tal manera que uno hace de “unión fría” y el otro de “unión caliente” de forma que entre ellos se establece un voltaje (efecto Seebeck) que es proporcional a la diferencia de temperatura. La termopila, como se ha explicado en el guión consiste un conjunto de termopares conectados en serie, con las uniones frías en la oscuridad y las uniones calientes donde puedan recibir la radiación del horno.

5. BIBLIOGRAFÍA * Diapositivas de clase de Termodinámica, Curso 2011-2012, Prof. Miguel Ángel Ramos, Departamento de Física de la Materia

Condensada, Universidad Autónoma de Madrid. * Calor y Termodinámica, Mark W. Zemansky y Richard H. Dittman, Sexta Edición, McGraw Hill, 1981. www.wikipedia.org http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cuantica/ negro/radiacion/radiacion.htm

STEFAN-BOLTZMANN

Recommend Documents