Susskind Leonard Hrabovsky George--Az Elmeleti Minimum

© Typotex Kiadó

AZ ELMÉLETI MINIMUM

www.interkonyv.hu

© Hungarian translation, Hraskó Péter

© Typotex Kiadó

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

L EONARD S USSKIND és G EORGE H RABOVSKY

AZ ELMÉLETI MINIMUM KLASSZIKUS MECHANIKA

AMIT A FIZIKÁHOZ TUDNI KELL

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

A könyv a Magyar Tudományos Akadémia támogatásával készült.

c 2013 by Leonard Susskind and George Hrabovsky. Copyright All rights reserved. A fordítás a következ˝o kiadás alapján készült: The Theoretical Minimum: What You Need to Know to Start Doing Physics. Basic Books, A Member of the Perseus Books Group, New York, 2013 c Hungarian translation, Hraskó Péter, Typotex, 2013 Engedély nélkül semmilyen formában nem másolható! ISBN 978 963 279 318 4 Témakör: fizika Kedves Olvasó! Köszönjük, hogy kínálatunkból választott olvasnivalót!

Újabb kiadványainkról és akcióinkról a www.typotex.hu és a facebook.com/typotexkiado oldalakon értesülhet. Kiadja a Typotex Elektronikus Kiadó Kft. Felel˝os vezet˝o: Votisky Zsuzsa A kötetet gondozta: Gerner József Borítóterv: Jeney Szilvia Violetta Nyomás: Séd Nyomda Kft. Felel˝os vezet˝o: Katona Szilvia www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

Tartalom

Eloszó ˝

vii

1. eloadás: ˝ A klasszikus fizika természete

1

1. közjáték: Terek, trigonometria és vektorok

19

2. eloadás: ˝ A mozgás

35

2. közjáték: Integrálszámítás

57

3. eloadás: ˝ Dinamika

71

3. közjáték: Parciális deriválás

89

4. eloadás: ˝ Egynél több részecskébol ˝ álló rendszerek

101

5. eloadás: ˝ Az energia

113

6. eloadás: ˝ A legkisebb hatás elve

125

7. eloadás: ˝ Szimmetriák és megmaradási törvények

151

v www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

8. eloadás: ˝ Hamilton-mechanika és az idobeli ˝ transzlációs invariancia

171

9. eloadás: ˝ A fázistérfolyadék és a Gibbs-Liouville-tétel

191

10. eloadás: ˝ Poisson-zárójelek, impulzusmomentum és a szimmetriák

205

11. eloadás: ˝ Elektromos és mágneses erok ˝

225

Függelék: A centrális erok ˝ és a bolygópályák

251

Tárgymutató

269

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

Eloszó ˝

Mindig boldog voltam, ha fizikát magyarázhattam. Számomra ez sokkal több, mint szimpla tanítás: valójában a gondolkodás egyik formája. Még akkor is dialógusok peregnek a fejemben, amikor kutatással foglalkozom az íróasztalomnál. Én ugyanis akkor értek meg igazán valamit, amikor rájövök, hogyan lehet azt világosan elmagyarázni. Úgy tíz évvel ezel˝ott megkérdezték t˝olem, nem lenne-e kedvem el˝oadásokat tartani laikus érdekl˝od˝ok számára. Az a helyzet ugyanis, hogy a stanfordi régióban nagy számban találni olyanokat, akik szívesen tanultak volna fizikát, de az életük másképp alakult. A legkülönfélébb foglalkozásoknál kötöttek ki, de nem veszítették el egykori komoly érdekl˝odésüket a fizikai világ törvényszeruségei ˝ iránt. Most, egy vagy akár két hivatással a tarsolyukban, újból nekiveselkednének, legalább a köznapi ismeretek szintjén. Sajnos azonban az ilyen embereknek nem sok lehet˝oségük volt olyan kurzust találni, amely kielégítené igényeiket. Más egyetemekhez hasonlóan Stanfordban sem járhatnak be kívülállók az egyetemi el˝oadásokra, és egy meglett ember számára rendes hallgatóként újra beülni az iskolapadba nem járható út. Ez a probvii www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

viii

Az elméleti minimum

léma elgondolkoztatott. Meg kellett találni a módját, hogy az ilyen emberek is kapcsolatba kerülhessenek aktív kutatókkal, még ha erre nem is létezett megfelel˝o szervezeti forma. Ezért találtam ki a Stanford Feln˝ottképzési Programot (Stanford’s Continuing Studies. Ez a program a helyi laikus közönség számára kínál el˝oadássorozatokat. Úgy gondoltam, ez nemcsak az o˝ igényeiket elégíti ki, hanem az enyémet is, amennyiben lenne hallgatóságom, akinek fizikát magyarázhatok. Arra számítottam, hogy kifejezetten élvezetes foglalatosság lesz számomra modern fizikát magyarázni laikus érdekl˝od˝oknek – legalábbis egy egyetemi félév tartamára. Élvezetes is volt. Másfajta kielégülést nyújtott, mint az alapés a mesterképzésben folyó oktatás. Hallgatóságomnak egyetlen célja volt. Nem a kreditpont, nem a tudományos fokozat és nem is az eredményes vizsga, hanem egyes-egyedül a tanulás, a kíváncsiságuk kielégítése. Hamar otthon érezték magukat, nem fukarkodtak a kérdésekkel, és az órák olyan élénk legkörben folytak, amilyet ritkán lehet az egyetemi el˝oadásokon tapasztalni. Elhatároztam, hogy másodszor is megtartom a kurzust. Aztán újra meg újra felvállaltam. Egy id˝o után azonban világossá vált számomra, hogy a hallgatóim nem elégedettek maradéktalanul azzal a laikusokra szabott el˝oadásmóddal, amivel kezdetben próbálkoztam. Többre vágytak, mint amit például a Scientific American1 nyújt a számukra. A többségük rendelkezett valamilyen háttértudással, voltak emlékeik a fizikából, berozsdásodott, de nem teljesen használhatatlan ismereteik a matematikai analízisb˝ol, és rendelkeztek 1 Az

USA-ban megjelen˝o népszeru˝ tudományos folyóirat. – (A fordító)

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

ix

El˝oszó

bizonyos tapasztalattal technikai jellegu˝ problémák megoldásában. Készek voltak a valóságos jelenségeket egyenletek segítségével is megpróbálni megérteni. Mindennek több egymást követ˝o el˝oadás-sorozat lett a következménye, amelyek azt célozták, hogy ezeket a hallgatókat egészen a modern fizika és kozmológia frontvonaláig elkalauzolják. Szerencsére valakinek (nem nekem) eszébe jutott, hogy videóra is lehet venni az órákat. Ma már fent vannak az interneten és minden jel szerint rendkívül népszeruek: ˝ nem Stanford az egyedüli hely, ahol vannak fizikai ismeretekre éhes polgárok. E-mailek ezreit kapom a világ minden részéb˝ol. Az egyik leggyakoribb kérdés az, hogy lesz-e valamikor könyv is ezekb˝ol az el˝oadásokból. A válasz Az elméleti minimum. Az „ elméleti minimum” elnevezés nem az én találmányom. A nagy orosz fizikustól, Lev Landautól ered. Oroszországban az EM azt a tudást jelentette, ami ahhoz kellett, hogy valaki Landau munkatársa lehessen. Landau rendkívül igényes ember volt. Felfogása szerint az elméleti minimumba szinte minden beletartozott, amit o˝ tudott, de erre persze rajta kívül más aligha lehetett képes. Én az elnevezést másként használom. Elméleti minimumon azt a tudást értem, amely ahhoz szükséges, hogy egy szinttel följebb lehessen lépni. Nem vastag enciklopédikus kézikönyvekre gondolok, amelyekben minden megvan, hanem vékony kötetekre, amelyek minden fontos dolgot megmagyaráznak. E könyvecskék szorosan követik az internetr˝ol letölthet˝o el˝oadásokat.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

x


Nos hát, üdvözlöm Önöket Az elméleti minimum – Klasszikus mechanika kurzuson, és szerencsét kívánok hozzá! Leonard Susskind Stanford, Kalifornia, 2012. július Tizenegy éves koromban – úgy negyven évvel ezel˝ott – magam kezdtem el matematikát és fizikát tanulni. Azóta sok minden történt – egyike vagyok azoknak, akiknek az élete mellékvágányra futott. De azért elég sok ismeretet szedtem össze matematikából is, fizikából is. Noha megrendelésre végzett kutatásokból élek, nem törekedtem tudományos fokozat megszerzésére. Számomra ez a történet egy e-maillel kezd˝odött. Miután az interneten megnéztem azokat az el˝oadásokat, amelyek ennek a könyvnek az alapját képezik, e-mailben megkérdeztem Leonard Susskindtól, nem szándékozik-e az el˝oadásokat könyv formájában is megjelentetni. A dolog elindult, és most itt tartunk. Nem illeszthettünk be a könyvbe mindent, amit szerettünk volna, ha nem akartunk Az elméleti minimum – Klasszikus mechanika helyett egy Nagy, vastag mechanikát írni. Erre való az internet: Legyen elég sávszélességünk ahhoz, hogy a képerny˝on mindent megjeleníthessünk, ami másutt nem fér el. További anyagokat a http://www.madscitech.org/tm/ címen lehet találni (angolul). Itt vannak összegyujtve ˝ a feladatok megoldásai, különféle demonstrációk és azok a fejezetek, amelyek nem fértek bele a könyvbe. Nagyon remélem, hogy a könyvet ugyanolyan élvezettel lehet majd olvasni, amilyen élvezettel írtuk. George Hrabovsky Madison, Wisconsin, 2012. július

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

1. eloadás: ˝ A klasszikus fizika természete

Valahol Steinbeck szül˝oföldjén két fáradt vándor üldögél az út szélén. Lenny2 az ujjaival fésülgeti a szakállát, aztán megszólal: George, mondj nekem valamit a fizika törvényeir˝ol! George a földet bámulja egy ideig, végül a szemüvege fölött Lennyre mereszti a szemét: Rendben, Lenny, de csak a minimumot.

Mit nevezünk klasszikus fizikának? Klasszikus fizikának a kvantummechanika megszületése el˝otti fizikát hívjuk. A tömegpontok mozgását leíró Newton-egyenletek, az elektromágneses mez˝o Maxwell–Faraday-elmélete, Einstein általános relativitáselmélete – ezek mind a klasszikus fizikához tartoznak. De a klasszikus fizika több, mint speciális jelenségekre vonatkozó speciális elméletek gyu ˝ jteménye: Meghatározott logikai alapot biztosító elveknek és szabályoknak olyan jelenségekre vonatkozó összesége, amelyekben a kvantum-bizonytalanság szerepe elhanyagolható. Ezeket az általános szabályokat nevezzük klasszikus mechanikának. 2A

Leonard keresztnév becézett alakja. – (A fordító)

1 www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

2


A klasszikus mechanika feladata a jöv˝o prognosztizálása. Pierre-Simon Laplace, a nagy tizennyolcadik századi fizikus ezekben a sokat idézett sorokban így fogalmazta ezt meg: Az univerzum pillanatnyi állapotát a múltbeli állapot következményének, és a jöv˝obeni állapot okának tekinthetjük. Egy olyan intellektus, amely egy adott pillanatban ismerné a természetet mozgásban tartó összes er˝ot és az azt alkotó összes test helyzetét, valamint képes lenne arra is, hogy ezeket az adatokat analizálja, egyetlen formulában foglalhatná össze az univerzum leghatalmasabb égitesteinek és a legparányibb atomnak a mozgását; egy ilyen intellektus nem ismerne semmiféle bizonytalanságot, a jöv˝o ugyanolyan tisztán állna el˝otte, mint a múlt. Ha ismerjük egy rendszer állapotát egy adott pillanatban, és rendelkezésünkre állnak azok az egyenletek is, amelyek meghatározzák a változását, akkor megjósolhatjuk a jöv˝obeli állapotát. Ezt értjük azon, hogy a klasszikus fizika törvényei determinisztikusak. Ha ugyanezt elmondhatjuk úgy is, hogy a jöv˝ot és a múltat felcseréljük egymással, akkor az egyenleteink a múltra vonatkozóan is tartalmaznak minden információt. Az ilyen rendszereket reverzibiliseknek hívjuk.

Egyszeru˝ dinamikai rendszerek és állapotterek Különféle objektumok – részecskék, mez˝ok, hullámok vagy bármi egyéb – összeségét rendszernek nevezzük. Ha a rendszer maga a teljes univerzum, vagy annyira izolálva van, hogy a mozgása

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó A klasszikus fizika természete

3

olyan, mintha rajta kívül nem létezne semmi más, akkor zártnak hívjuk.

1. Feladat: Minthogy ennek a fogalomnak rendkívül nagy jelentosége ˝ van az elméleti fizikában, gondolkozzon el a zárt rendszer fogalmáról és arról, hogy létezhet-e ilyen rendszer a valóságban. Milyen hallgatólagos feltevéseket teszünk, amikor egy rendszert zártnak nyilvánítunk? Mit nevezünk nyitott rendszernek?

A következ˝okben néhány nagyon egyszeru˝ zárt rendszert fogunk analizálni annak érdekében, hogy világosabbá tegyük a determinisztikus és a reverzibilis rendszer fogalmát. A példáink sokkal egyszerubbek, ˝ mint a fizikában vizsgált objektumok, de olyan törvényeknek tesznek eleget, amelyek kezdetleges formájuk ellenére hasonlítanak a klasszikus mechanika törvényeire. Els˝o példánk annyira egyszeru, ˝ hogy teljesen nyilvánvaló. Képzeljünk el egy olyan absztrakt dolgot, amelyiknek csak egy állapota van. Ez lehet például egy pénzérme, amelyik oda van ragasztva az asztal lapjához – mindig a fej van felül. A fizikus szaknyelvben azoknak az állapotoknak az összeségét, amelyeket egy rendszer elfoglalhat, a rendszer állapotterének hívják. Az állapottérnek nincs köze a tér szokásos fogalmához, hanem egy matematikai értelemben vett halmaz, amelynek az elemei a rendszer lehetséges állapotainak a megjelölésére szolgálnak. Konkrét példánkban az állapottér egyetlen pontból áll, amelyet Fejnek nevezhe-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

4


tünk és H-val fogjuk rövidíteni3 . Ennek a rendszernek a jöv˝ojét nagyon egyszeru˝ megjósolni: Sohasem történik semmi, és minden megfigyelés H-t ad eredményül. Egy fokkal bonyolultabb példa egy olyan rendszer, amelynek az állapottere két pontot tartalmaz; ez egy olyan absztrakt objektum, amelynek két lehetséges állapota van. Újra elképzelhetünk egy pénzérmét, amely azonban most mutathatja bármelyik oldalát – akár a fejet, akár az írást, amelyeket H-val és T -vel jelölünk (ld. az 1. ábrát).

1. ábra: Két állapotot tartalmazó állapottér

A klasszikus mechanikában feltételezzük, hogy a rendszerek id˝obeli fejl˝odése sima, nincsenek benne ugrások, megszakítások. Ezt folytonos viselkedésnek nevezzük. A fej és az írás között nyilván nem ilyen folytonos az átmenet. Az ehhez hasonló esetekben a mozgás szükségképpen diszkrét ugrásokból áll. Tegyük hát fel, hogy maga az id˝o is diszkrét lépésekben halad, amelyekhez egész számokat rendelhetünk. Az olyan világot, amelynek az id˝obeli fejl˝odése diszkrét, sztroboszkópikusnak hívjuk. Azokra a rendszerekre, amelyek az id˝oben változnak, a dinamikai rendszer elnevezést használjuk. Egy dinamikai rendszer az 3A

„ fej vagy írás!” kifejezés angolul „ heads or tails!”. – (A fordító)

www.interkonyv.hu



5

állapotterén kívül még valami mást is magában foglal: a mozgástörvényt vagy – más néven – dinamikát. Ez egy szabály, amely meghatározza, hogy egy rendszer adott állapota után milyen állapot lesz a következ˝o. Egy nagyon egyszeru˝ dinamikai törvény például az, hogy bármi legyen az állapot az adott pillanatban, a következ˝oben is ugyanaz marad. Ilyen törvény mellett a kétállapotú rendszerünknek mindössze kétfajta története lehet: H H H H H H . . . , vagy T T T T T T . . . . Egy másik lehetséges dinamikai törvény az, hogy bármelyik állapotban van is a rendszer az adott pillanatban, a következ˝oben a másik állapotban lesz. A két törvényt diagrammon is lehet ábrázolni. A 2. ábra az els˝o törvényt szemlélteti, amelyen a nyíl H-ból H-ba, T -b˝ol T -be mutat. A jöv˝ot nagyon egyszeru˝ el˝ore látni: Ha H-val indulunk, a rendszer a H-ban marad, ha pedig a T -vel, akkor mindig T -ben fogjuk találni.

2. ábra: A kétállapotú rendszer egy lehetséges dinamikája

A másik dinamikai törvény diagramja a 3. ábrán látható, amelyen a nyilak H-ból T -be, és T -b˝ol H-ba mutatnak. A jöv˝o megint megjósolható. Ha mondjuk H-val kezdünk, akkor a történet H T H T H T H T . . . lesz. Ha pedig T -vel, akkor T H T H T H T H . . .

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

6


3. ábra: A kétállapotú rendszer másik dinamikai törvénye

Ezeket a dinamikai törvényeket egyenletekkel is leírhatjuk. A rendszereket jellemz˝o változókat szabadsági fokoknak hívjuk. A példabeli pénzérmének egyetlen szabadsági foka van, amelyet a görög σ-val fogunk jelölni. A szigmának két lehetséges értéke van, σ = 1 és σ = −1, amelyek H-nak és T -nek felelnek meg. Ahhoz, hogy az id˝ot is kezelni tudjuk, bevezetünk egy újabb szimbólumot. Amikor az id˝oben folytonosan végbemen˝o fejl˝odést vizsgálunk, az id˝ot t-vel jelöljük. A példánkban azonban az id˝o diszkrét lépésekben n˝o, ilyenkor az n jelölést használjuk rá. Az n-beli állapotot a σ(n) összetett szimbólum mutatja, amely rögzíti σ-t az n pillanatban. Írjuk fel a két törvénynek megfelel˝o id˝obeli fejl˝odést egyenlet formájában! Az els˝o törvény szerint sohasem történik változás. Egyenlettel ez így fejezhet˝o ki: σ(n + 1) = σ(n). Vagyis akármi volt σ értéke az n-ik lépésben, ugyanez marad az állapota a következ˝o lépésben is. A második evolúciós egyenlet a következ˝o: σ(n + 1) = −σ(n), mert az állapot minden lépésben az ellenkez˝ojére vált át.

www.interkonyv.hu



7

Ezek a törvények determinisztikusak, mivel a jöv˝obeli viselkedést a kezdeti állapot egyértelmuen ˝ meghatározza. A klasszikus mechanika összes alaptörvénye determinisztikus. Érdekesebb rendszert kapunk, ha az állapotok számát megnöveljük. A pénzérme helyett használhatunk például játékkockát, amelynek hat lehetséges állapota van (ld. a 4. ábrát).

4. ábra: A 6 állapotú rendszer

A lehetséges törvények száma ebben a példában sokkal nagyobb, és szavakkal is, egyenletekkel is nehezebb leírni o˝ ket. A legegyszerubb ˝ lehet˝oséget az 5. ábra mutatja, amely szerint ha

5. ábra: Az 1. Dinamikai Törvény

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

8


az n-edik pillanatban ismerjük a rendszer állapotának megfelel˝o pontszámot a kockán, a következ˝o n + 1-edik pillanatban az állapot eggyel nagyobb pontszámnak felel meg. Ez a törvény mindaddig jól muködik, ˝ amíg a 6-ot el nem érjük; az ábra ekkor azt jelzi, hogy vissza kell lépni az 1-re, és újra kell kezdeni a lépegetést fölfele. Az ilyen végtelen sokszor ismétl˝od˝o mintázatot ciklusnak hívjuk. Amikor például a kezd˝oállapot a 3, a történet 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, . . . . A továbbiakban ezt a mintázatot 1. Dinamikai Törvénynek fogjuk nevezni.

6. ábra: A 2. Dinamikai Törvény

A 6. ábrán egy másik törvény, a 2. Dinamikai Törvény látható. Némileg zavarosabban néz ki, mint az el˝oz˝o eset, de logikailag nem különbözik t˝ole: Mindkét eset egy-egy végtelen ciklus a hat lehet˝oségen keresztül. Ha megfelel˝oen átszámoznánk az állapotokat, a 2. Dinamikai Törvényr˝ol kiderülne, hogy az 1. Dinamikai Törvénnyel azonos. De nem mindegyik törvény azonos egymással logikailag. Vegyük például a 7. ábrán látható törvényt. Ennek a 3. Dinamikai Törvénynek két ciklusa van. Amikor az egyikbe tartozó valame-

www.interkonyv.hu



9


lyik állapotból indulunk, sohase kerülünk át a másikba. A törvény ennek ellenére tökéletesen determinisztikus. Akárhol kezdjük is el, a jöv˝o egyértelmuen ˝ rögzítve lesz. Amikor például 2-vel kezdünk, a történet 2, 6, 1, 2, 6, 1, . . . . Sohasem jutunk el 5-höz. Ha viszont 5-nél kezdjük, a történet 5, 3, 4, 5, 3, 4, . . . , és sohase érünk el 6-ba. A 8. ábrán a három ciklusból álló 4. Dinamikai Törvény látható.


Hosszú id˝ot venne igénybe, ha egy hatállapotú rendszer összes lehetséges dinamikai törvényét fel akarnánk sorolni.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

10


2. Feladat: Milyen általános szempontok alapján lehetne klasszifikálni egy hatállapotú rendszer törvényeit?

Elfogadhatatlan szabályok: A mínusz elso˝ törvény A klasszikus fizikában nem tekintünk jogosnak minden elképzelhet˝o törvényt. A dinamikai törvényeknek ugyanis azon kívül, hogy determinisztikusak, még reverzibiliseknek is kell lenniük. A fizikában a reverzibilis jelz˝onek sokféle értelmezése van. A legtömörebb az, hogy egy törvény akkor reverzibilis, ha az összes nyilat megfordítva még mindig determinisztikus marad. Másként kifejezve ugyanezt: egy reverzibilis törvény a jöv˝o és a múlt irányában egyaránt determinisztikus. Mit is mondott Laplace: „ . . . egy ilyen intellektus nem ismerne semmiféle bizonytalanságot, a jöv˝o ugyanolyan tisztán állna el˝otte, mint a múlt.” El lehet képzelni olyan törvényeket, amelyek csak a jöv˝o irányában determinisztikusak, a múlt irányában azonban nem? Más szavakkal: meg lehet fogalmazni irreverzibilis törvényeket? Igen, lehet. Pillantsunk csak a 9. ábrára.

9. ábra: Egy irreverzibilis rendszer

www.interkonyv.hu



11

Akármelyik állapotban van a rendszer, a 9. ábra törvénye pontosan megmondja, melyik lesz a következ˝o állapota. Ha a kezd˝oállapot az 1, akkor a 2-be megy át. Ha a 2, akkor a 3-ba. Ha a 3, akkor a 2-be. A jöv˝ore vonatkozóan nyoma sincs bizonytalanságnak. A múlttal azonban más a helyzet. Tegyük fel, hogy a rendszer állapota a 2. Melyik állapotban volt a rendszer egy lépéssel korábban? Lehetett akár a 3-ban, akár az 1-ben. Ennél több a diagramról nem olvasható le. A reverzibilitás szempontjából még rosszabb körülmény, hogy a megfordított diagramnak nincs olyan állapota, amely után az 1 következne: az 1-nek nincs múltja. A 9. ábra törvénye irreverzibilis. Olyan lehet˝oséget illusztrál, amelyet a klasszikus fizika elvei megtiltanak. Vegyük észre azt is, hogy ha a 9. ábráról a nyilak megfordításával a 10. ábrára térünk át, olyan törvényt kapunk, amely nem minden esetben rögzíti, merre kell a jöv˝oben haladni.

10. ábra: A jöv˝o irányában nem determinisztikus rendszer

Létezik egy nagyon egyszeru˝ szabály, amelynek a segítségével egy diagramról eldönthet˝o, hogy determinisztikus reverzibilis törvényt határoz-e meg. Ha minden állapotra igaz, hogy csak egy nyíl mutat befele is, kifele is, akkor ez egy megfelel˝o determinisztikus reverzibilis törvény. Ugyanez szlogen formájában:

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

12


Mindig mutassa egy nyíl, hogy merre megyünk, egy pedig azt, hogy merr˝ol érkeztünk. Az a tény, hogy a dinamikai törvényeknek determinisztikusaknak és reverzibiliseknek kell lenniük, annyira mélyen beépült a klasszikus fizikába, hogy a tárgy tanítása során néha még megemlíteni is elfelejtjük. Valójában igazi neve sincsen. Nevezhetnénk els˝o törvénynek, de sajnos már így is van két els˝o törvényünk – Newtoné és a termodinamikáé. Ezért hát hátra kell lépnünk és mínusz els˝o törvénynek kell neveznünk, hogy biztosíthassuk a prioritását annak, ami minden kétséget kizáróan a fizikai törvények között a legalapvet˝obb – az információ megmaradásának. Az információ megmaradásán azt az egyszeru˝ szabályt értjük, hogy minden állapot rendelkezik egy befele és egy kifele mutató nyíllal. Ez biztosítja, hogy sosem válik bizonytalanná, milyen úton érkeztünk el oda, ahol éppen vagyunk. Az információ megmaradása egy elég szokatlan megmaradási törvény. A megmaradási törvényekre kés˝obb visszatérünk, de el˝obb a végtelen sok állapotú rendszerekkel kell foglalkoznunk.

Végtelen sok állapotú dinamikai rendszerek Az eddigi példáinkban az állapottér véges számú állapotot tartalmazott. Azonban semmi okunk sincs azt hinni, hogy végtelen sok állapotú dinamikai rendszerek nem létezhetnek. Képzeljünk el például egy vonalat, amelyen végtelen sok diszkrét pont helyezkedik el – egy végtelen hosszú vasútvonalhoz hasonlóan, amely mindkét irányban végtelen számú állomáson halad ke-

www.interkonyv.hu



13

resztül. Tegyük fel, hogy egy jelz˝otábla-féleség ugrál egyik pontról a másikra valamilyen meghatározott szabály szerint. Magukat a pontokat egymás után következ˝o (pozitív és negatív) egész számokkal jellemezhetjük. Ezeknek az indexelésére a nagy N -et fogjuk használni, mert az n jel már foglalt a diszkrét id˝o lépéseinek a jelölésére. A jelz˝otábla történetét egy N (n) típusú függvény határozza meg, amely megmondja, hogy melyik N indexu˝ pontban tartózkodik a jelz˝o egy tetsz˝olegesen választott n pillanatban. Az állapottér egy rövid szakasza a 11. ábrán látható.

11. ábra: Egy végtelen rendszer állapotterének részlete

A 12. ábra egy ilyen rendszer nagyon egyszeru˝ dinamikai törvényét mutatja, amely szerint a jelz˝o minden diszkrét id˝opillanatban egy egységgel nozdul el pozitív irányba.

12. ábra: Egy végtelen rendszer egyik dinamikai törvénye

Ez megengedett törvény, mert mindegyik állapot egy be- és egy kifele mutató nyilat tartalmaz. A törvény így fejezhet˝o ki

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

14


egyenlet segítségével: N (n + 1) = N (n) + 1.

(1)

Mutatunk még néhány lehetséges törvényt, amelyek között azonban vannak nem megengedettek is: N (n + 1) = N (n) − 1

(2)

N (n + 1) = N (n) + 2

(3)

N (n + 1) = [N (n)]2

(4)

N (n)

N (n + 1) = (−1)

N (n).

(5)

3. Feladat: Megengedettek-e a (2)-(5) dinamikai törvények? Az (1) egyenlet szerint bármely pontból kiindulva eljuthatunk bármely másik pontba vagy a jöv˝o, vagy a múlt felé haladva. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy egyetlen végtelen ciklusunk van. A (3) egyenlet ezzel szemben azt fejezi ki, hogy ha páratlan N -r˝ol indulunk, sohase jutunk páros N -u˝ pontba, és megfordítva. Ez két egymástól különböz˝o végtelen ciklust jelent. A ciklusok számát úgy is növelhetjük, hogy újfajta állapotokat adunk hozzá a rendszerhez, ahogy azt a 13. ábra mutatja. Amikor valamelyik számtól indulunk, a 12. ábrához hasonlóan végig a fels˝o soron maradunk. Amikor azonban az A vagy a B állapottal kezdjük, váltakozva leszünk az egyikben vagy a

www.interkonyv.hu



15

13. ábra: Egy véges és egy végtelen ciklust tartalmazó törvény

másikban. Lehetséges tehát olyan törvények keveréke, amelyek egyike néhány állapotot tartalmazó ciklus, a másik viszont a végtelenbe visz el.

Ciklusok és megmaradási törvények Amikor az állapottér több ciklusra bontható, a rendszer abban a ciklusban marad, amelyben a kezd˝o pillanatban volt. Mindegyik ciklusnak saját dinamikai törvénye van, noha mind ugyanahhoz az állapottérhez tartozik, mivel ugyanazt a dinamikai rendszert írják le. Vegyünk például egy három ciklusból álló rendszert. Az 1 és a 2 állapot önmagában egy-egy ciklus, a 3 és a 4 együtt képezi a harmadik cilust (ld. a 14. ábrát).

14. ábra: Az állapottér felbontása ciklusokra

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

16


Valahányszor egy dinamikai törvény független ciklusokra bontja az állapotteret, mindegyik állapot minden pillanatban emlékszik rá, hogy melyik ciklusba tartozott az az állapot, amelyb˝ol származott. Ezt a fajta emlékezést nevezzük megmaradási törvénynek; egy ilyen törvény azt fejezi ki, hogy valami az id˝oben változatlanul folyamatosan fennáll. A megmaradási törvényt úgy számszerusíthetjük, ˝ hogy hogy minden ciklushoz hozzárendelünk egy Q számot4 . A 15. ábra ciklusaihoz például rendre a Q = +1, a Q = −1, és a Q = 0 számot rendeltük hozzá. Akármekkora a Q értéke, minden id˝opillanatban ugyanakkora marad, mivel a dinamikai törvény nem teszi lehet˝ové, hogy a rendszer az egyik ciklusból a másikba ugorjon át. Ezt jelenti az, hogy a Q megmarad.

15. ábra: A ciklusok indexelése egy megmaradó mennyiség speciális értékével

Kés˝obb foglalkozunk majd a folytonos mozgásokkal is, amikor az id˝o is, az állapottér is folytonos. Mindannak, amit az egyszeru˝ diszkrét rendszerekr˝ol megállapítottunk, megtalálható a megfelel˝oje a realisztikusabb rendszerekben is, de szükség lesz még néhány fejezetre ahhoz, hogy ez világossá váljon. 4 Ez a definíció a végtelen ciklusokra is vonatkozik. Ezért neveznek a szerz˝ ok végtelen ciklusnak egy olyan láncot, amelyben a rendszer valójában sohasem tér vissza ugyanabba az állapotba. – (A fordító)

www.interkonyv.hu



17

A pontosság korlátai Laplace valószínuleg ˝ még a klasszikus fizika néz˝opontjából is túl optimista volt abban a tekintetben, hogy a világunkban mennyire lehet el˝ore látni a jöv˝ot. Azzal bizonyára egyetértett volna, hogy a jöv˝o megjóslásához a világban uralkodó dinamikai törvények tökéletes ismerete szükséges, de ezen kívül még rendkívüli számítási kapacitás is kell hozzá – ezt nevezte olyan „ intellektusnak, ...amely képes lenne arra is, hogy ezeket az adatokat analizálja”. De van itt még egy probléma, amelynek a jelent˝oségét valószínuleg ˝ alábecsülte: a kezdeti feltételek csaknem tökéletesen pontos ismeretének szükségessége. Képzeljünk el egy olyan dobókockát, amelynek milliónyi oldala van, mindegyik el van látva a számjegyeinkre emlékeztet˝o valamilyen jellel, amelyek egy-egy apró részletben mind különböznek, és ezáltal a milliónyi oldalt egymástól megkülönböztethet˝ové teszik. Amennyiben birtokunkban lenne a dinamikai törvény, és képesek lennénk felismerni a kezd˝oállapot jelét, el˝ore látnánk a kocka egész jöv˝obeli történetét. Azonban ha a Laplace által elképzelt fenomenális számítási potenciával rendelkez˝o intellektusnak egy pici látási hibája lenne, amelynek következtében csak bizonytalanul tudná megkülönböztetni az egymáshoz nagyon hasonló jeleket, akkor csupán korlátozott mértékben lenne képes megjósolni a jöv˝ot. Valóságos világunkban a helyzet még rosszabb; a pontok száma az állapottérben nem egyszeruen ˝ nagyon nagy, hanem folytonos értelemben végtelen. Másképp kifejezve ugyanezt: az állapottér pontjait, a részecskék koordinátáihoz hasonlóan, nem egész, hanem valós számok jellemzik. A valós számok sur ˝ usége ˝

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

18


olyan nagy, hogy közülük bármelyik végtelen sok szomszédjához van tetsz˝olegesen közel. Azt a képességet, amellyel az egymáshoz közeli értékeket meg tudjuk különböztetni egymástól, „ felbontóképességnek” hívják, és a valóságos mér˝oeszközök felbontóképessége korlátozott. A kezd˝ofeltételek végtelenül pontos ismerete elvileg lehetetlen. A legtöbb esetben a kezd˝ofeltételekben (a kiinduló állapotban) fennálló legkisebb eltérések is nagy eltéréseket okoznak a végállapotban. Ezt a jelenséget nevezik káosznak. Ha egy rendszer kaotikus (és legtöbbjük az), akkor akármilyen jó is a felbontóképesség, a rendszer állapota csak véges id˝otartamra jósolható meg. Korlátlan ideju˝ el˝orejelzés lehetetlen egyszeruen ˝ annak következtében, hogy a felbontóképesség mindig korlátozott.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

1. közjáték: Terek, trigonometria és vektorok

– Hol vagyunk most, George? George el˝oszed egy térképet és kiteríti Lenny elé. – Itt vagyunk most, Lenny, a koordinátáink: északi szélesség 36,60709, nyugati hosszúság -121,61862. – Huha! ˝ Mi az a koordináta, George?

Koordináták Ahhoz, hogy egy pont helyét számokkal meghatározhassuk, koordináta-rendszerre van szükségünk. A koordináta-rendszer felvételét azzal kezdjük, hogy kijelölünk egy pontot a térben. Ez lesz az origó. Az origót legtöbbször úgy választjuk, hogy az egyenleteink legyenek minél egyszerubbek. ˝ A Naprendszer leírása például sokkal bonyolultabb lenne, ha az origót nem a Nap középpontjában jelölnénk ki. Szigorúan véve az origó helye teljesen önkényes – oda tehetjük, ahova jólesik –, de ha egyszer kijelöltük, ragaszkodni kell a választásunkhoz. A következ˝o lépésben kijelölünk három egymásra mer˝oleges tengelyt. Megint igaz az, hogy önkényesen választhatjuk o˝ ket 19 www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

20


azon túl, hogy legyenek mer˝olegesek és az origóban metsszék egymást. A tengelyeket többnyire x, y vagy z tengelynek hívják, de lehetnek például x1 , x2 , x3 is. A tengelyeknek ezt az elrendezését hívjuk Descartes-féle koordináta-rendszernek (ld. az 1. ábrát).

1. ábra: A háromdimenziós Descartes-koordinátarendszer

Jelöljük P-vel azt a térbeli pontot, amelyet le akarunk írni. A helyét az x, y, z koordinátáinak megadásával rögzíthetjük. Másképpen úgy is mondhatjuk, hogy a P pontot az (x, y, z) rendezett számhármassal azonosítjuk (ld. a 2. ábrát).

2. ábra: Egy pont a Descartes-rendszerrel ellátott térben

A P pont x koordinátája a pontnak az x = 0 síktól mért mer˝oleges távolságával egyenl˝o (ld. a 3. ábrát). Hasonlóan értelmez-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó Terek, trigonometria és vektorok

21

het˝o az y és a z koordináta is. Mivel a koordináták távolságok, hosszúságegységben (például méterben) adjuk meg o˝ ket.

3. ábra: Az x = 0 sík és a P-t˝ol mért x-irányú távolsága

Amikor mozgást vizsgálunk, az id˝ot is számon kell tartanunk. El˝oször megint origót jelölünk ki, a nulla id˝oponthoz tartozó pillanatot. Az origó lehet a Nagy Robbanás pillanata, Jézus születése, vagy egy kísérlet kezd˝opillanata. De ha az origót egyszer már kijelöltük, következetesen tartani kell magunkat hozzá. Ezután rögzítenünk kell az id˝o irányát. Szokás szerint a pozitív id˝opontokat az origóhoz viszonyított jöv˝ohöz, a negatívakat pedig az origó múltjához rendeljük hozzá. Eljárhatnánk fordítva is, de nem tesszük. Végül id˝oegységet is kell választanunk. A fizikusok rendszerint a másodpercet használják, de az óra, a nanoszekundum, az év is gyakran el˝ofordul. Az origó és az egység teszi lehet˝ové az id˝opontok megadását a t szám segítségével. A klasszikus fizikában az id˝ore vonatkozóan hallgatólagosan érvényesnek tekintjük a következ˝o két feltevést. Az els˝o az, hogy

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

22


az id˝o folyása egyenletes: egy 1 másodperces id˝otartamnak most pontosan ugyanaz az értelme, mint bármikor máskor. Egy súly például Galilei idejében is pontosan ugyanannyi id˝o alatt esett le a pisai Ferde Toronyból, mint most. Az egy szekundum ugyanazt jelentette akkor, mint ma. A másik feltevés az, hogy a különböz˝o helyeken mért id˝ok összevethet˝ok. Ez annyit jelent, hogy a különböz˝o helyen lév˝o órákat lehet szinkronizálni egymással. Ezeknek a feltevéseknek az alapján a négy (x, y, z, t) koordináta egy vonatkoztatási rendszert definiál. A vonatkoztatási rendszerben minden eseményhez hozzá kell rendelni mindegyik koordináta valamilyen értékét. Ha adott az f (t) = t2 függvény, egy koordináta-rendszerben felrajzolhatjuk a pontjait. Az egyik tengelyen mérjük fel t-t, a másikon az f (t) függvényt (ld. a 4. ábrát).

4. ábra: Az f (t) = t2 függvény pontjai

A pontokat össze is köthetjük egy görbével, amelyik kitölti a pontok közötti hézagokat (ld. az 5. ábrát). Ezzel az eljárással jeleníthetjük meg a függvényeket vizuálisan.

www.interkonyv.hu



23

5. ábra: A pontok összekötése görbével

1.

Feladat: Grafikus zsebszámológép, a Mathematica

vagy más hasonló programcsomag segítségével ábrázolja az alábbi függvényeket. Ha nem ismeri elég jól a trigonometriai függvényeket, olvassa el a következo˝ fejezetet. f (t) = t4 + 3t3 − 12t2 + t − 6 g(x) = sin x − cos x θ(α) = eα + α ln α x(t) = sin2 x − cos x

Trigonometria Ha még egyáltalán nem vagy csak nagyon régen tanult trigonometriát, akkor ez a fejezet Önhöz szól. A fizikában állandóan használjuk a trigonometriát. Mindenütt belebotlunk. Ezért jártasnak kell lennie a trigonometria elve-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

24


iben, szimbólumaiban és módszereiben. Azzal kell kezdenünk, hogy a fizikában a szögeket többnyire nem fokokban fejezzük ki. A fok helyett a radiánt használjuk; azt kell hozzá tudnunk, hogy 360◦ -ban 2π radián van, vagyis 1 radián = π/180◦, ennek következtében 90◦ = π/2 radián és 30◦ = π/6 radián. Vagyis egy radián kb. 57◦ -kal egyenl˝o (ld. a 6. ábrát).

