Superficies Alabeadas y sus desarrollos aproximados 1. Introdu Introducció cción: n: qué es la geomet geometría ría descrip descriptiva tiva.. La Geometría Descriptiva es la ciencia de representación gráfica, sore superficies idimensionales, de los prolemas del espacio donde intervengan, puntos, líneas ! planos. "amién se conoce como #étodo #onge, en $onor al $omre que la organi%ó ! desarrolló: Gaspar #onge&1'()*1+1+ finales del siglo -II. 1 /sta ciencia cumple dos o0etivos principales: el primero es facilitar el método para representar sore un papel que posee dos dimensiones longitud ! latitud todos los cuerpos de la naturale%a, que tienen tres dimensiones, longitud, latitud ! profundidad. /l segundo o0etivo es dar, por medio de una precisa descripción, la forma de los cuerpos ! deducir todas las verdades que resultan de esas formas o de sus posiciones respectivas. 2 Los elementos de la geometría descriptiva son la recta, el punto, la línea ! el plano.
El desarrollo de las superficies
/l desarrollo de una superficie es la figura plana que se otiene al desdolar su superficie total en un plano cada línea de un desarrollo muestra la longitud real de la línea correspondiente en la superficie del cuerpo 3. 4i no se puede reali%ar este procedimiento, se diría entonces que la superficie no es desarrollale. Las superficies regladas: superficies desarrollables y superficies alabeadas.
5uando una recta se despla%a de acuerdo a ciertas le!es se puede aceptar que engendra una superficie, la recta de llama generatri%. 5onsideramos que una superficie será reglada. 4iempre que pueda generarse con una recta en ciertos estados de movimiento, independientemente de que la misma superficie pudiera engendrarse por aluna curva a0o otras condiciones de movimiento.
1 (Correa, 2013) 2 ibid 3 (Wellman, 1987)
"oda superficie que no pueda generarse por una recta en movimiento será considerada como no reglada. 4eg6n sean las le!es que goiernan el despla%amiento de la recta generatri% así serán los diversos tipos de las superficies regladas. /7isten diversos tipos de superficies regladas, entre ellas la más simple: el plano. Lo que las $ace variar son las le!es que goiernan el despla%amiento de la recta generatri%. /7isten dos grandes grupos, las superficies desarrollales ! las alaeadas. *4uperficies desarrollales. 8uede lograrse su desarrollo procediendo análogamente al de los poliedros (, puesto que amas pueden considerarse constituidas por m6ltiples caras planas. /s una característica típica de las superficies regladas desarrollales es que dos posiciones consecutivas cualesquiera de su generatri% recta cumplen con la condición principal de concurrencia en un punto, o de paralelismo entre sí. La generatri% se oliga a pasar por un mismo punto fi0o o ien, a despla%arse siempre paralela a sí misma. Deido a esto cada par de elementos rectilíneos consecutivos están colocados en el mismo plano. Dos e0emplos de estas superficies son las superficies cónicas ! las cilíndricas. *4uperficies alaeadas 9na superficie alaeada contiene sus puntos no coplanares. /sto quiere decir que no se encuentran en el mismo plano, a diferencia de las anteriores. Dos posiciones consecutivas cualesquiera de su generatri% recta se cru%an en el espacio no son paralelas ni concurrentes. Deido a esto, no pueden ser desarrolladas.
