Cuádricas
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Definición Una cuádrica es el lugar geométrico de los puntos del espacio ( x,y,z ) que verifican una ecuación de segundo grado del tipo
La ecuación de una cuádrica se puede escribir en forma matricial como
donde
Denotaremos por del elemento a00 en A.
la matriz que define la cuádrica y por A00 la matriz adjunta
Clasificación Las cuádricas se clasifican de acuerdo a su signatura , es decir, el módulo de la diferencia entre el número de autovalores positivos y negativos de A00. Sin embargo, para calcular la signatura de la cuádrica no es necesario diagonalizar la matriz, debido a la existencia de unas cantidades invariantes asociadas a A00 que permiten determinar sin necesidad de calcular explícitamente sus autovalores. Veámoslo:
los autovalores son las raíces del polinomio característico, es decir, las soluciones de la ecuación
. Ahora bien,
con
Cuando los tres autovalores de A00 son no nulos, es decir, det A det A00 ≠ 0, si escribimos la sucesión K, J, I, 1 y denotamos por P y V el número de permanencias y variaciones de signo que hay en ella, respectivamente, entonces |P-V| = . Los valores I, J, K se conocen como invariantes de la cuádrica. De esta forma se tiene:
1. Si σ = 3 :
1. det det A > 0 ---> ---> elip elipsoi soide de real real 2. det A < 0 ---> elipsoide elipsoide imaginario imaginario (no existen existen puntos puntos reales reales que que verifican la ecuación) 3. det det A = 0 ---> ---> cono cono imagin imaginari ario o 2. Si σ = 1 : 1. det A > 0 ---> hiperboloide hiperbólico (de una hoja) 2. det A < 0 ---> ---> hiperbo hiperboloid loidee elíptico elíptico (de (de dos dos hojas) hojas) 3. det det A = 0 ---> ---> con cono o real real det A00 = 0) pero el determinante de A es distinto de Si alguno de los autovalores es nulo ( det A cero, entonces;
1. Si J > 0 ---> ---> parab parabolo oloide ide elípt elíptic ico o 2. Si J < 0 ---> parabolo paraboloide ide hiperból hiperbólico ico Si det A det A = det A det A00 = 0, hay que introducir nuevos invariantes para completar la clasificación
donde Aii representa la matriz adjunta del elemento aii en A para i=1,2,3. Con estos nuevos invariantes se tiene
1. J > 0
1. K' ≠ 0 y signo K' = signo I ---> cilindro elíptico imaginario 2. K' ≠ 0 y signo K' ≠ signo I ---> cilindro elíptico real 3. K' = 0 ---> par de planos imaginarios secantes
2. J < 0 1. K' ≠ 0 ----> cilindro hiperbólico hiperbólico
2. K' = 0 ----> par de planos planos reales reales secantes secantes 3. J = 0 y I ≠ 0 1. K' ≠ 0 ----> cilindro parabólico 2. K' = 0 y J' > 0 -- --> par de planos planos imaginar imaginarios ios paralelo paraleloss distintos 3. K' = 0 y J' < 0 -----> par par de de planos reales paralelos distintos 4. K' = 0 y J' = 0 ----> par de planos planos coincide coincidentes ntes En la tabla siguiente se resume la clasificación anterior:
C l a s i f i c a c i ón ón d e l a s C u á d r i c a s σ
det A > 0 = 3 det A < 0 det A = 0
σ
det A > 0 = 1 det A < 0 det A = 0
det A00 ≠ 0
det A≠ 0
J>0 J<0
Elipsoide Real Elipsoide Imaginario Cono Imaginario Hiperboloide Hiperbólico Hiperboloide Elíptico Cono Real Paraboloide Elíptico Paraboloide Hiperbólico
K'≠ 0 , signo K' = signo I Cilindro
elíptico imaginario J>0
det A00 = 0
det A =0
K' ≠ 0 , signo K' ≠ signo I Cilindro elíptico real Par de planos K' = 0
imaginarios secantes K' ≠ 0 Cilindro hiperbólico J < 0 K' = 0 Par de planos reales secantes K' ≠ 0 Cilindro Parabólico K' = 0, J' > 0 Par de planos J = 0 imaginarios paralelos distintos I ≠ K' = 0, J' < 0 Par de planos 0 reales paralelos distintos K' = 0, J' = 0 Par de planos
coincidentes
Centro Plano polar: Dado un punto P = ( x 0 ,y0 ,z 0) ∈ IR3 se define el plano polar de P respecto a la cuádrica de matriz A como el plano de ecuación