6. ábra: Egy radián azzal a szöggel egyenl˝o, amelyhez a sugárral egyenl˝o hosszúságú ív tartozik

7. ábra: Egy derékszögu˝ háromszög az oldalaira és szögeire használt jelölésekkel

A trigonometriai függvényeket a derékszögu˝ háromszögek tulajdonságai határozzák meg. A 7. ábrán egy derékszögu˝ háromszög látható, amelynek átfogóját c-vel, alapját b-vel, magas-

www.interkonyv.hu



25

ságát pedig a-val jelöltük. A magassággal szemben fekv˝o szög jelölésére a görög θ-t (théta), az alappal szemben fekv˝ore pedig a φ-t (fí) használtuk. Az alap és a magasság a háromszög egy-egy befogója. A szinusz- (sin), a koszinusz- (cos) és a tangens- (tg) függvények az oldalak különféle arányaival egyenl˝ok a következ˝o szabály szerint: a c b cos θ = c a sin θ tg θ = = b cos θ sin θ =

Ezeknek a függvényeknek a változása a grafikonjaikkal szemléltethet˝o, (ld. a 8–10. ábrát).

8. ábra: A szinuszfüggvény görbéje

A trigonometrikus függvényekkel kapcsolatban érdemes szem el˝ott tartani néhány hasznos észrevételt. Az els˝o az, hogy a derékszögu˝ háromszöget célszeru˝ a 11. ábra szerint egy olyan körbe

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

26


9. ábra: A koszinuszfüggvény görbéje

10. ábra: A tangensfüggvény görbéje

berajzolva elképzelni, amelynek középpontja a Descartes-koordinátarendszer origója. A kör középpontját a kerület egyik pontjával összeköt˝o sugár a háromszög átfogója, a pont vízszintes és függ˝oleges komponensei pedig az alapja és a magassága. A pont helyzetét az x és az y koordináták határozzák meg, amelyek x = c cos θ és y = c sin θ.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

27

Terek, trigonometria és vektorok

11. ábra: Egy körben elhelyezett derékszögu˝ háromszög

Ez egy nagyon hasznos összefüggés a kör és a derékszögu˝ háromszög között. Tegyük fel, hogy egy bizonyos θ szög két másik szög – mondjuk α és β – összegével vagy különbségével egyenl˝o: θ = α ± β. Az α ± β trigonometrikus függvényeit így lehet kifejezni az α szög, valamint a β szög trigonometriai függvényein keresztül: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β. Végül egy nagyon hasznos egyenl˝oség a következ˝o: sin2 θ + cos2 θ = 1.

(1)

(Az elfogadott gyakorlatnak megfelel˝oen itt sin2 θ = sin θ sin θ.)

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

28


Ez az egyenlet valójában a Pitagorasz-tétel álruhában. Ha a 11. ábrán a kör sugarát 1-nek választjuk, akkor az a és a b oldal a θ szög szinusza és koszinusza, az átfogó pedig 1-gyel egyenl˝o. Az (1) egyenlet nem más, mint a derékszögu˝ háromszög oldalai között fennálló jól ismert a2 + b2 = c2 összefüggés.

Vektorok A vektorok a másik olyan témakör, amellyel régebben már bizonyára foglalkoztak, de hogy mindenki egyenl˝o eséllyel indulhasson, tekintsük át o˝ ket a közönséges háromdimenziós tér példáján.

12. ábra: Egy r vektor Descartes-koordinátákban

A vektor olyan objektum, amelynek hossza (vagy nagysága) és térbeli iránya is van. Amikor áthelyezünk egy testet a kiinduló helyzetéb˝ol egy másik pontba, akkor nem elég azt tudni, hogy milyen távolságra vittük el. Az elmozdulás irányát is meg kell adnunk. Az elmozdulás a vektoriális mennyiségek legegysze-

www.interkonyv.hu



29

rubb ˝ példája. Rajzban a vektorokat nyíllal ábrázoljuk, amelynek hossza és iránya is van, ahogy a 12. ábrán láthatjuk. A vektorokat úgy jelöljük, hogy nyilat teszünk a betujelük ˝ fölé. Az elmozdulás jele így r. A vektor nagyságát (hosszát) az abszolút érték jelével fejezzük ki. Eszerint az r hosszának jelölése |r|. A vektorokkal a következ˝o muveleteket ˝ lehet elvégezni. El˝oször is, meg lehet o˝ ket szorozni valós számokkal. Gyakran fogják tapasztalni, hogy a vektorokkal összefüggésben az ilyen valós számokra a speciális skalár elnevezést használják. Egy pozitív számmal történ˝o szorzás a vektor hosszát szorozza ezzel a számmal. De negatív számmal is lehet szorozni, amely a vektor irányát az ellenkez˝ojére változtatja. A −2r például az a vektor, amely ellenkez˝o irányú és kétszer olyan hosszú mint r.

13. ábra: A vektorok összeadása

és a B-t A vektorokat össze lehet adni egymással. Az A-t úgy adjuk össze, hogy a 13. ábrán látható módon parallelogrammát képezünk bel˝olük (az irányukat meg˝orizve). A két vektor összege az átlónak megfelel˝o hosszúságú és irányú vektor. Mivel vektorokat lehet összadni és negatív számmal szorozni, ezért kivonni is lehet o˝ ket egymásból.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

30


2. Feladat: Fogalmazzuk meg a vektorok kivonásának a szabályát.

A vektorokat a komponenseikkel is jellemezhetjük. Induljunk ki a három egymásra mer˝oleges x, y, z tengelyb˝ol. Ezután vezessük be azt a három egységvektort, amelyek ezeknek a tengelyeknek az irányába mutatnak és egységnyi hosszúak. A koordináta-tengelyek irányába mutató egységvektorokat bázisvektoroknak hívjuk. A Descartes-koordináták három bázisvektorának hagyományos jelölése î, ˆj és kˆ (ld. a 14. ábrát). Az (x1 , x2 , x3 ) tengelyekre vonatkozó bázisvektorok az eˆ1 , eˆ2 , eˆ3 , és az egységvektorokat (a bázist) általában is a speciálisˆ„ kalappal” különböztetjük meg. A bázisvektorok azért nagyon hasznosak, mert -t fel lehet írni a bázisvektorok összegeként a követminden V kez˝o módon: ˆ = Vxî + Vy ˆj + Vz k. V

(2)

14. ábra: A Descartes-koordinátarendszer bázisvektorai

www.interkonyv.hu



31

A Vx , Vy és a Vz számokkal történ˝o szorzás szükséges ahhoz, -t adja eredméhogy a bázisvektorokból képzett összeg éppen V komponenseinek hívjuk. A (2) egyenlet jobb olnyül. Ezeket a V dala a bázisvektorok lineáris kombinációja. Ez tömör kifejezése annak, hogy a megfelel˝o számokkal megszorzott bázisvektorokat összeadjuk egymással. A vektorkomponensek el˝ojele bármilyen lehet. Egy vektort a komponenseinek felsorolásával is megadhatunk így: (Vx , Vy , Vz ). A komponensei alapján a vektor nagyságát a háromdimenziós Pitagorasz-tétel felhasználásával számíthatjuk ki: |= |V

Vx2 + Vy2 + Vz2 .

(3)

vektort egy α skalárral úgy is megszorozhatunk, hogy a Egy V komponenseit szorozzuk meg α-val: αV = (αVx , αVy , αVz ). Két vektor összegének a komponenseit így fejezzük ki az egyes vektorok komponenseivel:

+B = (Ax + Bx ) A x +B = (Ay + By ) A y +B = (Az + Bz ). A z

Lehet-e vektorokat összeszorozni egymással? Igen, többféle módon is. Az egyik lehet˝oség a vektoriális szorzat, amelynek az eredménye vektor, de ezzel csak a 11. el˝oadásban foglalko-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

32


zunk majd. A másik a skalárszorzat, amelynek az eredménye és a B skalárszorzatának a definíciegy szám, azaz skalár. Az A ója a következ˝o: ·B = |A|| B| cos θ, A ahol θ a két vektor által bezárt szög. Szavakban: két vektor skalárszorzatát úgy számítjuk ki, hogy a vektorok nagyságának a szorzatát megszorozzuk a közbezárt szög koszinuszával. A komponensek segítségével a skalárszorzat így számítható ki: ·B = Ax Bx + Ay By + Az Bz . A A skalárszorzat tehát könnyen kiszámítható, ha ismerjük a vektorok komponenseit.

3. Feladat: Mutassuk meg, hogy egy vektor hossza eleget ·A összefüggésnek. 2=A tesz az |A|

4. Feladat: Legyen (Ax = 2, Ay = −3, Az = 1) és (Bx = és B nagyságát, a −4, By = −3, Bz = 2). Számítsuk ki A skalárszorzatukat és az általuk bezárt szöget. A skalárszorzat fontos tulajdonsága, hogy nullával egyenl˝o, amikor a két vektor ortogonális (mer˝oleges) egymásra. Ezt jó fejben tartani, mert kés˝obb alkalmanként ezzel a módszerrel fogjuk igazolni a vektorok ortogonalitását.

www.interkonyv.hu



33

5. Feladat: Keressük meg az ortogonális párokat a következo˝ vektorok között: (1, 1, 1), (2, −1, 3), (3, 1, 0), (−3, 0, 2).

6. Feladat: Meg tudja magyarázni, hogy miért egyenlo˝ két egymásra meroleges ˝ vektor skaláris szorzata nullával?

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

2. eloadás: ˝ A mozgás

George, ez az ugráló sztroboszkópikus vacak idegesít engem – panaszkodott Lenny. – Tényleg ennyire döcög˝os az id˝o? Boldogabb lennék, ha a dolgok valamivel simábban mennének. George elmorfondírozott egy darabig, aztán letörölte a táblát. – Rendben, Lenny, akkor foglalkozzunk ma olyan rendszerekkel, amelyek simán változnak.

Matematikai közjáték: Differenciálszámítás Ebben a könyvben f˝oleg azzal fogunk foglalkozni, hogy hogyan változnak id˝oben a mennyiségek. A klasszikus fizikában f˝oleg a sima – a matematika kifejezésmódjával folytonos – változásokkal van dolgunk. Az állapotváltozásokat meghatározó dinamikai törvények ilyen folytonos id˝ot tartalmaznak, nem pedig az els˝o el˝oadásban tárgyalt sztroboszkópikus változást. Ezért a továbbiakban a t független változó függvényei érdekelnek majd els˝osorban bennünket. A folytonos változásokkal a matematikai analízis segítségével birkózhatunk meg. Az analízis a határértékek (limeszek) tu35 www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

36


dománya, tegyük hát a helyére ezt a fogalmat. Induljunk ki az l1 , l2 , l3 , . . . számsorozatból, amely egyre közelebb és közelebb kerül valamilyen L-hez. Példaként vehetjük a 0,9, 0,99, 0,999, 0,9999, . . . sorozatot, amelynek a határértéke nyilván 1. A sorozat tagjai közül egyik sem egyenl˝o 1-gyel, de egyre jobban és jobban megközelítik ezt az értéket. Ezt a tulajdonságot így jelöljük: lim li = L.

i→∞

Szavakban: Amikor i tart végtelenhez, az li határértéke L-lel egyenl˝o. Ezt az elgondolást függvényekre is alkalmazhatjuk. Legyen adva valamilyen f (t) függvény, és meg akarjuk fogalmazni, hogy hogyan változik, amikor t egyre közelebb és közelebb kerül valamilyen adott értékhez, mondjuk a-hoz. Ha eközben f (t) tetsz˝olegesen közel jut L-hez, akkor azt mondjuk, hogy amikor t tart a-hoz, az f (t) határértéke L-lel egyen˝o. Szimbolikusan: lim f (t) = L.

t→a

Legyen megint f (t) a t függvénye. Amikor t változik, f (t) ugyancsak változni fog. A differenciálszámítás az ilyen függvények változási sebességét tanulmányozza. Az alapgondolata az, hogy kiindulunk f (t) értékéb˝ol valamilyen id˝opillanatban, majd az id˝ot egy kissé megváltoztatjuk és megnézzük, mennyit változott f (t). A változási sebesség az f -ben bekövetkezett változásnak és a t változásának a hányadosával egyenl˝o. A továbbiakban egy mennyiség megváltozására a Δ (nagy görög delta) jelet hasz-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

37

A mozgás

náljuk. A t megváltozása legyen Δt. (Ez nem Δ × t, hanem változás.) A Δt intervallum (id˝otartam) alatt f az f (t)-r˝ol f (t + Δt)-re változik. Az f megváltozása, amelyet Δf -el jelölünk, a következ˝o: Δf = f (t + Δt) − f (t). Magában a t pillanatban vett változási sebesség meghatározásához a Δt hosszát nullára kell összehúznunk. Ekkor persze Δf is nullához tart, de ha elosztjuk Δt-vel, a hányados valamilyen határértékhez fog tartani. Ezt a határértéket nevezzük az f (t) függvény t szerinti deriváltjának: df Δf f (t + Δt) − f (t) . = lim = lim Δt→0 dt Δt→0 Δt Δt

(1)

Egy rigorózus matematikus valószínuleg ˝ a nemtetszését fejezné df (t) ki azzal az elgondolással szemben, hogy két differenciál dt hányadosa, de valójában ritkán vezet hibához, ha így képzeljük el. Számítsunk ki néhány deriváltat! Kezdjük a t hatványfüggvényeivel. A módszert az f (t) = t2 függvény példáján illusztráljuk. Az (1) egyenletet fogjuk alkalmazni és mindenekel˝ott az f (t + Δt)-t értelmezzük: f (t + Δt) = (t + Δt)2 . A (t + Δt)2 -t kiszámíthatjuk akár szorzással, akár a binomiális

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

38


tétel alkalmazásával. Mindkét eljárással ezt kapjuk: f (t + Δt) = t2 + 2tΔt + Δt2 . Ebb˝ol vonjuk ki f (t)-t: f (t + Δt) − f (t) = t2 + 2tΔt + Δt2 − t2 = 2tΔt + Δt2 . A következ˝o lépés az osztás Δt-vel: 2tΔt + Δt2 f (t + Δt) − f (t) = Δt Δt = 2t + Δt. Most már gyerekjáték a Δt → 0 határátmenet elvégzése: Az els˝o tag nem tartalmaz Δt-t, ezért változatlan marad, a második viszont nullához tart és eltunik. ˝ Ezt érdemes megjegyezni: A derivált számításánál a Δt-ben magasabb rendu˝ tagok nem számítanak. Végül tehát ezt kapjuk: lim

Δt→0

f (t + Δt) − f (t) = 2t. Δt

A t2 deriváltja eszerint a következ˝o: d(t2 ) = 2t. dt Ezután az f (t) = tn általános hatványfüggvényt vizsgáljuk

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

39

A mozgás

meg. Ahhoz, hogy a deriváltját kiszámíthassuk, az f (t + Δt) = (t + Δt)n függvényt kell megfelel˝oen átalakítanunk. Ehhez a középiskolás algebránál kicsit többre van szükségünk: a binomiális tételre. Ez azt mondja ki, hogy ha adott két szám, a és b, akkor az összegük n-ik hatványát az n(n − 1) n−2 2 a b + 2 n(n − 1)(n − 2) n−3 3 + a b + 6

(a + b)n = an + nan−1 b +

· · · + bn képlet adja meg. Milyen hosszú ez a kifejezés? Mivel n egész szám, a tagok száma (n + 1)-gyel egyenl˝o. De a binomiális tétel ennél általánosabb, valójában akkor is érvényes, amikor n bármilyen valós vagy képzetes szám. Azonban amikor n nem egész szám, a kifejezés végtelen hosszúvá válik, végtelen sor lesz bel˝ole. Szerencsénkre azonban nekünk elegend˝o lesz az els˝o két tag figyelembevétele. A (t + Δt)n kiszámításához az a = t, b = Δt helyettesítést kell elvégezni: f (t + Δt) = (t + Δt)n = = tn + ntn−1 Δt + · · · A pontok helyén álló tagok mind nullához fognak tartani, ezért nem kell tör˝odnünk velük.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

40


Most ki kell vonnunk f (t)-t (azaz tn -t): Δf = f (t + Δt) − f (t) = = tn + ntn−1 Δt+ +

n(n − 1) n−2 2 t Δt + · · · − tn 2

= ntn−1 Δt+ +

n(n − 1) n−2 2 t Δt + · · · 2

Most osszunk Δt-vel: Δf n(n − 1) n−2 = ntn−1 + t Δt · · · , Δt 2 és tartsunk Δt-vel nullához: Δt → 0. Akkor a deriváltra a d(tn ) = ntn−1 dt képletet kapjuk. Fontos, hogy ez a képlet nemcsak egész n-nél érvényes, hanem akkor is, amikor a kitev˝o bármilyen valós vagy komplex szám. Felsorolunk néhány speciális esetet. Amikor n = 0, akkor f (t) 1-gyel egyenl˝o. A képlet szerint a derivált ekkor zérus, és ez minden olyan függvénynél így van, amelyik id˝oben nem változik. Ha n = 1, azaz f (t) = t, akkor a derivált is 1; ez mindig így van, amikor valaminek az önmaga szerinti deriváltját képezzük.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

41

A mozgás

Felsoroljuk néhány további hatványfüggvény deriváltját is: d(t2 ) dt d(t3 ) dt d(t4 ) dt d(tn ) dt

= 2t = 3t2 = 4t3 = ntn−1 .

A kés˝obbi felhasználáshoz felírjuk még néhány függvény deriváltját: d(sin t) dt d(cos t) dt d(et ) dt d(log t) dt

= cos t = − sin t (2) = et =

1 . t

d(et ) = et képlethez magyarázadt tot kell fuznünk. ˝ Az et jelentése teljesen világos, amikor t egész

A harmadik sorban szerepl˝o

szám: például e3 = e × e × e. De ha t valamilyen tört, akkor nem nyilvánvaló , hogy et mit jelent. Valójában az et függvény definíciója az, hogy ez az a függvény, amelynek a deriváltja önmaga. Vagyis a (2) harmadik sora egy definíció. A deriválásnak van néhány olyan hasznos tulajdonsága, amelyeket jó észben tartani. Érdemes a bizonyításukkal próbára tenni önmagukat. Az els˝o tulajdonság az, hogy egy konstans deriváltja 0-val egyenl˝o. Ennek így is kell lennie. A derivált a változás se-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

42


bességét adja meg, és egy konstans egyáltalán nem változik: dc = 0. dt Egy függvény konstansszorosának a deriváltja a függvény deriváltjának a konstansszorosa: d(cf ) df =c . dt dt Most legyen két függvényünk, f (t) és g(t). Az összegük szintén egy függvény, amelynek a deriváltja a következ˝o: d(f + g) d(f ) d(g) = + . dt dt dt Ez az összeg deriválási szabálya. A két függvény szorzata egy újabb függvény, amelyre a d(f g) d(g) d(f ) = f (t) + g(t) dt dt dt képlet érvényes. Ez a szorzat deriválási szabálya. Legyen most g(t) a t függvénye, f (g) pedig a g függvénye. Erre a szituációra mondjuk azt, hogy az f a t implicit függvénye. Ha ki akarjuk számítani f -nek valamilyen t-hez tartozó értékét, akkor el˝oször g(t)-t kell kiszámítanunk. Az így kapott g segítségével határozhatjuk meg az f (g) számot. Az f t-szerinti derivált-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó A mozgás

43

ját könnyu˝ kiszámítani: df df dg = . dt dg dt Ez az úgynevezett láncszabály, amely szemmel láthatóan igaz lenne, ha a deriváltak valóban törtek lennének, mert a dg-vel lehetne egyszerusíteni. ˝ Ez jó példa arra, amikor a naiv megközelítés helyes eredményt ad. A lényeges momentum itt az, hogy a láncszabály segítségével az f (t) függvényt egyszerusíthetjük ˝ azáltal, hogy egy közbeiktatott g(t) felhasználásával f (g) alakban írjuk fel. Például legyen f (t) = ln t3 , df t-szerinti deriváltját kell kiszámídt tani. Problémát jelent, hogy a t3 a logaritmus jele alatt található. és ennek a függvénynek a

Ilyen esetekben az eljárás az, hogy a g = t3 segédfüggvény felhasználásával a függvényünket f (g) = ln g alakban írjuk, majd alkalmazzuk a

df df dg = dt dg dt

láncszabályt. A differenciálhányados korábban már felírt képle1 dg df = , valamint = 3t2 , ezért tei alapján itt dg g dt df 3t2 . = dt g

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

44


A g = t3 helyettesítést elvégezve kapjuk a keresett képletet: 3 3t2 df = 3 = . dt t t Ugyanerre a képletre az ln r3 = 3 ln r reláció segítségével gyorsabban is eljuthattunk volna, de a célunk itt a láncszabály alkalmazásának a bemutatása volt. A szabályaink rengeteg függvény deriválását lehet˝ové teszik. A differenciálszámításból ennyi elég is lesz a továbbiakhoz.

1. Feladat: Számítsuk ki az alábbi függvények deriváltjait: f (t) = t4 + 3t3 − 12t2 + t − 6 g(x) = sin x − cos x θ(α) = eα + α ln α x(t) = sin2 t − cos t

2. Feladat: Egy f (t) függvény deriváltjának a deriváltját d2 f (t) . Számásodik deriváltnak hívjuk és így jelöljük: dt2 mítsuk ki az eloz ˝ o˝ feladatban szereplo˝ függvények második deriváltját.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

45

A mozgás

3. Feladat: A láncszabály segítségével számítsuk ki az alábbi függvények deriváltjait: g(t) = sin(t2 ) − cos(t2 ) θ(α) = e3α + 3α ln(3α) x(t) = sin2 (t2 ) − cos(t2 )

4. Feladat: Bizonyítsuk be az összeg deriválási szabályát (nem nehéz), a szorzatét (ez sem, ha rájövünk a trükkre), valamint a láncszabályt (ez sem nehéz).

5. Feladat: Bizonyítsuk be a (2) képlet minden egyenletét. (Jótanács: a szükséges trigonometriai azonosságokat és határértékeket keressük meg egy kézikönyvben.

Mozgó részecskék A tömegpont fogalma idealizáció. Minden test nagyobb egy pontnál – még az elektron is. Azonban sokszor el lehet tekinteni egy objektum kiterjedését˝ol, és úgy lehet felfogni, mint egy pontot. A Föld például nyilvánvalóan nem pontszeru, ˝ de amikor a Nap körüli mozgását tárgyaljuk, nem követünk el nagy hibát, ha eltekintünk a méreteit˝ol.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

46


Egy részecske helyét a három térbeli koordinátájának a megadásával rögzítjük, és ha ezt minden id˝opillanatban megtesszük, ezzel megadjuk a részecske mozgását. Matematikai szempontból ez a három térkoordinátának mint a t függvényének a megadását jelenti: x(t), y(t), z(t). A részecske helyét egy r(t) vektorként is felfoghatjuk, amelynek komponensei rendre x, y, z mint a t függvényei. A részecske pályáját – vagy trajektóriáját – az r(t) adja meg. A klasszikus mechanika feladata ennek az r(t) függvénynek a meghatározása a megadott kezd˝ofeltételek és az ismert (vagy feltételezett) dinamikai törvény alapján. A helyzete utáni legfontosabb mennyiség, amely a tömegpontot jellemzi, a sebessége. Ez szintén vektor, amelyet differenciálszámítás segítségével lehet definiálni. A következ˝o módon kell eljárni. Tekintsük a részecske elmozdulását a t és a kicsit kés˝obbi t + Δt id˝opillanat között. Ezalatt a részecske az x(t), y(t), z(t) pontból az x(t+Δt), y(t+Δt), z(t+Δt) pontba jut el. Vektorjelölésben az elmozdulás r(t)-b˝ol az r(t + Δt)-be történik. Az elmozdulást magát a következ˝o képletek adják meg: Δx = x(t + Δt) − x(t) Δy = y(t + Δt) − y(t) Δz = z(t + Δt) − z(t),

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

47

A mozgás

vagy tömörebben Δr = r(t + Δt) − r(t). Az elmozdulás azzal a kis távolsággal egyenl˝o, amelyet a részecske a nagyon rövid Δt id˝o alatt megtesz. A sebességet ebb˝ol úgy kapjuk meg, hogy elosztjuk Δt-vel, amellyel azután nullához tartunk. A sebesség x komponensére vonatkozóan például Δx . Δt→0 Δt

vx = lim

A jobb oldal persze nem egyéb, mint az x deriváltja t szerint, ezért dx = x˙ dt dy vy = = y˙ dt dz vz = = z. ˙ dt vx =

Valamely mennyiség feletti pont az id˝o szerinti deriválás standard jelölése. Ez a konvenció használható minden esetben, nemcsak a részecske helyének a deriválásánál. Ha például a T egy vödör forró víz h˝omérséklete, akkor T˙ a h˝omérséklet id˝obeli változásának az ütemével egyenl˝o. Ezt a jelölést állandóan használni fogjuk, tessék hozzászokni! Az x, y, z ismételgetése fárasztó muvelet, ˝ célszeru˝ tömörebb jelölést bevezetni rájuk. A három x, y, z koordinátát együttesen

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

48


xi -vel, a sebesség komponenseit vi -vel fogjuk jelölni: vi =

dxi = x˙ i , dt

ahol i az x, y, z értékeket veheti fel. Vektorjelölésben v =

dr = r˙. dt

A sebességvektor nagysága |v |-vel egyenl˝o: |v |2 = vx2 + vy2 + vz2 , és azt fejezi ki, milyen gyorsan mozog a részecske tekintet nélkül a mozgás irányára5 . A gyorsulás a sebesség változását jelöl˝o fogalom. Az állandó sebességgel mozgó testnek nincs gyorsulása. Sebességen itt a sebességvektort értjük, vagyis nemcsak a sebesség nagyságát, hanem az irányát is változatlannak tekintjük. Gyorsulást akkor tapasztalunk, amikor e két mennyiség közül legalább az egyik változik. Matematikailag a gyorsulás a sebességvektor id˝oderiváltjával egyenl˝o: ai =

dvi = v˙ i , dt

vagy vektorjelölésben a = v˙ . 5 Az angol szaknyelv különbséget tesz a velocity és a speed között; az els˝ ovel a mozgás irányára is utalunk, a másodikkal csak a sebesség nagyságára. A magyar szakirodalom mindkét esetben a sebesség terminust használja. – (A fordító)

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

49

A mozgás

Mivel vi az xi id˝oderiváltja, ai pedig a vi -é, ezért a gyorsulás az xi id˝o szerinti második deriváltjával egyenl˝o:

ai =

d2 xi =x ï . dt2

A dupla pont a második id˝oderivált jele.

Példák a mozgó tömegpontra Tegyük fel, hogy a tömegpont a t = 0 pillanatban a következ˝o egyenletek szerint kezd mozogni: x(t) = 0 y(t) = 0 1 z(t) = z(0) + v(0)t − gt2 . 2 Nyilvánvaló, hogy a részecske csak a z irányban végez mozgást, az x és az y irányban nem. A z(0) és a v(0) konstans a z tengelyen a mozgás kezd˝opontját, valamint a kezd˝osebességet rögzíti a t = 0 pillanatban. A g-t ugyancsak konstansnak tekintjük. A mozgás sebességét az id˝o szerinti deriválással számíthatjuk ki: vx (t) = 0 vy (t) = 0 vz (t) = v(0) − gt.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

50


A sebesség x és y komponense folyamatosan zérus. A z komponens nagysága a t = 0 kezd˝opillanatban v(0): A v(0) a sebességre vonatkozó kezd˝ofeltétel. A kezd˝opillanatot követ˝oen a −gt különbözik nullától. Egy id˝o múlva abszolút értékben már nagyobb lesz, mint a kezd˝osebesség, ezért a mozgás még pozitív kezd˝osebesség mellett is negatív irányúvá válik. Számítsuk ki most a gyorsulást a sebesség id˝o szerinti deriválásával: ax (t) = 0 ay (t) = 0 az (t) = −g. A z tengely mentén a gyorsulás konstans és negatív. Ha – mint többnyire szoktuk – a z-n a magasságot értjük, akkor a részecske éppen úgy lefelé gyorsul, mint ahogy ez a szabadesésnél történik. Foglalkozzunk most az x tengely mentén rezg˝omozgást végz˝o tömegponttal. Mivel a másik két irányban egyáltalán nem történik mozgás, nem is foglalkozunk velük. Az egyszeru ˝ rezgés trigonometrikus függvénnyel írható le: x(t) = sin ωt, ahol a kis írott görög omega, ω, egy állandó. Minél nagyobb az ω, annál szaporább a rezgés. Ezt a fajta mozgást egyszeru˝ harmonikus mozgásnak hívjuk (1. ábra). Számítsuk ki a sebességet és a gyorsulást. Ehhez differenci-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

51

A mozgás

1. ábra: Az egyszeru ˝ harmonikus mozgás

álni kell az x(t) függvényt az id˝o szerint: vx =

d sin ωt. dt

Az ωt szorzat szinuszát kell tehát deriválnunk. Nevezzük el ezt a szorzatot mondjuk b-nek: b = ωt. Akkor vx =

d sin b. dt

Most alkalmazhatjuk a láncszabályt: vx =

db d sin b · , db dt

vagyis vx = cos b ·

d (ωt), dt

és végül vx = ω cos ωt. A gyorsulást ugyanilyen eljárással kapjuk: ax = −ω 2 sin ωt.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

52


Figyeljünk meg néhány érdekességet. Valahányszor az x a minimális vagy a maximális értékét veszi fel, a sebesség nullával egyenl˝o. Ennek az ellenkez˝oje is igaz: Amikor x = 0, a sebességnek maximuma vagy minimuma van (a sebesség minimális értéke a maximális érték negatívja). Ezeket a tulajdonságokat röviden úgy fejezzük ki, hogy a hely és a sebesség fáziskülönbsége 90◦ . Az elnevezés értelmét a 2. és a 3. ábra összehasonlítása mutatja, amelyek a részecske helyzetét és sebességét ábrázolják az id˝o függvényében.

2. ábra: A tömegpont helye

A helykoordináta és a gyorsulás is szoros kapcsolatban van egymással, mivel mindkett˝o arányos sin ωt-vel. De figyeljünk a mínusz jelre a gyorsulás képletében. Ez azt eredményezi, hogy valahányszor az x pozitív (negatív), a gyorsulás negatív (pozitív). Vagyis akárhol találjuk is a részecskét, a gyorsulása mindig az origó felé mutat. A szaknyelv ezt úgy fejezi ki, hogy a pozíció és a gyorsulás között a fáziskülönbség 180◦-kal egyenl˝o.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

53

A mozgás

3. ábra: A tömegpont sebessége

6. Feladat: Mennyi ido˝ alatt tesz meg az oszcilláló részecske egy teljes ciklust?

A következ˝o példánk az egyenletes körmozgás az origó körül, vagyis egy körpályán állandó sebességgel történ˝o mozgás. Úgy képzelhetjük, hogy a mozgás az x, y síkban történik, ezért a z koordinátáról meg is feledkezhetünk. A mozgás leírásához tehát a két x(t), y(t) függvényt kell megadnunk. A határozottság kedvéért azt is tegyük fel, hogy a mozgás a pozitív z irányból nézve az óramutató járásával ellentétes irányú. A körpálya sugara legyen R. Célszeru˝ a mozgást úgy szemlélni, hogy levetítjük a két koordinátatengelyre. Mivel a körpálya centruma egybeesik az origóval, ezért az x koordináta az x = −R és az x = R érték között oszcillál. Ugyanez igaz az y koordinátára is. De a két koordináta mozgása 90◦ -ban különbözik egymástól, mert amikor x-nek ma-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

54


ximuma van, az y nullával egyenl˝o (miközben negatívból pozitív értékre vált át), amikor pedig az y maximális, az x vált át éppen pozitívból negatívba. Könnyen meggy˝oz˝odhetünk róla, hogy a mozgásnak ezeket a sajátosságait az x(t) = R cos ωt y(t) = R sin ωt képletek tükrözik helyesen. Az ω paraméter itt a körfrekvencia, amely azt fejezi ki, hogy hány radiánnal n˝o egységnyi id˝o alatt a részecske helyzetét meghatározó középponti szög. Az ω rögzíti a mozgás T periódusidejét is, vagyis azt az id˝ot, amely alatt a részecske egy teljes kört fut be: T =

2π ω

(ezt a képletet már a 6. feladatban meg kellett kapnunk). A sebességet és a gyorsulást differenciálással most is könnyen kiszámíthatjuk: vx = −Rω sin ωt vy = Rω cos ωt

(3)

ax = −Rω 2 cos ωt ay = −Rω 2 sin ωt.

Ezekb˝ol a képletekb˝ol leolvasható a körmozgásnak az az érdekes tulajdonsága, amelyet Newton a Hold mozgásának az analízi-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

55

A mozgás

séhez használt fel: Az egyenletes körmozgás gyorsulása párhuzamos a helyzetvektorral, de azzal ellentétes irányú. Más szavakkal: A gyorsulás vektora radiálisan befelé mutat a középpont irányába. 7. Feladat: Mutassuk meg, hogy a helyzetvektor és a sebességvektor meroleges ˝ egymásra.

8. Feladat: Számítsuk ki az alább megadott mozgásokra a sebesség és a gyorsulás vektorát és nagyságát. Ha van alkalmas számítógép-programja, ábrázolja ezeket a vektorokat a helyzetvektorral együtt. r = cos ωt, eωt r = cos(ωt − φ), sin(ωt − φ) r = (c cos3 t, c sin3 t) r = c(t − sin t), c(1 − cos t)

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

2. közjáték: Integrálszámítás

– George, én kifejezetten szeretem visszafele csinálni a dolgokat. Ilyesmit a differenciálással is megtehetünk? – Hát persze, Lenny. Ezt hívják integrálásnak.

Integrálszámítás A differenciálszámítás témája a változások üteme. Az integrálszámítás nagyon sok apró változás összegzésével foglalkozik. Induljunk ki az f (t) függvény 1. ábrán látható grafikonjából.

1. ábra: Az f (t) menete

57 www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

58


Az integrálszámítás alapfeladata az f (t) által meghatározott görbe alatti terület kiszámítása. Ahhoz, hogy a feladat jól meghatározott legyen, a függvényt csak a független változó két t = a és t = b értéke – az ún. integrálási határok – közötti tartományban vizsgáljuk. Azt a tartományt, amelynek a területét ki akarjuk számítani, a 2. ábrán besatíroztuk.

2. ábra: Az integrálás határai

A számítást úgy végezzük el, hogy a tartományt rendkívül keskeny téglalapokra szeleteljük fel és a téglalapok területeit öszszeadjuk (ld. a 3. ábrát).

3. ábra: Az integrálás illusztrálása

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

59

Integrálszámítás

Ez természetesen csak egy közelít˝o eljárás, de pontossá tehetjük úgy, hogy a téglalapok szélességével nullához tartunk. Ennek a programnak a végrehajtását azzal kezdjük, hogy a t = a és a t = b közötti szakaszt N részintervallumra bontjuk, amelyek mindegyike Δt szélességu. ˝ Tekintsük valamelyik konkrét t értékhez tartozó téglalapot. A szélessége Δt-vel, a magassága a függvény lokális f (t) értékével egyenl˝o. Ennek a kiválasztott téglalapnak a δA területe tehát δA = f (t)Δt. Ezután összeadjuk az összes ilyen téglalap területét és így közelít˝oen megkapjuk a keresett terület nagyságát, amely a következ˝o: A=

f (ti )Δt.

i

A nagy görög szigma, Σ, jelöli az összegzést az i egymást követ˝o értékeire. Ha pl. N = 3, akkor

A=

3

f (ti )Δt =

1

= f (t1 )Δt + f (t2 )Δt + f (t3 )Δt. Itt ti az i-edik téglalap helye a t tengelyen. A görbe alatti terület pontos értékét úgy kapjuk meg, hogy Δt-vel nullához, a téglalapok számával pedig végtelenhez tartunk. Ezzel a muvelettel ˝ definiáljuk az f (t) függvény határozott

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

60


integrálját a t = a és a t = b határok között. Képlettel ezt így fejezzük ki:

b

f (t)dt = lim

A=

Δt→0

a

f (ti )Δt.

i

Az összegzés szimbólumának a helyét az integrálás

jele foglalja

el, és ugyanúgy, mint a differenciálszámításban, a Δt helyébe dt kerül. Ebben az összefüggésben az f (t) függvényt integrandusnak hívják. Tegyünk még egy lépést el˝ore és az integrálás b fels˝o határát jelöljük át T -re. Az integrálunk ekkor

T

f (t)dt a

lesz, amelyben a T változó mennyiségnek tekinthet˝o ahelyett, hogy úgy gondolnánk rá, mint a t egy konkrét értékére. Ebb˝ol a néz˝opontból az integrál a T változó egy új F (T ) függvényét definiálja, amelynek az értéke azon görbeszakasz alatti területtel egyenl˝o, amelynek a fels˝o határa éppen t = T -nél van. Képlettel ez így fejezhet˝o ki:

F (T ) =

T

f (t)dt. a

Ily módon bármely megadott f (t) meghatároz egy másik függvényt, F (T )-t. Az a-t is tekinthetnénk változó mennyiségnek, de ezt nem tesszük. Az F (T )-t az f (t) függvény határozatlan integrál-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

61


jának hívjuk. Azért határozatlannak, mert nem két rögzített határ között integrálunk, hiszen a fels˝o határ felvehet bármilyen értéket. Az ilyen integrálban gyakran ugyanazzal a betuvel ˝ jelöljük a fels˝o határt (az F függvény argumentumát), mint az integrációs változót, és a határokat többnyire nem is tüntetjük fel:

F (t) =

(1)

f (t)dt.

A matematikai analízis alaptétele, amely szoros kapcsolatot állapít meg az integrálás és a deriválás között, a matematika egyik legegyszerubb ˝ és legszebb eredménye. Azt állítja, hogy ha F (T ) = f (t)dt, akkor dF (t) f (t) = . dt A bizonyítást kezdjük azzal, hogy a határozatlan integrált T helyett a T + Δt értékre írjuk fel:

F (T + Δt) =

T +Δt

f (t)dt. a

Ez a képlet azt fejezi ki, hogy a t = T helyen a 3. ábra satírozott területéhez hozzáadtunk még egy Δt szélességu˝ téglalapot. Az F (T + Δt) − F (T ) éppen ennek az új téglalapnak a területével, f (T )Δt-vel egyenl˝o, vagyis F (T + Δt) − F (T ) = f (T )Δt.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

62


Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát Δt-vel: F (T + Δt) − F (T ) = f (T ). Δt Az F -t az f -fel összekapcsoló alaptételt úgy kapjuk, hogy ebben a képletben elvégezzük a Δt → 0 határátmenetet: dF 1 = lim F (T + Δt) − F (T ) = f (T ). Δt→0 Δt dt A jelölést egyszerusíthetjük, ˝ ha – mint már korábban is tettük – a T helyébe megint a t változót írjuk be: dF = f (t). dt Ez a képlet azt mondja ki, hogy a differenciálás és az integrálás egymás fordított muveletei: ˝ az integrál deriváltja az integrandussal egyenl˝o. Meg lehet-e határozni egyértelmuen ˝ az F (t) függvényt ha tudjuk, hogy a deriváltja f (t)-vel egyenl˝o? Majdnem, de nem egészen. A bizonytalanságot az okozza, hogy egy konstans hozzáadása F (t)-hez nem változtatja meg a deriváltját. A megadott f (t)-hez tartozó határozatlan integrál ezért nem egyértelmu, ˝ de csupán egy additív konstans erejéig bizonytalan. Az alaptétel alkalmazását néhány határozatlan integrál kiszámításával illusztrálhatjuk. Számítsuk ki például az f (t) = tn hat-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

63


ványfüggvény integrálját. Ebben a konkrét esetben az f (t) =

dF (t) dt

képlet a tn =

dF (t) dt

alakot ölti. Azt kell tehát kitalálnunk, hogy melyik az az F (t) függvény, amelynek deriváltja tn -nel egyenl˝o. Az el˝oz˝o fejezetben láttuk, hogy bármilyen m-re d(tm ) = mtm−1 . dt Ha itt elvégezzük az m = n + 1 helyettesítést, a d(tn+1 ) = (n + 1)tn dt képletre jutunk, amelyet (n + 1)-gyel történ˝o osztás után a d tn+1 )/n + 1 = tn dt alakban is felírhatjuk. Ebb˝ol a képletb˝ol leolvashatjuk, hogy a tn tn+1 függvény deriváltja, és ennek következtében függvény a n+1

F (t) =

tn dt =

tn+1 . n+1

A jobb oldalról azonban még hiányzik a meghatározatlan kons-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

64


tans, amelyet hozzáadhatunk F -hez. Ezt is figyelembe véve kapjuk a tn függvény határozatlan integrálját:

tn dt =

tn+1 + c. n+1

A c konstans értékét más úton kell meghatároznunk. Ez a szabadon választható konstans kapcsolatba hozható az integrálás másik (alsó) végpontjával, amelyet a-val jelöltünk. Ha ugyanis az a-t rögzítjük, ezzel határozottá tesszük a szabadon hagyott c-t is. Vizsgáljuk meg ehhez alaposabban az

T

f (t)dt a

integrált. Amikor a T -re a T = a értéket választjuk, akkor az integrálási tartomány nullára zsugorodik, ezért az integrálnak nullával kell egyenl˝onek lennie. Adott a mellett ez a feltétel egyértelmuen ˝ meghatározza a c értékét. Az analízis alaptételét általános formában így is felírhatjuk:

b a

b f (t)df = F (t) = F (b) − F (a). a

(2)

Az alaptétel másik megfogalmazása egyetlen egyenlet segítségével a következ˝o:

df dt = f (t) + c. dt

(3)

Ez a képlet azt fejezi ki, hogy a derivált integrálja visszaadja az

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

65


eredeti függvényt (a már ismert határozatlan konstanstól eltekintve): Az integrálás és a differenciálás kioltja egymást. Az alábbiakban összegyujtöttünk ˝ néhány fontos integrált. Az els˝o két képletben a k tetsz˝oleges konstans.

kdt = kt + c

kf (t)dt = k f (t)dt

t2 tdt = +c 2

t3 t2 dt = +c 3

tn+1 tn dt = +c n+1

sin tdt = − cos t + c

cos dt = sin t + c

et dt = et + c

dt = ln t + c t

[f (t) ± g(t)]dt = f (t)dt ± g(t)dt.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

66


1. Feladat: A differenciálás megfordítása és egy konstans hozzáadása útján számítsuk ki az alábbi kifejezések határozatlan integrálját. f (t) = t4 f (t) = cos t f (t) = t2 − 2

2. Feladat: Az analízis alaptétele segítségével számítsuk ki az 1. feladat integráljait a t = 0 és a t = T határok között.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

67


3. Feladat: Tegyük fel, hogy az 1. feladat függvényei egy részecske gyorsulását írják le. Az ido˝ szerinti integrálással számítsuk ki a részecskék sebességét, majd egy további integrálással a pályáját. Az ilyen típusú feladatokban a felso˝ határt célszeru˝ t-vel jelölni, az integrálban szereplo˝ változót (az ún. néma változót) pedig átjelölni mondjuk t -re. Ha az alsó határt nullának választjuk, akkor az elso˝ lépésben kiszámítandó integrálok a következok: ˝

t

v(t) = 0

v(t) =

0

v(t) =

0

t

4

t dt cos t dt

t

2 t − 2 .