4 Como su nombre lo indica, pueden extenderse en un solo plano sin
que se produca en ellas rotura o de!ormaci"n en sus elementos #eom$tricos % su desarrollo es mu% similar a la de los poliedros, que est&n construidos por caras planas, de manera que cada pare'a e ellas presentar& en comn una recta, su intersecci"n, la cual puede serir para que una cara #ire *asta coincidir con el plano de la otra+ i tal operaci"n se repite adecuadamente -nalmente encontraremos el con'unto repartido en un solo plano, el de la cara ele#ida arbitrariamente+ .ntonces se podr/a decir que la super-cie del poliedro *a sido desarrollada+ (etancourt, 199)
5omo e0emplo de la generación de una superficie reglada alaeada recurriré al e0emplo de etancourt ;: 4e pueden suponer las dos rectas < ! que se cru%an ! que están fi0as en el espacio. "ales rectas son las directrices de la superficie que se engendra $aciendo mover a la generatri% G de modo que siempre se apo!e en ellas. 4i, como se di0o, las dos directrices < ! son dos rectas que se cru%an, no determinarán ning6n plano entonces la recta G, generatri%, al despla%arse apo!ándose siempre en ellas no podrá generar un plano se trata de una superficie reglada alaeada. Dos posiciones consecutivas cualquiera de la generatri% G se cru%an. 8ara calcular la intersección de una superficie alaeada como un plano se unen los puntos de intersección de las generatrices con el plano secante.La intersección de cualquier superficie alaeada con otra se otiene calculando las intersecciones de las generatrices de las dos. ) /7iste otra posiilidad de formación a partir de estas condiciones en caso de que la directri% G se desplace de manera paralela a un plano fi0o 8 &al cual no son paralelas ninguna de las rectas directrices, la superficie reglada alaeada que se genera es una ' 4eg6n =ellman, Las superficies alaeadas ! las de dole curvatura, a pesar de no contener superficies ni líneas rectas o planas pueden ser apro7imadamente desarrolladas, con una e7actitud que es suficiente para muc$os propósitos prácticos. &=ellman, 1>+'
Desarrollo de paraboloide hiperbólico.
Los paraoloides $iperólicos pueden ser desarrollados en dos modos distintos: el primero como superficie anticlástica a partir de ?dos sistemas de líneas rectas $n e in, cada sistema paralelo a un plano director ! amos planos formando un ángulo aritrario @.A ?Las líneas rectas $n que BseC intersecan a amas directrices, siendo al mismo tiempo paralelas a un
(etancourt, 199) (ulias, 2010) 7 (etancourt, 199)
plano 7% llamado plano director, definen la superficie. 4e les denomina el primer sistema de generatrices.A + /l segundo sistema de generatrices in son rectas paralelas a un segundo plano director !%, el cual, a su ve%, tamién es paralelo a las directrices ED ! <5. 4eguidamente, tamién con el e0e % vertical, se puede representar a los paraoloides $iperólicos como una superficie sinclástica de traslación generados por una paráola principal que se mueve paralelamente a si misma, a lo largo de otra paráola principal invertida. ?8or consiguiente la superficie tiene dos sistemas de generatrices paraólicas. 5ada sistema está compuesto por paráolas idénticas, situadas en planos paralelos.A >
8 (aber, 1970) 9 (aber, 1970)
Conclusiones:
/s claro que los conocimientos geométricos ! matemáticos $an avan%ado más rápidamente en lo que respecta a sus aplicaciones en procedimientos constructivos, ! este es el caso de las superficies alaeadas. 4ólo as superficies regladas alaeadas encuentran una aplicación mu! e7tendida en la construcción de cuiertas, te0ados, a0ustes de tuerías, engrana0es, torres de refrigeración de centrales nucleares, engrana0es $iperólicos para a0ustar ruedas cu!os e0es se cru%an, etc. 1F Las demás no son aplicales a la realidad, sin emargo, el $ec$o de que e7istan en la dimensión teórica no les resta importancia, nuestro entendimiento astracto el universo se enriquece, un universo tan asto que podemos seguir encontrando nuevos elementos ! nuevas formas de interpretar lo que los cálculos tienen para decirnos. 8anofs! cuestiona el $ec$o de que llamemos ?realidadA a lo que vemos, !a que esta impresión se constitu!e a partir de nuestra percepción sensorial, cuando la astracción nos lleva muc$o más allá de nuestros límites psico*fisiológicos. 11
10 (ulias, 2010) 11 (5ano!s6%, 1999)
Huentes de consulta: etancourt, + (199)+ Elementos de la Geometría Descriptiva. $xico+ Correa, + (2013)+ Biblioteca virtual de la Facultad de Arquitectura UNAM. ecuperado el 2 de 'ulio de 201, de undamentos de eometr/a :escriptia ; *ttp;<
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