Si P pertenece a la cuádrica, entonces el plano polar de P coincide con el plano tangente a dicha superficie en P. No todos los puntos poseen plano polar. La condición para que un punto ( x, y, z ) es que verifique el sistema de ecuaciones
no
lo tenga
que geométricamente se interpreta como la intersección de tres planos. Si det A00≠ 0, entonces el sistema es compatible y tiene solución única. El punto solución se conoce comocentro de la cuádrica. Si det A00 pueden ocurrir tres cosas, si det A=0 y los rangos de ambas matrices son iguales a 2 el sistema posee una recta de soluciones, entonces se dice que la cuádrica tiene una recta de centros. Por otro lado, si det A=0 y el rango de ambas matrices es igual a 1 existe un plano de soluciones, y se dice que la cuádrica tiene un plano de centros. Finalmente, si los rangos difieren o det A ≠ 0 el sistema no tiene solución, en tal caso la cuádrica carece de centro, recta o plano de centros. Así, se tiene: • •
Cuádricas con centro: elipsoides, hiperboloides y conos. Cuádricas con eje de centros: cilindros elípticos e hiperbólicos y pares de planos
secantes. • •
Cuádricas con plano de centros: pares de planos paralelos o coincidentes. El resto de las cuádricas no posee centro (lo tiene en el
infinito): paraboloides y cilindros parabólicos. El centro es un punto de simetría de la cuádrica, el eje y el plano de centros son a su vez eje y plano de simetría.
Ejemplo: Consideremos la cuádrica de ecuación
Esta cuádrica es un elipsoide (véase la tabla de clasificación). El plano polar por el punto ( 2, 1, 3) es el plano de ecuación
que corta a la superficie (nótese que ( 2, 1, 3) es exterior a la superficie como se ve en la figura siguiente).
El centro de la cuádrica es la solución del sistema de ecuaciones
que en este caso resulta ser el origen de coordenadas.
En las figuras siguientes vemos los planos polares en los puntos ( 0, 1, 1/2) y (0, 2, 0):
En el primer caso el punto es interior a la superficie y el plano polar es exterior a la misma, mientras que en el segundo caso el punto e stá sobre el elipsoide y el plano polar coincide con el plano tangente a la superficie en dicho punto.
Ecuación reducida La ecuación reducida de una cuádrica es aquella ecuación simplificada que representa la superficie con su centro (si lo tiene) situado en el origen de coordenadas mientras que los ejes coordenados tienen relaciones particulares con la cuádrica. Partiendo de la ecuación general de una cuádrica se puede llegar a su ecuación reducida aplicandole consecutivamente un giro y una translación de forma adecuada aunque en algunos casos especiales es necesario aplicar después de esta última un giro plano. A continuación recogemos los tipos de ecuaciones reducidas y que cuádricas representan, así como la forma de obtenerlas a partir de los invariantes.
Denotemos por •
,
y
las raíces de
, entonces:
Elipsoides, hiperboloides y conos: donde
•
elipsoide
hiperboloide hiperbólico
hiperboloide elíptico
cono
Paraboloides: donde
paraboloide elíptico
•
paraboloide hiperbólico
Cilindro elíptico e hiperbólico y pares de planos secantes : donde
cilindro elíptico
•
Cilindro parabólico : donde
cilindro hiperbólico
par de planos secantes
cilindro parabólico
•
Pares de planos paralelos : donde
par de planos paralelos
Cuádricas no degeneradas Elipsoide
Hiperboloide hiperbólico
Elipsoide
Hiperboloide elíptico
Paraboloide elíptico
Paraboloide hiperbólico
Un ejemplo real Ecuación reducida:
La cuádrica tiene signatura 3 y los autovalores de la matriz A00 son los tres positivos. Los cortes del elipsoide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas de tipo elipse (en lo siguiente se supone que el elipsoide esta centrado en el origen de coordenadas y tiene la ecuación reducida que se da arriba): •
Cortes por planos
Si
α <
donde
z=
α
c la curva de corte es una elipse de ecuación
• •
Si α > c no hay intersección real. Si α = c la intersección se reduce a un punto, siendo el plano tangente a la superficie elíptica.