Parciális integrálás Az integrálás nehéz muvelet, ˝ nem is lehet bármely függvény integrálját ismert függvények segítségével felírni. Jó, ha van a tarsolyunkban néhány használható trükk. Az els˝o az, hogy táblázatban nézünk utána a kiszámítandó integrálnak. Egy másik trükk a Mathematica számítógépprogram igénybevétele. De ha egyik sem áll rendelkezésre, és az elemi differenciálási szabályok egyszeru˝ megfordításai nem vezetnek célhoz, akkor parciális in-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

68


tegrálással kell próbálkozni. Ez az eljárás a szorzat deriválási szabályának a megfordítása. A 2. el˝oadásban láttuk, hogy egy olyan függvény differenciálását, amely maga egy szorzat, a következ˝o eljárással végezhetjük el: d[f (x)g(x)] dg(x) df (x) = f (x) + g(x) . dx dx dx Integráljuk most az egyenlet mindkét oldalát az a és a b határok között:

a

b

d[f (x)g(x)] = dx

b

f (x)

a b

+

g(x) a

dg(x) + dx

df (x) dx. dx

A bal oldal kiszámítása egyszeru, ˝ hiszen egy deriváltnak (az f g deriváltjának) az integrálja maga a függvény. A bal oldal tehát az f (b)g(b) − f (a)g(a) különbséggel egyenl˝o, amelyet gyakran így rövidítenek: f (x)g(x)|ba . Vigyük át végül a jobb oldal egyik integrálját a bal oldalra úgy, hogy kivonjuk mindkét oldalból: f (x)g(x)|ba −

www.interkonyv.hu

b

f (x) a

dg(x) = dx

b

g(x) a

df (x) dx. dx

(4)


© Typotex Kiadó

69


Tegyük most fel, hogy el kell végeznünk egy integrálást, de nem jövünk rá, hogy az integrandus milyen függvény deriváltja. Észrevesszük azonban, hogy az integrandus egy g(x) függvény és egy f (x) függvény deriváltjának a szorzata, vagyis olyan struktúrájú, mint a (4) jobb oldala. Ilyenkor el˝ofordulhat, hogy a bal oldali integrált ismerjük, és ily módon a (4) segítségével a keresett integrált kiszámíthatjuk. Nézzünk egy példát. Legyen a feladat mondjuk az

π/2

x cos xdx 0

integrál kiszámítása, amely nem szerepel a felsorolásunkban. De vegyük észre, hogy d sin x , dx

cos x =

ezért a (4) alapján az integrálunk az π/2 x sin x 0 −

π/2

0

dx sin xdx dx

kifejezéssel egyenl˝o, amely így is írható: π π sin − 2 2

π/2

sin xdx. 0

Most már egyenesben vagyunk, az

sin xdx ugyanis szerepel a

listánkon. A számítás befejezése az Ön dolga.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

70


4. Feladat: Fejezze be a

π/2 0

x cos xdx integrál kiszámítá-

sát.

Vajon milyen gyakran válik be ez a trükk? A válasz az, hogy elég gyakran, de természetesen korántsem mindig. A szerencsét˝ol függ.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

3. eloadás: ˝ Dinamika

Lenny: Mit˝ol jönnek mozgásba a testek, George? George: Az er˝okt˝ol, Lenny. Lenny: Mit˝ol állnak meg a mozgó testek, George? George: Az er˝okt˝ol, Lenny.

Arisztotelész mozgástörvényei Arisztotelész világát a súrlódás uralta. Ha mozgatni kellett valamit, például egy fakereku˝ nehéz szekeret, húzni kellett, vagyis er˝ot kellett gyakorolni rá. Minél nagyobb er˝ovel húzták, annál gyorsabban mozgott, de ha elengedték, hamar megállt. Ebb˝ol Arisztorelész hibás következtetéseket vont le, mert nem tudta, hogy a súrlódás is er˝o. Ennek ellenére tanulságos néhány elgondolását a mai nyelven is megfogalmazni. Ha ismerte volna a matematikai analízist, ezt a mozgástörvényt fogalmazta volna meg: Egy test sebessége arányos a rá ható teljes er˝ovel. Vektoregyenlettel – ha lett volna tudomása a vektorokról – ezt a törvényt az F = mv 71 www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

72


alakban írta volna fel. Az F itt természetesen a testre gyakorolt er˝o, a test erre adott válaszreakciója pedig (Arisztotelész szerint) a v sebességvektor. A két mennyiség kapcsolatát meghatározó m tényez˝o a test ellenállását fejezi ki a mozgatással szemben: adott er˝o annál kisebb sebességu˝ mozgást vált ki, minél nagyobb az m. A hajdani filozófusok némi elmélkedés után az m-et a test tömegével azonosíthatták. Nyilvánvalónak tunhetett ˝ ugyanis a számukra, hogy a súlyos testeket nehezebb mozgásban tartani, mint a könnyueket, ˝ ezért a tömegnek valamilyen formában szerepelnie kell az egyenletben. Gyanítható, hogy Arisztotelész sohase korcsolyázott, különben észre kellett volna vennie, hogy egy testet megállítani ugyanolyan nehéz, mint mozgásba hozni: ehhez is er˝o kell (pl. a súrlódás). A mozgástörvénye ugyan teljesen elhibázott, abból a szempontból mégis érdemes foglalkozni vele, hogy egy mozgástörvény hogyan határozza meg a rendszerek jöv˝obeli viselkedését. A testeket azonban mostantól részecskéknek fogjuk hívni. Vizsgáljuk egy részecske x-tengely mentén végbemen˝o egydimenziós mozgását megadott er˝o hatása alatt. A „ megadott er˝o” csupán annyit jelent, hogy minden pillanatban ismerjük az er˝ot, amelyet F (t)-vel jelölünk (egyetlen dimenzió esetén a vektorjelölés szükségtelen). Mivel a sebesség az x helykoordináta id˝o szerinti deriváltja, Arisztotelész mozgástörvényét a dx(t) F (t) = dt m alakban írhatjuk. Miel˝ott megoldanánk ezt az egyenletet, vessük

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

73

Dinamika

össze az 1. el˝oadásban tárgyalt determinisztikus törvényekkel. Egy nyilvánvaló különbség az, hogy Arisztotelész egyenlete nem sztroboszkópikus – a t és az x egyike se diszkrét: Mindkett˝o folytonosan változik. Mégis megfigyelhetünk hasonlóságot a kétfajta törvény között, ha az id˝ot Δt hosszúságú intervallumokra bontΔx juk és a deriváltat a hányadossal helyettesítjük. Ekkor az Δt arisztotelészi mozgásegyenlet x(t + Δt) = x(t) + Δt

F (t) m

alakban írható. Ez a képlet azt fejezi ki, hogy akárhol legyen is a részecske a t pillanatban, a következ˝oben az elmozdulása teljesen meghatározott. Ha például az er˝o az id˝oben változatlan pozitív F érték, akkor a részecske minden egyes Δt hosszúságú id˝oF szakaszban Δt elmozdulást szenved el˝ore irányban. Ez nyilm ván egy determinisztikus törvény. Ha tudjuk, hogy a részecske a t = 0 pillanatban az x(0) (vagy másképpen x0 ) pontban tartózkodott, könnyen megjósolhatjuk, hol találjuk meg a jöv˝oben. Arisztotelész tehát nem sértette meg az 1. el˝oadásban megfogalmazott kritériumot, az általa felírt törvény is determinisztikus. Kanyarodjunk most vissza a pontos dx(t) F (t) = dt m egyenlethez. Az olyan egyenleteket, amelyekben az ismeretlen függvény deriváltja is el˝ofordul, differenciálegyenleteknek nevezzük. Egyenletünk els˝orendu˝ differenciálegyenlet, mert csak az

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

74


els˝o deriváltat tartalmazza. Az ilyen egyenleteket könnyu˝ megoldani: Esetünkben, amikor az ismeretlen függvény maga nem is fordul el˝o az egyenletben, csak a deriváltja, egyszeruen ˝ integrálni kell az egyenlet mindkét oldalát:

dx(t) dt = dt

F (t) dt. m

A bal oldal egy derivált integrálja, amely az analízis alaptétele szerint x(t) + c -vel egyenl˝o (a határozatlan integrálban fellép˝o önkényes állandót itt célszeru˝ c -vel jelölni). A jobb oldal ugyanakkor egy adott függvény integrálja, amely egy c konstans erejéig van meghatározva. Amikor például az er˝o az id˝ot˝ol független F -el egyenl˝o, akkor

F F (t) dt = t + c . m m

Az egyenletünk megoldása tehát x(t) =

F t + c, m

amelyben c = c − c : A megoldásban a jobb és a bal oldal integrálásánál fellép˝o két konstans egyetlen c konstansba olvad össze. Hogyan lehet ezt meghatározni? Ha például tudjuk, hogy a részecske a t = 3 pillanatban az x = 1 helyr˝ol indult, akkor ezeket az egyenletbe beírva az 1=

www.interkonyv.hu

F ·3+c m


© Typotex Kiadó

75

Dinamika

összefüggésre jutunk, amely meghatározza c-t: c=1−3

F . m

1. Feladat: Az idoben ˝ változó ero˝ legyen F (t) = 2t2 , a t = 0-hoz tartozó kezdeti feltétel pedig x(0) = π. Határozzuk meg az x(t) függvényt Arisztotelész mozgástörvénye alapján.

Arisztotelész mozgástörvénye determinisztikus, de vajon reverzibilis-e? Az 1. el˝oadásban elmagyaráztam, mit jelent a reverzibilitás: Azt, hogy ha az összes nyilat megfordítjuk, a mozgás továbbra is determinisztikus marad. A nyilak megfordításának a muvelete ˝ akkor is egyszeru, ˝ amikor az id˝o folytonos. Mindenütt, ahol az egyenleteinkben megjelenik az id˝o, mínusz id˝ovel kell helyettesítenünk. Ennek az lesz a hatása, hogy a múltat és a jöv˝ot felcseréljük egymással. Amikor a t helyébe a −t kerül, a kis id˝okülönbségek is el˝ojelet váltanak. Vagyis minden Δt helyébe −Δt-t kell írnunk. Ezt a helyettesítést el lehet végezni közvetlenül a dt differenciálok szintjén is. A nyilak megfordítása a dt differenciál átírását jelenti −dt-re. Térjünk hát vissza Arisztotelész F (t) = m

dx dt

egyenletéhez és változtassuk meg benne az id˝o el˝ojelét. Ezt kap-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

76


juk: F (−t) = −m

dx . dt

Az egyenlet bal oldalán most is az er˝o áll, de nem a t, hanem a −t pillanatban. Továbbá, ha F (t) egy ismert függvény, akkor F (−t) is az: A fordított ideju˝ problémában az er˝o a megfordított id˝o ismert függvénye. Az egyenlet jobb oldalán dt-t −dt-re változtattuk, megváltoztatva ezzel az egész jobb oldal el˝ojelét. Ha ezt az el˝ojelet átvisszük a bal oldalra, a −F (−t) = m

dx dt

egyenletre jutunk. A konklúzió világos: a tükrözött mozgásegyenlet ugyanolyan struktúrájú, mint az eredeti, csak az er˝o másképpen függ benne az id˝ot˝ol. Levonhatjuk tehát a következtetést: mivel Arisztotelész egyenlete a jöv˝o irányába determinisztikus, a múlt irányába is az. Arisztotelész egyenletével nem az a baj, hogy inkonzisztens, hanem az, hogy egyszeruen ˝ hibás. Érdekes, hogy az egyenletnek mégis van alkalmazása – igaz, nem fundamentális törvényként, hanem közelítésként. Létezik súrlódási er˝o, amely sokszor annyira jelent˝os, hogy Arisztotelész intuícióját – a tárgyak megállnak, ha nem lökdösik o˝ ket folyamatosan – valamilyen mértékben alátámasztja. A súrlódási er˝o önmagában nem egy els˝odleges fogalom. Amiatt lép fel, hogy a testek óriási mennyiségu˝ mikrorészecskével – atommal és molekulával – lépnek kölcsönhatásba, amelyek túl kicsik és túl számosak ahhoz, hogy mindegyiket egyenként figyelembe vehessük.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

77

Dinamika

Ezekre a rejtett szabadsági fokokra átlagolnunk kell. A súrlódási er˝o ennek az átlagolásnak az eredménye. Amikor ez az er˝o olyan nagy, mint mondjuk egy iszapban mozgó k˝odarab esetében, akkor Arisztotelész egyenlete nagyon jó közelítés, de egy fontos kiigazítással: az er˝o és a sebesség arányát meghatározó tényez˝o nem a tömeg, hanem az úgynevezett súrlódási tényez˝o. De nem hiszem, hogy err˝ol többet szeretnének hallani.

Tömeg, gyorsulás, ero˝ Arisztotelész tévedett, amikor úgy gondolta, hogy er˝o „ alkalmazására” a mozgás fenntartásához van szükség. A helyes elképzelés az, hogy az egyik er˝ore – a mozgatóer˝ore – azért van szükség, hogy legy˝ozzünk egy másik er˝ot, a súrlódást. Az üres térben szabadon mozgó test mozgásának a fenntartásához nincs szükség er˝ore. Valójában a megállításához kell er˝ot alkalmazni. Ebben fejez˝odik ki a tehetetlenség törvénye. Az er˝o a mozgásállapot megváltoztatásában játszik szerepet. Amikor egy test nyugszik, ahhoz kell er˝o, hogy mozgásba jöjjön. Amikor viszont mozog, a megállítása igényel er˝ot. Ha egy bizonyos irányban mozog, akkor a mozgásirány megváltoztatása az, amihez er˝o szükségeltetik. Mindegyik példában a sebesség megváltozásáról, vagyis a gyorsulásról van szó. Tapasztalatból tudjuk, hogy bizonyos testek tehetetlensége nagyobb, mint másoké, mert a sebességük megváltoztatása nagyobb er˝ot igényel. A nagy és a kis tehetetlenségu ˝ test nyilvánvaló példája a mozdony és a pingponglabda. A tehetetlenséget számszeru˝ formában a tömeg fejezi ki.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

78


Newton mozgástörvénye három mennyiséget tartalmaz: a gyorsulást, a tömeget és az er˝ot. A gyorsulásról a 2. el˝oadásban volt szó. Egy képzett megfigyel˝o a mozgó test helyzetének megfigyelése útján némi matematika segítségével képes meghatározni a gyorsulását. A tömeg új fogalom, amelyet valójában az er˝o és a gyorsulás segítségével definiálunk. De mindeddig nem adtuk meg az er˝o definícióját. Úgy néz ki, hibás körben mozgunk, amelyben az er˝ot azzal a tulajdonságával definiáljuk, hogy egy adott tömeg mozgását képes megváltoztatni, a tömeget pedig az ellenállásán keresztül értelmezzük, amelyet az er˝onek ezzel a törekvésével szemben kifejt. A körb˝ol való kilépéshez vizsgáljuk meg alaposabban, hogyan definiáljuk és mérjük az er˝ot a gyakorlatban. Az er˝o pontos méréséhez kifinomult eszközökre van szükség, de a céljainknak teljes mértékben megfelel egy ódivatú rugós mérleg is. Ez egy rugót és egy skálabeosztást tartalmaz oly módon, hogy egy mutató segítségével meg lehet mérni, mennyivel nyúlt meg a rugó az egyensúlyi hosszához képest (ld. az 1. ábrát).

1. ábra: A rugós mérleg

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

79

Dinamika

A rugó két kampóban végz˝odik, az egyikre akasztjuk a megmérend˝o tömeget, a másikat meg húzzuk. Ja, és ha már nekifogtak, készítsenek rögtön többet is ebb˝ol az eszközb˝ol. Az egységnyi nagyságú er˝ot úgy definiáljuk, hogy az egyik kampót rögzítjük egy A tárgyhoz, a másikat meg addig húzzuk, amíg a mutató egy osztásnyit mozdul el. Ebben az esetben mondjuk, hogy egységnyi er˝ovel hatunk A-ra. Két egységnyi er˝ot úgy fejthetünk ki, hogy addig nyújtjuk a rugót, amíg a mutató a második osztásra nem mutat. De ha így teszünk, akkor hallgatólagosan feltételezzük, hogy a rugó a második osztásig ugyanúgy viselkedik, mint az els˝o osztás el˝ott. Megint hibás körbe jutottunk, amit pedig el akartunk kerülni. Ezért a kétegységnyi er˝ot úgy értelmezzük, hogy két egyforma rugót akasztunk A-ra és addig húzzuk o˝ ket, amíg mindkett˝o egységnyi er˝ot jelez (ld. a 2. ábrát). Háromegységnyi er˝ot három rugóval hozunk létre, s így tovább. Ha ezt a kísérletet a szabad térben végeznénk el, arra az érdekes tényre bukkannánk, hogy az A objektum gyorsul abba az irányba, amelyben a kampót húzzuk. Az is kiderülne, hogy a gyorsulás arányos az er˝ovel – kétszer akkora er˝o kétegységnyi, háromszor akkora háromegységnyi gyorsulást okoz.

2. ábra: Kétegységnyi er˝o

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

80


Próbáljuk most a tehetetlenség nagyságát változtatni. Ha két egyforma A testet er˝osítünk ugyanarra a kampóra, akkor ennek kétszer akkora lesz a tehetetlensége, mint amennyi egyetlen A-é volt (ld. a 3. ábrát).

3. ábra: Kétszeres tömeg

Ha a megduplázott objektumra egységnyi er˝ot alkalmazunk (úgy húzzuk egy rugóval, hogy egy osztásnyi legyen a megnyúlása), akkor csak feleakkora lesz a gyorsulása, mint amennyi egy objektumnál volt. A tehetetlenség (a tömeg) a kétszeresére n˝ott. Az objektum megháromszorozása harmadakkora gyorsulást eredményez, s így tovább. A kísérletet elvégezhetjük akárhány testtel és rugóval. Az eredmény egyetlen formulában, Newton második törvényében foglalható össze, amely szerint az er˝o a tömeg és a gyorsulás szorzatával egyenl˝o: F = ma.

(1)

Ezt az egyenletet így is írhatjuk: dv F = m . dt

(2)

Szavakkal kifejezve: az ero˝ egyenlo˝ a tömeg és a sebességválto-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

81

Dinamika

zás ütemének a szorzatával; ha nincs er˝o, a sebesség nem változik. Hangsúlyozzuk, hogy ezek vektoregyenletek. Az er˝o is, a gyorsulás is vektor, mert nemcsak nagyságuk, hanem irányuk is van.

Közjáték az egységekrol ˝ Egy matematikust kielégíti, ha azt hallja, hogy egy egyenes szakasz hossza 3 egységgel egyenl˝o. De a fizikus, a mérnök – vagy akárki más – megkérdezheti: Három micsodával? Három collal, három centiméterrel vagy három fényévvel? Hasonlóan semmitmondó, ha a tömegr˝ol kijelentjük, hogy 7 vagy 12. A számok csak akkor nyernek értelmet, ha megmondjuk, milyen egységet használunk. Kezdjük a hosszúsággal. A platinából készült méteretalont valahol Párizsban o˝ rzik. Lepecsételt tartályban, állandó h˝omérsékleten tartják, távol minden hatástól, amely megváltoztathatja a hosszát6 . A továbbiakban ezt a méterrudat választjuk hosszegységnek. Írhatjuk tehát, hogy [x] = [hosszúság] = méter. A formája ellenére ez nem egy egyenlet; azt fejezi ki, hogy az xszel jelölt mennyiség hosszúság, és méterben mérjük. 6 A métert ma már annak a fénynek a hullámhosszával definiálják, amelyet egy meghatározott atom bocsát ki, amikor egyik kvantumállapotából egy másikra ugrik át. A mi céljainknak a párizsi méterrúd teljesen megfelel.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

82


Hasonlóan, a t id˝ot jelöl, amelyet szekundumban mérünk. A szekundum azzal az id˝ovel egyenl˝o, amely alatt egy meghatározott módon konstruált inga egy lengést tesz meg: [t] = [id˝o] = szekundum. A hossz- és id˝oegység birtokában meghatározhatjuk a sebesség és a gyorsulás mértékegységét. A sebesség egysége az út per id˝o, mert a kiszámításánál távolságot osztunk id˝otartammal:

hosszúság m [v] = = . id˝o s Ugyanilyen módon tárgyalhatjuk a gyorsulást is, amely a sebességváltozás ütemével egyenl˝o, ezért sebesség per id˝ovel, vagyis út per id˝o per id˝ovel mérjük:

[a] =

1 hosszúság m hosszúság · = = 2. 2 id˝o id˝o s id˝o

A tömeg egységeként a kilogrammot fogjuk használni. Ez egy konkrét platinatárgy tömegével egyenl˝o, amelyet szintén Párizsban o˝ riznek: [m] = [tömeg] = kilogramm = kg. Térjünk át most az er˝o egységére. Úgy definiálhatjuk, hogy egy meghatározott anyagból készült konkrét rugót 0,01 méterrel megnyújtunk – vagy valami hasonló módon. De valójában nincs

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

83

Dinamika

szükség egy új er˝oegység kitalálására. Egyet ugyanis már ismerünk: azt az er˝ot, amely egy kilogramm tömegu˝ testnek egy méter per szekundum per szekundum gyorsulást kölcsönöz. Még jobb, ha az F = ma Newton-törvényb˝ol indulunk ki, amelyb˝ol világosan kitunik, ˝ hogy az er˝o egysége a tömeg és a gyorsulás egységének a szorzata: [F ] = [er˝o] = [ma] =

tömeg × hosszúság = = id˝o2 kg m = 2 . s Ennek az er˝oegységnek neve is van: az egy kilogramm méter per szekundum négyzetet egy newtonnak hívják és N-nek rövidítik. Newton maga, lévén Anglia polgára, valószínuleg ˝ az angol egységet, a fontot favorizálta volna, amely kb. 4,4 N-nal egyenl˝o.

Egyszeru˝ példák a Newton-egyenlet megoldására A legegyszerubb ˝ eset az, amikor egyetlen részecskénk van, amelyre nem hat er˝o. A mozgásegyenlet a (2), amelyben az er˝o most nulla: m

dv = 0, dt

vagy a pontot használva a derivált jelölésére mv˙ = 0.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

84


A tömeget nyilván elhagyhatjuk és az egyenletet komponens alakban is felírhatjuk: v˙ x = 0 v˙ y = 0 v˙ z = 0. A megoldás egyszeru: ˝ A sebesség komponenseinek az értéke id˝oben nem változik és megegyezik a kezd˝osebességgel: (3)

vx (t) = vx (0).

A másik két komponensre ugyanilyen egyenlet érvényes. Néha ezt Newton els˝o mozgástörvényének hívják: Minden egyenesvonalú egyenletes mozgást végz˝o test meg˝orzi ezt a mozgásállapotát, hacsak valamilyen küls˝o er˝o nem hat rá. Az (1) és a (2) egyenlet fejezi ki Newton második törvényét: Egy objektum tömege (m), gyorsulása (a) és a rá ható er˝o (F) közötti kapcsolat a következ˝o: F = ma. Mint láttuk, az els˝o törvény a második törvény speciális esete akkor, amikor az er˝o nullával egyenl˝o. Mivel a sebesség a helykoordináta id˝oderiváltja, ezért x˙ = vx (0). Ez az elképzelhet˝o legegyszerubb ˝ differenciálegyenlet, amelynek

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

85

Dinamika

megoldása (az összes komponensre nézve) x(t) = x0 + vx (0)t y(t) = y0 + vy (0)t z(t) = z0 + vz (0)t, vagy vektorjelölésben r(t) = r0 + v0 t. Bonyolultabb mozgás jön létre olyan er˝o hatására, amely id˝oben állandó. Tegyük fel, hogy az er˝o z irányú. Az m-mel osztott mozgásegyenlet ekkor a következ˝o: v˙ z =

Fz , m

2. Feladat: Integráljuk ezt az egyenletet. Segítség: Használjuk a határozott integrálokat. amelynek a megoldása vz (t) = vz (0) +

Fz t, m

z(t) ˙ = vz (0) +

Fz t. m

vagy

Ez valószínuleg ˝ a második legegyszerubb ˝ differenciálegyenlet,

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

86


amelyet szintén könnyu˝ megoldani: z(t) = z0 + vz (0)t +

Fz 2 t . 2m

(4)

3. Feladat: Differenciálással igazoljuk, hogy ez a kifejezés kielégíti a mozgásegyenletet.

Ez az egyszeru˝ eset alighanem ismer˝os. Ha z a földfelszínt˝ol Fz pedig a nehézségi gyorsulás, számított magasságot jelöli, az m Fz = −g, akkor a (4) egyenlet egy olyan test mozgását írja le, m amely v(0) kezd˝osebességgel a z0 magasságból esik szabadon: 1 z(t) = z0 + vz (t) − gt2 . 2

(5)

Nézzük most a közönséges harmonikus oszcillátort. Ezt a legjobb egy x-tengely mentén mozgó részecskének elképzelni, amelyet egy er˝o húz az origó felé. Az er˝otörvény a következ˝o: Fx = −kx, amelyben k egy pozitív konstans. A negatív el˝ojel biztosítja, hogy bármilyen el˝ojelu˝ is az x, az er˝o az x = 0 kezd˝opont felé mutat: Ha például x pozitív, akkor az er˝o negatív, és megfordítva. A mozgásegyenlet x ¨=−

www.interkonyv.hu

k x, m © Hungarian translation, Hraskó Péter

© Typotex Kiadó

87

Dinamika

amely a

k = ω 2 jelölés bevezetése után az m x ¨ = ω2x

(6)

alakot ölti. 4. Feladat: Differenciálással igazoljuk, hogy a (6) egyenlet két A és B konstansot tartalmazó általános megoldása

x(t) = A cos ωt + B sin ωt.

Fejezzük ki a t = 0-beli kezdohelyzetet ˝ és kezdosebessé˝ get az A és a B konstansokon keresztül.

A harmonikus oszcillátor jelent˝osége egészen rendkívüli, az ingán kezdve a fényhullámban terjed˝o elektromos és a mágneses mez˝o rezgéséig mindenütt alkalmazzák. Hasznunkra fog válni, ha alaposabban foglalkozunk vele.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

3. közjáték: Parciális deriválás

– Nézz körül, Lenny! Micsoda barátságos hegyes-völgyes vidék! – Hát persze, George. Találunk szállást valahol magunknak, ha lesz egy kis pénzünk? Biztos találunk? George hunyorított. – Merre nézel te tulajdonképpen, Lenny? – Arra ni, jobbra – mutatta Lenny. – Ott egy lokális minimum.

Parciális deriváltak Az egyváltozós függvények analízise könnyen általánosítható a többváltozós függvényekre. Az egyetlen t változót tartalmazó függvény helyett foglalkozzunk egy olyan függvénnyel, amely egynél több változót tartalmaz. A határozottság kedvéért legyenek ezek x, y és z, de nem feltétlenül szükséges, hogy a háromdimenziós tér koordinátáinak tekintsük o˝ ket. Ezenkívül a változók száma lehet több is, kevesebb is, mint három. Vegyük ezeknek egy V (x, y, z) függvényét. Az x, y, z minden értékéhez tartozik a V (x, y, z) egy határozott értéke, amelyr˝ol feltesszük, hogy a koordináták változtatásakor simán változik. 89 www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

90


A többváltozós differenciálszámítás központi fogalma a parciális derivált. Vizsgáljuk mondjuk az x, y, z pont környezetét, és azt szeretnénk megtudni, milyen ütemben változik a V , amikor az x-et úgy változtatjuk, hogy közben y és z értéke rögzített marad. Ebben az esetben y és z rögzített paraméternek tekinthet˝o, ezért az egyetlen változó az x. A V deriváltját ekkor a dV ΔV = lim Δx→0 Δx dx

(1)

képlet definiálja, amelyben ΔV = V [x + Δx], y, z − V (x, y, z).

(2)

Figyeljünk rá, hogy a ΔV képletében csak az x-et változtatjuk, az y és a z rögzítve van. Az (1) és a (2) által definiált differenciálhányadost a V függvény x-szerinti parciális deriváltjának nevezzük és a ∂V ∂x szimbólummal jelöljük. Ha hangsúlyozni akarjuk, hogy a deriválásnál az y-t és a z-t tartottuk rögzítettnek akkor a részletesebb

∂V ∂x

y,z

jelölést használhatjuk.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

91

Parciális deriválás

Ugyanezzel az eljárással értelmezhetjük a többi változó szerinti parciális deriváltat is. Például ∂V ΔV . = lim Δy→0 Δy ∂y A parciális derivált egy nagyon tömör jelölését is ezen a példán mutatjuk be: ∂V = ∂y V. ∂y ∂V maga ∂x is az x, y, z függvénye, ezért szintén deriválható. Így értelmezTöbbszörös parciális deriválásra is van lehet˝oség. A

hetjük például az x-szerinti második parciális deriváltat: ∂2V = ∂x ∂x2

∂V ∂x

= ∂xx V.

Vegyes parciális deriválás is lehetséges. Például a ∂y V -t deriválhatjuk x-szerint: ∂2V = ∂x ∂x∂y

∂V ∂y

= ∂xy V.

Érdekes és fontos tény, hogy egy vegyes parciális derivált értéke független attól, milyen sorrendben végezzük el a deriválást, vagyis például

www.interkonyv.hu

∂2V ∂2V = . ∂x∂y ∂y∂x


© Typotex Kiadó

92


1. Feladat: Számítsuk ki az x2 + y 2 − sin(xy) x (x2 +y2 ) e y ex cos y

függvények elso˝ és második parciális deriváltjait a vegyes parciális deriváltakat is beleértve.

Stacionér pontok, és a függvények minimuma Foglalkozzunk az y változó valamely F függvényével, amelyet az 1. ábrán láthatunk:

1. ábra: Az F (y) függvény görbéje

Figyeljük meg, hogy vannak olyan y értékek, amelyekb˝ol akármilyen irányba mozdulunk is el, az F értéke mindig n˝o. Ezeket a pontokat a függvény lokális minimumainak hívjuk, és a 2. ábrán ponttal jelöltük meg.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

93


2. ábra: Lokális minimumok

Amikor egy lokális minimumból valamilyen irányba elindulunk, emelkedni kezdünk az F (y)-beli ponthoz képest. Mindegyik pont egy kis mélyedés fenekén helyezkedik el. A függvény globális minimuma a legalacsonyabban elhelyezked˝o pontban van. A lokális minimum egyik feltétele az, hogy a független változó szerinti derivált értéke ebben a pontban legyen nulla. Ez egy szükséges, de nem elégséges feltétel, amely egy stacionér pontot definiál:

d F (y) = 0. dy

A másik feltétel a stacionér pont jellegére vonatkozik, és a második derivált vizsgálatán alapul. Ha a második derivált nagyobb mint nulla, akkor a stacionér ponthoz közeli pontokban a függvény értéke nagyobb, mint a stacionér pontban, ahol tehát ekkor lokális minimum van:

d2 F (y) > 0. dy 2

És megfordítva: Amikor a második derivált kisebb mint nulla, akkor a stacionér pont közelében a görbe alacsonyabb, mint a stacionér pontban magában, ahol ily módon a függvény lokális

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

94


maximummal rendelkezik: d2 F (y) < 0. dy 2 A 3. ábrán a pontok a lokális maximumokat jelölik.

3. ábra: Lokális maximumok

4. ábra: Inflexiós pont

Ha a stacionér pontban a második derivált is nulla, akkor ebben a pontban a derivált el˝ojelet vált. Az ilyen pont neve inflexiós pont:

www.interkonyv.hu

d2 F (y) = 0. dy 2


© Typotex Kiadó

95


Az inflexiós pontra a 4. ábra mutat példát. Ezeket a feltételeket együtt másodikderivált-tesztnek hívjuk.

Stacionér pontok több dimenzióban Többváltozós függvényeknek is lehet lokális maximumuk, minimumuk vagy más típusú stacionér pontjuk. Képzeljünk el egy dimbes-dombos tájat. A szintmagasság két koordinátának a függvénye, amelyeket szélességnek és hosszúságnak szoktunk hívni. Jelöljük ezt a függvényt A(x, y)-nal. A hegyek legmagasabb és a völgyek legmélyebb pontjai az A(x, y) lokális maximumai és minimumai. De nem ezek az egyedüli olyan pontok, ahol a felszín lokálisan horizontális. Két hegy között képz˝odhetnek nyeregpontok, ahogy az 5. ábrán látható.

5. ábra: Egy többváltozós függvény

A hegytet˝ok olyan pontok, ahonnan csak lefele tudunk menni, bármerre induljunk is el. A völgyek legmélyebb pontjából pedig minden út felfele vezet. Azonban ezekben a pontokban magukban a talaj éppen vízszintes.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

96


De vannak más pontok is, ahol a talaj lokálisan horizontális. Ilyenek a már említett nyeregpontok két hegy között. A nyeregpontokban a talaj ugyancsak horizontális, ám ebb˝ol a pontból elindulva emelkedhetünk is, süllyedhetünk is attól függ˝oen, hogy milyen egyenes mentén indulunk el. A leggyorsabb emelkedéshez és süllyedéshez tartozó egyeneseket tengelyeknek hívjuk. Az egyiken mindig gyorsan ereszkedünk, a másikon emelkedünk, bármelyik irányba induljunk is el az adott tengely mentén. A lokális maximumok, minimumok és a nyeregpontok mind a függvény stacionér pontjai. Készítsünk el egy x-tengellyel párhuzamos metszetet, amely áthalad az A függvény egyik lokális minimumán (ld. a 6. ábrát).

6. ábra: Egy x-tengellyel párhuzamos metszet

Elég nyilvánvaló, hogy a minimumban az A függvény x szerinti deriváltja eltunik. ˝ Ezt így fejezhetjük ki: ∂A = 0. ∂x Ha a metszetet y irányúnak választjuk, akkor ugyanilyen alapon írhatjuk ezt is:

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

97


∂A = 0. ∂y Ahhoz, hogy valahol minimum, vagy általában stacionér pont legyen az szükséges, hogy mindkét derivált tunjön ˝ el. Ha az A több független irányban is változhat, akkor a stacionér pont szükséges feltétele az, hogy a ∂A =0 ∂xi

(3)

egyenl˝oség minden xi -re teljesüljön. Ezek az egyenletek tömören is megfogalmazhatók. Emlékezzünk rá, hogy amikor az x pont egy kicsit elmozdul, az A függvény értéke a δA =

∂A δxi ∂xi i

képlet szerint változik meg. A (3) egyenletrendszer ezért a δA = 0

(4)

feltétellel egyenértéku, ˝ amelynek az x tetsz˝oleges megváltozására teljesülnie kell. Tegyük fel, hogy találtunk egy ilyen pontot. Hogyan dönthetjük el, hogy ez maximum, minimum vagy nyeregpont? A válasz az egyváltozós függvényre érvényes kritériumok általánosításával fogalmazható meg. Nézzük a második deriváltat, amelyb˝ol

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

98


most több is létezik. Két dimenzióban például ∂2A , ∂x2 ∂2A , ∂y 2 ∂2A , ∂x∂y valamint

∂2A . ∂y∂x

A két utolsó azonban egyenl˝o egymással. Ezeket a parciális deriváltakat gyakran rendezik a ⎛

∂2A ⎜ ∂x2 H=⎜ ⎝ ∂2A ∂y∂x

⎞ ∂2A ∂x∂y ⎟ ⎟ ∂2A ⎠ , ∂y 2

speciális mátrixba, amelyet Hesse-mátrixnak hívnak. Az ilyen mátrixból képezhet˝o két legfontosabb mennyiség a determináns és a nyom, ezeket a

det H =

∂ 2A ∂2A ∂2A ∂2A , − 2 2 ∂x ∂y ∂y∂x ∂x∂y

valamint a tr H =

∂ 2A ∂2A + ∂x2 ∂y 2

képlet7 definiálja. 7A

tr az angol trace (nyom) szó rövidítése. – (A fordító)

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

99


A mátrix, a determinánsa és a nyoma valószínuleg ˝ nem mond sokat Önöknek a definíciójukon túl, de a jelentésük sokkal világosabbá fog válni a kvantummechanikában, amely ezeknek az el˝oadásoknak a soron következ˝o témája. Jelen céljainkhoz elegend˝ok a fenti definíciók és az alábbi szabályok. Ha egy stacionér pontban a Hesse-mátrix determinánsa és nyoma pozitív, akkor a pont lokális minimum. Ha egy stacionér pontban a Hesse-mátrix determinánsa pozitív, a nyoma pedig negatív, akkor a pont lokális maximum. Ha egy stacionér pontban a Hesse-mátrix determinánsa negatív, akkor a nyom el˝ojelét˝ol függetlenül a stacionér pont nyeregpont. Figyelmeztetünk rá, hogy ezek a szabályok csak kétváltozós függvényekre vonatkoznak, több változó esetén bonyolultabbá válnak. Egyiknek az érvényessége se nyilvánvaló, de lehet˝ové teszik a függvények különféle stacionér pontjainak a megkeresését. Nézzünk egy példát. Tekintsük mondjuk az F (x, y) = sin x + sin y függvényt és képezzük a deriváltjait: ∂F = cos x ∂x ∂F = cos y. ∂y π π π = 0, az x = , y = pontban mindkét derivált 2 2 2 zérus, ezért ez a pont stacionér. Mivel cos

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

100


Ahhoz, hogy eldönthessük, milyen típusú, ki kell számítani a második deriváltakat. Ezek a következ˝ok: ∂2F = − sin x ∂x2 ∂2F = − sin y ∂y 2 ∂2F =0 ∂x∂y ∂2F = 0. ∂y∂x π = 1, a Hesse-mátrix determinánsa pozitív, a nyoma 2 negatív, ezért a vizsgált pontban a függvénynek maximuma van. Mivel sin

2. Feladat: Vizsgáljuk meg, hogy az F (x, y) = sin x + sin y valamint az F (x, y) = cos x + cos y függvényeknek stacionér pontjai-e az π π , x = ,y = − 2 2 π π x = − ,y = , 2 2 π π x = − ,y = − 2 2 pontok, és ha igen, milyen típusúak.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

4. eloadás: ˝ Egynél több részecskébol ˝ álló rendszerek

Bágyadt, langyos este van. Lenny és George a füvön fekszik és az eget bámulja. ˝ vajon részecskék? – Mesélj nekem a csillagokról, George. Ok – Igen, Lenny, bizonyos értelemben azok. – Hogy lehet, hogy nem mozognak? – Bizony mozognak, Lenny. Csak nagyon messze vannak. – Mérhetetlenül sok van bel˝olük. El tudod képzelni, hogy ez a Laplace nevu˝ fickó mindet számon tudta tartani?

