ACTIVIDADES DE REFUERZO Y AMPLIACIÓN
MATEMÁTICAS. 3º E.S.O.
UNIDAD 3: SUCESIONES. PROGRESIONES. 1.) Dada la sucesión
6,1,8,15,...
−
a) ¿Es una progresión aritmética?
c) Calcula su término general.
1 − ( −6 ) = 7
Es una p.a. de a1 = −6 y d = 7
8−1= 7 15 − 8 = 7
a1 + ( n − 1) ⋅ d
an
=
an
= −
6 + ( n − 1) ⋅ 7 ⇒ an
=
7n − 13
d) Calcula el término 11. ¿Cuánto vale a20?
b) Escribe sus ocho primeros términos. 6,1,8,15,22,29,36,43
−
a11
=
7 ⋅ 11 − 13
a 20
=
7 ⋅ 20 2 0 − 13
=
64
=
127
e) ¿Es 197 un término de la sucesión? ¿Y 224?
Partimos del término general an = 7n − 13 Resolvemos la ecuación 197 = 7n − 13 ⇒ n = 30 . Luego a30
=
De igual manera, resolvemos la ecuación 224 = 7n − 13 ⇒ n =
197 237 Vemos que n (posición del término en la 7
sucesión) no es un número natural. 224 no es un término de esta progresión.
2.) Dada la sucesión
5 −3 , −2, , −1, ... 2 2
−
a) ¿Es una progresión aritmética?
5 1 2−− = 2 2
−
−
3 − ( −2 ) 2
=
1 Es una p.a. de a1 2
= −
5 1 y d= 2 2
3 1 1− − = 2 2
−
b) Calcula su término general.
a1 + ( n − 1) ⋅ d
an
=
an
= −
5 2
+
( n − 1) ⋅
1 2
Calcula el a12. ¿Cuánto vale a60?
c)
a12 = −
5 2
+
n 1 − ⇒ an 2 2
=
n−6 2
3.) De una progresión aritmética conocemos los términos a 8
=
29 y a11
=
=
12 − 6 2
=
3
a 60
=
60 − 6 2
=
27
44 . Calcula:
a) La diferencia de la sucesión y el primer término.
an
−
ak
a11 − a 8 a8
−
a1
(n − k ) ⋅ d
=
= =
3d ⇒ 44 − 29
7d ⇒ 29 − a1
=
=
3d ⇒ d = 5
7 ⋅ 5 ⇒ a1
=
29 − 35 35 ⇒ a 1
6
= −
b) El término general de sucesión.
a1 + ( n − 1) ⋅ d
an
=
an
= −
6 + ( n − 1) ⋅ 5 ⇒ an
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=
5n − 11
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4.) Conocidos los términos a 4
=
1 y a10
=
10 de una progresión aritmética, halla el término general.
Solución: an
=
3n − 10 2
5.) Calcula la suma de los 80 primeros múltiplos de 4.
Los múltiplos consecutivos de 4 es una p.a. de término general an ( a1 + an ) Sn
=
⋅
2
S80
=
S80
=
2
4n
n
( a1 + a80 ) 2 ( 4 + 3 20 )
=
⋅
80
⋅
80
a1 =
=
4 a80
=
320
12960 12
6.) ¿Cuántos múltiplos de 3 hay entre los primeros 172 números naturales?
Solución: 57 múltiplos
8.) Dada la sucesión 16, −8, 4, 4, −2, ... a) ¿Es una progresión aritmética? 8 − 16 = −24
−
4 − ( −8 )
=
No es una p.a. porque la diferencia entre dos términos consecutivos es no es constante.
12
b) ¿Es una progresión geométrica? 8 : 16 = −0, 5
−
4 : ( −8 ) = −0, 5 Es una p.g. de a1 2:4
−
=
16 y r
0, 5
= −
1 2
= −
c) Escribe los ocho primeros términos. 1 1 −1 , , 2 4 8
−
16, −8, 4, −2, 1,
e) Calcula el término noveno. ¿Cuánto vale a12?
d) Calcula su término general. an
=
a1 ⋅ r n
1
9−1
−
−1 a 9 = 16 ⋅ 2
n−1
−1 an = 16 ⋅ 2
9.) Dada la sucesión
12 − 1
a12
3 2
−1 = 16 ⋅ 2
=
=
16 1 6 25 6
=
1 16
1 128 −
3 2 4 8 ,1, , , , ... 2 3 9 27 27
a) ¿Es una progresión geométrica? 2 3 2 2 :1= 3 3 Es una p.g. de a1 4 2 2 : = 9 3 3 8 4 2 : = 27 9 3
1:
8
−1 = 16 ⋅ 2
b) Calcula la razón. Calcula su término general. an
=
=
a1 ⋅ r n
1
=
3 2 ⋅ 2 3
−
n −1
=
3 yr 2
=
2 3
an
n− 2
2 = 3
ACTIVIDADES DE REFUERZO Y AMPLIACIÓN
MATEMÁTICAS. 3º E.S.O.
UNIDAD 3: SUCESIONES. PROGRESIONES. 10.) En una progresión geométrica el tercer término es a3 = 52 y la razón es r = 2. Calcula: a) El primer término. an ak
=
a3 a1
=
rn
r3
b) El término general.
k
−
1
−
⇒
a3 a1
=
r2 ⇒
52 a1
=
22 ⇒ a1
=
an
=
a1 ⋅ r n
an
=
13 ⋅ 2n
1
−
1
−
13
c) La suma de los diez primeros términos.
Calculemos los diez primeros términos 13,26,52,104,208,416,832,1664,3328,6656, Su suma es 13 299 11.) En una progresión geométrica el quinto término es 2 y a2 = 54. Calcula la razón y el término general. an n k = r ak −
a5 a2
=
r5
−
2
⇒
a5 a2
=
r3 ⇒
2 54
=
r3 ⇒
1 27
=
r3 ⇒ r
=
1 3
Para calcular el término general necesitamos calcular a1 Como a1 = a2 : r ⇒ a1 = 54 : an
=
a1 ⋅ r n
1 3
=
162
1
−
n−1
1 an = 162 ⋅ 3
12.) En una progresión geométrica conocemos los términos a 5
=
112 y a 8
=
896 . Calcula a3.
Solución: a 3
=
28
13.) ¿Cuántos múltiplos de 3 hay entre los números 120 y 512?
Entre 120 y 512 el primer múltiplo de 3 es 120 y el último es 510. Los múltiplos de 3 es una p.a. de término general 3n y diferencia 3. Para calcular el número de términos último tér mi min o − primer término 51 0 − 1 20 +1= + 1 = 131 diferencia 3
¿Por qué sumamos 1 a la fórmula? Solución:131 múltiplos
14.) Halla el primer término de una progresión aritmética de la que se sabe que el término que ocupa el lugar 11 es el doble del que ocupa el lugar 7, y la diferencia de la progresión es 0’5. 2 ⋅ a 7 ( dato del pr p roblema) ⇒ a7 a11 − a 7 = 4d a11
=
Por otro lado
a 1 + 6d ⇒ a1 a 7 = 4d a7
=
=
4d
2d = −1
= −
15.) Un ciclista se propone recorrer todos los pueblos de su provincia. El primer día hace 80 km, y cada uno de los días
restantes recorre 5 km más que el anterior. Sabiendo que prevé realizar 665 km, ¿cuántos días durará su recorrido? Solución: 7 días
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