•
Para cortes con planos de la forma y = α ó x = α el resultado es análogo al anterior intercambiando el papel de las variables de forma adecuada.
(corte por un plano y = •
con 0 <
< b)
(corte por un plano x =
Hiperboloide hiperbólico
Un ejemplo real Ecuación reducida:
con 0 <
< a)
La cuádrica tiene signatura 1 y los autovalores de la matriz A00 son dos positivos y uno negativo. Los cortes del hiperboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas (en lo siguiente se supone que el hiperboloide esta centrado en el origen de coordenadas y tiene la pimera de las ecuaciones reducidas dadas arriba): •
Cortes por planos
z=α
La curva de corte es una elipse de ecuación donde
(
>0)
(
•
Cortes por planos
= 0, elipse de garganta )
x=α
El corte es la hipérbola de ecuación donde
(
•
=0)
(
>0)
Cortes por planos y = α El corte es una hipérbola como la del caso anterior donde los papeles de x e y se han intercambiado.
El hiperboloide hiperbólico puede ser visto también como una superficie de revolución engendrada al girar una hiperbola alrededor del eje de la cuádrica (en el caso de la ecuación reducida que estamos utilizando, el eje z) describiendo una elipse.
Además el hiperboloide hiperbólico es una superficie doblemente reglada puesto que contiene a las dos familias de rectas. Veamoslo, la ecuación del hiperboloide se puede escribir como
Entonces cualquier punto que satisface la ecuación del hiperboloide satisface el siguiente conjunto de ecuaciones para algun valor del parametro.
Cada una de las ecuaciones anteriores representa un plano luego finalmente tenemos un par de rectas contenidas en el hiperboloide.
Hiperboloide elíptico
Un ejemplo real
Ecuación reducida:
(En las figuras anteriores
a = b = c)
La cuádrica tiene signatura 1 y los autovalores de la matriz A00 son dos negativos y uno positivo. Los cortes del hiperboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas (El desarrollo que sigue se ha hecho utilizando la primera de las ecuaciones reducidas) •
Cortes por planos z = α
la intersección es una hipérbola de ecuación
donde
•
Corte por planos y
=α
el resultado es análogo al anterior intercambiando los papeles de y y z
•
Cortes por planos x = α si |α | > a, entonces la curva intersección resulta ser una elipse de ecuación
donde
x = α
>a
x = -α
< -a
• •
si |α | < a no hay intersección real. si |α | = a, entonces la intersección se reduce a un punto y el plano en cuestión es tangente a la superficie.
(α
=0
)
A continuación incluimos otros dibujos en los cuales el hiperboloide tiene la segunda ecuación reducida y los parámetros a,b y c son distintos •
(corte por plano z = α > c)
•
(corte por plano y = α > 0)
•
(corte por plano x = α > 0)
Paraboloide elíptico
Un ejemplo real
Ecuación reducida:
Los cortes del paraboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas, (en lo siguiente se supone que el parabolide tiene la ecuación reducida que se da arriba): •
Cortes por planos z = α si α > 0, entonces la curva intersección resulta ser una elipse de semiejes a y b con
ecuación
(α
>0)
•
si
α
< 0, entonces no existe intersección.
si α = 0 la intersección se reduce a un punto, siendo la superficie cuádrica tangente al plano en dicho punto.