Részecskerendszerek Ha – mint Laplace hitte – a természetben található rendszerek részecskékb˝ol állnak, akkor a természeti törvények azok a dinamikai törvények, amelyek ezeknek a részecskéknek a mozgását determinálják. Idézzük Laplace-t: „ Egy olyan intellektus, amely egy adott pillanatban ismerné az . . . összes er˝ot és az . . . összes test helyzetét. . . ” De vajon mi az, ami egy adott részecskére ható er˝ot meghatározza? Els˝osorban az, hogy éppen hol van a többi részecske. 101 www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

102


Az er˝onek sok fajtája létezik – a súrlódás, a szél er˝ossége, a padló által kifejtett er˝o, amely megakadályozza, hogy lezuhanjunk a pincébe –, de ezek egyike se fundamentális. Mindegyik az atomok és a molekulák mikroszkópikus kölcsönhatásának a következménye. A fundamentális er˝ok azok, amelyek a részecskék között hatnak: a gravitáció és az elektromos er˝ok. Ezek több körülményt˝ol függnek. Két részecske között ható gravitációs er˝o például a tömegeik, az elektromos er˝o pedig az elektromos töltéseik szorzatával arányos. A töltés és a tömeg a részecskék bels˝o sajátossága, a megadásuk hozzátartozik a rendszer jellemzéséhez. Az ilyen bels˝o tulajdonságokon kívül az er˝ok a részecskék helyzetét˝ol is függenek. Az objektumok közötti távolság például befolyásolja, milyen gravitációs és elektromos er˝ovel hatnak egymásra. Tegyük fel, hogy a részecskék helyét a koordinátáikkal adjuk meg: x1 , y1 , z1 az els˝o, x2 , y2 , z2 a második, x3 , y3 , z3 a harmadik részecske helykoordinátái, és ez a sorozat folytatódik egészen az utolsó, N -edik részecskéig. Ebben a felfogásban bármely kiválasztott részecskére ható er˝o a saját koordinátáinak, valamint az összes többi részecske koordinátáinak a függvénye. Ez a tény a következ˝o képlettel fejezhet˝o ki: Fi = Fi

r .

Szavakban: az i-edik részecskére ható er˝o az összes részecske helyzetének a függvénye. Az r szimbólum a rendszer összes részecskéjének a koordinátáját helyettesíti. Másképpen kifejezve ez a szimbólum az összes helyzetvektor reprezentánsa.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó Egynél több részecskéb˝ol álló rendszerek

103

Ha ismerjük az összes részecskére ható er˝ot, akkor bármelyikre – például az 1. számúra is – fel tudjuk írni Newton rá érvényes mozgásegyenletét: F1

r = m1a1 ,

amelyben m1 és a1 az 1. számú részecske tömege és gyorsulása. A gyorsulást a helykoordináta második deriváltjaként kifejezve F1

d2r1 r = m1 2 . dt

Ugyanilyen egyenlet írható fel a rendszer összes részecskéjére: d2r1 r = m1 2 dt 2 d r2 F2 r = m2 2 dt 2 d r3 F3 r = m3 2 dt F1

.. . FN

d2rN r = mN , dt2

vagy tömören Fi

www.interkonyv.hu

d2ri r = mi 2 . dt


© Typotex Kiadó

104


Ezek az egyenletek komponensek formájában is megadhatók: d2 xi dt2 d2 yi (Fy )i ({x}, {y}, {z}) = mi 2 dt d2 zi (Fz )i ({x}, {y}, {z}) = mi 2 . dt

(Fx )i ({x}, {y}, {z}) = mi

(1)

Ebben az egyenletrendszerben (Fx )i , (Fy )i és (Fz )i az i-ik részecskére ható er˝o x, y és z komponense, az {x}, {y}, {z} pedig a részecskék x, y, valamint z koordinátáinak összessége. Ebb˝ol az egyenletrendszerb˝ol világosan látszik, hogy minden részecske mindegyik koordinátájához tartozik egy egyenlet, amelyek segítségével egy Laplace által elképzelt rendkívüli intellektus a kezdeti feltételek ismeretében meg tudná állapítani, hogyan fognak mozogni a részecskék. Hány egyenletünk is van? Minden részecskére három, vagyis összesen 3N darab.

A részecskerendszerek állapottere Egy rendszer állapota „ mindannak az összesége, amit (abszolút pontosan) meg kell adnunk ahhoz, hogy a dinamikai törvény ismeretében megjósolhassuk a jöv˝ojét”. Az 1. el˝oadásban azt is tisztáztuk, hogy a rendszer lehetséges állapotainak összességét állapottérnek hívjuk, és az ottani példákban ez többnyire diszkrét lehet˝oségek gyujteménye ˝ volt: egy pénzérme esetében H és T , a kockánál az 1-t˝ol a 6-ig terjed˝o egész számok s így tovább. Arisztotelész mechanikájában a részecskék helyzete rögzíti a bel˝olük

www.interkonyv.hu



105

álló rendszer állapotát. Arisztotelész törvénye szerint ugyanis a részecskék pillanatnyi helyzete határozza meg az er˝ot, az er˝o pedig a sebességet, amelyen múlik végs˝o soron a részecskék helyzete a következ˝o pillanatban. Newton törvénye azonban különbözik Arisztotelészét˝ol. Nem a sebességet, hanem a gyorsulást határozza meg. Ezért a kiinduláshoz a részecskék helyzetén kívül a sebességüket is ismernünk kell. A sebesség azt mondja meg, hol lesz a részecske a következ˝o pillanatban, a gyorsulás pedig azt, hogy mi lesz a sebessége. Mindez annyit jelent, hogy egy részecskerendszer állapotába nem elég a részecskék helyét beleérteni, az állapot rögzítéséhez a sebességüket is meg kell adnunk. Ha például a rendszerünk egyetlen részecskéb˝ol áll, akkor az állapota hat adatot tartalmaz: a helyvektor és a sebességvektor három-három komponensét. Ezt szokás úgy kifejezni, hogy az állapot egy olyan hatdimenziós tér egy pontja, amelynek a koordinátatengelyein az x, y, z, vx , vy , vz mennyiségek vannak felmérve. Foglalkozzunk most a részecske mozgásával. A részecske állapotát minden pillanatban a hat x(t), y(t), z(t), vx (t), vy (t), vz (t) szám rögzíti. A részecske történetét ily módon egy trajektória ábrázolja a hatdimenziós állapottérben. Térjünk át az N részecskéb˝ol álló rendszerek állapotterére. A rendszer állapota akkor lesz meghatározva, ha a rendszert alkotó összes részecske állapotát rögzítjük. Az állapottér ennek következtében 6N dimenziós lesz: három hely- és három sebességkomponens az N részecske mindegyikére. Azt is mondhatjuk, hogy a rendszer mozgása nem más, mint egy trajektória a 6N dimenziós állapottérben.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

106


De álljunk meg egy pillanatra! Ha az állapottér 6N dimenziós, miért elég az (1)-beli 3N egyenlet a rendszer fejl˝odésének a meghatározásához? Az egyenletek fele még hiányzik? Legyen megint csak egyetlen részecskénk, amelyre az er˝o ismeretében a Newton-egyenletet az m

dv = F dt

alakban is felírhatjuk, hiszen a gyorsulás nem más, mint a sebesség változásának az üteme (id˝oderiváltja). Ezt az egyenletet azonban még ki kell egészítenünk a sebesség definíciójával, amely szerint a sebesség a pozíció változásának az üteme: dr = v . dt Amikor ezt a második egyenletet is figyelembe vesszük, összesen hat egyenlet áll a rendelkezésünkre ahhoz, hogy kiszámíthassuk az állapottér hat koordinátájának az id˝obeli viselkedését. Ezt a gondolatmenetet a részecskerendszerek minden egyes részecskéjére alkalmazhatjuk, és a következ˝o 6N egyenletet kapjuk az állapotérben leírható mozgás meghatározására: mi

dvi = Fi dt dri = vi . dt

(2)

A korábban feltett kérdésünkre a válasz tehát az, hogy tényleg hiányzott az egyenletek fele.

www.interkonyv.hu



107

Az állapottér akármelyik pontjában találjuk is a rendszerünket, a (2) egyenlet egyértelmuen ˝ meghatározza, hol lesz a következ˝o pillanatban. Azt is rögzíti, hol volt az el˝oz˝oben. Ezért a (2)-t jogosan tekinthetjük dinamikai törvénynek. Az N részecskéhez szükséges 6N egyenlet tehát rendelkezésünkre áll.

Az impulzus és a fázistér Ha valakit elüt egy mozgó objektum, az eredmény nemcsak a test sebességét˝ol, hanem a tömegét˝ol is függ. Egy pingponglabda a maga kb. 13 m/s sebességével kisebb hatást gyakorol, mint egy ugyanolyan sebességu˝ mozdony. Valójában a hatás a test impulzusával 8 arányos, amelyet id˝olegesen a tömeg és a sebesség szorzataként definiálunk. Mivel a sebesség vektormennyiség, az impulzus – amelyet p-vel jelölünk – szintén vektor: pi = mi vi

vagy másképpen

p = mv . Mivel a sebesség és az impulzus ilyen szoros kapcsolatban áll egymással, lehet˝oség van rá, hogy az állapot meghatározásában a hely és a sebesség helyett a hely-impulzus párt használjuk. Ebben az esetben az állapotteret fázistérnek hívjuk. Egyetlen ré8 A magyar szaknyelvben az impulzus mellett a lendület elnevezés is használatos. – (A fordító)

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

108


szecske fázistere hatdimenziós, amelynek pontjait három xi koordináta és három pi impulzuskomponens határozza meg (ld. az 1. ábrát).

1. ábra: Egy pont a fázistérben

Miért nem konfigurációs térnek hívjuk ezt a teret? Mi szükség van az új fázistér elnevezésre? Azért, mert a konfigurációs tér kifejezés mást jelent, a háromdimenziós térben elfoglalt helyre vonatkozik. Vagyis az ri -kre. Lehetne ez utóbbit pozíciós térnek hívni; ebben az esetben azt mondhatnánk, hogy „ a pozíciós tér és az impulzustér együtt alkotja a fázisteret”. Valójában tényleg ezt állítjuk, de inkább konfigurációs teret mondunk a pozíciós tér helyett. A jelmondat tehát ez: A konfigurációs tér plusz az impulzustér egyenl˝o a fázistérrel. Megkérdezhetik, miért bonyolítjuk a dolgunkat azzal, hogy a szemléletes sebesség helyett az elvontabb impulzust használjuk egy részecske állapotának a leírására. A választ erre a kérdésre a kés˝obbi fejezetekben, a klasszikus mechanika kereteinek a kidolgozása után fogjuk megkapni. Egyel˝ore tegyünk annyit, hogy a

www.interkonyv.hu



109

(2) egyenletet a sebesség helyett az impulzus segítségével írjuk fel. Ehhez el˝oször is észrevesszük, hogy az m

dv dt

kifejezés nem más, mint az impulzusváltozás üteme, azaz

d p , dt

vagy tömörebben m

dv = p˙. dt

Az egyenletrendszer ezután így írható fel: p˙i = Fi ({r}) r˙i =

(3)

pi . m

Ez az egyszeru, ˝ elegáns egyenletrendszer pontosan olyan, amilyennek Laplace a természeti törvényeket elképzelte: a fázistér minden egyes koordinátájára van egy egyenletünk, amely megmondja, mennyit változik egy infinitezimálisan rövid id˝ointervallum alatt.

Hatás, ellenhatás és az impulzus megmaradása Az impulzus megmaradása a klasszikus mechanika elvont, általános elveinek egyik alapvet˝o jelent˝oségu˝ következménye, de ezeknek az alapelveknek az ismerete nélkül elemi módon is meg lehet érteni Newton harmadik törvénye segítségével, amely a következ˝o:

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

110


Minden hatáshoz tartozik egy vele egyenl˝o nagyságú, de ellentétes irányú ellenhatás. A harmadik törvényt a legegyszerubben ˝ úgy célszeru˝ elképzelni, hogy a részecskék páronként hatnak kölcsön egymással. Bármely kiválasztott j-edik részecske er˝ot gyakorol az összes többi i részecskére, és az egyes részecskékre ható teljes er˝o a többi részecske által rá gyakorolt er˝ohatás összegével egyenl˝o. Ha az i részecskére a j részecske által gyakorolt er˝ot fij -vel jelöljük, akkor az i részecskére Fi =

fij

(4)

j

er˝o hat. A bal oldal fejezi ki az i részecskére ható teljes er˝ot, a jobb oldal pedig a többi részecske által az i-re gyakorolt er˝ok összege. A newtoni hatás-ellenhatás törvénye a részecskepárok között ható fij er˝okre vonatkozik. Egyszeru˝ dolgot állít róluk: a j által az i-re gyakorolt er˝o egyenl˝o és ellentétes az i által a j-re gyakorolt er˝ovel. Egyenlet formájában a harmadik törvény tehát azt állítja, hogy minden i-re és j-re fij = −fji .

(5)

Helyettesítsük a (3) els˝o egyenletébe (4)-et: p˙ i =

fij .

j

Szavakban: bármely adott részecske impulzusának változási üteme egyenl˝o az összes többi részecske által rá gyakorolt er˝o össze-

www.interkonyv.hu



111

gével. Most adjuk össze az összes ilyen egyenletet, hogy megtudjuk, hogyan változik a teljes impulzus: i

˙ i = p

i

fij .

j

A bal oldal itt az impulzusok változási ütemének az összegével egyenl˝o vagy – más szavakkal kifejezve ugyanezt – megegyezik a teljes impulzus változási rátájával. Az egyenlet jobb oldala viszont nullával egyenl˝o. Ez azért van így, mert az összeghez minden részecskepár két taggal járul hozzá. Az egyik az i által a j-re ható, a másik a j által az i-re ható er˝ovel egyenl˝o, és a hatásellenhatás (5)-ben kifejezett törvénye alapján ezek éppen kioltják egymást. Az egyenletünk ennek következtében a d pi = 0 dt i alakot ölti. Ez az egyenlet fejezi ki pontosan az impulzus „ megmaradását”. Egy izolált rendszer teljes impulzusa sohasem változik. Térjünk vissza a p-k és az x-ek 6N dimenziós fázisterére. Minden pontban rögzítve van az összes impulzus, ezért a fázistér összes pontja jellemezhet˝o – legalábbis részben – a teljes impulzussal. Akár „ ki is tuzhetjük” ˝ a fázistér minden pontjára a teljes impulzus értékét (természetesen az irányát is beleértve). Fordítsuk most a figyelmünket a fázistérnek arra a pontjára, amelyben a kiinduláskor tartózkodik a pontrendszerünk. Ahogy az id˝o halad, a rendszer állapota változik, és a fázispontja egy görbét ír le

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

112


a fázistérben. A pálya minden pontját ugyanaz a teljes impulzus jellemzi, a pont sohase ugrik át az egyik impulzusú pontról egy másik impulzusú pontra. Ez a viselkedés pontosan tükrözi a megmaradási törvénynek azt a felfogását, amelyet az 1. el˝oadásban magyaráztunk el.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

5. eloadás: ˝ Az energia

– Hé, fickó, mit keresel a mozdony alatt? Lenny kedvelte a nagy g˝ozmozdonyokat, ezért szabadidejükben George néha magával vitte o˝ t a fut˝ ˝ oházba. – Hol az ördögben van a ló, amelyik mozgatja ezt az izét? – kérdi egy hang George-tól a mozdony alól. – Ami azt illeti, nincs szükség semmiféle lóra. Elmagyarázom, hogyan muködik. ˝ Látod itt ezt az üreget? – mutat George valahova. – Ez a tuztér, ˝ ahol elégetik a szenet, hogy a kémiai energiát kinyerjék bel˝ole. Ez itt mindjárt mellette a kazán, amelyben a kinyert energiával vizet forralnak, hogy g˝ozzé váljon. A g˝oznyomás muködteti ˝ a dugattyút itt ebben a hengerben, a dugattyú meg nyomja ezt a rudat, amelyik forgatja a kereket. – A fickó elvigyorodott, kezet rázott George-dzsal és vette a kalapját. Lenny ott állt a közelben, amikor George a mozdony mu˝ ˝ ködését magyarázta. Oszinte elismeréssel az arcán lépett oda hozzá. – George – mondta –, élveztem, ahogy magyaráztad a dolgokat annak az embernek. Én is teljesen megértettem. A tuztér, ˝ a kazán, a dugattyú. De egy valamit nem fogtam fel egészen. 113 www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

114


– Mit, Lenny? – Semmiség, csak kíváncsiság. Tulajdonképpen hol van az a ló?

Ero˝ és potenciális energia Gyakran hallhatjuk, hogy az energiának sok fajtája van (mozgási, potenciális, h˝o, kémiai, mukleáris,. . . ) és hogy ezek összege megmarad. De a klasszikus fizikában a részecskék mozgásának a tárgyalásánál csak két energiaformáról esik szó: a kinetikusról és a potenciálisról. Az energiamegmaradás levezetése szempontjából a legcélszerubb, ˝ ha a formális matematikai elvekb˝ol indulunk ki, aztán egy lépést visszafele téve megnézzük, mire jutottunk. Az alapelvünk – nevezzük potenciális energia elvnek – azt mondja ki, hogy az összes er˝ot le lehet származtatni egy potenciálisenergia-függvényb˝ol, amelyet V ({x})-szel fogunk jelölni. Emlékeztetünk rá, hogy {x} a rendszert alkotó összes részecske 3N koordinátájának – a konfigurációs tér koordinátáinak – az összesége. Az elv illusztrálásához induljunk ki a létez˝o legegyszerubb ˝ rendszerb˝ol, egyetlen részecskéb˝ol, amely az x tengely mentén mozog valamilyen F (x) er˝o hatása alatt. A potenciális energia elv szerint ez az er˝o a V (x) deriváltjával áll összefüggésben a következ˝o módon: F (x) = −

dV (x) . dx

(1)

Egydimenziós esetben a potenciális energia elv valójában nem más, mint a V (x) függvény definíciója, hiszen az er˝o maga határozza meg a potenciális energiát az (1) képlet integrálásán ke-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

115

Az energia

resztül:

V (x) = −

(2)

F (x)dx.

Az (1)-re a következ˝oképpen célszeru˝ ránézni. Az er˝o iránya mindig olyan, hogy a részecskét az alacsonyabb potenciális energiájú hely felé tuszkolja (a jobb oldali mínusz jel következtében). Ezenkívül minél meredekebb a V (x) függvény, annál nagyobb az er˝o. Ezeket a tulajdonságokat legszemléletesebben ez a szlogen fejezi ki: az er˝o mindig lefele lök a hegyr˝ol. A potenciális energia maga nem marad meg. Ahogy a részecske mozog, a V (x) folyamatosan változik. A potenciális és a kinetikus energia összege az, ami állandó. Képletesen szólva, ahogy a részecske száguld lefele a hegyr˝ol (halad az alacsonyabb potenciális energia felé) egyre n˝o a sebessége. Amikor felfele mozog, veszít a sebességéb˝ol. Valami nyilván megmarad. A kinetikus energia, amelyet T -vel fogunk jelölni, a részecske sebességét˝ol és tömegét˝ol függ: T =

1 mv 2 . 2

Az E teljes energia a kinetikus és a potenciális energia összege: E=

1 mv 2 + V (x). 2

Miközben a részecske mozog az x tengelyen, az energia két fajtája külön-külön változik, de mindig úgy, hogy az összegük állandó maradjon. Ezt most bebizonyítjuk úgy, hogy belátjuk, az E id˝oderiváltja nullával egyenl˝o.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

116


Kezdjük a kinetikus energia változási ütemének a kiszámításával. A tömeg konstans, de v 2 változik. Az id˝oderiváltja dv dv 2 = 2v = 2v v. ˙ dt dt

(3)

1. Feladat: Igazoljuk a (3) egyenletet. Segítség: Használjuk a szorzat deriválási szabályát. A kinetikus energia id˝oderiváltja tehát a következ˝o: T˙ = mv v˙ = mva. Felhasználtuk, hogy a sebesség id˝oderiváltja nem más, mint a gyorsulás. Térjünk most át a potenciális energia változási ütemére. A számítás kulcsa az az észrevétel, hogy V (x) változása az x változásának a következménye. Ezt a tényt a következ˝o képlet fejezi ki:

dV dV dx = . dt dx dt

(Nyugodtan gondolkozhatunk úgy, hogy a deriváltak törtek, a dx-szel ezért lehet egyszerusíteni.) ˝ Ugyanezt az egyenletet úgy dx -t v-vel helyettesítjük: is felírhatjuk, hogy dt dV dV = v. dt dx (Vigyázzunk, nehogy összekeverjük V -t v-vel!)

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

117

Az energia

Számítsuk most ki a teljes energia változási rátáját: E˙ = T˙ + V˙ = = mva +

dV v. dx

Vegyük észre, hogy mindkét tag tartalmazza v-t, amelyet ily módon ki lehet emelni: dV ˙ E = v ma + . dx Mi van a zárójelben? Mint tudjuk, a V deriváltja az er˝ovel kapcsolatos. Figyelembe véve (1)-ben a mínusz jelet, az E változási ütemére az

E˙ = v ma − F (x)

képletet kapjuk. Erre a képletre volt szükségünk ahhoz, hogy az energia megmaradását bebizonyíthassuk. Az F = ma Newtontörvény teljesülése a feltétele annak, hogy a zárójelben lév˝o kifejezés nullával legyen egyenl˝o, és ez biztosítja a teljes energia állandóságát. Egy pontot tisztáznunk kell, miel˝ott áttérünk a sokrészecskés rendszerekre. Megmutattuk, hogy az energia megmarad, de miért nem marad meg ebben az esetben az impulzus is? Az el˝oz˝o fejezetben végül is beláttuk, hogy a 3. Newton-törvény következtében egy izolált részecskerendszer teljes impulzusa nem változik. A válasz a kérdésünkre az, hogy valamit kihagytunk a rendszerünkb˝ol: Azt az objektumot, amely az er˝ot kifejti az egy

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

118


dimenzióban mozgó részecskére. Amikor például a gravitációs térben szabadon es˝o részecskér˝ol van szó, az er˝ot a Föld gyakorolja rá. Miközben a részecske zuhan, az impulzusa változik, de ezt a változást pontosan kompenzálja a Föld mozgásában beálló teljesen jelentéktelen módosulás.

Több mint egy dimenzió Az, hogy az er˝o komponensei a potenciális energia deriváltjai-e vagy sem ténykérdés, nem pedig definíció. Ez az alternatíva akkor merül fel, amikor nem elég egyetlen x-szel tör˝odnünk – vagy azért, mert a térnek egynél több dimenziója van, vagy azért, mert egynél több részecskénk van, vagy mindkét okból. Teljességgel elképzelhet˝o lenne olyan er˝o, amelyik nem egy potenciális energia függvény deriváltja, de a természet csak ritkán él az ilyen nem konzervatív er˝o lehet˝oségével9 . Fogalmazzunk az eddigieknél némileg elvontabban. Jelöljük a konfigurációs tér koordinátáit xi -vel (emlékezzünk rá, hogy a konfigurációs tér ugyanaz, mint a pozíciós tér). Az i index most nem azt jelzi, melyik részecskér˝ol van szó, sem pedig azt, hogy milyen térbeli irányról. Mindkét lehet˝oséget együttesen tartalmazza. Következésképpen egy N részecskéb˝ol álló rendszer esetében 3N különböz˝o értéket vesz fel. De ezzel most nem is kell tör˝odnünk: úgy kell felfognunk, hogy van valamilyen rendszerünk, amelyet az i indexet tartalmazó koordináták írnak le. 9 Fontos kivétel a mágneses térben mozgó töltött részecskére ható Lorentz-er˝ o, amely nem számítható potenciálból, mégis konzervatív. A természetben el˝oforduló nem konzervatív er˝o a súrlódás, amely azonban nem fundamentális (ld. a 3. el˝oadásban az Arisztotelész mozgástörvényei címu˝ fejezetet). – (A fordító)

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

119

Az energia

A mozgásegyenletet most így írhatjuk: (4)

mi xï = Fi ({x}).

Minden koordinátához tartozik valamilyen mi tömeg és Fi er˝o. Az er˝o mindegyik komponense függhet az összes {x} helykoordinátától. Az egydimenziós esetben az (1) egyenlet szerint az er˝o a potenciális energia negatív deriváltja. Ez a V definíciója volt, nem pedig valamilyen speciális kikötés az er˝ore. De egynél több dimenzióban a dolgok elbonyolódnak. Általában nem igaz, hogy ha van egy halom Fi ({x}) függvényünk, akkor mindet meg lehet kapni egyetlen V ({x}) függvény differenciálásával. Teljesen új elv lenne, ha azt állítanánk, hogy az er˝o komponensei egyetlen függvény (parciális) deriváltjai. De egy ilyen elv nem csupán képzelgés, hanem matematikai kifejezése az egyik legfontosabb fizikai elvnek, amely a következ˝o: Bármely rendszerhez10 tartozik egy V ({x}) potenciál, amelyre Fi ({x}) = −

∂V ({x}) . ∂xi

(5)

Milyen természeti törvényt fejez ki ez a képlet? Már valószínu˝ leg kitalálták, hogy az energiamegmaradás törvényér˝ol van szó, amelynek az (5) elégséges feltétele. Ezt hamarosan látni is fogjuk, de el˝oször próbáljuk meg vizuálisan elképzelni a jelentését. 10 Ld.

az el˝oz˝o lábjegyzetet. – (A fordító)

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

120


Képzeljünk el valamilyen terepet, amelyen a V ({x}) írja le a tengerszint feletti magasságot. Az (5)-ben a mínusz jel miatt az er˝o mindig lefele irányba mutat. A képletb˝ol az is következik, hogy az er˝o annál nagyobb, minél meredekebb a terep. Egy kontúrtérképen például a szintvonalakkal párhuzamos irányban nem hat er˝o. Az er˝o iránya mindig mer˝oleges a szintvonalakra. Térjünk most vissza az energiamegmaradás származtatásához és helyettesítsük be (5)-öt a (4) mozgásegyenletbe: mi xï = −

∂V ({x}) . ∂xi

(6)

A következ˝o lépés az, hogy a (6) mindegyik egyenletét megszorozzuk a neki megfelel˝o x˙ i sebességgel, utána pedig összegezzük o˝ ket:

mi x˙ i xï = −

i

x˙ i

i

∂V ({x}) . ∂xi

(7)

Az egyenlet minkét oldalán mindegyik tagot ugyanúgy átalakíthatjuk, ahogy az egydimenziós példában történt. A kinetikus energiát az egyes koordinátákhoz tartozó kinetikus energiák összegeként definiáljuk: T =

1 mi x˙ 2i . 2 i

Mi lesz a (7) két oldala? A bal oldal: i

www.interkonyv.hu

mi x˙ i x ï =

dT , dt


© Typotex Kiadó

121

Az energia

a jobb oldal pedig −

x˙ i

i

∂V ({x}) dV . =− ∂xi dt

A (7)-t tehát átírhatjuk így: dT dV + = 0. dt dt

(8)

Az egydimenziós esethez teljesen hasonlóan a (8) is azt fejezi ki, hogy a teljes energia id˝oderiváltja nulla – az energia megmarad. Az eddigieket szemléletesebbé tehetjük, ha visszagondolunk a terepünkre és úgy képzeljük, hogy egy labda gurul rajta súrlódásmentesen. Valahányszor mélyedés felé gurul, a sebessége n˝o, amikor pedig hegynek fölfele halad, lassul. A számításunk szerint ez olyan speciális módon történik, hogy a mozgási és a potenciális energia összege eközben nem változik. Gondolkodóba ejtheti az embert, hogy a természeti er˝ok miért mindig egyetlen függvény gradiensei (deriváltjai). A következ˝o fejezetben a klasszikus mechanikát új formában, a legkisebb hatás elve alapján fogalmazzuk majd meg. Ennek az elvnek már az alapjába „ be van építve” az, hogy létezik potenciális energia függvény. De akkor mi értelme van a legkisebb hatás elvének? A végs˝o választ a kvantummechanikában és az er˝ok térelméleti11 eredetében találjuk meg, – ám ezek a területek egyel˝ore a látóhatárunkon kívül esnek. De vajon miért éppen a kvantum tér11 A tér ebben a szóösszetételben a mez˝ ot helyettesíti, amely az elektromos és mágneses mez˝o kifejezésben fordul el˝o. A térelmélet helyett ezért jobb lenne mez˝oelméletet mondani, de ezt az elnevezést csak ritkán használják. – (A fordító)

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

122


elméletben van a titok nyitja? Nos, egy ponton mégis csak fel kell emelni a kezünket és bele kell nyugodnunk, hogy így van és kész. Vagy mégse nyugszunk bele és haladunk tovább. 2. Feladat: Tekintsünk egy m tömegu˝ részecskét, amely a két x és y dimenzióban mozog. A potenciális energiája 1 V = k(x2 + y 2 ). Írjuk fel a részecske mozgásegyenle2 tét. Mutassuk meg, hogy a mozgás történhet körpályán, és minden lehetséges körpályán a periódusido˝ ugyanaz. Mutassuk meg explicite, hogy az energia megmarad.

3.

Feladat: Oldjuk meg újra a 2. feladatot a V = k potenciállal. Most is vannak körpályák? Ha (x2 + y 2 ) igen, ugyanaz a periódusido˝ mindegyiken? Megmarad az energia? Miel˝ott áttérünk a legkisebb hatás elvének a tárgyalására, felsorolom a fizikában el˝oforduló legfontosabb energiafajtákat és megvizsgálom, hogyan illeszkednek a képbe. A következ˝okr˝ol lesz szó: • mechanikai energia • h˝o • kémiai energia • atomi és nukleáris energia • elektrosztatikus energia

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

123

Az energia

• mágneses energia • sugárzási energia. A felsorolás tartalmaz némileg elavult megkülönböztetéseket is. A mechanikai energia elnevezést rendszerint az olyan nagyméretu, ˝ szabad szemmel is jól látható tárgyakra alkalmazzák, mint például egy égitest vagy az emel˝odaru kötelén függ˝o objektum. Gyakran a gravitációs potenciális energiát értik rajta. A gáz vagy valamilyen más molekuláris rendszer h˝oenergiája szintén nem más, mint kinetikus és potenciális energia. Az egyetlen különbség az, hogy olyan nagyszámú kaotikus mozgást végz˝o részecskér˝ol van szó, hogy lehetetlen részletekbe men˝oen követni a pályájukat. A kémiai energia ugyancsak egy speciális eset, a molekulát alkotó részecskék potenciális és kinetikus energiájának a kombinációja. Azért nehezebb megérteni, mert a klasszikus mechanikát kvantummechanikával kell helyettesíteni, de az energia ett˝ol függetlenül a részecskék kinetikus és a potenciális energiájából áll össze. Ugyanez igaz az atomi és a nukleáris energiára is. Az elektrosztatikus energia csupán másik megnevezése annak a potenciális energiának, amely a töltött részecskék között ható vonzó és taszító er˝onek felel meg. Megszokott klasszikus világunkban a gravitációs energia mellett ez a potenciális energia másik gyakran el˝oforduló példája, de elektrosztatikus potenciál muködik ˝ az atomokat és a molekulákat alkotó töltött részecskék között is. Noha a mágneses energia elég ravasz dolog, a mágnes pólusai között ható er˝ohöz rendelhet˝o potenciális energia. A ravaszság

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

124


a mágnesek és a töltött részecskék között ható er˝onél jelentkezik. A töltött részecskékre ható mágneses er˝o az er˝ok bestiáriumának új tagja, amelyet sebességfügg˝o er˝onek hívnak. Még majd visszatérünk rá ebben a könyvben. Végül szólnunk kell az elektromágneses sugárzás energiájáról, amely a napsugár h˝ohatásában, a rádióhullámokban, a lézersugárban és a sugárzás egyéb formáiban realizálódik. Egy bizonyos, nagyon általános értelemben ez is kinetikus és potenciális energia kombinációja, de nem valamiféle részecskéké (legalábbis amíg el nem jutunk a kvantumtérelmélethez), hanem az elektromágneses mez˝oé. De ez már egy következ˝o könyvnek lesz a témája.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

6. eloadás: ˝ A legkisebb hatás elve

Lenny ideges – a méreteit és az erejét tekintve nem valami biztató jel –, és fáj a feje. – George, egyáltalán nem emlékszem erre az egész kacatra. Er˝o, tömeg, Newton-egyenlet, impulzus, energia. Azt állítottad, hogy a fizikához nem szükséges ennyi limlomot észben tartani. Nem haladhatnánk úgy, hogy csak egy valamire kelljen emlékezni? – Nyugodj meg, Lenny! Mindjárt minden sokkal egyszerubbé ˝ válik. Elég lesz, ha csak annyit jegyzel meg, hogy a hatás mindig stacionér.

Áttérés a mechanika magasabb szintjére A legkisebb hatás elve – pontosabban a stacionér hatás elve – a fizika klasszikus törvényeinek a legtömörebb formája. Ez az egyszeru˝ szabály (egyetlen sorban fel lehet írni) mindent magában foglal. Nem csak a klasszikus mechanika elveit, hanem az elektrodinamikáét, az általános relativitáselméletét, a kvantummechanikáét, mindent amit a kémiáról lehet tudni – le egészen 125 www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

126


az anyag végs˝o összetev˝oiig, az elemi részecskékig. Induljunk ki a klasszikus mechanika alapproblémájából: ez a rendszer trajektóriáinak (vagy pályáinak) a meghatározása a mozgásegyenletek alapján. A probléma megfogalmazása három dolog rögzítését igényli: Meg kell adnunk a részecskék tömegét, az F ({x}) er˝oket (vagy inkább a potenciális energia képletét), valamint a kezd˝ofeltételeket. A rendszer a koordináták és a sebességek bizonyos értékeivel kezd mozogni és a mozgást Newton második törvénye szerint folytatja a megadott er˝ok hatása alatt. Ha összesen N koordinátánk van (x1 , x2 , . . . , xN ), akkor kezd˝ofeltételként összesen 2N pozíciót és sebességet kell megadnunk. Valamilyen t0 kezd˝opillanatban például rögzítenünk kell az {x} pozíciókat és az {x} ˙ sebességeket, majd az egyenletek megoldásával ki kell számítanunk valamilyen kés˝obbi t1 pillanatra vonatkozóan a pozíciók és a sebességek értékét. Eközben rendszerint meghatározzuk a teljes trajektóriát a t0 és a t1 pillanat között (ld. az 1. ábrát).

1. ábra: A trajektória a t0 és a t1 pillanat között

De a klasszikus mechanika alapproblémája megfogalmazható úgy is, hogy kezd˝ofeltétel helyett valamilyen más módon adjuk

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

127

A legkisebb hatás elve

meg a megoldáshoz szükséges 2N mennyiséget. A kezd˝ohelyzet és a kezd˝osebesség helyett rögzíthetjük a kezd˝o- és a véghelyzetet. Tegyük fel például, hogy egy ágyúgolyót úgy kell kil˝oni a t0 pillanatban az x0 pontból, hogy pontosan 15 másodperc múlva (t1 ) érjen el a megadott célba (x1 ). Hogyan kell közben mozognia a lövedéknek? Ebben az esetben a kezd˝osebesség kiszámítása a feladat részét képezi. Most ez nincs ott a kezd˝ofeltételek között, hanem része a megoldásnak. Illusztráljuk a problémát tér- és id˝obeli ábrával (2. ábra). A vízszintes tengelyen mérjük fel a részecske (vagy az ágyúgolyó) helyét, a függ˝oleges tengelyen pedig az id˝ot. A trajektória kezdete és vége egy pontpár a térid˝oábrán, a trajektória maga pedig egy olyan görbe, amely összeköti o˝ ket.

2. ábra: Az ágyúgolyó trajektóriája

A feladat kétfajta megfogalmazása párhuzamba állítható azzal a kérdéssel, hogy hogyan adhatjuk meg egy egyenes szakasz helyzetét a térben. Az egyik lehet˝oség az, hogy a szakasz az origóból indul ki valamilyen meghatározott irányba. Ez felel meg a kezd˝ohelyzet és a kezd˝osebesség megadásának. De lehet olyan igényünk is, hogy a szakasz két adott pontot kössön össze. Ez ha-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

128


sonlít ahhoz, amikor olyan trajektóriát keresünk, amelyik megadott id˝o alatt az egyik adott pontból a másikba vezet. Ugyanezt a kérdést úgy is feltehetjük, hogy milyen irányban kell elindulnia a szakasznak ahhoz, hogy áthaladjon a megadott ponton. A válasz: keresd meg a legrövidebb utat a pontok között. Az analóg válasz a klasszikus mechanikában az, hogy keresd meg azt a trajektóriát, amelyen a hatás stacionér.

