1
Superficies en ℝ El espacio ℝ , se define como {( , , )| )|,, ,, ∈ ℝ} ℝ}, lo cual nos indica el conjunto de ternas cuyas coordenadas son números reales.
Una superficie en ℝ es el lugar geométrico definido por el conjunto de puntos {( , , )| = {( )| ((,,) ,, ) = 0 ; , , ∈ ℝ}
Donde la ecuación ( , , ) ) = 0 deberá ser tal que al despejar al menos una de las variables, se obtenga un campo escalar. Es decir, representa una superficie si las coordenadas de todo punto sobre la superficie satisfacen la ecuación y además si todo punto cuyas coordenadas satisfacen satisfacen la ecuación está en la superficie. Las superficies básicas en ℝ son los planos, las esferas, los cilindros, superficies de revolución y las superficies cuádricas. Para realizar bosquejos de sus gráficas es necesario determinar las curvas de intersección de la superficie con planos paralelos a los planos coordenados, las cuales se llaman trazas o secciones transversales.
1) Plano Es generado por un conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación de la forma: + + + = 0
Gráfica del Plano 2 +3 + 5 = 8 en Wolfram Wolfram alpha alpha http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+2x%2B3y%2B5z%3D8
Notas de clase de Cálculo Vectorial Docente: Juan Carlos Acosta Jiménez
2
2) Esfera Superficie formada por todos aquellos puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación: ( − ℎ) + ( − ) + ( − ) =
Donde las coordenadas del centro de la esfera son (ℎ , , ) y el radio viene denotado como .
Gráfica de la esfera + + = 10 , realizado en Wolfram alpha http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+x^2%2By^2%2Bz^2%3D10
3) Superficie Cilíndrica Es una superficie generada por una recta que se mueve a lo largo de una curva plana dada, de tal forma que siempre queda paralela a una recta fija que no está en el plano de dicha curva. Es decir, si una de las variables , ó falta en la ecuación ( , , ) entonces la superficie es cilíndrica.
Gráfica de un cilindro sinusoidal = , realizado en Microsoft Mathematics 4.0 http://www.microsoft.com/es-co/download/details.aspx?id=15702
Notas de clase de Cálculo Vectorial Docente: Juan Carlos Acosta Jiménez
3
La recta que de desplaza se llama generatriz del cilindro y la curva plana se llama directriz del cilindro.
4) Superficie de Revolución Si una curva plana se hace girar alrededor de una recta fija que está en el plano de la curva la superficie generada se llama superficie de revolución. La recta fija se llama eje de la superficie de revolución y la curva plana se llama curva generadora o línea revolvente.
Gráfica de un catenoide obtenido al girar la curva = ℎ sobre el eje x
La ecuación de una superficie de revolución estará en términos de la curva generadora.
5) Superficie Cuádrica Una superficie Cuádrica está asociada a una ecuación de segundo grado en las variables x, y, z; es decir una superficie Cuádrica tiene como ecuación que la representa una ecuación del tipo: + + + + + + + + + = 0
Las formas canónicas de las cuádricas es la simplificación al máximo de la ecuación anterior usando rotaciones y traslaciones apropiadas para llevarlas a una de las siguientes representaciones: Paraboloide elíptico Paraboloide hiperbólico Hiperboloide de una hoja Hiperboloide de dos hojas Elipsoide Cono elíptico
Notas de clase de Cálculo Vectorial Docente: Juan Carlos Acosta Jiménez
4
Un paraboloide elíptico es una superficie cuya ecuación en forma canónica es
=
+
Donde , , y son números reales diferentes de cero. Si = la superficie se llama paraboloide circular y también es una superficie de revolución. Si > 0 la superficie está orientada hacia arriba, en caso contrario está orientada hacia abajo; las trazas horizontales son elipses y las trazas verticales son parábolas.
Gráfica del paraboloide elíptico
=
+
realizado en Microsoft Mathematics 4.0
Un paraboloide hiperbólico , o comúnmente llamada una silla de montar , es una superficie cuya ecuación en forma canónica es:
=
−
Las trazas horizontales son hipérbolas y las trazas verticales son parábolas.
Gráfica del paraboloide hiperbólico
Notas de clase de Cálculo Vectorial Docente: Juan Carlos Acosta Jiménez
=
−
realizado en Microsoft Mathematics 4.0
5
Un hiperboloide elíptico de un solo manto, o comúnmente llamada un hiperboloide de una hoja, es una superficie cuya ecuación en forma canónica es:
+
−
= 1
Gráfica del hiperboloide elíptico de un solo manto + − = 1 realizado en Microsoft Mathematics 4.0
Un hiperboloide elíptico de dos mantos, o comúnmente llamada un hiperboloide de dos hojas, es una superficie cuya ecuación en forma canónica es:
+
−
= −1
Gráfica del hiperboloide elíptico de dos mantos + − = −1 realizado en Microsoft Mathematics 4.0
Notas de clase de Cálculo Vectorial Docente: Juan Carlos Acosta Jiménez
6
Un elipsoide es una superficie cuya ecuación en forma canónica es:
+
+
= 1
Todas las trazas son elipses. Si = la superficie es de revolución y si = = entonces tendremos una esfera de radio unitario.
Gráfico del elipsoide
+ +
= 1 realizado en Microsoft Mathematics 4.0
Un cono elíptico tiene por ecuación canónica:
+
−
= 0
Si = la superficie es de revolución
Gráfico del cono elíptico + − = 0 realizado en Microsoft Mathematics 4.0
Notas de clase de Cálculo Vectorial Docente: Juan Carlos Acosta Jiménez
7
Ejercicios: Identifique las siguientes superficies cuádricas realizando las operaciones algebraicas que considere necesarias: factorice, complete cuadrados. 1) 4 − + 2 + 4 = 0 2) + 2 − 6 − + 10 = 0 3) + 4 + 9 = 1 4) 9 + 4 + = 1 5) − + = 1 6) − + − = 1 7) 2 + = 8) + 2 = 9) + 2 = 1 10) − =
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Notas de clase de Cálculo Vectorial Docente: Juan Carlos Acosta Jiménez
8
g)
h)
i)
j)
Notas de clase de Cálculo Vectorial Docente: Juan Carlos Acosta Jiménez