(α < 0)
•
Corte por planos y = α parábolas
o por planos x = α
las curvas intersección son las
(corte por plano y =
=0)
(corte por plano x =
>0 )
Paraboloide hiperbólico
Un ejemplo real
(Foto cedida por el Prof. D. Juan M. Báez Mezquita)
Ecuación reducida:
En lo que sigue utilizaremos la primera de las ecuaciones reducidas. El paraboloide hiperbólico es una superficie doblemente reglada por las familias de rectas:
Los cortes del paraboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas: •
Cortes por planos z = α si α ≠
0, entonces la curva intersección es una hipérbola de
ecuación
•
(
> 0)
(
< 0)
•
si α = 0, entonces la intersección es un par de rectas que se cortan en el origen de coordenadas
•
(
•
= 0)
Cortes por planos y = α o por planos x = α
las curvas intersección son las parábolas respectivamente.
y
(y=
= 0)
(x=
=0)
A continuación presentamos figuras donde se ha cortado el paraboloide hiperbólico por plano oblicuos no paralelos a los coordenados
Una superficie de revolución es aquella que se genera mediante la rotación de una curva plana, o generatriz, alrededor de una rectadirectriz, llamada eje de rotación, la cual se halla en el mismo plano que la curva. Ejemplos comunes de una superficie de revolución son:
Superficie de revolución.
♣
Una superficie de revolución cilíndrica es generada por la rotación de una línea recta, paralela al eje de
rotación, alrededor del mismo; esta superficie determina un volumen denominado cilindro, que se denomina sólido de revolución; la distancia entre el eje y la recta se denominaradio.
♣
Una superficie de revolución cónica es generada por la rotación de una recta alrededor de un eje al cual
interseca en un punto, llamado vértice o ápice, de forma que el ángulo bajo el que la generatriz corta al eje es constante; la superficie cónica delimita al volumen denominado cono.
♣
Una superficie de revolución esférica está generada por la rotación de un semicírculo alrededor de
su diámetro; ésta encierra al sólido de revolu ción llamado esfera.
♣
Una superficie de revolución toroidal está generada por la rotación de una circunferenciaalrededor de un eje
que no la interseca en ningún punto; esta superficie se denomina toro.
Aplicaciones La utilización de superficies de revolución es esencial en diversos campos de la física y la ingeniería, así como en el diseño, cuando se dibujan objetos digitalmente, sus superficies pueden ser calculadas de este modo sin necesidad de medir la longitud o el radio del objeto. La alfarería, y el torneado industrial, moldean y modelan volúmenes con variadas superficies de revolución de gran utilidad y uso cotidiano.
Cuádrica Una cuádrica es una superficie determinada por una ecuación de la forma: donde P es un polinomio de segundo grado en las coordenadas
.
Cuando no se precisa, es una superficie del espacio tridimensional real usual, en un sistema de coordenadas ortogonal y unitario, y las coordenadas se l laman x , y , z .
Hiperboloide de una hoja.
Historia Fueron los matemáticos griegos de la antigüedad quienes iniciaron el estudio de las cuádricas, con el cono (una cuádrica) y sus secciones, que son las cuádricas en el plano bidimensional, aunque no emplearon ecuaciones.
Definición algebraica Una cuádrica o superficie cuádrica, es una hipersuperficie D-dimensional representada por una ecuación de segundo grado con variables (coordenadas) espaciales. Si estas coordenadas son cuádrica típica en ese espacio se define mediante la ecuación algebraica:
, entonces la
donde Q es una matriz cuadrada de dimensión (D), P es un vector de dimensión (D) y R es una constante. Si bien Q, P y R son por lo general reales o complejos, una cuádrica puede definirse en general sobre cualquier anillo.
Ecuación cartesiana La ecuación cartesiana de una superficie cuádrica es de la forma:
♣La definición algebraica de las cuádricas ti ene el defecto de incluir casos s in interés geométrico y
sin vínculo con el tema.
Por ejemplo, la ecuación:
es de segundo grado pero, también se puede escribir como:
que equivale a: , una ecuación de primer grado que corresponde a un plano, superficie que no tiene las propiedades relacionadas con el segundo grado. Generalmente, se descartan todos los polinomios de segundo grado que son cuadrados.