A hatás és a Lagrange-függvény A hatáselv megfogalmazásához ugyanazokra a paraméterekre van szükség, mint a Newton-egyenlethez. Ismerni kell a részecskék tömegét és a potenciális energiát. Adott trajektóriához tartozó hatást egy olyan integrál fejezi ki, amelynek határai a trajektória t0 kezd˝o és t1 végs˝o id˝opontja. Mindjárt megmondom (anélkül, hogy indoklást fuznék ˝ hozzá), mi az az integrál, amelyet minimalizálni kell, és csak a következmények taglalásával fogunk foglalkozni12 . A végeredmény a Newton-egyenlet lesz. Amikor látni fogjuk, hogyan muködik ˝ a dolog, minden további motiváció fölöslegessé válik. Ha egyszer az eljárás egyenértéku˝ a Newton-egyenlettel, miféle motivációra lehet még szükség? Az általános eset tárgyalása el˝ott illusztráljuk az elgondolást az x-tengelyen mozgó egyetlen részecske példáján. A részecske helyzete a t pillanatban x(t), a sebessége x(t). ˙ A kinetikus és a 12 Azért mondok minimalizálást, mert – tudomásom szerint – nincs külön kifejezés egy mennyiség stacionáriussá tételére. Próbálkoztam a stacionarizálással és más kifejezésekkel is, de végül feladtam és a legkisebb hatáshoz tartozó útnál kötöttem ki. De ne felejtsük el, hogy a legkisebb hatáson valójában stacionér hatást értünk.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

129


potenciális energia T =

1 mx˙ 2 2

V = V (x). Egy trajektória mentén a hatás a következ˝o:

A=

t1

t0

t1

= t0

(T − V )dt =

1 2 mx˙ − V (x) dt. 2

(1)

Nem gondolják, hogy ez a képlet sajtóhibás? Az energia a T és a V összege, miért szerepel mégis a különbségük az integrálban? Megpróbálhatják az eljárást T + V -vel kezdeni, de rossz választ fognak kapni. A T − V különbséget a rendszer Lagrangefüggvényének hívják és L-el jelölik. Amit L megadásához ismerni kell, az a részecske tömege (mert a kinetikus energiában szerepel) és a V (x) potenciális energia. Persze egyáltalán nem véletlen, hogy Newton mozgásegyenleteihez ugyanezekre van szükség. A Lagrange-függvényt az x koordináta és az x˙ sebesség függvényének kell tekinteni. A helyt˝ol azért függ, mert a potenciális energia tartalmazza, a sebességt˝ol pedig azért, mert a kinetikus energia függ t˝ole. Ezért írhatjuk, hogy L = L(x, x). ˙ A hatást felírhatjuk a Lagrange-függvény integráljaként:

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

130


A=

t1

L(x, x)dt. ˙ t0

(2)

A stacionárius hatás elvének van egy figyelemre méltó különlegessége. A részecskér˝ol látszólag természetfeletti képességet tételez fel, mert át kell tudni látnia az összes lehetséges trajektóriát és ki kell tudni választania közülük azt, amelyik a hatást stacionáriussá teszi. Álljunk meg ennél a pontnál és próbáljuk megérteni, mit csinálunk és merre tartunk. A hatás minimalizálása egy függvény minimalizálásának az általánosítása. A hatás nem egy közönséges, néhány változót tartalmazó függvény. Végtelen sok változótól függ, mert minden id˝opillanathoz tartozik egy koordináta. Helyettesítsük gondolatban a folytonos trajektóriát egy „ sztroboszkópikussal”, amelyik mondjuk egymillió pontból áll. Mindegyik pontot egyetlen x koordináta jellemzi, de az egész trajektória megadásához ismernünk kell a milliónyi x mindegyikét. A hatás az egész trajektória függvénye, ezért a milliónyi változótól függ. A minimalizálásához milliónyi egyenletet felírása szükséges. Az id˝o azonban valójában nem sztroboszkópikus, ezért az igazi trajektória folytonosan végtelen mennyiségu˝ változó függvénye. Másképpen kifejezve ugyanezt: A trajektória egy x(t) függvény, ezért a hatás egy függvény függvénye. Egy függvény függvényét – vagyis egy olyan valamit, ami egy függvény egészét˝ol függ – funkcionálnak hívják. A matematikának azt az ágát, amely a funkcionálok minimalizálásával foglalkozik, variációszámításnak nevezik.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

131


A közönséges függvények és a funkcionálok különböz˝osége ellenére a hatás stacionaritásának feltétele sok tekintetben emlékeztet arra a feltételre, amelyet a függvények stacionér pontjai elégítenek ki. Nagyon hasonló a 3. közjáték (4) egyenletéhez, mert így írható fel: δA = 0. A variációk azonban most nem néhány koordináta kis megváltoztatásai, hanem az egész trajektória lehetséges variációi. Az el˝oadás kés˝obbi részében levezetjük majd a hatás minimalizálására szolgáló egyenleteket, amelyeket Euler–Lagrangeegyenleteknek hívunk. Egyetlen szabadsági fok esetében a trajektória minden egyes pontjához tartozik egy egyenlet. Valójában ezek egyetlen differenciálegyenletté állnak össze, amely megmondja, hogyan mozdul el a rendszer két egymás utáni id˝opillanat között. A részecskének ennek következtében nem kell természetfölötti módon kipuhatolnia az össze lehetséges jöv˝obeli trajektóriát – nincs többre szüksége, mint amikor Newton mozgásegyenletének tesz eleget. Miel˝ott az Euler–Lagrange-egyenletet levezetnénk, ízelít˝oül felírjuk, hogy néz ki: d ∂L ∂L − = 0. dt ∂ x˙ ∂x Akiben van elég vállalkozó kedv, behelyettesítheti a Lagrangefüggvényt és megpróbálhatja leszármaztatni bel˝ole Newton mozgásegyenletét.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

132


Az Euler–Lagrange-egyenlet levezetése

Lássuk, hogyan lehet az egyetlen részecskére vonatkozó Euler– Lagrange-egyenletet levezetni. Kezdjük azzal, hogy a folytonos id˝ot sztroboszkópikus id˝ovel helyettesítjük. Az egyes id˝opillanatokat az n egész számmal indexeljük. Két szomszédos pillanat között az id˝okülönbség nagyon kicsi. Nevezzük Δt-nek. A hatás egy integrál, de egy integrál mindig egy összeg határértéke. Esetünkben úgy kell elképzelni, hogy az összegzés az egymást követ˝o pillanatok közötti id˝ointervallumokra vonatkozik. Amikor egy integrált összeggel helyettesítünk, ezt csináljuk:

Ldt = x˙ =

LΔt

xn+1 − xn . Δt

Az els˝o sor az integrálás szokásos helyettesítése összegzéssel, amelyben az egyes tagokat a kis Δt id˝ointervallummal súlyozzuk. A második sor is ismer˝os: A sebesség helyettesítése a szomszédos pozíciók különbségének és a kis id˝ointervallumnak a hányadosával. Egy harmadik – utolsó – helyettesítés kevésbé kézenfekv˝o. Mivel azokra a kis intervallumokra összegzünk, amelyek két szomszédos id˝opontot kötnek össze, szükségünk lesz egy képletre, amely ezeknek az intervallumoknak a középpontját adja meg. Ezt könnyen megtalálhatjuk. Egyszeruen ˝ helyettesítsük x(t)-t a szomszédos pillanatokhoz tartozó pozíciók átlagával:

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

133


x(t) =

xn + xn+1 . 2

xn − xn+1 A Lagrange-függvényben az x-ot ˙ mindenütt -vel, az 2 xn + xn+1 -vel kell helyettesíteni. x-et pedig 2 A teljes hatást úgy kapjuk, hogy az összes szakaszonkénti járulékot összeadjuk: A=

n

L

xn+1 − xn xn + xn+1 , Δt 2

Δt.

(3)

A lehet˝o legrészletesebben különítettem el a hatásban minden járulékot, majdnem úgy, mintha számítógépprogrammal akarnám kiszámítani. Tegyük fel most, hogy a hatást minimalizálni akarjuk úgy, hogy bármelyik xn -et variáljuk és az eredményt nullával tesszük egyenl˝ové. Válasszuk mondjuk az x8 -at (de bármelyik másik is ugyanilyen jó lenne). A feladat elég komplikáltnak néz ki, de vegyük észre, hogy x8 a (3) összegnek csupán két tagjában fordul el˝o. Írjuk ki a hatásban explicite csak ezt a kett˝ot: x9 − x8 x8 + x9 , Δt+ A = ···+ L Δt 2 x8 − x7 x7 + x8 , Δt + . . . +L Δt 2

Most nem kell mást tennünk, mint differenciálni x8 szerint. Vegyük észre, hogy mindegyik tagban x8 két helyen fordul el˝o: a sebességfüggésen és az x-függésen keresztül. Az A x8 -szerinti

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

134


deriváltja a következ˝o: ∂L 1 ∂L − + + Δt ∂ x˙ n=9 ∂ x˙ n=8 1 ∂L ∂L Δt. + + 2 ∂x n=8 ∂x n=9

∂A = ∂x8

Az |n=8 jelölés arra utal, hogy a függvényt az n = 8 diszkrét id˝onél kell kiszámítani. Ahhoz, hogy a hatást az x8 -ra vonatkozóan minimalizáljuk, a dA/dx-et nullával kell egyenl˝ové tenni (az adott esetben x = x8 ra vonatkozóan). De el˝obb még nézzük meg, mi történik dA/dxszel, amikor Δt-vel nullához tartunk. Kezdjük az els˝o tagot meghatározó

1 Δt

∂L ∂L − + ∂ x˙ n=9 ∂ x˙ n=8

kifejezéssel. Ez egy adott mennyiség két szomszédos id˝opontban (n = 8-ban és n = 9-ben) felvett értékei közötti különbségnek és az id˝opontok közötti kis eltérésnek a hányadosa, amely nyilvánvalóan egy deriválthoz tart: 1 Δt

∂L d ∂L ∂L . − −→ − + ∂ x˙ n=9 ∂ x˙ n=8 dt ∂ x˙

A második tagban a 1 2

www.interkonyv.hu

∂L ∂L , + ∂x n=8 ∂x n=9


© Typotex Kiadó

135


∂L két ∂x szomszédos id˝oponthoz tartozó értékének a félösszege. Amikor ∂L a pontok közötti távolság nullához tart, éppen -et kapunk. ∂x ∂A A = 0 feltétel ily módon a ∂x8

kifejezésnek ugyancsak egyszeru˝ a határértéke, mert a

d ∂L ∂L − =0 dt ∂ x˙ ∂x

(4)

Euler–Lagrange-egyenlethez vezet.

1. Feladat: Mutassuk meg, hogy (4) az F = ma newtoni mozgásegyenletnek egy másik alakja.

A levezetés több szabadsági fok esetében lényegében ugyanígy történik. Mindegyik xi koordinátára kapunk egy Euler–Lagrangeegyenletet: d ∂L ∂L − = 0. dt ∂ x˙ i ∂xi A gondolatmenetünkb˝ol jól látszik, hogy nincs semmi szükség mágiára, amely megsejtetné a részecskével az egész jövend˝o pályáját, még miel˝ott eldöntené, merre induljon el. A trajektória minden pontjában csak az adott és a közvetlenül ezután következ˝o id˝opont közötti hatást kell minimalizálnia. A legkisebb hatás elve olyan differenciálegyenletben fejez˝odik ki, amely minden pillanatban a következ˝o pillanatban esedékes jöv˝ot determinálja.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

136


Sok részecske és sok dimenzió Legyen együttvéve N koordinátánk, amelyeket xi -vel jelölünk. A rendszer mozgását egy trajektória (vagy pálya) írja le az N dimenziós térben. Egy ennél is jobb leírásmódhoz jutunk, ha az id˝ot is hozzávesszük, és a pályát az N + 1 dimenziós térben képzeljük el. A trajektória az xi (t0 ) koordinátájú pontban kezd˝odik és az xi (t1 ) koordinátájú pontban végz˝odik. Az (N + 1) dimenziós pályát akkor ismerjük, ha meg van adva az összes xi (t) koordináta mint az id˝o függvénye. Sok szabadsági foknál a legkisebb hatás elve lényegében nem különbözik az egyetlen szabadsági fok esetét˝ol. A Lagrangefüggvény változatlanul a kinetikus és a potenciális energia különbsége: L=

1 2

i

mi x˙ 2i

− V ({x}).

A hatás – ugyanúgy mint korábban – a Lagrange-függvény integrálja:

A=

t1

t0

L {x}, {x} ˙ dt,

(5)

és a legkisebb (stacionér) hatás elve szerint a megvalósuló trajektória ezt minimalizálja. Amikor a változók száma 1-nél több, a trajektória sokféleképpen variálható: Változtathatjuk x1 (t)-et, az x2 (t)-t vagy bármelyik másikat. A feladat a többváltozós függvények minimalizálásához hasonlít: minden változóra kapunk egy egyenletet. Ugyanez érvényes az Euler–Lagrange-egyenletre, mert minden xi -hez tartozik egy egyenlet, amely ugyanolyan, mint a (4) egyen-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

137


let:

d dt

∂L ∂ x˙ i

=

∂L . ∂xi

(6)

2. Feladat: Mutassuk meg, hogy (6) az Fi = mi x ï newtoni mozgásegyenletnek egy másik alakja.

Mitol ˝ jó a legkisebb hatás elve? A két els˝odleges érv a legkisebb hatás elve mellett a következ˝o. El˝oször is, rendkívül tömör formában tartalmazza mindazt, amit a rendszerr˝ol tudnunk kell. Az összes paraméter (mint például a tömegek és az er˝ok) és az összes mozgásegyenlet bele van zsúfolva egyetlen mennyiségbe, a Lagrange-függvénybe. Ha ezt a függvényt ismerjük, már csak a kezd˝ofeltételeket kell specializálnunk. Ez valódi nyereség: Egyetlen függvény szabályozza az összes szabadsági fok viselkedését. A további kötetekben látni fogjuk, hogy egész elméletek – Maxwell elektrodinamikája, Einstein gravitációelmélete, az elemi részek standard modellje – foglalhatók össze egyetlen Lagrange-függvényben. A legkisebb hatás elve melletti második érv az a gyakorlati el˝ony, amelyet a mechanika Lagrange-formája biztosít. Ezt egy példán mutatjuk be. Tegyük fel, hogy a Newton-egyenleteket másik koordináta-rendszerben, vagy egy mozgó, esetleg gyorsuló vonatkoztatási rendszerben akarjuk felírni. A példánk legyen egyetlen részecske egy dimenzióban, amelyik egy nyugvó koordináta-rendszerben eleget tesz a Newton-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

138


egyenletnek. A nyugalomban lév˝o fizikus – nevezzük mondjuk Lennynek – az x koordinátát használja a részecske helyének a jelölésére. Egy másik fizikus – legyen George – mozog Lennyhez képest. Arra vagyunk kíváncsiak, hogyan írja le o˝ az objektumunkat a saját koordináta-rendszerében. El˝oször is, mit értünk azon, hogy George koordinátája? Mivel George mozgásban van Lennyhez képest, a koordináta-rendszerének az origója is mozog Lenny origójához viszonyítva. Ezt úgy fejezhetjük ki, hogy Lenny x koordinátájáról áttérünk George X koordinátájára. Ez a következ˝o módon történhet. Bármely adott t pillanatban Lenny az x + f (t) pontban észleli George origóját, ahol az f az a függvény, amely megmondja, hogyan mozog George Lennyhez képest. Az a t pillanatbeli esemény, amelyet Lenny az x koordinátájú pontban észlel, George számára egy másik X koordinátánál történik meg, amelyet az X = x − f (t) képlet kapcsol össze x-szel. Amikor Lenny egy x(t) trajektórián mozgó részecskét észlel, George ugyanazt az X = x(t) − f (t) trajektórián látja mozogni. Ha George nem akarja folyamatosan faggatni Lennyt a trajektóriáról, akkor olyan mozgásegyenletre van szüksége, amely a saját koordináta-rendszerében érvényes. A mozgásegyenletek transzformálását az egyik koordináta-rendszerb˝ol a másikba legegyszerubben ˝ a legkisebb hatás elve alapján, az Euler–Lagrange-egyenletek segítségével lehet elvégezni.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

139


Lenny szerint a hatást a trajektórián az

A=

t1

t0

1 mx˙ 2 − V (x) dt 2

(7)

képlettel kell kiszámítani. De a hatást felírhatjuk a George által használt koordinátákban is! Ehhez csupán x-t ˙ ki kell fejeznünk ˙ X-en keresztül: x˙ = X˙ + f˙. Írjuk ezt (7)-be:

A=

t1

t0

1 2 ˙ ˙ m(X + f ) − V (X) dt. 2

A V (X) megint a részecske helyén vett potenciális energia, ugyanaz, amelyet Lenny használ, csak ezúttal George koordinátáján keresztül van kifejezve – a pont ugyanaz, csak másképpen megjelölve13 . Az utóbbi képletb˝ol leolvashatjuk az X vonatkoztatási rendszerben érvényes Lagrange-függvényt: L=

2 1 ˙ X + f˙ − V (X), 2

amelyben elvégezhetjük a kéttagú összeg négyzetre emelését: L=

1 ˙ 2 X + 2X˙ f˙ + f˙2 − V (X). 2

(8)

13 Ha a potenciális energia Lenny koordináta-rendszerében V (x), akkor George koordináta-rendszerében V X +f (t) , amit nem lenne szabad V (X)-szel jelölni. Ez a jelölésbeli pongyolaság azonban a továbbiakban nem vezet hibához. – (A fordító)

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

140


Mit csinál ezután George a (8) egyenlettel? Felírja az Euler–Lagrange-egyenletet. Ezt kapja: ¨ + mf¨ = − dV , mX dX vagy egy kicsit más alakban ¨ =− mX

dV − mf¨. dX

Az eredmény nem különösebben meglep˝o. George azt tapasztalja, hogy egy −mf¨ nagyságú extra „ fiktív” er˝o hat az objektumra. Ami itt érdekes, az maga az eljárás: a mozgásegyenlet transzformálása helyett közvetlenül a Lagrange-függvénnyel kellett foglalkoznunk. Nézzünk még egy példát. Ezúttal George egy körhintával forog együtt. Lenny koordinátái x és y, George koordinátái pedig X és Y , és ezek a körhintához rögzítve forognak. A kétfajta koordináta között a kapcsolat a következ˝o: x = X cos ωt − Y sin ωt

(9)

y = X sin ωt + Y cos ωt. Mindkét megfigyel˝o a vízszintes síkban látja mozogni a részecskét. Tegyük fel, hogy Lenny megfigyelései szerint a részecskére nem hat er˝o, ezért a hatáselvet a következ˝o Lagrange-függvénnyel írja fel: L=

www.interkonyv.hu

m 2 (x˙ + y˙ 2 ). 2

(10)


© Typotex Kiadó

141


A feladatunk az, hogy a hatást George forgó rendszerében fejezzük ki és az ottani Euler–Lagrange-egyenlet segítségével számítsuk ki a mozgásegyenletet. Mivel Lenny rendszerében ismerjük a hatást, csak annyit kell tennünk, hogy benne a sebességeket kifejezzük George változóin keresztül. Ennek érdekében deriváljuk (9)-et az id˝o szerint: x˙ = X˙ cos ωt − ωX sin ωt − Y˙ sin ωt− − ωY cos ωt y˙ = X˙ sin ωt + ωX cos ωt + Y˙ cos ωt− − ωY sin ωt. Egy kis algebrázás után a sin2 + cos2 = 1 képlet felhasználásával ezt kapjuk az x˙ 2 + y˙ 2 összegre: x˙ 2 + y˙ 2 =X˙ 2 + Y˙ 2 + ω 2 (X 2 + Y 2 )− ˙ − Y˙ X). − 2ω(XY

(11)

George Lagrange-függvényét úgy kapjuk meg, hogy (11)-et behelyettesítjük Lenny (10) Lagrange-függvényébe. Ez tehát ugyanaz a Lagrange-függvény, csak éppen George változóin keresztül van felírva: mω 2 m ˙ 2 (X 2 + Y 2 )− X + Y˙ 2 + 2 2 ˙ − Y˙ X). − mω(XY

L=

Elemezzük az egyes tagokat! Az els˝o tag,

www.interkonyv.hu

(12)

m ˙ 2 ˙ 2 X + Y jól ismert 2 © Hungarian translation, Hraskó Péter

© Typotex Kiadó

142


– George kinetikus energiának fogja hívni. Figyeljük meg, hogy ha a szögsebesség nulla lenne, ez az egyetlen tag maradna meg. mω 2 2 (X + Y 2 ), valami új, a forgás következA következ˝o tag, 2 ménye. George egy V =−

mω 2 2 (X + Y 2 ) 2

potenciális energiának tekinti, amely a forgás középpontjától mért távolsággal arányos, kifele mutató F = mω 2r er˝ot ír le. Ez a jól ismert centrifugális er˝o. A (12) egyenlet utolsó tagja talán kevésbé jól ismert. Corioliser˝onek hívják. A természetét akkor érthetjük meg, ha levezetjük a (12)-höz tartozó Euler–Lagrange-egyenletet. Ezt kapjuk: ¨ = mω 2 X + 2mω Y˙ mX ˙ mY¨ = mω 2 Y − 2mω X. Ez egy olyan Newton-egyenlet, amelyben centrifugális er˝o és Coriolis-er˝o hat a részecskére. Vegyük azonban észre az újdonságot az er˝otörvény alakjában. A Coriolis-er˝o FX = 2mω Y˙ FY = −2mω X˙

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

143


komponensei nemcsak a részecske pozíciójától függenek, hanem a sebességét˝ol is. A Coriolis-er˝o sebességfügg˝o. 3. Feladat: Keressük meg George Lagrange-függvényét és Euler–Lagrange-egyenletét polárkoordinátákban is.

Általánosított koordináták és impulzusok A Descartes-koordinátákat tulajdonképpen semmilyen általános elv se tünteti ki. Létezik sok más koordináta-rendszer is, amelyekkel a mechanikai rendszerek leírhatók. Képzeljük el például, hogy egy gömbfelületen – mondjuk a Föld felszínén – mozgó testet tanulmányozunk. A Descartes-koordinátáknak itt nem sok hasznát vesszük. A természetes koordináta-rendszer ebben az esetben két szöget tartalmaz, a hosszúságot és a szélességet. Még általánosabb eset lenne egy változatos domborzatú terepen mozgó tárgy, amelyhez semmilyen ismert koordináta-rendszer sem passzol. Ezért nagyon fontos, hogy a klasszikus mechanika egyenleteit olyan formában adjuk meg, amely tetsz˝oleges koordinátarendszerben alkalmazható. Tekintsünk egy absztrakt problémát, amelyben a rendszert általános koordináták valamilyen halmazával lehet jellemezni. Az xi jelölést a Descartes-koordinátákra tartjuk fenn, ezért az általános koordinátákat qi -nek nevezzük. A qi lehet Descartes-, polárvagy akármilyen más koordináta. A sebességek jelölését az dönti el, hogy egy absztrakt rendszerben sebességen a qi általános koordináták id˝oderiváltját ért-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

144


jük. A kezd˝ofeltételek megadása ily módon az általános koordináták és sebességek (qi , q˙i ) sorozatának rögzítését jelenti. Általános koordinátákban a mozgásegyenlet lehet nagyon komplikált, de a hatáselvet mindig alkalmazhatjuk. A klasszikus fizika összes rendszerét – még a hullámokat és a mez˝oket is – le lehet írni egy alkalmas Lagrange-függvénnyel, amelyet sokszor valamilyen el˝ozetes ismeretb˝ol kiindulva állapíthatunk meg. Erre volt példa George Lagrange-függvénye, amelyet a Lennyéb˝ol származtatott. A Lagrange-függvény helyes alakját gyakran elméleti megfontolások vagy fizikai elvek alapján próbáljuk kitalálni, néha pedig a kísérletek nyújtanak ebben segítséget. De akárhonnan vesszük is, a Lagrange-függvény minden esetben a mozgásegyenletek tömör foglalatát nyújtja. Miért van az, hogy minden rendszert le lehet írni hatáselv és Lagrange-függvény segítségével? Erre a kérdésre nincs könnyu˝ válasz. A magyarázat egyrészt a klasszikus rendszerek kvantumfizikai eredetével, másrészt az energiamegmaradással függ össze. Egyenl˝ore megelégszünk azzal, hogy feltesszük: a klasszikus fizika minden ismert rendszerét lehet tárgyalni a hatáselv alapján. A Lagrange-függvény mindig a koordinátáktól és a sebességekt˝ol függ, L = L(qi , q˙i ), amelyhez minden esetben a

t1

δA = δ t0

L(qi , q˙i )dt = 0

hatáselv tartozik. Ennek következtében a mozgásegyenleteket

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó A legkisebb hatás elve

mindig a d dt

∂L ∂ q˙i

=

∂L ∂qi

145

(13)

Euler–Lagrange-alakban kapjuk meg. Ez nem más, mint a klasszikus mechanika dióhéjban! Ha ismerjük a qj változók jelentését és a Lagrange-függvényt, akkor mindenünk megvan, ami szükséges hozzá. Vizsgáljuk meg egy kicsit közelebbr˝ol a (13) egyenlet két olda∂L lát. Kezdjük a kifejezéssel. Tegyük fel egy pillanatra, hogy a ∂ q˙i qi -k egy részecske közönséges Descartes-koordinátái és L szokásos módon a kinetikus és a potenciális energia különbsége. Ekkor m ∂L a Lagrange-függvény tartalmazni fogja az x˙ 2 tagot és így 2 ∂ q˙i az mx-tal, ˙ vagyis az impulzus x komponensével lesz egyenl˝o. ∂L Ennek alapján a mennyiséget a qi -hez konjugált (általánosí∂ q˙i tott) impulzusnak hívjuk. A konjugált impulzus fogalma nem korlátozódik arra az egyszeru˝ példára, amikor az impulzus a tömeg és a sebesség szorzatával egyenl˝o. A Lagrange-függvény lehet olyan, hogy a konjugált impulzusra egyáltalán nem valamilyen ismer˝os kifejezés jön ki, mégis következetesen a pi =

∂L ∂ q˙i

képlettel definiáljuk. A példákat a polárkoordinátákban mozgó részecskével kezdjük. Ebben az esetben a qi -k az r sugár és a θ szög. A 4. feladat

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

146


alapján a Lagrange-függvényünk a következ˝o: L=

m 2 r˙ + r2 θ˙2 . 2

Az r-hez konjugált impulzus (röviden r-impulzus) pr =

∂L = mr, ˙ ∂ r˙

a megfelel˝o mozgásegyenlet pedig dpr ∂L = = mrθ˙2 . dt ∂r Mivel p˙ = m¨ r , az m-mel lehet egyszerusíteni, ˝ és ez az egyenlet az r¨ = rθ˙2 alakot ölti. A θ-ra vonatkozó mozgásegyenlet különösen érdekes. El˝oször is keressük meg a θ-hoz konjugált impulzust: pθ =

∂L ˙ = mr2 θ. ∂ θ˙

Ez a mennyiség ismer˝os, nem más, mint a részecske impulzusmomentuma14 . Az impulzusmomentum és a pθ egy és ugyanaz a mennyiség. Írjuk fel most a θ-ra vonatkozó mozgásegyenletet. Mivel maga 14 A magyar szaknyelvben az impulzusmomentum mellett a perdület elnevezés is használatos. – (A fordító)

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

147


a θ változó nem fordul el˝o a Lagrange-függvényben, ezért az egyenlet jobb oldala nulla: dpθ = 0. dt

(14)

Azt találtuk, hogy az impulzusmomentum megmarad. A (14) egyenlet másik alakja d 2 ˙ mr θ = 0. dt

(15)

Ez az egyenlet azt fejezi ki, hogy az r2 θ˙ mennyiség értéke állandó. Ez az oka annak, hogy a szögsebesség annál nagyobb, minél közelebb van a részecske az origóhoz. 4. Feladat: Alkalmazzuk az eddigi eredményeinket az l fonálhosszú inga mozgásának a vizsgálatára.

Ciklikus koordináták Amint láttuk, el˝ofordulhat, hogy egy koordinátának csak az id˝oderiváltja szepel a Lagrange-függvényben, a koordináta maga nem. Az ilyen koordinátát (el˝ottem ismeretlen okból) ciklikusnak hívják. Amikor egy ciklikus koordináta értékét megváltoztatjuk, a Lagrange-függvény változatlan marad. Ha egy koordináta ciklikus, a hozzá konjugált impulzus megmarad. Erre volt példa az impulzusmomentum. Másik példa az impulzus. Tekintsünk egy

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

148


részecskét, amelyikhez az L=

m 2 x˙ + y˙ 2 + z˙ 2 2

Lagrange-függvény tartozik. Ebben egyik koordináta se fordul el˝o, ezért mindegyik ciklikus. Igazából persze nincs itt semmiféle ciklikusság – ez csupán szóhasználat. Következésképpen az impulzus mindegyik komponense megmarad. Ez nem lenne így, ha lenne potenciális energia is, amelyik függ a koordinátáktól. Vegyünk most egy másik esetet. Két olyan részecskét, amelyek egy vonalon mozognak, és a potenciális energia csak a közöttük lév˝o távolságtól függ. Az egyszeruség ˝ kedvéért azt is felteszem, hogy a tömegük egyenl˝o, de ez nem lényeges körülmény. Jelöljük a részecskék helyét x1 -gyel és x2 -vel. A Lagrange-függvény a következ˝o: L=

m 2 x˙ 1 + x˙ 22 − V (|x1 − x2 |). 2

(16)

Most rá kell mutatnunk egy fontos dologra, és ezért új koordinátákat vezetünk be, az x+ -t és az x− -t: x+ =

(x1 + x2 ) 2

x− =

(x1 − x2 ) . 2

A Lagrange-függvényt ezeken keresztül kell kifejeznünk. A ki-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

149


netikus energia a következ˝o lesz: T = m x˙ 2+ + x˙ 2− .

5. Feladat: Hogyan kaptuk ezt a képletet?

A lényeges pont itt az, hogy a potenciális energia csak x− -tól függ. A Lagrange-függvényre ezért ezt kapjuk: L = m x˙ 2+ + x˙ 2− − V 2|x− | . Ezek szerint volt egy rejtett ciklikus koordinátánk, az x+ . A hozzá konjugált impulzus (a p+ ) tehát megmarad. Könnyu˝ bebizonyítani, hogy p+ nem más, mint a teljes impulzus: p+ = 2mx˙ + = mx˙ 1 + mx˙ 2 . A következ˝o el˝oadásban látni fogjuk, hogy a lényeges pont itt nem is annyira a koordináták ciklikussága, hanem a szimmetriák.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

7. eloadás: ˝ Szimmetriák és megmaradási törvények

Lenny mindig gondban volt, amikor térképet kellett használnia. Látszott rajta, hogy akármerre néz, azt szeretné északnak tekinteni. Nem értette, miért van több gondja az égtájakkal, mint a fenttel meg a lenttel. Ezt a két irányt ugyanis sohase tévesztette össze egymással.

Elokészületek ˝ A szimmetriák és a megmaradási törvények közötti kapcsolat egyike a modern fizika legfontosabb témaköreinek. Azzal kezdjük, hogy néhány egyszeru˝ rendszeren illusztráljuk a megmaradási törvényeket. Els˝o látásra bizonyos mennyiségek megmaradása inkább fog esetlegesnek látszani, mint valamiféle mélyenszántó elv következményének. A valódi célunk azonban éppen az, hogy ne véletlenül megmaradó mennyiségeket keressünk, hanem megfogalmazzuk azokat az elveket, amelyek a megmaradásukat valami alapvet˝obbre vezetik vissza. Els˝oként a 6. el˝oadás végén a (16) egyenletben megfogalmazott rendszerrel foglalkozunk de anélkül, hogy két egyenes pá151 www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

152


lyán mozgó részecskére vonatkoztatnánk. Lehet ez bármilyen két koordinátával leírható rendszer: részecskék, mez˝ok, forgó merev testek vagy bármi egyéb. A tágabb néz˝opont hangsúlyozására a koordinátákat x helyett jelöljük q-val, és válasszunk az eredetihez hasonló, de vele mégsem pontosan azonos Lagrangefüggvényt: L=

m 2 q˙1 + q˙22 − V (q1 − q2 ). 2

(1)

A potenciális energia a változók egy meghatározott kombinációjának, (q1 − q2 )-nek a függvénye. A V deriváltját jelöljük V -vel. A mozgásegyenletek a következ˝ok: p˙1 = −V (q1 − q2 ) p˙2 = V (q1 − q2 )

(2)

1. Feladat: Vezessük le a (2) egyenletrendszert, és magyarázzuk meg az elojelek ˝ különbözoségét ˝ a két egyenletben.

Ha most a két egyenletet összeadjuk, láthatjuk, hogy a p1 + p2 összeg megmarad. Nézzünk most valami kissé bonyolultabbat: A (q1 − q2 ) különbség helyett a potenciálunk a q1 és a q2 valamilyen általános (aq1 − bq2 ) lineáris kombinációjának legyen a függvénye: V (q1 , q2 ) = V (aq1 − bq2 ).

www.interkonyv.hu

(3)


© Typotex Kiadó Szimmetriák és megmaradási törvények

153

A mozgásegyenletek ekkor a következ˝ok: p˙ 1 = −aV (aq1 − bq2 ) p˙ 2 = +bV (aq1 − bq2 ). Els˝o pillanatra arra gondolhatunk, hogy a megmaradási törvény már nem érvényes, hiszen a két egyenletet összeadva nem p1 + p2 megmaradását kapjuk eredményül. A valóságban azonban a megmaradási törvény nem veszett el, csak kissé átalakult. Ha ugyanis az egyenletek összeadása el˝ott az els˝o egyenletet megszorozzuk b-vel, a másodikat a-val, akkor azt találjuk, hogy az bp1 + ap2 kombináció megmarad.

2. Feladat: Magyarázzuk ezt meg. Amikor azonban a potenciál valamilyen általánosabb kifejezést˝ol, például a q1 + q22 összegt˝ol függ, akkor a p-kb˝ol nem képezhet˝o megmaradó kombináció. De akkor milyen elv muködik ˝ itt? Mit˝ol függ, hogy van-e megmaradási törvény, és ha van, akkor milyen? A kérdésünkre a válasz mintegy 100 éve ismert a német matematikus, Emmy Noether jóvoltából.

Példák a szimmetriákra Induljunk ki úgy, hogy a qi koordináták helyett valamilyen új qi koordinátákat vezetünk be. Bármely adott qi az összes eredeti qj -t˝ol függ: qi = qi ({qj }).

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

154


A koordináták megváltozására két módon tekinthetünk. Az els˝o néz˝opontot passzívnak hívják. Ebben az esetben a rendszerrel magával nem történik semmi, csupán a konfigurációs tér pontjainak átjelölésére kerül sor. Tegyük fel például, hogy az x-tengelyen megjelöljük az x = · · · − 1, 0, 1, 2 . . . pontokat és a részecskénk az x = 1-ben van. Ezután arra kérnek, hogy hajtsuk végre az x = x + 1

(4)

transzformációt. A passzív szemléletben ezt úgy képzeljük el, hogy az összes megjelölést kiradírozzuk és újakkal helyettesítjük. Az a pont, amely korábban x = 0 volt, mostantól az x = 1 lesz, amelyet korábban x = 1-ként neveztünk meg, ezután x = 2-nek hívjuk, és így tovább. A részecskéhez azonban nem nyúlunk, marad ott, ahol volt (ha az x = 1-ben volt, akkor ezután az x = 2ben lesz), csak a pontok jelölési módja változott. A másik néz˝opont szerint, amelyet aktívnak neveznek, a pontokat nem jelöljük át, hanem az x = x + 1 transzformációt a következ˝o el˝oírásként fogjuk fel: akárhol van a részecske, helyezzük át egy egységgel jobbra. Vagyis ez egy olyan felfogásmód, amely szerint a rendszert a konfigurációs tér másik pontjába visszük át. A továbbiakban az aktív felfogásnak megfelel˝oen fogunk gondolkozni15 . Valahányszor el fogok végezni egy koordinátatranszformációt, ez mindig azt fogja jelenteni, hogy a rendszert a konfi15 A 6. el˝ oadásban a Coriolis-er˝o tárgyalása a (9) képlet alapján a passzív felfogást igényelte. – (A fordító)

www.interkonyv.hu



155

gurációs térben máshova helyeztem át. Vagyis egy transzformáció a rendszer tényleges megváltozásával jár együtt. Ha például transzformálunk egy rendszert, a potenciális energiája – és ennek következtében a Lagrange-függvénye – megváltozhat. Most már meg tudom fogalmazni, mit értek szimmetrián. A szimmetria egy olyan aktív koordinátatranszformáció, amely a Lagrange-függvény értékét változatlanul hagyja. Nem számít, hogy a konfigurációs térben hol helyezkedik el a rendszer, az ilyen transzformáció változatlanul hagyja a Lagrange-függvényét. Legegyszerubb ˝ példaként tekintsük az egyetlen szabadsági fokú rendszer L=

1 2 q˙ 2

Lagrange-függvényét. Tegyük fel, hogy a q értékét megnöveljük δ-val, vagyis a rendszer bármely konfigurációját úgy változtatjuk meg, hogy a q-ját elmozdítjuk (ld. az 1. ábrát).

1. ábra: Egy pont q-jának elmozdítása δ-val

Ha δ nem függ az id˝ot˝ol (amit felteszünk), akkor q-ban ˙ nem történik változás és – ami a legfontosabb – L-ben sem. Matematikai terminusokban megfogalmazva, a q −→ q + δ

(5)

transzformációnál δL = 0.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

156


Az (5)-ben a δ lehet bármilyen szám. Kés˝obb, amikor majd infinitezimális lépésekben elvégzett transzformációkról lesz szó, a δ szimbólumot infinitezimális mennyiségek jelölésére fogjuk használni, de most lehet bármilyen. Vizsgálhatunk komplikáltabb Lagrange-függvényeket is, amelyekben a potenciális energia valamilyen V (q) függvény. Ez mindig változik, amikor a q-t változtatjuk, kivéve azt az esetet, amikor nem függ q-tól. Ha van q-függés, akkor nincs szimmetria. A szimmetriának azt a fajtáját, amelyben egy konstansot adva a koordinátákhoz a rendszert a térben eltoljuk, transzlációs szimmetriának nevezzük. Nem fogjuk sajnálni az id˝ot ennek a szimmetriának a megtárgyalására. Nézzük most az (1) egyenletet. Kezdjük azzal, hogy a q1 et eltoljuk, a q2 -t azonban változatlanul hagyjuk. A Lagrangefüggvény ekkor nem marad állandó, mert a potenciális energia megváltozik. De ha mindkét koordinátát eltoljuk ugyanolyan mértékben, akkor a q1 −q2 különbség – és vele együtt a Lagrangefüggvény is – változatlan marad. Ezt úgy fejezzük ki, hogy a Lagrange-függvény invariáns a q1 −→ q1 + δ q2 −→ q2 + δ

(6)

változással szemben. Azt is mondhatjuk, hogy a Lagrange-függvény a (6) transzformációval szemben szimmetrikus. Ez megint egy transzlációs szimmetria, de ebben az esetben a szimmetriához mindkét részecskét el kellett mozdítani éspedig úgy, hogy a távolságuk ne változzon.

www.interkonyv.hu



157

A (3) egyenlet potenciáljával a helyzet bonyolultabb, mert ez a potenciál az aq1 + bq2 kombinációtól függ és a szimmetria nem annyira nyilvánvaló. Ebben az esetben a szimmetria-transzformáció a következ˝o: q1 −→ q1 + bδ

(7)

q2 −→ q2 − aδ

3. Feladat: Mutassuk meg, hogy az aq1 + bq2 kombináció és vele együtt a Lagrange-függvény invariáns a (7)-tel szemben.

Amikor a potenciális energia a koordináták ennél bonyolultabb függvénye, akkor nem nyilvánvaló, hogy van-e szimmetria vagy nincs. Illusztrációként vegyünk egy részecskét, amely az x, y Decartes-koordináta-rendszerben mozog a síkon. Tegyük fel, hogy a potenciális energia csak az origótól mért távolságától függ: L=

m 2 x˙ + y˙ 2 − V x2 + y 2 . 2

(8)

Elég nyilvánvaló, hogy a (8)-nak van szimmetriája. Forgassuk el a rendszert egy θ szöggel az origó körül (ld. a 2. ábrát). Mivel a potenciál csak az origótól mért távolságtól függ, az értéke nem fog megváltozni attól, hogy a rendszert valamilyen szöggel elforgattuk. Mi több, az elforgatás után a kinetikus energiában sem történik változás. De hogyan írjuk le képletekkel ezt a változtatást? A válasz egyszeru: ˝ Forgassuk el a részecske koordiná-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

158


táit egy tetsz˝oleges θ szöggel: x −→ x cos θ − y sin θ y −→ x sin θ + y cos θ.

(9)

2. ábra: Elforgatás θ-val

Lényeges ponthoz érkeztünk a transzlációs és a rotációs transzformáció ügyében. El lehet o˝ ket végezni kis lépésekben – más szóval infinitezimális lépésekben – is. Ahelyett például, hogy a részecskét az x pontból az x + 1 pontba helyeznénk át, elég, ha az x-b˝ol az x + δ pontba visszük, ahol most a δ határozottan infinitezimálisan kis mennyiség. Az eredeti x −→ x + 1 áthelyezést nagyon sok δ méretu˝ apró lépés sorozatával is elérhetjük. Ugyanígy okoskodhatunk a rotációnál: Infinitezimális δ szögu˝ rotációk ismétlésével el lehet végezni egy véges szögu˝ forgatást is. Az ilyen tulajdonságú transzformációkat folytonosnak hívjuk. Ezek egy folytonos paramétert˝ol (például az elforgatás szögét˝ol) függnek, amelyet lehet infinitezimálisan kicsinek is választani. Ez nagyon hasznos észrevétel, mert a folytonos transzformációk következményeinek a vizsgálatánál korlátozódhatunk az infinitezimális határesetre.

www.interkonyv.hu



159

Ezt a határesetet jelöli az infinitezimális transzformáció fogalma. Nézzük, mi lesz a (9) egyenlettel infinitezimális határesetben, amikor θ-t egy végtelen kis δ szöggel helyettesítjük. A δ els˝o rendjében cos δ = 1 sin δ = δ. 1 (Emlékezzünk rá, hogy kis szögekre sin δ = δ és cos δ = 1 − δ 2 , 2 ezért a koszinusz változása els˝o rendben nulla, a szinuszé pedig δ.) A (9)-ben leírt rotáció ily módon kis szög esetében jelent˝osen egyszerusödik: ˝ x −→ x − yδ

(10)

y −→ y + xδ.

Láthatjuk, hogy a sebességkomponensek is változnak. Differenciáljuk ugyanis (10)-et az id˝o szerint: x˙ −→ x˙ − yδ ˙

(11)

y˙ −→ y˙ + xδ. ˙

Az infinitezimális transzformáció egy másik kifejezési módja az, hogy a koordináták megváltozására koncentrálunk. Ezt így fejezhetjük ki: δx = −yδ

(12)

δy = xδ. Most már nagyon egyszeruen ˝ megmutatható, hogy a δ els˝o rendjében a Lagrange-függvény a forgatásnál nem változik.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

160


4. Feladat: Bizonyítsuk ezt be. Érdemes külön megjegyezni, hogy amennyiben a potenciál nem az origótól mért távolságtól függ, akkor a Lagrange-függvény nem invariáns az infinitezimális forgatással szemben. Ezt a nagyon fontos momentumot érdemes jól megérteni példák segítségével. Egy ilyen példa az, amikor a potenciál csak x-t˝ol függ, y-tól nem.

Általánosabb szimmetriák Miel˝ott hozzáfognánk a szimmetriák és a megmaradási törvények közötti kapcsolat tisztázásához, foglalkozzunk a szimmetria fogalmának az általánosításával. Tekintsünk egy absztrakt dinamikai rendszert, amelyet a qi koordinátákkal lehet jellemezni. Általános esetben infinitezimális transzformáción a koordináták olyan kis megváltozását értjük, amely maga függhet a koordinátáktól. Ha a kis megváltozást egy δ infinitezimális paraméter jellemzi, akkor az infinitezimális transzformáció általános alakja a következ˝o16 : δqi = fi ({q})δ.

(13)

A képlet szerint minden koordináta eltolódása arányos ugyanazzal a δ-val, de függ attól, hogy a konfigurációs tér melyik pontjában vagyunk. A (6) transzformációban például f1 és f2 egyaránt 1-gyel egyenl˝o, a (7)-ben viszont f1 = b, f2 = −a. Ezek függetle16 Mint korábban, {q}-val a q koordináták összeségét jeltöltük, de a továbbiaki ban ilyen esetekben egyszeruen ˝ q-t fogunk írni kapcsos zárójelek nélkül.

www.interkonyv.hu



161

nek a koordinátáktól, de a forgatás (12) képletében már van ilyen függés: fx = −y fy = x. A Lagrange-függvény változásának a kiszámításához ismernünk kell a sebességek megváltozását is. Ehhez elég, ha (13)-at differenciáljuk. Némi gondolkozással meggy˝ozhetjük magunkat róla, hogy a sebességek δ q˙i megváltozása egyenl˝o a koordináták megváltozásának a sebességével: δ q˙i =

d (δqi ). dt

(14)

A (12) egyenletnél például δ x˙ = −yδ ˙

(15)

δ y˙ = xδ. ˙ Most megfogalmazzuk újra, mit értünk infinitezimális szimmetrián. A koordináták egy infinitezimális transzformációját akkor nevezzük folytonos szimmetriának, ha változatlanul hagyja a Lagrange-függvényt. Ezt általában könnyu˝ ellen˝orizni: Arról kell csak meggy˝oz˝odni, hogy az els˝orendu˝ variációnál a Lagrangefüggvény variációja nulla. Ha ez teljesül, akkor a transzformáció szimmetriája a rendszernek.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

162


A szimmetria következményei

Vegyünk most egy általános L(q, q) ˙ Lagrange-függvényt, és számítsuk ki a megváltozását, amikor a qi koordinátákat a (13), a q˙i sebességeket pedig a (14) segítségével transzformáljuk. Mivel ezek a megváltozások infinitezimálisan kicsik, a hatásaik különkülön kiszámíthatók és összeadhatók: δL =

∂L

∂L δ q˙i + δqi . ∂ q˙i ∂qi

i

(16)

Ami most következik, abban van valami mágikus, tessék hát jól ∂L odafigyelni. El˝oször is jusson eszünkbe, hogy nem más, mint ∂ q˙i a qi -hez konjugált pi impulzus. A (16) els˝o tagja ezért pi δ q˙i -vel egyenl˝o. Ezt észben tartva fordítsuk a figyelmünket a második ∂L δqi -k összege. Mint tudjuk, a rendszer a tagra, amely a ∂qi ∂L dpi = ∂qi dt Euler–Lagrange-egyenletnek megfelel˝oen mozog. Ha ezt a mozgásegyenletet a δL második tagjában kihasználjuk, a δL =

pi δ q˙i + p˙i δqi

i

képletre jutunk. A mutatványt a szorzat d(F G) = F G˙ + F˙ G, dt www.interkonyv.hu



163

deriválási szabálya koronázza meg, amelynek alkalmazásával a δL =

d pi δqi dt

végeredményt kapjuk. Mi köze van mindennek a szimmetriához és a megmaradáshoz? El˝oször is, a szimmetria definíció szerint azt jelenti, hogy a Lagrange-függvény variációja zérus. Ha tehát a (13) transzformáció szimmetria, akkor δL = 0, és ezért d pi δqi = 0. dt De ide most behelyettesíthetjük (13) konkrét alakját: d pi fi (q) = 0. dt

(17)

Elértük, amit akartunk: bebizonyítottuk a megmaradási törvényt. A (17) ugyanis azt fejezi ki, hogy a Q=

pi fi (q)

(18)

i

id˝oben nem változik. Vagyis megmarad. A gondolatmenet egyrészt absztrakt, másrészt hatékony. Csak a szimmetria általános fogalmával kellett tör˝odnünk, a rendszerre vonatkozó részletekkel nem. Most az általános elmélet birtokában térjünk vissza a konkrét példákra.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

164


Vissza a példákhoz Mindenekel˝ott alkalmazzuk (18)-at a már ismert példáinkra. Az (1) egyenlet példájában a (13) szerint f1 = f2 = 1. Ezt (18)-ba írva ugyanazt kapjuk, amit korábban: a (p1 + p2 ) megmarad. De ezt az eredményt most általánosabb formában is kimondhatjuk: Az olyan részecskerendszerekben, amelyeknek a Lagrange-függvénye invariáns a részecskék helyének egyideju˝ transzlációjával szemben, a teljes impulzus megmarad. Valójában ezt a szabályt alkalmazhatjuk az impulzus egyes kompononseire külön-külön is. Ebb˝ol a néz˝opontból Newton harmadik törvénye – a hatás és az ellenhatás egyenl˝osége – a tér egy fundamentális tulajdonságának a kifejez˝odése: a fizika törvényeiben semmi se változik, ha a térben mindent egyidejuleg ˝ ugyanannyival arrébb viszünk. Foglalkozzunk most a második példánkkal, amelyben (7) szerint f1 = b, f2 = −a. Ha ezeket (18)-ba írjuk, a korábbi következtetésünkkel összhangban újra csak azt találjuk, hogy a megmaradó mennyiség bp1 + ap2 . Az utolsó példánk – a forgatás – érdekesebb, mert ekkor fx = −y, fy = x, és így a megmaradó mennyiségben az impulzusokon kívül lesznek koordináták is. A megmaradó mennyiség a (18) szerint ekkor az L = xpy − ypx impulzusmomentum, amellyel a 6. fejezetben a körmozgás kapcsán már találkoztunk17 . 17 Az impulzusmomentumot gyakran ugyanaz a betu ˝ jelöli, mint a Lagrangefüggvényt, de a kontextusból világos, hogy melyik jelentésr˝ol van szó. – (A fordító)

www.interkonyv.hu



165

A transzlációhoz hasonlóan ebben az esetben is valami mélyebb dologról van szó, mint csupán egy részecske impulzusmomentumáról. Ha egy tetsz˝oleges részecskerendszer Lagrange-függvénye invariáns az összes részecske pozíciójának az origó körüli együttes elforgatásával szemben, akkor az impulzusmomentum megmarad.

5. Feladat: Írjuk fel az l hosszúságú inga mozgásegyenletét, amely az x, y síkban fekvo˝ ív mentén leng a θ szögtol ˝ kiindulva. Az eddigi példáink meglehet˝osen triviálisak voltak. A Lagrange-elmélet gyönyöru, ˝ elegáns stb., de vajon alkalmas-e nehéz feladatok tárgyalására is? Nem egyszerubb-e ˝ az F = ma? Tegyünk egy próbát. Példaként válasszuk a kett˝os ingát. Egy inga az x, y síkban leng, a felfüggesztési pontja az origó. A leng˝o súly tömege M , a rúd tömege elhanyagolhatóan kicsi. Az egyszeruség ˝ kedvéért a rúd hossza legyen 1 méter, a súly tömege pedig 1 kilogram. A súlyra fel van függesztve egy másik ugyanilyen inga, ahogy a 3. ábra mutatja. Két esetet vizsgálhatunk: Amikor van gravitáció, és amikor nincs.

3. ábra: A kett˝os inga

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

166


A célunk nem az, hogy a mozgásegyenletet megoldjuk. Ezt mindig megtehetjük, ha másképp nem megy, számítógép segítségével, numerikusan. A cél maguknak az egyenleteknek a megkeresése. Ha az F = ma-ból indulnánk ki, hamar bonyodalmakba keverednénk. Egyebek között számításba kellene venni a rudakban ébred˝o er˝oket. A Lagrange-módszer sokkal egyszerubb, ˝ mert az alkalmazása meglehet˝osen mechanikus. Az eljárás az alábbi lépéseket tartalmazza: 1. Válasszunk olyan koordinátákat, amelyek egyértelmu ˝ en jellemzik az egész rendszer konfigurációját. Ebben teljesen szabad kezünk van. Csak arra kell ügyelni, hogy éppen annyi koordinátánk legyen, amelyekkel a konfiguráció meghatározható, egyébként pedig a koordináták legyenek a lehet˝o legegyszerubbek. ˝ A kett˝os inga esetében két koordinátára van szükség. Az egyik legyen az els˝o inga kitérési szöge a függ˝olegeshez képest. Jelöljük ezt θ-val. Ezután választanom kell, hogy a második inga kitérési szögét szintén a függ˝olegeshez viszonyítsam-e, vagy inkább az els˝o inga pillanatnyi irányához. Választhatom bármelyik lehet˝oséget. Lehet, hogy az egyik valamivel egyszerubb ˝ formájú egyenletekre vezet, mint a másik, de a megoldás mindkét esetben ugyanaz lesz. Legyen α a második ingának az els˝ohöz (nem pedig a függ˝oleges irányhoz) viszonyított szöge. 2. Írjuk fel a mozgási energia kifejezését. A példánkban ez a két tömeg mozgási energiájának az összege. A legegyszerubben ˝ úgy jutunk célhoz, ha az x, y Descartes-

www.interkonyv.hu



167

koordinátákból indulunk ki. Legyenek x1 , y1 az els˝o, x2 , y2 a második súly koordinátái. A θ, α és a Descartes-koordináták közötti kapcsolat az els˝o súly esetében x1 = sin θ y1 = cos θ, a másodikéban pedig x2 = sin θ + sin(α + θ) y2 = cos θ + cos(α + θ). Ezután az id˝o szerinti differenciálással kiszámítjuk a sebesség Descartes-komponenseit a szögek és id˝oderiváltjaik függvényében. A számítás eredménye a következ˝o. Az els˝o súly mozgási energiája T1 =

θ˙2 , 2

a másodiké 2 θ˙2 + θ˙ + α˙ T2 = + θ˙ θ˙ + α˙ cos α. 2 Amikor nincs gravitáció, akkor a Lagrange-függvény csak mozgási energiát tartalmaz: 2 θ˙2 + θ˙ + α˙ θ˙2 L = T1 + T2 = + + θ˙ θ˙ + α˙ cos α. 2 2 www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

168


Amikor gravitáció is van, akkor ehhez még hozzá kell adni a potenciális energiát. Ez egyszeru˝ dolog, mindkét súlynál a magasság és Mg szorzata, de figyelembe kell venni, hogy amikor lefele megyünk, az y n˝o, a potenciál azonban csökken: V (θ, α) = −g[2 cos θ + cos(θ + α)]. 3. Felírjuk az összes szabadsági fokhoz tartozó Euler–Lagrange-egyenletet. 4. A kés˝obbiekre tekintettel kiszámítjuk mindegyik koordiná∂L tához a pi = konjugált impulzust. ∂ q˙i

6. Feladat: Írjuk fel a θ-hoz és az α-hoz tartozó Euler– Lagrange-egyenletet. Általában azonban ennél többre kíváncsi az ember. Azonosítani kell például a megmaradó mennyiségeket. Ezek közül többnyire az els˝o az energia, amelyik T + V -vel egyenl˝o. De lehet bel˝olük több is. A szimmetriákat általában nem lehet mechanikus eljárással felkutatni, szükség lehet arra is, hogy a rendszert vizuálisan el tudjuk magunknak képzelni. A kett˝os ingának például gravitációmentes esetben van még egy megmaradó mennyisége. Ebben az esetben ugyanis semmi se történik, ha a rendszert az origó körül elfordítjuk. Ebb˝ol látszik, hogy az impulzusmomentum megmarad, de a képletének a megtalálásához végig kell csinálni azt az eljárást, amelyet ismertettünk. Ehhez szükséges a konjugált impulzusok ismerete.

www.interkonyv.hu



169

7. Feladat: Határozzuk meg a kettos ˝ inga impulzusmomentumának a képletét, és bizonyítsuk be a megmaradását, amikor nincs gravitációs tér.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

8. eloadás: ˝ A Hamilton-mechanika és az idobeli ˝ transzlációs invariancia

Lenny és George benyit a bárba. Doki már ott ül, és mint rendesen, a sörös tejeskávéját szürcsölgetve újságot olvas. – Mir˝ol ír az újság, Doki? Doki a szemüvege fölött rábámul Lennyre. – Éppen azt olvasom, hogy eszerint az Einstein nevu˝ pasi szerint „ az o˝ rültség nem egyéb, mint újra meg újra ugyanazt csinálni, és közben azt várni, hogy mindig más és más lesz az eredmény”. Mi a véleménye err˝ol? – Arra gondol, hogy valahányszor itt eszek, chilit rendelek, és utána mindig gyomorfájást kapok? – kérdezte Lenny egy percnyi gondolkodás után. A doki kuncogott. – Ez ám a jó gondolat! Úgy látom, kezdi érteni Einsteint.

Idobeli ˝ transzlációs szimmetria Mi a helyzet az energia megmaradásával? Beleillik-e a szimmetriákat és a megmaradási tételeket összekapcsoló elgondolásba? 171 www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

172


Igen, beleillik, de nem pont úgy, ahogy a 7. el˝oadás példáival történt. Ezekben ugyanis a szimmetria a qi koordináták elmozdításával volt kapcsolatos. A transzláció például egy olyan szimmetria, amelynél a rendszer összes részecskéjének Descartes-koordinátáját egyidejuleg ˝ ugyananazzal az értékkel megváltoztatjuk. Az energiamegmaradással kapcsolatos szimmetria viszont az id˝obeli eltolással függ össze. Képzeljünk el egy kísérletet, amely egy zárt rendszerrel folyik, távol minden zavaró hatástól. A kísérlet a t0 pillanatban indul meghatározott kezdeti feltételekkel, rögzített ideig tart, valamilyen végeredményt produkál. Ezután megismételjük pontosan ugyanezt a kísérletet valamivel kés˝obb. A kezd˝ofeltételek ugyanazok, mint el˝obb, a kísérlet id˝otartama is ugyanannyi, az egyedüli különbség a kezdés id˝opontja, amelyik most nem t0 , hanem egy kés˝obbi t0 + Δt. Azt várjuk, hogy a kísérlet végeredménye pontosan ugyanaz lesz, mint korábban, vagyis a Δt id˝obeli eltolás nem okoz semmiféle különbséget. Amikor tényleg ez a helyzet, akkor azt mondjuk, hogy a rendszerünk invariáns az id˝obeli eltolással szemben. Id˝oeltolási invariancia nem áll fenn mindig. A világegyetem például, amelyben élünk, tágul. A laboratóriumi kísérleteket ez a tágulás csupán elhanyagolható mértékben befolyásolja, de elvben figyelembe kell venni. Bizonyos pontosságon túl a kés˝obb elvégzett kísérlet eredménye különbözhet a korrábiakétól. De vegyünk egy földhöz ragadtabb példát. Legyen a vizsgált rendszer egy mágneses térben mozgó ponttöltés. Amikor a mágneses tér id˝oben állandó, a töltés mozgásában érvényesül az id˝oeltolási invariancia. De ha a mágneses teret létrehozó tekercsben

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó Hamilton-mechanika és az id˝obeli transzlációs invariancia

173

az áram lassan változik, akkor az azonos kezd˝ofeltétel mellett, de különböz˝o id˝opontokban elindított részecskével végzett kísérlet eredménye mindig más és más lesz. A részecske leírása ebben az esetben nem invariáns az id˝oeltolással szemben. Hogyan jelenik meg az id˝oeltolási szimmetria (vagy a hiánya) a mechanika Lagrange-féle leírásában? Amikor ez a szimmetria érvényes, a Lagrange-függvény nem függ explicit módon az id˝ot˝ol. Ez egy nagyon delikát tulajdonság, mert a Lagrangefüggvény ilyenkor is változhat az id˝o függvényében, de csak annak következtében, hogy a koordináták és a sebességek, amelyeket tartalmaz, maguk id˝ofügg˝ok. Az explicit id˝ofüggés ezzel szemben azt jelenti, hogy a Lagrange-függvény matematikai alakja változik. Tekintsük például a harmonikus oszcillátort, amelynek Lagrange-függvénye a következ˝o: L=

1 2 mx˙ − kx2 . 2

Amikor m és k nem függ az id˝ot˝ol, akkor ez a Lagrange-függvény invariáns az id˝otranszlációval szemben. De egyáltalán nem elképzelhetetlen, hogy a k direkciós állandó ilyen vagy olyan okból id˝oben változik. Amikor például a kísérletet id˝oben változó mágneses térben végzik, akkor elképzelhet˝o, hogy a mágneses térnek a rugó atomjaira gyakorolt finom hatása következtében a k is változni fog. Ebben az esetben a Lagrange-függvényt így kell felírnunk: L=

www.interkonyv.hu

1 2 mx˙ − k(t)x2 . 2


© Typotex Kiadó

174


Ez az, amit explicit id˝ofüggésen értünk. Általános esetben tehát (1)

L = L(qi , q˙i , t),

ahol a t argumentum jelzi a rendszert leíró paraméterek függését az id˝ot˝ol. Ezeknek az észrevételeknek az alapján meg lehet fogalmazni az id˝obeli transzlációs invariancia tömör matematikai kritériumát: Egy rendszer akkor invariáns az id˝otranszlációval szemben, ha a Lagrange-függvénye nem függ explicite az id˝ot˝ol.

Az energiamegmaradás Vizsgáljuk meg, hogyan változik az (1) Lagrange-függvény értéke a rendszer id˝obeli evolúciója során. Az L három különböz˝o okból függhet az id˝ot˝ol. Az els˝o kett˝o a q koordináták és a q˙ sebességek id˝obeli változása. Ha csak ez a két ok lenne, akkor írhatnánk, hogy dL = dt i

∂L ∂L q˙i + qï . ∂qi ∂ q˙i

De ha explicit id˝ofüggés is van, akkor egy harmadik járulékot is figyelembe kell venni: dL = dt i

∂L ∂L q˙i + qï ∂qi ∂ q˙i

+

∂L . ∂t

(2)

Analizáljuk a (2) különböz˝o tagjait az Euler–Lagrange-egyenlet

www.interkonyv.hu



segítségével. A tagok els˝o típusa

175

∂L q˙i , amelyet így is írhatunk: ∂qi

∂L q˙i = p˙i q˙i . ∂qi A tagok következ˝o típusa,

∂L qï így alakítható át: ∂ q˙i

∂L qï = pi qï . ∂ q˙i Ezek figyelembevételével ∂L dL = . p˙ i q˙i + pi qï + dt ∂t i Az els˝o két tagot tartalmazó összeg tömörebben is felírható: d p˙i q˙i + pi qï = pi q˙i , dt i i és ennek következtében ∂L dL d = . pi q˙i + dt dt i ∂t

(3)

d pi q˙i tag ködt i vetkeztében akkor is függ az id˝ot˝ol, amikor explicit id˝ofüggés Figyeljük meg, hogy a Lagrange-függvény a

nincs, ezért olyan szabály, hogy a Lagrange-függvény megmarad, nem létezik.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

176


A (3) egyenlet valami érdekeset árul el. Ha bevezetjük a H új mennyiséget a

pi q˙i − L = H

(4)

i

definícióval, akkor (3) nagyon egyszeruvé ˝ válik: dH ∂L =− . dt ∂t

(5)

Az (5)-höz vezet˝o gondolatmenet talán komplikáltnak látszik, de az eredménye nagyon egyszeru. ˝ Az új H mennyiség csak akkor változik az id˝oben, amikor a Lagrange-függvénynek van explicit id˝ofüggése. Egy ennél még érdekesebb megfogalmazás: Ha egy rendszer invariáns az id˝obeli transzlációval szemben, akkor a H mennyiség megmarad. A H-t Hamilton-függvénynek hívják, és ahogy sejthet˝o, azért olyan fontos (egyéb okok mellett), mert nem más, mint a rendszer energiája. De még a fontosnál is több, mert annak a Hamiltonféle mechanikának a központi eleme, amely a mechanika egy egészen új formája. Egyel˝ore azonban elégedjünk meg azzal, hogy a legegyszerubb ˝ példán – a tömegpont mozgásán potenciálban – bemutatjuk a Hamilton-függvény jelentését. A Lagrange-függvény ekkor L=

m 2 x˙ − V (x), 2

(6)

a kanonikus impulzus pedig a szokásos p = mx. ˙

www.interkonyv.hu

(7)



177

Helyettesítsük (6)-ot és (7)-et a H-t definiáló (4) egyenletbe: m H = mx˙ x˙ − x˙ 2 + V (x) = 2 m = mx˙ 2 − x˙ 2 + V (x) = 2 m 2 = x˙ + V (x). 2 Figyeljük csak meg, mi történt! A két mx˙ 2 -et tartalmazó tag összekombinálódott a szokásos mozgási energiává, a potenciális energiát tartalmazó tag pedig +V (x) lett. Vagyis H egyenl˝onek bizonyult az energia szokásos képletével: kinetikus energia plusz potenciális energia. Az általános esetben is ez a helyzet, amint azt tetsz˝oleges számú részecskénél is könnyen ellen˝orizhetjük. Ha a Lagrangefüggvény kinetikus energia mínusz potenciális energia, akkor H = pq˙ − T + V = = T + V. Léteznek rendszerek, amelyeknek a Lagrange-függvénye eltér a T − V alaktól. Ilyenkor el˝ofordul, hogy az energiát nem lehet természetes módon kinetikus és potenciális energiára bontani. A Hamilton-függvény konstruálási szabálya ennek ellenére változatlan. Az energia általános definíciója az ilyen rendszerek esetében az energia egyenl˝o a Hamilton-függvénnyel. Mi több, ha a Lagrange-függvényben nincs explicit id˝ofüggés, akkor a H energia megmarad.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

178


Amikor azonban a Lagrange-függvény explicite függ az id˝ot˝ol, akkor az (5) egyenlet szerint a Hamilton-függvény értéke nem marad állandó. Mi történik az ilyen esetekben az energiával? Ezt legegyszerubben ˝ egy példa segítségével lehet megmagyarázni. Tekintsünk egy egységnyi elektromos töltésu˝ részecskét, amelyik egy kondenzátor lemezei között mozog. A kondenzátoron belül a lemezeken felhalmozott töltés elektromos mez˝ot hoz létre. (Azért használjuk az jelet az elektromos mez˝ore a megszokottabb E helyett, hogy ne téveszthessük össze az energiával.) Az elektromosságról semmit se kell tudnunk azon kívül, hogy a kondenzátoron belül a potenciális energia x. A Lagrange-függvény ekkor a következ˝o: L=

m 2 x˙ − x. 2

Mindaddig, amíg a mez˝o állandó, az energia megmarad. De tételezzük most fel, hogy a kondenzátort elkezdjük tovább tölteni, ezért az növekedni kezd. A Lagrange-függvény ennek következtében explicit id˝ofüggésre tesz szert: L=

m 2 x˙ − (t)x. 2

A részecske energiája ilyen körülmények között nem lesz állandó. Attól függ˝oen, hogy éppen melyik x-ben tartózkodik, az energiája a d dH = x dt dt képlet szerint fog változni.

www.interkonyv.hu



179

Honnan származik ez az energia? A válasz az, hogy abból az akkumulátorból, amelyik tölti a kondenzátort. A részletekbe nem tudunk belemenni, de a tény az, hogy ha a részecskét tekintjük rendszernek, ezzel a kondenzátort és az akkumulátort is tartalmazó nagyobb rendszernek csak egy részére koncentrálunk. A kihagyott elemek maguk is részecskékb˝ol állnak és természetesen energiájuk is van. Fordítsuk a figyelmünket az egész berendezésre, beleértve az akkumulátort, a kondenzátort és a részecskét. A kísérlet megkezdése el˝ott a kondenzátor töltetlen, és a részecske nyugszik valahol a lemezek között. Egy adott pillanatban zárunk egy áramkört, és kezdjük feltölteni a kondenzátort. A részecskére id˝oben változó er˝otér hat, a kísérlet végén a kondenzátor fel van töltve, a részecske pedig mozog. Mi történt volna, ha a kísérletet egy órával kés˝obb végezzük el? Nyilván pontosan ugyanez lenne az eredmény. Az egész zárt rendszer tehát invariáns az id˝obeli eltolással szemben, és ennek következtében a berendezés egészében tárolt energia megmarad. Zárt rendszerekben az energia mindig megmarad, de sokszor célszeru˝ valamelyik részrendszerre koncentrálni. Egy részrendszer energiája azonban külön nem marad meg, ha a rendszer többi része id˝oben változik.

A fázistér és a Hamilton-egyenletek A Hamilton-függvény nemcsak azért fontos mennyiség, mert o˝ az energia. A jelent˝osége ennél sokkal nagyobb: lehet˝ové teszi a klasszikus mechanika olyan komplett átfogalmazását, amely a kvantummechanikára nézve is alapvet˝o fontosságú. www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

180


A mechanika hatáselven alapuló lagrange-i megfogalmazásában a rendszer konfigurációs térbeli trajektóriája áll a tárgyalás középpontjában. A q(t) trajektória a koordináták nyelvén adható meg. Az egyenletek másodrendu˝ differenciálegyenletek, ezért a megoldásukhoz nem elegend˝o a kezd˝opillanati koordináták ismerete, a kezd˝osebességek megadására is szükség van. A hamiltoni megfogalmazás a fázistérre fekteti a hangsúlyt. A fázisteret a qi koordináták és a hozzájuk kanonikusan konjugált pi impulzusok alkotják. A q-k és a p-k egyenrangú szerepet játszanak, a rendszer id˝obeli változását a fázistérben kirajzolódó trajektória írja le. Matematikai szempontból ez a kép a qi (t), pi (t) függvények ismeretét igényli. Figyeljünk rá, hogy a fázistér dimenziója kétszer akkora, mint a konfigurációs téré. Mit nyerünk azzal, hogy a dimenziók számát megduplázzuk? Azt, hogy a mozgásegyenletek els˝orendu˝ differenciálegyenletekké válnak. Egyszerubben ˝ szólva ez annyit jelent, hogy a jöv˝ot egyértelmuen ˝ meghatározza a kezdeti pont a fázistérben. A Hamilton-féle formalizmusra vezet˝o áttérés els˝o lépése az, hogy megszabadulunk a q-októl ˙ és p-kkel helyettesítjük o˝ ket. A cél az, hogy a Hamilton-függvényt a q-kon és a p-ken keresztül fejezzük ki. Descartes-koordinátákban a részecskék impulzusa és sebessége majdnem ugyanaz, csak a tömeggel való szorzásban különböznek egymástól. Mint mindig, a vonal mentén mozgó részecske most is megfelel˝o illusztráció lesz.

www.interkonyv.hu



181

Ezzel a két egyenlettel indítjuk a gondolatmenetet: p = mx˙ mx˙ 2 + V (x). 2

H=

Amikor a sebességet p/m-mel helyettesítjük, a Hamilton-függvény a p és az x függvényévé válik és ezt a két egyenletet célszeru˝ így felírni:

p m p2 + V (x). H= 2m x˙ =

(8)

Egy utolsó megjegyzés a Hamilton-egyenletek felírása el˝ott: a H dV -vel, vagyis az er˝o negatívjával x-szerinti parciális deriváltja dx egyenl˝o. Az F = ma mozgásegyenlet ezért a p˙ = −

∂H ∂x

(9)

alakban is felírható. Mint az el˝obb már megjegyeztük, a hamiltoni leírás a koordinátákat és az impulzusokat szimmetrikusan kezeli. Ebb˝ol sejthet˝o, hogy létezik egy másik, a (9)-hez hasonló egyenlet, amelyben a p és az x helyet cserél. Ez majdnem így is van, de nem egészen pontosan. Ennek a másik egyenletnek a korrekt alakja ugyanis x˙ =

∂H , ∂p

(10)

amelynek a jobb oldalán nincs mínusz jel.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

182


Ezt az egyenletet könnyu˝ igazolni úgy, hogy a (8) második egyenletében felírt H-t deriváljuk p szerint. Ezt kapjuk: ∂H p = . ∂p m Ha ezt (8) els˝o egyenletével kombináljuk, tényleg (10)-et kapjuk eredményül. Mint látjuk, valóban egy nagyon egyszeru, ˝ szimmetrikus egyenletrendszerre jutottunk. Egy helyett ugyan két egyenletünk van, de mindkett˝o els˝orendu: ˝ ∂H ∂x ∂H x˙ = . ∂p p˙ = −

(11)

Ezek az egyetlen részecskére vonatkozó Hamilton-egyenletek. Hamarosan le fogjuk vezetni a tetsz˝oleges rendszerre érvényes egyenleteket is, de el˝obb felírjuk o˝ ket bizonyítás nélkül. Olyan Hamiltonfüggvénnyel indítunk, amelyik az összes q-tól és p-t˝ol függ: H = H {q}, {p} . A (11) általánosítása a következ˝o: ∂H ∂qi ∂H q˙i = , ∂pi

p˙i = −

www.interkonyv.hu

(12)



183

vagyis a fázistér minden koordináta-tengelyéhez tartozik egy els˝orendu˝ egyenlet. Álljunk itt meg egy pillanatra és tisztázzuk, milyen viszonyban állnak ezek az egyenletek könyvünk legels˝o fejezetével, amelyben megvizsgáltuk, hogyan határozzák meg a jöv˝ot a fizika determinisztikus egyenletei. Ebb˝ol a szempontból a (12) egyenletek tartalma a következ˝o: Ha egy adott pillanatban ismerjük az összes koordináta és impulzus pontos értékét és ismerjük a Hamilton-függvényt is, akkor a Hamiltonegyenletek segítségével kiszámíthatjuk, milyen értéket vesznek fel ezek a mennyiségek egy infinitezimálisan kicsi id˝ovel kés˝obb. Az eljárást újra meg újra megismételve meghatározhatjuk a trajektóriát a fázistéren keresztül.

A harmonikus oszcillátor Hamilton-függvénye A harmonikus oszcillátor a fizika legfontosabb egyszeru˝ rendszere. Alkalmas bármilyen természetu˝ rezgés leírására, amelyben valamilyen szabadsági fok rezeg az egyensúlyi helyzete körül. Ahhoz, hogy lássuk, miért ennyire fontos, tekintsünk valamilyen q szabadsági fokot és a hozzá tartozó V (q) potenciális energiát, amelynek van egy minimuma. A minimum a stabil egyensúlyi helyzetnek felel meg, és ha a szabadsági fok ebb˝ol elmozdul, visszatér az egyensúlyi helyzetbe. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy a minimum q = 0-ban van. Bármilyen függvény, amely ezzel a tulajdonsággal rendelkezik, jól közelíthet˝o a V (q) = V (0) + cq 2

www.interkonyv.hu

(13)


© Typotex Kiadó

184


kvadratikus függvénnyel, amelyben V (0) és c egy-egy konstans. A q-val arányos lineáris tag azért nem lép fel, mert a minimumdV ban a derivált nullával egyenl˝o. A V (0) tagot pedig el lehet dq hagyni, mert egy konstans hozzáadása a potenciálhoz semmiféle hatással sem jár. A (13) alak nem a lehet˝o legáltalánosabb; a V tartalmazhatna még egyéb tagokat is, mint például q 3 vagy q 4 . De ha a rendszer csak kevéssé mozdul el a q = 0 pozícióból, ezeket a magasabb rendu˝ tagokat el lehet hagyni a kvadratikus tag mellett. Ez a meggondolás a legkülönfélébb rendszerekre érvényes: rugókra, ingákra, hanghullámokra, elektromágneses hullámokra, és még folytathatnánk a példákat. Most felírom a Lagrange-függvényt els˝o látásra egy olyan alakban, amelyik túl speciálisnak látszik, mert csak az egyetlen ω konstansot tartalmazza: L=

1 2 ω 2 q˙ − q . 2ω 2

(14)

k mx˙ 2 − x2 Lagrange2 2 függvénybol ˝ és mutassuk meg, hogy ha a q = (km)1/4 x 1.

Feladat:

Induljunk ki az

képlettel új változót vezetünk be, akkor a (14) Lagrangefüggvényre jutunk. Mi a kapcsolat a k, az m és az ω között?

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

185

Hamilton-mechanika és az id˝obeli transzlációs invariancia

2. Feladat: Határozzuk meg a (14) Lagrange-függvényhez tartozó Hamilton-függvényt a p és a q változók függvényében. A (14)-b˝ol kapható Hamilton-függvény nagyon egyszeru: ˝ H=

ω 2 p + q2 . 2

(15)

Az 1. feladatban éppen azért tértünk át az x változóról q-ra, hogy ilyen egyszeru˝ H-t kapjunk. A Hamilton-formalizmus egyik ismertet˝ojegye a q-k és a p közötti szimmetria. A harmonikus oszcillátor esetében ez a szimmetria csaknem teljes. Aszimmetriához csak a mínusz jel vezet a (12) els˝o egyenletében. Ha a (15) Hamilton-függvényt beírjuk az egy szabadsági fokra specializált (12) egyenletrendszerbe, a p˙ = −ωq

(16)

q˙ = ωp Hamilton-egyenletekre jutunk. Hogyan függenek össze ezek az egyenletek a (14)-b˝ol kapható q¨ = −ω 2 q

(17)

Euler–Lagrange-egyenlettel? El˝oször is csak egyetlen egyenletünk van kett˝o helyett, másodszor pedig ez az egyenlet másodrendu, ˝ mert második id˝oderiváltat tartalmaz. Ezzel szemben a

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

186


Hamilton-egyenletek mindegyike els˝orendu. ˝ Ez azzal függ össze, hogy két els˝orendu˝ egyenlet ekvivalens egyetlen másodrendu˝ vel. Ezt úgy láthatjuk, hogy (16) második egyenletét deriváljuk az id˝o szerint: q¨ = ω p, ˙ és (16) els˝o egyenletének felhasználásával a jobb oldalon p-t ˙ ωqval helyettesítjük. Ezzel a (17) Euler–Lagrange-egyenletre jutunk. Jobb-e az egyik formalizmus, mint a másik? Lagrange vagy Hamilton az, aki a végs˝o szót kimondta? Mindenki maga próbálhat válaszolni a kérdésre, de jobb, ha egy kicsit vár vele. Csak a relativitáselméleti és a kvantummechanikai kurzusok után válik majd teljesen világossá a Lagrange-függvény és a Hamiltonfüggvény igazi jelent˝osége. Térjünk vissza a (16)-hoz. Többnyire a konfigurációs tér fogalmában „ gondolkozunk”.

A harmonikus oszcillátor olyan

rendszer, amely ide-oda mozog egy tengely mentén. De ez a példa alkalmas kiindulás ahhoz, hogy kezdjünk hozzászokni a fázistérbeli „ gondolkodásmódhoz” is. Az oszcillátor fázistere kétdimenziós. Könnyu˝ meggy˝oz˝odni róla, hogy a trajektóriái ebben a fázistérben az origó körüli koncentrikus körök. A magyarázat nagyon egyszeru. ˝ Nyúljunk vissza a (15) Hamiltonfüggvényhez. Mivel ez a függvény maga az energia, ezért megmarad, a q 2 + p2 összeg id˝oben nem változik, és a távolság a fázistér origójától állandó marad. A fázispont ily módon egy körön mozog, amelynek a sugara ezzel az állandóval egyenl˝o. A (16) valójában egy ilyen konstans ω szögsebességu˝ mozgást ír le az origó körül. Különösen figyelemreméltó, hogy a fázistérbeli

www.interkonyv.hu



187

szögsebesség független az oszcillátor energiájától. Az 1. ábra alapján a fázispont origó körüli körmozgása levetíthet˝o a vízszintes q tengelyre. Pontosan úgy oszcillál ide-oda, ahogy kell. De a fázistérbeli kétdimenziós körmozgás a mozgás jobban megérthet˝o leírását nyújtja. Ha a függ˝oleges p tengelyre vetítünk, akkor látjuk, hogy az impulzus is oszcillál.

1. ábra: A harmonikus oszcillátor a fázistérben

A harmonikus oszcillátor nagyon egyszeru˝ rendszer. Egy általános rendszer fázistérbeli mozgása komplikáltabb és kevésbé szimmetrikus. De univerzálisan érvényes tény, hogy a fázispont egy konstans energiájú görbén marad rajta. Kés˝obb a fázistérbeli mozgásnak ennél még általánosabb tulajdonságaival is találkozunk majd.

A Hamilton-egyenletek származtatása Egészítsük ki az eddig mondottakat azzal, amit még nem végeztünk el: a Hamilton-egyenletek levezetésével az általános esetben. A Lagrange-függvény a koordináták és a sebességek egy

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

188


tetsz˝oleges függvénye: L = L {q}, {q} ˙ . A hozzá tartozó Hamilton-függvény H=

pi q˙i − L.

i

A Hamilton-függvény variácója a következ˝o: δH =

pi δ q˙i + q˙i δpi − δL =

i

∂L ∂L pi δ q˙i + q˙i δpi − δqi − δ q˙i . = ∂qi ∂ q˙i i ∂L kép∂ q˙i letet, akkor láthatjuk, hogy az els˝o és az utolsó tag kiejti egymást,

Ha itt most kihasználjuk a pi definícióját, vagyis a pi = és ennek következtében ∂L q˙i δpi − δqi . δH = ∂qi i

Vessük össze ezt a képletet azzal az általános szabállyal, amelynek alapján a többváltozós függvények kis megváltozását számítjuk: δH({q}, {p}) =

∂H i

www.interkonyv.hu

∂pi

δpi +

∂H δqi . ∂qi



189

A δpi , δqi infinitezimális variációk tetsz˝olegessége miatt ezek koeficienseinek a δH két kifejezésében meg kell egyezniük egymással:

∂H = q˙i ∂pi ∂H ∂L =− . ∂qi ∂qi

(18)

Az utolsó lépéshez fel kell írnunk az Euler–Lagrange-egyenletet az alábbi alakban:

∂L = p˙i . ∂qi

Ha ezt behelyettesítjük (18) második egyenletébe, megkapjuk a Hamilton-egyenleteket: ∂H = q˙i ∂pi ∂H = −p˙ i . ∂qi

www.interkonyv.hu

(19)


© Typotex Kiadó

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

9. eloadás: ˝ A fázistérfolyadék és a Gibbs–Liouville-tétel

Lenny szereti nézni a folyó vizét, figyelni az úszó hordalékot, ahogy a vízáram magával sodorja. Azt próbálja kitalálni, hogyan mozognának sziklafalak között vagy egy örvény szívó hatása alatt. De a folyó egészér˝ol – a nagyléptéku˝ áramlatokról, a teljes vízmennyiségr˝ol, a nyíró mozgásokról, az áramlás divergenciájáról és konvergenciájáról – halvány fogalma sincs.

A fázistérfolyadék A klasszikus mechanikában természetes feladat az, hogy egy speciális kezd˝ofeltételb˝ol kiinduló trajektóriát kövessünk végig a fázistérben. De létezik egy általánosabb néz˝opont is, amely trajektóriák együttesére fekteti a hangsúlyt. Ebben a tágabb felfogásban egyszerre figyeljük az összes lehetséges kezd˝opontot és trajektóriát. Ahelyett, hogy a ceruzánk hegyét a fázistér egy meghatározott pontjára helyezve egyetlen trajektórián haladnánk végig, ennél ambíciózusabb feladattal is megpróbálkozhatunk. Legyen végtelen sok ceruzánk és pontozzuk ki velük egyenletesen 191 www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

192


a fázisteret végtelen sur ˝ un ˝ (az egyenletesség azt jelenti, hogy a q, p térben a pontok sur ˝ usége ˝ mindenütt ugyanaz. Gondoljuk azt, hogy a pontok egy fiktív fázistérfolyadék részecskéi. Ezután hagyjuk, hogy mindegyik pont a q˙i =

∂H ∂pi

(1)

∂H p˙i = − ∂qi Hamilton-egyenleteknek megfelel˝oen mozogjon.