Ecuación normalizada La ecuación normalizada de una cuádrica tridimensional ( D = 3), centrada en el origen (0, 0, 0) de un espacio tridimensional, es :
Tipos de cuádricas Por medio de traslaciones y rotaciones cualquier cuádrica se puede transformar en una de las formas "normalizadas". En el espacio tridimensional euclídeo, existen 16 formas normalizadas; las más interesantes son l as siguientes:
elipsoide
→ esferoide (caso particular de elipsoide) → esfera (caso particular de esferoide) paraboloide
→ paraboloide hiperbólico (caso particular de paraboloide)
→ paraboloide elíptico (caso particular de paraboloide)
→ paraboloide circular (caso particular de paraboloide elíptico) hiperboloide
→ hiperboloide de una hoja (caso particular de hiperboloide)
→ hiperboloide de dos hojas (caso particular de hiperboloide)
cilindro
→ cilindro elíptico (caso particular de cilindro)
→ cilindro circular (caso particular de cilindro elíptico)
→ cilindro hiperbólico (caso particular de cilindro)
→ cilindro parabólico (caso particular de cilindro)
cono elíptico
→ cono circular (caso particular de cono elíptico)
En el espacio proyectivo real, el elipsoide, el hiperboloide elíptico y el paraboloide elíptico son similares; los dos paraboloides hiperbólicos tampoco se diferencian entre ellos (por ser superficies regladas; el cono y el cilindro tampoco son distintos entre sí (por ser cuádricas "degeneradas"). En el espacio proyectivo complejo todas las cuádricas no degeneradas resultan indistinguibles entre ellas.
Superficies cuadráticas
Las secciones cónicas: elipse, parábola e hipérbola tienen su generalización al espacio tridimensional en elipsoide, paraboloide e hiperboloide.
Definición (superficies
cuadráticas) La gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables
se conocen como superficies cuadráticas, salvo casos degenerados.
Observación: en
la
ecuación
grado
de deliberadamente
segundo no
hemos incluido los términos mixtos , y , pues la presencia de estos genera superficies con rotación, tema que no trataremos en el curso Elipsoide La gráfica de la ecuación:
corresponde a un elipsoide. Es simétrico con respecto a cada uno de los tres planos coordenados y tiene intersección con los ejes coordenados en ), y .La traza del elipsoide sobre cada uno de los planos coordenados es un único punto (! ) o una elipse. La figura 1 muestra su gráfica.
Figura 1. Elipsoide [Ver en ambiente 3D-JviewD]
Paraboloide elíptico La gráfica de la ecuación
es un paraboloide elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales elipse :
Sus trazas sobre planos verticales, ya sean
o
son
son parábola.
Figura 2. Paraboloide elíptico [Ver en ambiente 3D-JviewD]
Paraboloide hiperbólico La gráfica de la ecuación:
es un paraboloide hiperbólico. Sus trazas sobre planos horizontales son hipérbolas o dos rectas ( ). Sus trazas sobre planos verticales paralelos al plano son parábolas que abren hacia abajo, mientras que las trazas sobre
planos verticales paralelos al plano son parábolas que abren hacia arriba. Su gráfica tiene la forma de una silla de montar, como se observa en la figura 3.
Figura 3. Paraboloide hiperbólico [Ver en ambiente 3D-JviewD]
Cono elíptico La gráfica de la ecuación:
es un cono elíptico.Sus trazas sobre planos horizontales son elipses.Sus trazas sobre planos verticales corresponden a hipérbolas o un par de rectas.Su gráfica se muestra en la figura 4.
Figura 4. Cono elíptico [Ver en ambiente 3D-JviewD]
Hiperboloide de una hoja La gráfica de la ecuación:
es un hiperboloide de una hoja.Sus trazas sobre planos horizontales elipses
son
Sus trazas sobre planos verticales son hipérbolas o un par de rectas que se intersecan (!). Su gráfica se muestra en la figura 5. .
Figura 5. Hiperboloide de una hoja [Ver en ambiente 3D]
Hiperboloide de dos hojas La gráfica de la ecuación:
es un hiperboloide de dos hojas.Su gráfica consta de dos hojas separadas.Sus trazas sobre planos horizontales son elipses y sobre planos verticales son hipérbolas (figura 6).