A harmonikus oszcillátor jó kiinduló példa. A 8. el˝oadásban láttuk, hogy mindegyik pont egy körön mozog egyforma szögsebességgel. (Ne felejtsük el, hogy nem a koordinátatérr˝ol, hanem a fázistérr˝ol van szó. A koordinátatérben az oszcillátor egy dimenzióban rezeg ide-oda.) Az egész folyadék merev testként forog a fázistér origója körül. Most nézzük az általános esetet. Ha a koordináták száma N , akkor a fázistér – és benne a „ közeg” – 2N dimenziós. A folyadék áramlik, de nagyon speciális módon. Az áramlásnak különös tulajdonságai vannak. Az egyik ilyen specialitás az, hogy ha a pont valamilyen határozott energiához – a H(q, p) meghatározott értékéhez – tartozik, akkor mindig ugyanilyen energiájú marad. A határozott – mondjuk – E energiájú felületeket a fázistérben a H(q, p) = E

(2)

egyenlet határozza meg. Minden E-hez a 2N -dimenziós fázistérben egy egyenlet tartozik, amely ily módon egy 2N −1 dimenziós

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó A fázistérfolyadék és a Gibbs–Liouville-tétel

193

felületet határoz meg. Más szóval minden E meghatároz egy felületet, és ha végigtekintünk az összes E-n, az egész fázisteret belátjuk. A fázistér a (2) egyenlet által meghatározott, o˝ t kitölt˝o felületekkel hasonlít egy kontúrtérképre (ld. az 1. ábrát), de a magasság helyett a kontúrok az energiát mutatják. A folyadék pontjai örökre azon a felületen maradnak, amelyen kezdetben tartózkodtak. Ez nem más, mint az energiamegmaradás.

1. ábra: A harmonikus oszcillátor energiafelületeinek kontúrtérképe a fázistérben

A harmonikus oszcillátor fázistere kétdimenziós, és az energiafelületek körök:

ω 2 q + p2 = E. 2

(3)

Egy általános rendszer energiafelületei túl bonyolultak ahhoz, hogy szemlélni lehessen o˝ ket, de az elv változatlan: Az energiafelületek rétegesen töltik ki a fázisteret, és az áramlás során a fázispontok végig azon a felületen maradnak, amelyen kezdetben voltak.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

194


Rövid emlékezteto˝ Itt egy pillanatra megállunk, és emlékeztetünk a legels˝o el˝oadásra, amelyben pénzérmékr˝ol, dobókockákról és a mozgástörvény legelemibb fogalmáról volt szó. Ezeket a törvényeket nyilak segítségével ábrázoltuk, amelyek a rendszer állapotait reprezentáló pontokat kötötték össze egymással. Azt is megmagyaráztuk, hogy léteznek megengedett és nem megengedett törvények, és a megengedettek reverzibilisek. Mi jellemez egy megengedett törvényt? Az, hogy minden ponthoz csak egy bemen˝o és csak egy kimen˝o nyíl tartozik. Ha egy pontba bemen˝o nyilak száma nagyobb, mint a kimen˝oké (ezt vonzó vagy konvergens csomópontnak hívják), akkor a törvény irreverzibilis. Ez akkor is így van, amikor a kimen˝o nyilak száma a nagyobb (taszító vagy divergens csomópont). A nyilak konvergenciája és divergenciája egyaránt megsérti a reverzibilitást, és ezért tiltott. Ezzel a gondolatkörrel mindeddig nem foglalkoztunk, Itt az ideje, hogy bevonjuk a tárgyalásunkba.

Áramlás és divergencia A közönséges térben áramló folyadék egyszeru˝ eseteivel kezdjük. Egy id˝ore feledkezzünk el a fázistérr˝ol, és foglalkozzunk a szokásos x, y, z koordinátákkal jellemzett háromdimenziós térben áramló közönséggel folyadékkal. Az áramlást a sebességmez˝o fogalmának a segítségével lehet leírni. A v (x, y, z) sebességmez˝o nem más, mint a folyadék sebességvektora a közeg pontjaiban (2. ábra).

www.interkonyv.hu



195

2. ábra: A sebességmez˝o

A sebességmez˝o voltaképpen a sebesség vx (x, y, z), vy (x, y, z), vz (x, y, z) komponenseinek összesége. Az egyes pontokban a sebesség az id˝oben változhat is, de tegyük fel, hogy ezt nem teszi. Az ilyen id˝oben állandó áramlást stacionáriusnak hívják. Tegyük most fel, hogy a folyadék összenyomhatatlan, egy adott mennyisége mindig ugyanakkora térfogatot foglal el. Ez egyben azt is jelenti, hogy a folyadék homogén – vagy másképpen fogalmazva – a molekulák egységnyi térfogatra es˝o száma mindenütt ugyanaz és az is marad örökre. Mellékesen megjegyezhetjük, hogy az összenyomhatatlanság (inkompresszibilitás) egyben ritkíthatatlanságot (indekompresszibilitást) is jelent. Tekintsük az x0 < x < x0 + dx y0 < y < y0 + dy z0 < z < z0 + dz

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

196


képletekkel definiált skatulyát. Az inkompresszibilitás következtében a pontok száma minden ilyen skatulyában állandó, ezért az id˝oegységenként beáramló folyadék nettó mennyisége nulla (ugyanannyi pont folyik ki, mint amennyi be). Foglalkozzunk az x = x0 oldallapon keresztül id˝oegység alatt beáramló folyadék mennyiségével. Ez nyilván arányos a lapon keresztüli áramlás vx (x0 ) sebességével. Ha a vx az x0 -ban ugyanakkora lenne, mint az x0 + dx pontban, akkor ugyanannyi folyadék áramlana be a skatulyába az x0 hoz tartozó oldallapon át, mint amennyi az x0 +dx oldalon leresztül kiáramlik bel˝ole. De ha vx a térfogaton belül változik, a két folyadékmennyiség nem egyenlíti ki egymást, és a két oldallapon keresztül a skatulyába beáramló folyadék nettó mennyisége arányos lesz a −

∂vx dx dy dz ∂x

kifejezéssel. Pontosan ugyanilyen gondolatmenet alkalmazható az y0 , y0 + dy0 , valamint a z0 , y0 + dz0 oldalpárokra is. A molekulaszám nettó megnövekedése (a belép˝o és a kilép˝o molekulák számának a különbsége) a három járulék összegével egyenl˝o: −

∂vy ∂vz ∂vx + + ∂x ∂y ∂z

dx dy dz.

A parciális deriváltak zárójelben megjelen˝o kombinációjának külön neve van. Ez a v (x, y, z) vektormez˝o divergenciája, amelyet

www.interkonyv.hu



197

tömören így jelölünk: ∇ · v =

∂vy ∂vz ∂vx + + ∂x ∂y ∂z

.

(4)

A divergencia találó elnevezés; a molekulák szétszóródására utal, vagy – másképpen – annak a térfogatnak a megnövekedésére, amelyet elfoglalnak. Ha a folyadék összenyomhatatlan, ilyen változás nincs, és a divergenciának nullával kell egyenl˝onek lennie. Az inkompresszibilitásra gondolhatunk úgy, hogy a folyadék molekulái vagy pontjai meghatározott térfogatot foglalnak el, amelyet nem lehet megváltoztatni. Nem lehet kisebbre összenyomni, eltüntetni, vagy a semmib˝ol el˝ovarázsolni. Némi képzel˝oer˝ovel hasonlóságot fedezhetünk fel az inkompresszibilitás és az irreverzibilitás között. Az 1. el˝oadás példáiban a nyilak valamiféle áramlást fejeznek ki. És bizonyos értelemben ez az áramlás inkompresszibilis, legalább is akkor, ha fennáll a reverzibilitás. A nyilvánvaló kérdés az, hogy vajon a fázisfolyadék áramlása inkompresszibilis-e. A válasz igen, amennyiben a rendszer eleget tesz a Hamilton-egyenleteknek. Magát az inkompresszibilitást kimondó állítást Liouville-tételnek hívják.

A Liouville-tétel A fázistérbeli folyadék áramlására visszatérve mindenekel˝ott az áramlási sebesség komponenseivel kell foglalkoznunk a fázistér pontjaiban. Mondanunk sem kell, hogy a fázisfolyadék nem há-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

198


romdimenziós, amelyet az x, y, z koordinátákkal lehet jellemezni. Ez egy 2N dimenziós közeg, a koordináták pedig a pi , qi -k. A sebességmez˝onek ily módon 2N komponense van, minden q-ra és minden p-re egy. Jelöljük ezeket vqi -vel és vpi -vel. A divergencia (4)-ben felírt képletét könnyen általánosíthatjuk tetsz˝oleges számú dimenzióra. Három dimenzióban ez egy összeg, amelynek tagjai a sebesség komponenseinek a megfelel˝o irány szerinti parciális deriváltjai. Ugyanez marad az értelme tetsz˝oleges dimenzió esetében is. Így a fázistérben az áramlás divergenciája a következ˝o 2N tagú összeggel egyenl˝o: ∇ · v =

∂vq

∂vpi + ∂qi ∂pi i

i

.

(5)

Inkompresszibilis folyadékra az (5) kifejezésnek nullával kell egyenl˝onek lennie. Hogy eldönthessük, tényleg így van-e, ahhoz ismernünk kell a sebességmez˝onek – vagyis a fázistérfolyadékot alkotó részecskék sebességének – a komponenseit. A közeg sebességvektora egy adott pontban annak az elképzelt részecskének a sebességével egyenl˝o, amely éppen ebben a pontban tartózkodik, vagyis vqi = q˙i vpi = p˙ i . Mi több, q˙i és p˙i pontosan azok a mennyiségek, amelyek az (1)

www.interkonyv.hu



199

Hamilton-egyenletek bal oldalán állnak: ∂H ∂pi ∂H =− ∂qi

vqi = vpi

(6)

Nem kell mást tenni, mint a (6) képletet (5)-be helyettesíteni és levonni a következtetést: ∂ ∂H ∂ ∂H ∇ · v = . − ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi i Mivel

(7)

∂ ∂H ∂2H ∂2H ∂ ∂H = = = , ∂qi ∂pi ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi ∂pi ∂qi

ezért a (7) tagjai páronként kiejtik egymást, és ennek következtében ∇ · v = 0. A fázistérfolyadék tehát inkompresszibilis. A klasszikus mechanikában ezt a tényt Liouville-tételnek hívják annak ellenére, hogy nincs sok köze Joseph Liouville francia matematikushoz. A tételt a nagy amerikai fizikus, Josiah Willard Gibbs közölte els˝oként 1903-ban, ezért Gibbs-Liouville tételként is hivatkoznak rá. Az inkompresszibilitást azzal definiáltuk, hogy minden kis skatulyába beáramló folyadék nettó mennyisége legyen zérus. Van egy ezzel ekvivalens másik értelmezés is. Koncentráljunk a közeg valamely kiválasztott részének a térfogatára. Ez a rész lehet bármilyen alakú – gömb, kocka, foltszeru˝ képz˝odmény vagy

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

200


bármi más. Kövessük id˝oben a térfogatba tartozó összes pont mozgását. Egy id˝o múlva a kiválasztott folyadékrész valahol másutt lesz és az alakja is megváltozik. De ha a közeg inkompresszibilis, a térfogata változatlan marad. A Liouville-tételt tehát át lehet fogalmazni így: A fázistérfolyadék bármely kiszemelt része által elfoglalt térfogat id˝oben meg˝orz˝odik. A harmonikus oszcillátor esetében például a folyadék az origó mint centrum körüli körökön mozog. Eközben minden folyadékrész meg˝orzi az alakját, mert csupán merev forgást végez. De ez csak az oszcillátorra igaz. Másik példaként tekintsük a H = pq Hamilton-függvényt. Valószínuleg ˝ nem gondolnák, hogy ez egy lehetséges választás, pedig az. A hozzá tartozó mozgásegyenletek a következ˝ok: q˙ = q p˙ = −p. Ez az egyenletrendszer azt fejezi ki, hogy a q id˝oben exponenciálisan n˝o, a p pedig ugyanolyan mértékben exponenciálisan csökken. Vagyis az áramlás a folyadékot a p irányban összenyomja, miközben ugyanannyival széthúzza q irányban. Minden folyadékrész, legyen bármilyen alakú, megnyúlik q irányban és összezsugorodik p irányban. Ez drasztikus alakváltozás – de az elfoglalt fázistérfogat eközben változatlan.

www.interkonyv.hu



201

A Liouville-tétel az elképzelhet˝o legközelebbi analógiája annak a fajta reverzibilitásnak, amelyr˝ol az 1. el˝oadásban volt szó. A kvantummechanikában a tételt az unitaritásnak nevezett kvantumelméleti megfelel˝oje helyettesíti. Az unitaritás még jobban hasonlít az 1. el˝oadás meggondolásaihoz – de err˝ol az Elméleti minimum következ˝o folytatásában lesz szó.

Poisson-zárójelek Mi járhatott a tizenkilencedi századi francia matematikusok fejében, amikor kitalálták a mechanikának ezeket a különös szépségu˝ – és rendkívül formális – matematikai megfogalmazásait? (Hamilton kivételnek számít, mivel nem francia volt, hanem ír.) Hogyan jöttek rá a hatáselvre, az Euler–Lagrange-egyenletekre, a Hamilton-függvényre, a Liouville-tételre? Fizikai problémák megoldása kapcsán? Vagy csak játszottak az egyenletekkel, miközben egyre elegánsabb formába öltöztették o˝ ket? Vagy fizikai elveket ismertek fel, amelyek az új fizikai törvényekre jellemz˝ok? Azt hiszem, mindegyik válaszban van igazság, és tény, hogy hihetetlen sikereket értek el ezen az úton. De csak kés˝obb, a huszadik században, a kvantummechanika megszületése után vált teljesen világossá a munkásságuk rendkívüli jelent˝osége. Az a benyomásunk támad, mintha ez a korábbi matematikusgeneráció valóságos jöv˝obelátással rendelkezett volna, annyira a kés˝obbi kvantumelmélet fogalmainak megfelel˝o úton indult el. De ez még nem minden. Létezik a mechanikának egy különleges értékekkel bíró változata, amely a francia matematikus, (a franciául „ halat” jelent˝o) Poisson nevéhez fuz˝ ˝ odik. A Poisson-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

202


zárójel fogalmának a bevezetését kezdjük azzal, hogy vesszük a qi , pi változók egy tetsz˝oleges függvényét. Ilyen például a mozgási energia, amelyik a p-k függvénye, a potenciális energia, amely a q-któl függ, vagy az impulzusmomentum, amely a p-k és a q-k szorzatait tartalmazza. Szóba jönnek természetesen más fontos mennyiségek is. Legyen az egyik ilyen érdekes függvény mondjuk F (q, p). Erre az F (q, p)-re két módon nézhetünk rá. El˝oször is ez a fázistérbeli hely valamilyen függvénye. De ha követünk egy pontot, ahogy a fázistérben halad – vagyis a rendszer egy tényleges trajektóriájára gondolunk –, akkor az F értéke változni fog a trajektória mentén. Vagyis a rendszer mozgása egy adott trajektórián az F -et az id˝o függvényévé változtatja. Az F id˝obeli változását egy adott pontban úgy számíthatjuk ki, hogy az id˝o szerinti deriváltját vesszük: F˙ =

∂F i

∂qi

q˙i +

∂F p˙i . ∂pi

A következ˝o lépés már rutinszeruen ˝ az, hogy a p és a q id˝oderiváltját a Hamilton-egyenletekkel fejezzük ki: F˙ =

∂F ∂H ∂F ∂H . − ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi i

(8)

Nem tudhatom, milyen késztetések hatása alatt fedezte fel Poisson a kés˝obb róla elnevezett zárójelet, de gyanítom, hogy nagyon fárasztónak találta felírogatni a (8) jobb oldalát, ezért úgy határozott, hogy valamilyen alkalmas új szimbólummal jelöli. Vegyünk

www.interkonyv.hu



203

két tetsz˝oleges fázistér-függvényt, mondjuk G(p, q)-t és F (p, q)-t. Ne foglalkozzunk a fizikai jelentésükkel, azt se tegyük fel, hogy az egyikük Hamilton-függvény. Az F és a G Poisson-zárójelét a következ˝o képlettel definiáljuk: {F, G} =

∂F ∂G ∂F ∂G . − ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi i

(9)

Poissonnak ezután már nem kellett vesz˝odnie a (8) jobb oldalával, mert az egyenletet ebben a rövid formában írhatta fel: F˙ = {F, H}.

(10)

Ez a képlet a sokoldalúságával késztet bámulatra. Mint látjuk, valaminek az id˝oderiváltja ennek a valaminek és a Hamiltonfüggvénynek a Poisson-zárójelével egyenl˝o. Ez a szabály magukat a Hamilton-egyenleteket is tartalmazza. Valóban, legyen például F (p, q) a q-k egyike. Ekkor q˙k = {qk , H}. Ha most kiszámítjuk qk és H Poisson-zárójelét, tapasztalni fogjuk, hogy csak egyetlen tag lesz nullától különböz˝o: az, amelyik∂qk = 1, ben qk -t önmaga szerint kell deriválni. Mivel pedig ∂qk ∂H -val egyenl˝o, és ennek köazt találjuk, hogy a {qk , H} zárójel ∂pk vetkeztében az els˝o Hamilton-egyenletet kapjuk eredményül. A

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

204


másodikra ugyanez az eljárás a p˙ k = {pk , H} alakot szolgáltatja. Figyeljük meg, hogy a két egyenlet között nincs el˝ojelkülönbség. Ez a Poisson-zárójel definíciójában van elbújtatva. A franciák eleganciamániája gyümölcsöz˝onek bizonyult. A kvantummechanika egyik legfontosabb fogalma, a kommutátor, a Poisson-zárójel egyenesági leszármazottja.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

10. eloadás: ˝ Poisson-zárójelek, impulzusmomentum és a szimmetriák

– Figyelj csak, George! – szellemeskedik Lenny. – Lehet halat tárolni Poisson-zárójelben? – Igen, de csak elméleti halat – mosolyog George.

A mechanika axiomatikus megfogalmazása Kezdjük néhány szabály megfogalmazásával, amelyek lehet˝ové teszik, hogy a Poisson-zárójelekkel (a továbbiakban a PZ rövidítést fogjuk használni rájuk) dolgozhassunk anélkül, hogy ki kelljen számítani o˝ ket. Ellen˝orizhetjük (tekintsék ezt házi feladatnak), hogy ezek a szabályok valóban a PZ definíciójából következnek. Legyenek A, B és C a p-k és a q-k tetsz˝oleges függvényei. Az el˝oz˝o el˝oadásban így definiáltam a PZ-t: {A, C} =

∂A ∂C i

∂A ∂C − ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi

.

(1)

• Az els˝o tulajdonság az antiszimmetria. Ha a PZ-ben a két 205 www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

206


függvényt felcseréljük, akkor el˝ojelet vált: {A, C} = −{C, A}.

(2)

Ebb˝ol következik, hogy egy függvény önmagával képzett PZ-je nullával egyenl˝o: {A, A} = 0.

(3)

• A következ˝o tulajdonság a linearitás mindkét elemre vonatkozóan. Ez két dolgot jelent. El˝oször is, amikor A-t egy k konstanssal szorozzuk (de C-t nem bántjuk), akkor a PZ ugyanazzal a konstanssal szorzódik meg: {kA, C} = k{A, C}.

(4)

Másodszor, az A + B összeg PZ-jét képezve C-vel az eredmény additív: {(A + B), C} = {A, C} + {B, C}.

(5)

A (4) és az (5) fejezi ki a PZ linearitását. • Mi történik ha A és B szorzatának a Poisson-zárójelét képezzük C-vel? Könnyen kideríthetjük, ha visszanyúlunk a PZ definíciójához és alkalmazzuk a szorzat deriválási szabályát: ∂(AB) ∂B ∂A =A +B . ∂q ∂q ∂q

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó Poisson-zárójelek, impulzusmomentum és a szimmetriák

207

Ugyanilyen képlet érvényes a p szerinti deriváltakra is. Erre a szabályra jutunk: {(AB), C} = B{A, C} + A{B, C}.

(6)

• Írjunk fel végül néhány speciális PZ-t, amelyekre szükségünk lesz az indulásnál. Kezdjük azzal az észrevétellel, hogy mind q, mind p a p-k és a q-k függvényei. Mivel minden PZ-ben egyaránt el˝ofordul p-szerinti és q-szerinti deriválás, ezért bármelyik q PZ-je bármelyik q-val nullával egyenl˝o. Ugyanez igaz két p-re is: {qi , qj } = 0 {pi , pj } = 0.

(7)

De egy q és egy p PZ-je általában nem zérus. A szabály az, hogy {qi , pj } 1-gyel egyenl˝o, amikor i = j, a többi esetben pedig nulla. A Kronecker-szimbólum segítségével ez így fejezhet˝o ki: {qi , pj } = δij .

(8)

Ezzel minden a rendelkezésünkre áll ahhoz, hogy tetsz˝oleges PZt kiszámíthassunk. Akár el is feledkezhetünk a PZ definíciójáról, elég, ha a (2) – (8) szabályokat ismerjük és egy formális matematikai rendszer axiómáinak tekintjük o˝ ket. Ki kell számítanunk mondjuk a {q n , p}

www.interkonyv.hu

(9)


© Typotex Kiadó

208


zárójelet. Az egyszeruség ˝ kedvéért feltettem, hogy csak egy qnk és egy p-nk van. El˝oször megadom a választ, amelyet aztán bebizonyítok. A válasz a következ˝o: {q n , p} = nq (n−1) .

(10)

Az ilyen típusú képleteket matematikai indukció segítségével lehet igazolni. Ez két lépést tartalmaz. El˝oször elfogadjuk, hogy a képlet n-re érvényes, és belátjuk, hogy akkor (n + 1)-re is igaz. A második lépésben pedig explicite bebizonyítjuk a képlet érvényességét n = 1-re. Helyettesítsük hát (9)-ben n-et n + 1-gyel és alakítsuk át (6) segítségével: (n+1) q , p = {q · q n , p} = = q{q n , p} + q n {q, p}. A jobb oldalon használjuk fel (8)-at, amely az adott esetben {q, p} = 1: (n+1) , p = {q · q n , p} = q = q{q n , p} + q n .

www.interkonyv.hu



209

Az indukciós hipotézis szellemében itt most használhatjuk (10)et:

q (n+1) , p = {q · q n , p} = = q{q n , p} + q n =

(11)

= (n + 1)q n . Ez a képlet bizonyítja, hogy ha (10) igaz, igaz marad akkor is, amikor benne n-et n + 1-gyel helyettesítjük. Az indukciós bizonyítás els˝o lépése ezzel befejez˝odött. Csak az maradt hátra, hogy (10) érvényességét n = 1-re igazoljuk. De ebben az esetben (10) {q, p} = 1-re redukálódik, amelyr˝ol tudjuk, hogy igaz. Ezzel a (10) képletet bármilyen n-re bebizonyítottuk. Ezt a képletet más formában is felírhatjuk, és ez messzemen˝o következtetésekre nyújt majd lehet˝oséget. Vegyük észre, hogy nq (n−1) nem más, mint q n deriváltja, ezért d qn . {q , p} = dq n

(12)

Vegyük most q egy tetsz˝oleges F (q) polinomját (vagy akár végtelen hatványsorát). A (12) minden tagra alkalmazható, és a linearitás alapján könnyen beláthatjuk, hogy {F (q), p} =

dF (q) . dq

(13)

Azonban minden sima függvényt tetsz˝oleges pontossággal lehet polinommal közelíteni. Ennek alapján igazolható, hogy (13) érvényes a q bármely függvényére. De még tovább is mehetünk.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

210


Könnyen igazolhatjuk az {F (q, p), pi } =

∂F (q, p) ∂qi

(14)

képlet helyességét is tetsz˝oleges F (q, p) függvényre.

1. Feladat: Bizonyítsuk be (14)-et.

Ezzel a Poisson-zárójel új tulajdonságát ismertük fel: Egy tetsz˝oleges függvény pi -vel képzett PZ-je egyenl˝o a függvény qi szerinti deriváltjával. Ezt beláthatjuk közvetlenül a PZ definíciója alapján is, de meg akartam mutatni, hogy a formális axiómákból is következik. Mi van akkor, ha az F (q, p)-nek qi -vel képezzük a Poissonzárójelét? A válasz kitalálható abból, hogy q és p szimmetrikus szerepet tölt be mindegyik axiómában. Még az el˝ojelet is eltalálhatják: {F (q, p), qi } = −

∂F (q, p) . ∂pi

(15)

2. Feladat: A Hamilton-egyenletek q˙ = {q, H} és p˙ = 1 2 p + {p, H} alakban írhatók. Tegyük fel, hogy H = 2m V (q). Egyedül a PZ-kre vonatkozó axiómák alapján vezessük le ebbol ˝ Newton mozgásegyenletét.

www.interkonyv.hu



211

Az impulzusmomentum A 7. el˝oadásban elmagyaráztam, milyen összefüggés van a forgatási szimmetria és az impulzusmomentum megmaradása között. Röviden felidézem ezt a kapcsolatot az x, y síkban mozgó részecske példáján. A 7. el˝oadás (12) összefüggése szerint az infinitezimális forgatás képlete a következ˝o: δx = fx = − y

(16)

δy = fy = x (a δ-t -ra változtattam). Láttuk, hogy a Lagrange-függvény invariancájához tartozik egy Q = px f x + py f y megmaradó mennyiség, amely az adott esetben az L = xpy − ypx

(17)

impulzusmomentum. Térjünk most át a háromdimenziós térre, amelyben az impulzusmomentum vektorjellegér˝ol már nem feledkezhetünk meg. A (16) egyenlet továbbra is érvényben marad, de a jelentése pontosításra szorul: a rendszer z-tengely körüli elforgatását írja le. Valójában ki kell egészítenünk egy harmadik egyenlettel is, amely kimondja, hogy a z koordináta nem változik, amikor a rendszert a z-tengely körül forgatjuk el:

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

212


δx = fx = − y (18)

δy = fy = x δz = 0.

A (17) sem válik érvénytelenné, csak a bal oldalát mostantól az impulzusmomentum z-komponensével kell azonosítani. A maradék két komponens képletét is könnyu ˝ levezetni, de egyszerubb ˝ kitalálni a koordináták x −→ y, y −→ z, z −→ x ciklikus felcserélése alapján: Lz = xpy − ypx Lx = ypz − zpy Ly = zpx − xpz . mindegyik komponense megmaAhogy számítani lehet rá, az L rad, ha a rendszer invariáns mindegyik tengely körüli forgatással szemben. Foglalkozzunk most néhány olyan Poisson-zárójellel, amelyben az impulzusmomentum jut szerephez. Kezdjük az x, az y és a z Lz -vel képzett PZ-ivel: x, Lz = x, (xpy − ypx ) y, Lz = y, (xpy − ypx ) z, Lz = z, (xpy − ypx ) .

(19)

A jobb oldalakat ki lehet számítani akár a PZ (1) definíciója alapján, akár az axiómák segítségével.

www.interkonyv.hu



213

3. Feladat: Számítsuk ki a (19) jobb oldalait mind a PZ definíciója, mind pedig az axiómák felhasználásával. Segítség: Mindegyik zárójelben keressük azokat a mennyiségeket, amelyeknek az x, y, z koordinátákkal képzett PZ-je különbözik nullától. Az elso˝ kifejezésben például az x-nek a px -szel képzett zárójele nem zérus.

Az eredmény a következ˝o:

x, Lz = −y y, Lz = x z, Lz = 0.

Ha ezeket összevetjük a (18) képlettel, egy érdekes szabályszeru˝ ségre bukkanunk. A koordináták Lz -vel képzett PZ-i (az tényez˝ot leszámítva) visszaadják az illet˝o koordináta megváltozását a z-tengely körüli infinitezimális forgatásnál: x, Lz ∼ δx y, Lz ∼ δy z, Lz ∼ δz, ahol a ∼ fejezi ki azt, hogy „ az -tól eltekintve”. Egyáltalán nem véletlen, hogy egy adott szimmetriához tartozó megmaradó mennyiség segítségével képzett PZ a koordi-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

214


nátáknak pont azzal az infinitezimális megváltozásával arányos, amelyet a szóban forgó szimmetriamuvelet ˝ hoz létre. Ez a nagyon általános szabályszeruség ˝ lehet˝ové teszi a szimmetriák és a megmaradási törvények kapcsolatának megfogalmazását egy újabb néz˝opontból. Miel˝ott azonban erre rátérnénk, vizsgáljunk meg még néhány olyan PZ-t, amely az impulzusmomentumot tartalmazza. Mindenekel˝ott megjegyezzük, hogy a három utolsó egyenletünket a már alkalmazott x −→ y, y −→ z, z −→ x ciklikus helyettesítés segítségével könnyen általánosíthatjuk az többi komponensére. Hat újabb egyenletet kapunk, és elgonL dolkozhatunk rajta, lehet-e valahogy elegánsabb formába önteni o˝ ket. Igen, lehet.

Matematikai közjáték: A Levi–Civita-szimbólum Még egy sok betub˝ ˝ ol álló, de kifejez˝o szimbólum is célszeru˝ lehet, ha lépten-nyomon szükség van rá. Erre jó példa a δij Kronecker-szimbólum. Ebben a fejezetben egy másikról, az ijk Lévi– Civita-szimbólumról – vagy más néven szimbólumról – lesz szó. A Kronecker-szimbólumhoz hasonlóan az i, j, k a háromdimenziós térben x, y, z vagy 1, 2, 3 lehet. A Kronecker-szimbólum két értéket vehet fel, az 1-et vagy a 0-át attól függ˝oen, hogy i = j vagy i = j. Az szimbólum három különböz˝o értékkel rendelkezhet, lehet 0, 1 vagy −1. A hozzárendelési szabály ebben az esetben kissé komplikáltabb, mint a δij -nél. El˝oször is, valahányszor az indexek között vannak egyformák, ijk = 0. Így például 111 és 223 egyaránt zérussal egyenl˝o. Amikor viszont az ijk indexei mind különböznek egymástól, ak-

www.interkonyv.hu



215

kor a szimbólum értéke különbözik nullától. Hat ilyen lehet˝oség van: 123 , 231 , 312 , 213 , 132 és 321 . Az els˝o három értéke 1, a következ˝o háromé −1. Mi a különbség a két eset között? Az egyik lehetséges magyarázat a következ˝o: Helyezzük el az 1, 2, 3 számokat egy körön úgy, mint egy olyan óra lapján, amely csak három órát mutat (ld. az 1. ábrát).

1. ábra: Az 1,2,3 számjegyek cirkuláris elrendezése

Induljunk el bármelyikt˝ol az óramutató járásával megegyez˝o irányban. Attól függ˝oen, hogy melyik számnál kezdjük, az (123), (231), (312) sorozatokat kapjuk. Ha az óramutató járásával ellentétes irányban haladnánk, akkor az (132), (213), (321) sorozatokat kapnánk. A Lévi–Civita-szimbólumra vonatkozó szabály az, hogy az óramutató járásával megegyez˝o sorozatokban ijk = 1, az azzal ellentétes irányú sorozatokban pedig ijk = −1.

Vissza az impulzusmomentumhoz Az szimbólum segítségével tömör formában lehet felírni bármely koordinátának az impulzusmomentum bármely komponensével képzett PZ-jét:

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

216


xi , Lj = ijk xk .

(20)

k

Tegyük fel például, hogy az {y, Lx} zárójelre van szükségünk. Ha az 1, 2, 3 egészeken az x, y, z koordinátákat értjük, akkor a keresett PZ-re a (20)-ból az x2 , L1 = 213 x3 képletet kapjuk. Mivel a 213 az óramutató járásával ellentétes sorozat, ezért 213 = −1 és így

x2 , L1 = −x3 .

Vegyük most a PZ-k egy másik típusát, a pi komponensek komponenseivel képzett zárójeleit. Nem nehéz igazolni, nek az L hogy az szimbólum használata itt is kifizet˝od˝o:

pi , L j = ijk pk . k

Például

px , Lz = −py .

Azt kell észrevenni, hogy a p-k és az L-ek PZ-i pont ugyanolyanok, mint az x-eké és az L-eké. Ez azzal függ össze, hogy a p-k és az x-ek egyformán transzformálódnak a koordináta-rendszer elforgatásakor. A z-tengely körüli forgatásnál például δx ∼ −y, és ennek megfelel˝oen a px variációja −py -nal arányos.

www.interkonyv.hu



217

Ez a felismerés fundamentális jelent˝oségu. ˝ Azt jelenti, hogy ha ki akarjuk számítani egy F mennyiség megváltozását a koordináta-rendszer elforgatása következtében, a választ ennek a mennyiségnek az impulzusmomentummal képzett Poisson-zárójele adja meg. Az i-tengely körüli elforgatásnál például δF = {F, Li }.

(21)

Az impulzusmomentum a forgatás generátora. Kés˝obb még visszatérünk ehhez a témához, a szoros kapcsolathoz a szimmetriatranszformációk, a Poisson-zárójelek és a megmaradó mennyiségek között, de el˝oször érzékeltetni szeretném, mennyire hasznos a Poisson-zárójel a különféle problémák megfogalmazásában és megoldásában.

A rotorok és a precesszió Eddig még nem foglalkoztunk az impulzusmomentum komponenseinek egymás közötti Poisson-zárójeleivel. Bármilyen meny két különböz˝o komnyiség önmagával vett PZ-je zérus, de az L ponenséb˝ol képzett PZ különbözik nullától. Tekintsük az Lx , Ly = (ypz − zpy ), (zpx − xpz ) zárójelet. A PZ-definíciója alapján vagy az axiómák segítségével az

Lx , Ly = Lz

képletre jutunk. Tessék csak megpróbálni!

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

218


Az általános képlet ebb˝ol az x, y, z ciklikus helyettesítésével kapható meg. Itt van szerepe a Lévi–Civita-szimbólumnak:

Li , Lj = ijk Lk .

(22)

k

Ez egy nagyon elegáns képlet, de vajon mire jó? A (22) típusú relációk hatékonyságát illusztrálandó tekintsünk egy kisméretu ˝, gyorsan forgó gömböt az urben. ˝ Nevezzük mondjuk rotornak. A forgástengely minden pillanatban mutat valamerre és egybeesik az impulzusmomentum irányával. Ha a rotor semmilyen küls˝o behatásnak sincs kitéve, akkor az impulzusmomentuma megmarad, és a forgástengely iránya állandó.

2. ábra: A mágneses térrel szöget bezáró rotor

Tegyük most fel, hogy a rotorunk elektromosan töltött. Mivel gyorsan forog, elektromágneshez hasonlóan fog viselkedni, amelynek a pólusai a forgástengelyen helyezkednek el. A dipólus er˝ossége arányos lesz a szögsebességgel, vagy – másképp kifejezve – az impulzusmomentummal. Ez a tény mindaddig nem jár semmilyen következménnyel, amíg a rotort be nem tesszük mágneses térbe. Ez utóbbi esetben az energia tartalmazni egy B

www.interkonyv.hu



219

és a B eltér˝o irányával függ fog egy olyan járulékot, amelyik az L össze (ld. a 2. ábrát). Ez az orientációs energia a két irány által bezárt szög koszinuszával, valamint a vektorok nagyságával, röviden szólva a két vektor skalárszorzatával arányos: · L. H∼B

(23)

Az energiát azért jelöltem H-val, mert – mint várható – megegyezik a rendszer Hamilton-függvényével. Amikor a z-tengelyt a mágneses tér irányával párhuzamos vektor z-komponensével. nak választjuk, akkor H arányos az L Ha a mágneses tér nagyságát, az elektromos töltést, a gömb sugarát és minden más el˝oforduló állandót egyetlen ω szimbólumban foglalunk össze, akkor az orientációs energia a H = ωLz

(24)

alakot ölti. Álljunk meg itt egy pillanatra, és gondoljuk át, mit is csinálunk és hova tartunk. Amikor mágneses tér nincs, akkor a rendszer nyilvánvalóan forgásszimmetrikus abban az értelemben, hogy az energiája nem változik, amikor a rotor forgástengelye más és más irányba mutat. De mágneses tér jelenlétében már ott van valami, amihez képest a forgástengely irányát beállítjuk. A forgásszimmetria ennek következtében megsérült. A (23) és a (24) egyenlet ezzel a forgási aszimmetriával kapcsolatos. De miben áll a hatásuk? A válasz nyilvánvaló: az impulzusmomentum megmaradása megszunik ˝ – ha nincs szimmetria, megmaradási

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

220


törvény se létezik. A forgástengely iránya ennek követleztében id˝oben változni fog, de milyen törvény szerint? Megpróbálhatjuk kitalálni a választ. A rotor az iránytu˝ mutatójához hasonló mágnes, ezért azt várnánk, hogy az impulzusmomentuma a mágneses tér irányába elmozdulva kezdjen el lengeni, mint egy inga. De amikor a forgás nagyon gyors, ez a válasz teljesen hibásnak bizonyul. Valójában az impulzusmomentum iránya a giroszkóphoz hasonlóan precesszálni kezd a mágneses tér körül. (A giroszkóp a gravitációs mez˝o körül precesszálna.) Err˝ol úgy bizonyosodhatunk meg, hogy a mechanika Poisson mozgászárójeles formalizmusa segítségével megkeressük az L egyenletét. El˝oször is emlékeztetünk rá, hogy egy mennyiség id˝oderiváltja a mennyiségnek a Hamilton-függvénnyel képzett PZ-jével komponenseire: egyenl˝o. Alkalmazzuk ezt a szabályt az L L˙ z = Lz , H L˙ x = Lx , H L˙ y = Ly , H . A (24) alapján ez így is írható: L˙ z = ω Lz , Lz L˙ x = ω Lx , Lz L˙ y = ω Ly , Lz . Most már láthatjuk, mire megy ki a játék. Még ha semmit se tu-

www.interkonyv.hu



221

dunk arról, milyen anyagból van a rotor, hogyan oszlik el rajta a töltés, vagy hány részecskéb˝ol áll, akkor is meg tudjuk oldani komponensei közötti PZ-ket. Vea feladatot, mert ismerjük az L gyük el˝oször L˙ z -t. Mivel ez az id˝oderivált az Lz önmagával vett PZ-jével egyenl˝o, ezért L˙ z = 0. z-komponense id˝oben állandó. Ebb˝ol rögtön látszik, hogy Az L irányán áthaladó ingamozgásról. szó se lehet a B Használjuk fel most (22)-t az L˙ x és az L˙ y kiszámításához: L˙ x = −ωLy L˙ y = ωLx . Ez pontosan ugyanaz az egyenlet, amely egy vektor ω szögse precesszál a bességu˝ forgását írja le az x, y síkban. Vagyis az L mágneses tér iránya körül. A Poisson-zárójelezés mágikus technikájával meg tudtuk oldani a feladatot úgy, hogy szinte semmi ·L mást se tudtunk azon kívül, hogy a Hamilton-függvény a B skalárszorzattal arányos.

Szimmetria és megmaradási törvény Menjünk vissza a (21) egyenlethez, amelynek az a jelentése, hogy egy mennyiség forgatás hatására bekövetkez˝o variációja arányos ennek a mennyiségnek az Li -vel képzett PZ-jével. Mi több, Li maga nem más, mint az a mennyiség, amely a forgással szembeni invariancia következtében megmarad. Ez elég érdekes összefüg-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

222


gés, és az ember szeretné tudni, mennyire általános. Mutatnék még néhány hasonló esetet. Tekintsünk egy egyenesen mozgó részecskét. Transzlációs invariancia fennállása esetén a p impulzus megmarad. Írjuk fel ezután egy tetsz˝oleges x-függvény p-vel képzett PZ-jét: {F (x), p} =

dF . dx

Mekkorát változik F (x) egy távolságra történ˝o transzlációnál? A válasz: δF =

dF , dx

vagyis

δF = {F (x), p}. Még egy példa: Ha a rendszer invariáns az id˝obeli transzlációval szemben, akkor a Hamilton-függvény megmarad. És mivel arányos egy mennyiség megváltozása ennél a transzlációnál? Könnyu˝ kitalálni – az illet˝o mennyiségnek és a H-nak a PZ-jével. Megfogalmazható-e általános formában ez a kapcsolat? Legyen G(p, q) a rendszer koordinátáinak és impulzusainak tetsz˝oleges függvénye. Azért választottam a G betut, ˝ mert ezt a mennyiséget generátornak szándékozom majd nevezni, mivel a fázistér pontjainak kis δqi , δpi elmozdulását generálja. Definíció szerint

www.interkonyv.hu



223

ez az elmozdulás legyen δqi = {qi , G}

(25)

δpi = {pi , G}.

A (25) egyenlet a fázistér infinitezimális transzformációját generálja. Ez a G által generált transzformáció vagy szimmetriája a rendszernek, vagy nem. Mit értünk pontosan azon, hogy szimmetria? Azt, hogy bárhonnan induljunk is el, a transzformáció nem változtat az energián. Vagyis ha a G által generált transzformációnál δH = 0, akkor a transzformáció a rendszer szimmetriája. A szimmetria feltétele ezért a {H, G} = 0

(26)

egyenl˝oség teljesülése18 . De ennek az egyenletnek van egy másik olvasata is! Mivel a két függvény sorrendjének a felcserélésekor

18 A

(26) a

δH = {H, G}

(∗)

képlet következménye, amelynek bal oldalán δH =

∂H ∂H δqi + δpi . ∂q ∂pi i i i

Ez a reláció a fázistérben bármely kis elmozdulásra teljesül. Amikor azonban az elmozdulást G generálja, akkor (25) alapján δqi =

∂G , ∂pi

valamint

δpi = −

∂G . ∂qi

Ha ezeket behelyettesítjük az el˝oz˝o képletbe és felhasználjuk a PZ definícióját, akkor valóban a (∗) képletre jutunk, amely nemcsak H-ra, hanem bármely fázistérfüggvényre érvényes. – (A fordító)

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

224


a PZ csupán el˝ojelet vált, ezért (26) így is írható: {G, H} = 0,

(27)

ez az egyenlet pedig pontosan a G megmaradásának a feltétele. Ugyanaz a Poisson-zárójel, amely megmondja, hogyan változik H a G által generált transzformációnál, választ ad arra a kérdésre is, hogyan változik id˝oben G.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

11. eloadás: ˝ Elektromos és mágneses erok ˝

Állandóan a kabátzsebében tart egy mágnest. Lenyu ˝ gözi a látvány, ahogy fémtárgyakat vonz magához, és körbe-körbe lehet forgatni vele az iránytut ˝ a világ minden égtája felé. Miféle mágikus er˝ovel rendelkezik ez a patkó alakú vasdarab? Bármi legyen is ez az er˝o, Lenny sohase unt rá kedvenc játékszerére. Azt azonban nem tudta, hogy a Föld maga is egy mágnes. És azt sem, hogy a Föld mágneses ereje oltalmazza meg a Napból érkez˝o halálos sugárzástól azzal, hogy a töltött részecskék mozgásirányát elhajlítva biztonságos pályára állítja o˝ ket. Minderr˝ol Lennynek egyel˝ore fogalma sincsen. – Mesélj nekem a mágnesekr˝ol, George!

Vektormezok ˝ A matematikai fizikában mez˝on a térnek és az id˝onek egy függvényét értjük, amely többnyire egy pontról pontra és id˝opontról id˝opontra változó mennyiséget ír le. A meteorológiában a lokális h˝omérséklet és légnyomás egy-egy példa az ilyen mez˝ore. Mivel a h˝omérséklet változik, értelmes dolog a hely és az 225 www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

226


id˝o T (x, y, z, t) függvényének vagy az egyszeruség ˝ kedvéért egy T (x, t) függvénynek tekinteni. Nyilvánvaló, hogy a h˝omérséklet és a nyomás egyike se vektormez˝o, mert nincsen se irányuk, se komponenseik a különböz˝o irányokban. A h˝omérséklet y komponense fel˝ol kérdez˝osködni értelmetlen dolog. Az olyan mez˝ot, amely a tér minden pontjában egy szám, skalármez˝onek hívjuk. A h˝omérsékleti mez˝o ilyen skalár. De vannak vektormez˝ok is, mint például a lokális szélirány, amelyeknek van nagysága, iránya és három komponense. Leírhatjuk o˝ ket vektoralakban, mint v (x, y, z, t), vagy a vi (x, y, z, t) komponensekkel. Az elektromos és a mágneses mez˝o, amelyeket töltések illetve áramok hoznak létre, szintén vektormez˝o. Mivel a mez˝ok a térben változnak, differenciálás segítségével újabb mez˝ok képezhet˝ok bel˝olük. Például a h˝omérséklet há∂T ∂T ∂T rom , , parciális deriváltja egyetlen vektormez˝onek, a ∂x ∂y ∂z h˝omérséklet gradiensének a komponensei. Amikor a h˝omérséklet északról dél felé haladva n˝o a leggyorsabban (tehát gyorsabban, mint például délkelet felé haladva), akkor a gradiensvektor dél felé mutat. Foglalkozzunk most röviden azokkal az eljárásokkal, amelyeket akkor alkalmazunk, amikor differenciálás segítségével a régiekb˝ol új mez˝oket hozunk létre.

Matematikai közjáték: a nabla Kezdjük azzal, hogy konstruálunk egy álvektort, a nablát, ame . A komponensei nem számok, hanem lyet így fogunk jelölni: ∇ a parciális deriválás szimbólumai:

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó Elektromos és mágneses er˝ok

227

x ≡ ∂ ∇ ∂x y ≡ ∂ ∇ ∂y z ≡ ∂ . ∇ ∂z

(1)

Els˝o ránézésre ezek az egyenletek értelmetlennek látszanak, hiszen a vektorkomponensek számok, nem pedig deriválások. És különben is egy deriválási szimbólum semmit se jelent mindaddig, amíg nem mondjuk meg, mi az, amit deriválni kell. A hely sohase fordul el˝o önmagában, a d -hez zet azonban az, hogy ∇ dx hasonlóan mindig hatnia kell valamire. Kell ott lennie valami hathat péllyen függvénynek, amit differenciálni akarunk. A ∇ T dául a h˝omérsékletre. A ∇ x T ≡ ∂T ∇ ∂x ∂T ∇y T ≡ ∂y ∂T zT ≡ ∇ ∂z komponensei pedig már egy valódi vektormez˝onek – a h˝omérséklet gradiensének – a komponensei. Ezzel az eljárással képezhetjük bármilyen skalármez˝o gradiensét. Definiáljuk most egy vektrormez˝o divergenciáját. Ezt két vek ·A = Vx Ax + Vy Ay + Vz Az skalárszorzatának a mintájára tor V képezzük, amely egy skalár. Egy vektormez˝o divergenciája ily y, z). Az módon skalármez˝o lesz. Legyen a vektormez˝onk A(x, és az A · A-t divergenciáján a ∇ skalárszorzatát – vagyis a ∇ A

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

228


– értjük. Ez utóbbi szimbólum pontos jelentését a skalárszorzás muvelete ˝ határozza meg: ·A = ∂Ax + ∂Ay + ∂Az . ∇ ∂x ∂y ∂z

(2)

és az A vektorszorzatát, amely vektormenyVegyük most a V nyiség. A vektorszorzat komponensei a következ˝ok:

×A = Vy Az − Vz Ay V x V × A = Vz Ax − Vx Az y = Vx Ay − Vy Ax . V × A z

A Lévi–Civita-szimbólum segítségével ezek a komponensek a

×A V

i

=

k

ijk Vj Ak

(3)

j

tömör formában is felírhatók.

1. Feladat: Igazoljuk a (3) egyenletet. Bizonyítsuk be azt . ijk V × A is, hogy Vi Aj − Vj Ai = k

k

álvektorunkkal: Helyettesítsük most a (3)-ban V -t a ∇ ∂Ak ×A = ijk . ∇ ∂xj i j k

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

229

Elektromos és mágneses er˝ok

A képletet komponensekre bontva a következ˝ot kapjuk: ×A = ∂Az − ∇ ∂y x ×A = ∂Ax − ∇ ∂z y ∂A y ×A = − ∇ ∂x z

∂Ay ∂z ∂Az ∂x ∂Ax . ∂y

y, z) vektormez˝oItt most az történt, hogy kiindultunk egy A(x, b˝ol, amelyb˝ol speciális módon elvégzett differenciálások segítsé ×A vektormez˝ot képeztünk, amelyet az A rotácigével egy új ∇ ójának neveznek. Most kimondunk egy matematikai tételt, amelynek bizonyítása néhány másodpercet vesz igénybe: a vektorszorzás olyan vektort definiál, amely mindig mer˝oleges a vektorszorzat mind ×A -ra is érvényes, ezért egy tetsz˝oleges két tényez˝ojére. Ez [∇ y, z) vektormez˝o rotációja mindig divergenciamentes: A(x, · ∇ ×A = 0. ∇ A következ˝o tételt szintén nem nehéz belátni. Legyen az E vektormez˝o a V skalármez˝o gradiense: V (x, y, z). E(x, y, z) = ∇ rotációja nulla: Akkor az E × ∇ V = 0. ∇

www.interkonyv.hu

(4)


© Typotex Kiadó

230


2. Feladat: Bizonyítsuk be (4)-et!

Mágneses mezok ˝ A mágneses mez˝ok vektormez˝ok, amelyeket B(x, y, z)-vel szokás jelölni. Nem akármilyen vektormez˝o lehet mágneses mez˝o. A mágneses mez˝oknek ugyanis van egy egészen alapvet˝o tulajdonságuk: A divergenciájuk mindig nullával egyenl˝o. Ebb˝ol következik, hogy minden mágneses mez˝o kifejezhet˝o egy segédsze vektormez˝o rotációjaként, amelyet vektorpotenciálrepet játszó A nak hívnak: × A. =∇ B

(5)

Komponensenként felírva ez az egyenlet a következ˝o: ∂Ay ∂Az − ∂y ∂z ∂Az ∂Ax − By = ∂z ∂x ∂Ax ∂Ay Bz = − . ∂x ∂y

Bx =

(6)

A vektorpotenciál státusza elég különös. Nem tekinthet˝o ugyanolyan mértékben valóságosnak, mint a mágneses vagy az elektromos mez˝o. Az egyedüli meghatározó tulajdonsága az, hogy a rotációja egyenl˝o a mágneses mez˝ovel. A mágneses és az elektromos mez˝o olyan entitások, amelyek jelenléte lokálisan érzékelhet˝o. Vagyis ha tudni szeretnénk, hogy a tér egy kis tartományában van-e elektromos vagy mágneses mez˝o, err˝ol meg le-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

231


het gy˝oz˝odni a tartományon belül végzett kísérlet segítségével. A kísérlet rendszerint abban áll, hogy megvizsgáljuk, hat-e ebben a tartományban er˝o a töltött részecskékre. A vektorpotenciált azonban nem lehet lokálisan kimutatni. A mágneses mez˝o ugyanis, amelyet leír, nem határozza meg o˝ t egyértelmuen. ˝ Te valamilyen vektorpotenciál segítségével adjuk gyük fel, hogy B-t meg az (5) egyenlet alapján. Az A-hoz azonban mindig hozzá lehet adni egy skalármez˝o gradiensét anélkül, hogy ezzel meg Ennek az az oka, hogy egy gradiens rotációja változtatnánk B-t. mindig zérus. Ezért ha két különböz˝o vektorpotenciál között az s = A +∇ A kapcsolat áll fenn, akkor ugyanazt a mágneses mez˝ot állítják el˝o, és ennek következtében nem létezik olyan kísérlet, amelyre alapozva különbséget lehetne tenni közöttük. A vektorpotenciáléhoz hasonló többértelmuséggel ˝ mindig találkozunk, amikor egy mennyiséget a deriváltján keresztül definiálunk. Emlékezzünk rá például, hogy egy rendszerben ható er˝o a potenciális energia negatív gradiensével egyenl˝o: U (x, y, z). F (x, y, z) = −∇ A potenciális energiát ez a reláció azonban nem határozza meg egyértelmuen, ˝ mert mindig hozzá lehet adni egy állandót az er˝o megváltoztatása nélkül. Ez azért nem okoz gondot, mert csak az er˝ot lehet közvetlenül mérni, a potenciális energiát magát nem. Ez nagyon hasonló helyzet a vektorpotenciáléhoz, valójában pont is potenciálnak. ezért hívjuk az A-t

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

232


Nézzünk egy példát a mágneses mez˝ore és a hozzá tartozó vektorpotenciálra. A legegyszerubb ˝ eset a homogén mágneses mez˝o, amely mondjuk z irányba mutat: Bx = 0 By = 0

(7)

Bz = b, ahol b a térer˝osséget meghatározó szám. Definiáljuk most a vektorpotenciált így:

Ax = 0 Ay = bx

(8)

Az = 0. ∂Ay = b tag külön∂x bözik nullától. Ennek következtében a mágneses mez˝onek valóAmikor ennek a rotációját számítjuk, csak a

ban csak z komponense van, és ez b-vel egyenl˝o. De van a (8) egyenletnek egy furcsa tulajdonsága. A homogén mágneses mez˝o teljesen szimmetrikus az x, y síkban történ˝o forgatásokkal szemben, a vetorpotenciálra azonban ilyen szimmetria nem áll fenn, mert csak y komponense van. Azonban mó vektorpotenciált, amely vidunkban áll választani egy másik A szont kizárólag x komponenssel rendelkezik, mégis ugyanazt a mágneses mez˝ot határozza meg: Ax = −by Ay = 0 Az

www.interkonyv.hu

(9)

= 0.


© Typotex Kiadó

233


3. Feladat: Mutassuk meg, hogy (8) és (9) ugyanazt a mágneses mezot ˝ határozza meg. Ez annyit jelent, hogy csak egy gradiensben különböznek egymástól. Keressük meg azt a skalármezot, ˝ amelynek a gradiensét (8)-hoz hozzáadva (9)-et kapjuk eredményül. Azt a muveletet, ˝ amelynek során egy vektorpotenciált úgy változtatunk meg, hogy a hozzá tartozó mágneses mez˝o eközben maradjon ugyanaz, mértéktranszformációnak hívjuk. Az elnevezésnek történeti oka van. Egy id˝oben ugyanis tévesen úgy gondolták, hogy ez a transzformáció azzal függ össze, hogy a tér különböz˝o pontjaiban a hosszúság mértékegységét lehet különböz˝oképpen választani. De ha a vektorpotenciál többértelmu, ˝ a mágneses mez˝o viszont egyértelmuen ˝ meghatározott, akkor mi szükség van egyáltalán vektorpotenciálra? A magyarázat az, hogy a mágneses mez˝oben mozgó töltött részecskék mechanikáját csak a vektorpotenciál segítségével lehet hatáselv alapján, Lagrange- és Hamilton-függvény, valamint Poisson-zárójelek felhasználásával megfogalmazni. A fizika tényei mértékinvariánsak, de a formalizmus határozott mérték (vagyis egy konkrét vektorpotenciál) megválasztását követeli.

A töltött részecskére ható ero˝ Az elektromosan töltött részecskékre hatást gyakorol mind az elektromos, mind pedig a B mágneses mez˝o. Az elektromos E

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

234


mez˝o hatása egyszeru, ˝ olyan típusú, amellyel korábban már találkoztunk, mert a potenciális energia gradiensével arányos. Az elektromos mez˝o nyelvén megfogalmazva F = eE, ahol e a részecske töltése. Az elektromágnesség elméletéb˝ol következik, hogy egy sztatikus (az id˝ot˝ol nem függ˝o) elektromos mez˝o rotációja zérus, ezért felírható egy függvény gradienseként. A szokásos jelölésben V, = −∇ E ezért az er˝o képletét V F = −e∇ alakban is fel lehet írni. A potenciális energia maga eV -vel egyenl˝o, és így minden a lehet˝o legkonvencionálisabb. A töltött részecskékre ható mágneses er˝ok nem ilyenek és kissé komplikáltabbak. Nemcsak attól függnek, hogy a részecske pillanatnyi helyén milyen a mágneses mez˝o, hanem a részecske sebességét˝ol is. Az ilyen típusú er˝oket sebességfügg˝onek nevezzük. A töltött részecskére ható mágneses er˝ot Lorentz-er˝onek hívjuk H. A. Lorentz holland fizikus tiszteletére, aki el˝oször írta fel a képletét. Az er˝oképletben ott van a részecske sebességvektora és a c fénysebesség is19 :

e F = v × B. c

(10)

19 Ez csak a CGS egységrendszerben van így. SI-ben az e-t nem kell c-vel osztani a Lorentz-er˝o képletében. – (A fordító)

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

235


Figyeljük meg, hogy a Lorentz-er˝o mer˝oleges mind a sebesség, mind pedig a mágneses mez˝o irányára. Ha a (10) er˝ot beírjuk az F = ma Newton-egyenletbe, megkapjuk a töltött részecske mágneses mez˝oben érvényes mozgásegyenletét: e ma = v × B. c

(11)

Nem a Lorentz-er˝o az els˝o sebességfügg˝o er˝o, amellyel dolgunk akad. Emlékeztetek rá, hogy forgó vonatkoztatási rendszerben két ilyen tulajdonságú úgynevezett fiktív er˝o is fellép: a centrifugális er˝o és (a mi szempontunkból most érdekesebb) F = 2mv × ω

(12)

Coriolis-er˝o, amelyben ω a forgó vonatkoztatási rendszer szögsebességvektora20 . A Coriolis-er˝o és a Lorentz-er˝o nagyon hasonlít egymáshoz, azt a szerepet, amelyet az egyikben a szögsebesség tölt be, a másikban a mágneses mez˝o játssza. Az persze igaz, hogy nem minden mágneses mez˝o homogén, ezért a mágneses esetben el˝oforduló szituációk a Coriolis-er˝onél sokkal komplexebbek lehetnek.

A Lagrange-függvény Felvet˝odik a természetes kérdés, hogy a mechanikai hatáselv vagy Lagrange-függvény milyen alakja alkalmas a mágneses er˝ok ki20 Nem nehéz belátni, hogy ez a vektorszorzatos alak egyenértéku ˝ a Corioliser˝onek azzal a képletével, amelyet a 6. el˝oadásban vezettünk le. – (A fordító)

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

236


fejezésére. Zavart okozhat, hogy a hatást is, a vektorpotenciált is A-val szokás jelölni. Ezt elkerülend˝o, a hatásra továbbra is fenntartjuk az A kalligrafikus betutípust, ˝ míg a vektorpotenciált egyszeruen ˝ A-val (pontosabban A-val és az Ai komponensekkel) jelöljük. Feledkezzünk el az elektromos mez˝or˝ol (vagy tekintsük nullának) és koncentráljunk a Lorentz-er˝ore. Írjuk fel a hatást el˝oször szabad részecskére, amelyre semmilyen er˝o sem hat21 :

A= Itt L=

t1

L x, x˙ dt.

t0

m 2 x˙ i , 2 i

amelyben az i az x, y, z térbeli irányt jelzi. Mit kell hozzáadni ehhez a hatáshoz vagy Lagrange-függvényhez, hogy a mozgásegyenletben megjelenjen a Lorentz-er˝o? A válasz egyáltalán nem nyilvánvaló. Csupán annyit lehet tudni, hogy az, amit hozzáadunk, biztosan arányos az elektromos töltéssel és valamilyen formában tartalmazza a mágneses mez˝ot. Lehet próbálkozni, de hiábavaló. Nem fogunk találni olyan új tartalmazza és a Lorentz-er˝ore vezet. A tagot, amely magát a B-t megoldás kulcsa a vektorpotenciál. A legegyszerubb, ˝ amit vele tehetünk az, hogy skalárisan szorozzuk a sebességgel. Ne felejtsük el, hogy a Lagrange-függvény csak a helyt˝ol és a sebességt˝ol függhet. Meg lehet próbálni a helyvektort szorozni skalárisan Aval, de ebb˝ol nem jön ki semmi használható dolog. Nézzük hát 21 Az L argumentumában x és x ˙ az összes lehetséges koordinátát és sebességet szimbolizálja. – (A fordító)

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

237


meg mi történik, ha a Lagrange-függvényhez az e e v · A(x) = x˙ i Ai (x) c c i

(13)

tagot adjuk hozzá. Az e/c tört beiktatását az indokolja, hogy ez az arány fordul el˝o a Lorentz-er˝oben. Próbálkozzunk tehát a hatásnak ezzel a kifejezésével:

A=

t1 t0

m 2 e x˙ i + x˙ i · Ai (x) dt. 2 c i

(14)

Fel lehet hozni ez ellen az alak ellen, hogy a mozgásegyenlet nem a vektorpotenciált, hanem a mágneses mez˝ot tartalmazza. Mint már tudjuk, a vektorpotenciál nem is egyértelmu. ˝ Nem =A + ∇ s vektorfordulhat-e el˝o, hogy a mértéktranszformált A potenciált tartalmazó hatás más mozgásegyenletre fog vezetni, mint az eredeti (14)? Nézzük hát meg, mi történik a hatással, amikor a benne szerepl˝o vektorpotenciált mértéktranszformációnak vetjük alá. Ebb˝ol a szempontból a hatásnak a (13)-ból származó része releváns:

e AL = c

t1

t0

x˙ i · Ai (x) dt,

i

amelyet átírhatunk így: e AL = c

www.interkonyv.hu

t1

t0

i

dxi dt. Ai (x) dt


© Typotex Kiadó

238


A hatáson az L alsó index jelzi, hogy ett˝ol a tagtól várjuk a Lorentz er˝o megjelenését a mozgásegyenletben. Adjuk most hozzá A-hoz s gradienst. Els˝o ránézésre ezzel megváltoztatjuk AL -t, mert a∇ az e c

t1

t0

i

! ∂s dxi dt ∂xi dt

új tag adódik hozzá. De ha jobban megnézzük, ez a tag nagyon egyszeru˝ alakra hozható. Az integrandus két dt-je kiejti egymást: e c

t1

t0

i

! ∂s dxi , ∂xi

és ennek következtében az egész kifejezés nem más, mint az s két értékének, s1 -nek és s0 -nak a különbsége a trajektória végpontjában és kezd˝opontjában. A mértéktranszformáció eredménye ily módon csupán annyi, hogy a hatáshoz hozzáadja az s1 − s0

(15)

különbséget. Okozhat-e ez változást a mozgásegyenletben? Emlékezzünk csak vissza, mit is fejez ki a hatáselv. A térben és id˝oben adva van az x0 , t0 valamint az x1 , t1 pont. Ezeket végtelen sok lehetséges trajektória köti össze, de ezek közül csak az egyik az igazi. Ezt az igazi, megvalósuló trajektóriát az összes közül az választja ki, hogy ez minimalizálja – vagy teszi stacionérré – a hatást. Amit tehát csinálunk az, hogy sorra vesszük az összes trajektóriát a két adott pont között, amíg meg nem találjuk közülük azt az egyet – a valódi trajektóriát –, amelyre nézve a hatás sta-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

239


cionér. Ebb˝ol az elvb˝ol származtattuk le az Euler–Lagrange-féle mozgásegyenletet. A (15) képlet mutatja, hogy a mértéktranszformáció ugyan okoz változást a hatás képletében, de ez a változás olyan, hogy nem befolyásolja a hatás rögzített végpontokhoz tartozó variációit. Márpedig a hatás stacionaritását biztosító trajektóriát a rögzített végponthoz tartozó trajektóriák közül választjuk ki. A hatás tehát változik, de a mozgásegyenlet és a megoldása marad a régi. Ezt a tényt röviden úgy fejezzük ki, hogy a mozgásegyenletek és megoldásaik mértékinvariánsak. Még egy megjegyzés a szóhasználatról. Mivel ugyanazt a fizikai szituációt sok különböz˝o vektorpotenciállal is le lehet írni, a vektorpotenciál speciális választását egyszeruen ˝ egy bizonyos mértéknek nevezzük. A (8) és a (9) például két különböz˝o mértékben írja le ugyanazt a homogén mágneses mez˝ot. Azt a fizikai elvet, amely szerint egyetlen kísérlet eredménye se függhet a mértékválasztástól, mértékinvarianciának hívják.

A mozgásegyenletek Térjünk vissza a hatás (14) képletéhez és írjuk ki a Lagrangefüggvényt teljesen explicit formában: L=

e m 2 x˙ + y˙ 2 + z˙ 2 + xA ˙ x + yA ˙ y + zA ˙ z . 2 c

(16)

Az x koordinátához tartozó Lagrange-egyenlet a következ˝o:

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

240


p˙ x =

∂L . ∂x

(17)

Foglalkozzunk a kanonikus impulzusokkal. Azt gondolhatnák, hogy mint eddig, a tömeg és a sebesség szorzatával egyenl˝ok, de nem így van. A korrekt definíciójuk a Lagrange-függvény deriváltja a sebesség megfelel˝o komponense szerint. Ez a szabály a legtöbb esetben a px = mx˙ képletre vezet, de a mágneses térben mozgó részecskénél nem ez a helyzet. A (16) Lagrangefüggvényb˝ol ehelyett a e px = mx˙ + Ax c

(18)

kifejezést kapjuk az impulzus x-komponensére. Ez aggodalomra adhat okot, hiszen az következik bel˝ole, hogy az impulzus nem mértékinvariáns. Ez így igaz, de még nem vagyunk a végén. Még két dolgot kell tennünk. Ki kell számítanunk px id˝oderiváltját, valamint a (17) jobb oldalát. Ha szerencsénk van, a mértékfügg˝o járulékok ki fognak esni az egyenletb˝ol. A (17) bal oldala a következ˝o: e d Ax = c dt ∂Ax ∂Ax e ∂Ax x˙ + y˙ + z˙ , = max + c ∂x ∂y ∂z

p˙ x = max +

ahol ax a gyorsulás x komponense.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

241


A (17) jobb oldala pedig ez: ∂L e = ∂x c

∂Ax ∂Ay ∂Az x˙ + y˙ + z˙ . ∂x ∂x ∂x

Ha ezeket a kifejezéseket (17)-be helyettesítjük, átrendezés után az alábbi egyenletre jutunk: max =

e c

∂Ay ∂Ax − ∂x ∂y

y˙ +

e c

∂Az ∂Ax − ∂x ∂z

y. ˙

(19)

Ez nagyon bonyolultnak néz ki, de vegyük észre, hogy a deriváltakból képzett ∂Ay ∂Ax − ∂x ∂y és

∂Ax ∂Az − ∂z ∂x

kombinációkkal a (6) egyenletben már találkoztunk: Ezek a mágneses mez˝o z és y komponensei. Ennek következtében (19) az max =

e Bz y˙ − By z˙ c

(20)

nagyon egyszeru˝ alakot ölti. Vizsgáljuk meg ezt az egyenletet gondosan, mert van néhány igen figyelemreméltó tulajdonsága. Mindenekel˝ott az egyenlet mértékinvariáns, mert a vektorpotenciál eltunt ˝ bel˝ole és átadta a helyét a mágneses mez˝onek. A bal oldalon a Newton-egyenlet bal oldalán álló tömegszer gyorsulás kifejezést találjuk. Valójában a (20) nem más, mint a (11) Newton–Lorentz-egyenlet.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

242


Megismételhetjük a korábban egyszer már feltett kérdésünket: Egyáltalán miért ragaszkodunk a vektorpotenciálhoz? Miért nem elégszünk meg a mértékinvariáns Newton–Lorentz-egyenlettel? A válasz az, hogy megtehetnénk, de ezzel elveszítenénk azt a lehet˝oséget, hogy a mozgásegyenletet hatáselv vagy Hamilton-egyenlet alakjában írjuk fel. A klasszikus elmélet számára ez nem jelentene feltétlenül tragédiát, de katasztrofális következménnyel járna a kvantumelméletre nézve.

A Hamilton-függvény Miel˝ott még foglalkozni kezdenénk a mágneses mez˝oben mozgó töltés Hamilton-függvényével, térjünk vissza egy pillanatra a részecskék inpulzusának a kérdésére. Zavarónak találhatják ugyanis, hogy két ilyen nevu˝ fogalom is létezik: a mechanikai impulzus és a kanonikus impulzus. A mechanikai impulzus az, amir˝ol az elemi mechanikában tanulunk (impulzus egyenl˝o tömegszer sebesség), míg a kanonikus impulzussal (a kanonikus impulzus a Lagrange-függvény sebesség szerinti deriváltja) a haladó mechanikakurzusban találkozunk. A legegyszerubb ˝ esetben, amikor a Lagrangefüggvény a kinetikus és a potenciális energia különbsége, a két 1 impulzus között nincs különbség, mert a sebesség csak az mv 2 2 kinetikus energiában fordul el˝o. De amikor a Lagrange-függvény ennél bonyolultabb, a kétfajta impulzus különbözhet egymástól. Erre példa a (18) egyenlet, amely szerint a kanonikus impulzus a mechanikai impulzusnak és egy vektorpotenciállal arányos tagnak az összege. Vektor-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

243


jelölésben ezt így lehet felírni: e p = mv + A(x). c

(21)

A mechanikai impulzus nemcsak jó ismer˝osünk, hanem mértékinvariáns is. Mivel közvetlenül megfigyelhet˝o, ezért – ebben az értelemben – „ reális”. A kanonikus impulzus szokatlanabb és kevésbé „ reális”, mert mértéktranszformációval megváltoztatható. De akár reális akár nem, szükségünk van rá, ha a töltött részecskék mechanikáját lagrange-i vagy hamiltoni nyelven akarjuk megfogalmazni. A Hamilton-függvényre a H=

pi q˙i − L

i

definíció alapján lehet áttérni. Az adott esetben

H=

" i

# m e 2 x˙ + x˙ i · Ai (x) . pi x˙ i − 2 c

(22)

Hamilton-függvényr˝ol lévén szó mindenekel˝ott meg kell szabadulnunk a sebességekt˝ol, mert a Hamilton-függvény a definíciója szerint a koordinátáktól és az impulzusoktól függ. Ezt könnyen megtehetjük: Meg kell oldanunk (21)-et a sebességre nézve: x˙ i =

e 1 pi − Ai (x) . m c

(23)

Most a (22)-ben minden sebességkomponens helyébe a (23) kife-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

244


jezést írjuk, majd némileg átrendezzük a kapott képletet: H=

2 1 e pi − Ai (x) . 2m c i

(24)

4. Feladat: A (24) Hamilton-függvény alapján származtassuk le a Hamilton-egyenleteket és bizonyosodjunk meg róla, hogy azonosak a Newton–Lorentz-egyenlettel.

Ha a (24)-et jobban megnézzük, rájövünk, hogy nem is olyan e meglep˝o. A pi − Ai (x) kombináció az mvi mechanikai impulc zussal egyenl˝o, ezért a Hamilton-függvény nem más, mint H=

1 mv 2 . 2

A számszeru˝ értékét tekintve tehát a Hamilton-függvény maga a naiv mozgási energia. Ebb˝ol (egyebek között) az is következik, hogy az energia mértékinvariáns. Mivel pedig megmaradó mennyiség, a naiv mozgási energia is az (feltéve, hogy a mágneses mez˝o id˝oben állandó). De ez korántsem jelenti, hogy a mágneses mez˝o nem hat a töltés mozgására. Ha a Hamiltonfüggvény alapján vizsgáljuk a mozgást, a sebesség helyett a kanonikus impulzuson keresztül kell kifejezni, ezután pedig fel kell írni a Hamilton-egyenleteket. De dolgozhatunk a sebességgel is, ha az egyenletek Euler–Lagrange-formáját használjuk. A Lagrange-függvény azonban már nem egyenl˝o egyszeruen ˝ a naiv moz-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

245


gási energiával. Akármelyik utat válasszuk is, a végén az derül ki, hogy a töltés a mértékinvariáns Lorentz-er˝o hatása alatt mozog.

Mozgás homogén mágneses mezoben ˝ Homogén mágneses mez˝o esetében az egyenletek elég egyszeruen ˝ megoldhatók, és a megoldás jól illusztrálja azokat az elveket, amelyekr˝ol szó volt. A mez˝o iránya essen egybe a z-tengelylyel, a nagysága pedig legyen b. A (8) és a (9) közötti választás lehet˝osége a mértéktranszformációval összefügg˝o többértelmuséggel ˝ kapcsolatos. Válasszuk el˝oször a (8)-at, vagyis a (24) Hamilton-függvényben legyen Ax = Az = 0 és Ay = bx: 2 1 e (px )2 + py − bx + (pz )2 . H= 2m c Mint mindig, most is azzal kell kezdenünk, hogy tisztázzuk, milyen megmaradási törvények érvényesek. Egyr˝ol már tudunk: Ez az energiamegmaradás. Azt is tudjuk már, hogy az energia a 1 régi vágású mv 2 kinetikus energiával egyenl˝o. Ebb˝ol követke2 zik, hogy a sebesség abszolút értéke állandó. Vegyük észre ezután, hogy a H-ban csak az x koordináta fordul el˝o explicit módon. A Hamilton-egyenletekb˝ol ezért azt fogjuk találni, hogy a py is, a pz is megmarad, és csak px változik. Mi következik ebb˝ol? El˝oször a z komponenssel foglalkozunk. Mivel Az = 0, ezért pz = mvz . A pz állandósága tehát megszokott módon a sebesség z komponensének az állandóságát fejezi ki.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

246


Vegyük ezután py -t. A py már nem mvy -nal, hanem mvy + e bx-szel egyenl˝o. A py állandóságából ezért az id˝o szerinti diffec renciálással az e may + bvx = 0, c vagy másképpen az ay = −

eb vx mc

(25)

egyenletre jutunk. Figyeljük meg jól, hogy py megmaradásából nem következik a sebesség y komponensének az állandósága. Mi a helyzet px -szel? Nem várjuk, hogy megmaradjon, mert H explicit x-függést tartalmaz. A Hamilton-egyenletek lehet˝ové teszik a gyorsulás x komponensének a megtalálását, de most inkább egy másik utat választok: útközben váltok mértéket, a (8) képlet helyett a (9)-beli vektorpotenciálra térek át. Az új Hamilton-függvény a következ˝o lesz: 1 e 2 2 2 H= px + by + (py ) + (pz ) . 2m c Ez a Hamilton-függvény nem függ x-t˝ol, ezért a px megmarad. Hogy lehet ez? Hiszen az el˝obb éppen azt láttuk, hogy a (8) mértéknél px nem volt megmaradó mennyiség. A magyarázat az, hogy mértéktranszformációnál a p komponensei megváltoznak. A két esetben nem ugyanaz a px értelme. Mi következik px megmaradásából az új mértékben? A (21) e és a (9) alapján px = mvx − by, és ennek a mennyiségnek a c megmaradása az eb vy ax = (26) mc

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

247


egyenletre vezet. Ezután már csak azt kell észrevennünk, hogy a (25), (26) egyenletpárral már találkoztunk, mert a homogén mágneses mez˝oben történ˝o mozgás Newton–Lorentz-egyenleteinek a komponensei. 5. Feladat: Mutassuk meg, hogy a (25) és a (26) megoldása egy tetszoleges ˝ helyzetu˝ origó körüli körmozgás az x, y síkban. Fejezzük ki a kör sugarát a sebességen keresztül.

Mértékinvariancia Azért hagytam a mágneses er˝oket a kurzus végére, mert azt szeretném, hogy emlékezzenek még a tanulságaikra, amikor kés˝obb majd a kvantumelméletr˝ol és a térelméletr˝ol lesz szó. A vektorpotenciált – amely a kés˝obb tárgyalandó mértékterek prototípusa –, valamint a mértékinvarianciát nem szabad csupán viszonylag jelentéktelen technikai segédeszköznek tekinteni a mágneses er˝ok Lagrange-függvényen alapuló tárgyalásához. A mértékterek nyelvén fogalmazhatók meg szinte az egész fizika legfontosabb alapelvei a kvantumelektrodinamikán kezdve az általános relativitáselméletig és még azon túl is. Fontos szerepük van az anyagfizikában is, az olyan laboratóriumi jelenségek magyarázatában, mint például a szupravezetés. Ezt a klasszikus mechanikát tárgyaló el˝oadássorozatot a mértékfogalom áttekintésével zárom, noha ennek az igazi jelent˝osége csak a kés˝obbi el˝oadásokban válik majd világossá.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

248


A mértékterek legegyszerubb ˝ funkciója az, hogy olyan segédeszközök, amelyek valamilyen kényszerfeltétel teljesülését biz tosítják. Egy tetsz˝oleges B(x) vektormez˝o például nem írhat le mágneses mez˝ot, mert minden mágneses mez˝onek ki kell elégítenie azt a kényszerfeltételt, hogy a divergenciája nulla: ·B = 0. ∇ Ezt biztosítandó írjuk fel a mágneses mez˝ot valaminek – az A(x) vektorpotenciálnak – a rotációjaként, mert egy rotáció divergenciája automatikusan eltunik. ˝ Ezzel a trükkel szabadulunk meg attól, hogy B(x) divergenciamentességét állandóan észben kelljen tartanunk. De hamarosan arra is rájövünk, hogy az A(x) nélkül sehogyan se tudnánk meglenni. Vektorpotenciál nélkül nem lehetséges a Lorentz-er˝ot Lagrange-függvényb˝ol származtatni. Kiderült, hogy ez egy általános séma. A modern fizika egyenleteit csak akkor tudjuk lagrange-i vagy hamiltoni formában felírni, ha segédmennyiségként megfelel˝o mértéktereket vezetünk be. Tetszik nem tetszik, más út nincs. Azonban sajnos a mértéktér fogalma meglehet˝osen elvont és nem is szemléletes. A mértékterek nélkülözhetetlenek, mégis változtatni lehet o˝ ket anélkül, hogy ett˝ol a fizikai következményeik megváltoznának. Az ilyen típusú változások a mértéktranszformációk, az a tény pedig, hogy a fizikai jelenségeket ezek nem érintik, a mértékinvariancia. A helyzet tehát elég különös: A mértékterek nem lehetnek „ reálisak”, mivel a mértékinvariáns fizika érzéketlen a mértéktranszformációval történ˝o megváltoztatásuk-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

249


ra. Ugyanakkor azonban lehetetlen nélkülük megfogalmazni a fizika törvényeit. Ezt a feszültséget semmilyen hirtelen megvilágosodás sem képes feloldani. Csak összefoglalni tudom a helyzetet: A fizika törvényei mértéktereket tartalmaznak, a természeti jelenségek ellenben mértékinvariánsak.

Egy idore ˝ búcsúzom A klasszikus mechanika áttekintését befejeztük. Ha követték az el˝oadásokat és emlékeznek is rájuk, akkor rendelkeznek az Elméleti Minimummal, vagyis a klasszikus mechanikából azzal, amire kés˝obb szükségük lesz. Viszlát a kvantummechanika-kurzuson!

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

Függelék: A centrális erok ˝ és a bolygópályák

Lenny görnyedten bandzsít bele a távcs˝o néz˝okéjébe. Korábban még sohase csinált ilyet. Nézi a Szaturnusz gyur ˝ uit ˝ és fütyörészik a gyönyöruségt˝ ˝ ol. – Láttad már a gyur ˝ uket, ˝ George? – Ühüm, persze – bólogat George. Lenny felegyenesedik és faggatni kezdi a barátját. – Honnan kerültek ezek oda? – Ahonnan a Föld is a Nap köré – válaszolja George. Lenny bólogat. – Mit˝ol kering ez az egész?

A centrális ero˝ és a gravitáció A centrális er˝otérben az er˝o a centrum felé mutat – vagyis a tér egy pontja felé (ld. az 1. ábrát). De még az is igaz rá, hogy a centrumtól adott távolságra az er˝o nagysága ugyanakkora minden irányban. Matematikai szempontból a centrális er˝okben nincs semmi különös azon kívül, hogy van egy nyilvánvaló szimmetriájuk, a 251 www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

252


1. ábra: A centrális er˝o

forgási szimmetria. A fizikában és a fizika történetében azonban egészen különleges a szerepük. Az els˝o feladat, amelyet Newton megoldott – a bolygómozgás problémája – a centrális er˝ovel kapcsolatos. Ugyancsak centrális er˝otér probléma az elektron keringése a hidrogénatom magja körül. Amikor egy egyszeru ˝ molekula két atomja egymás körül kering, ez a feladat is visszavezethet˝o centrális er˝ore, amelynek centruma a tömegközépponttal esik egybe. Mivel id˝ohiány miatt erre a témára az el˝oadásokban nem sikerült sort keríteni, ebben a kiegészítésben foglalkozunk vele. A határozottság kedvéért a Föld keringésére fogunk koncentrálni a nála sokkal nagyobb tömegu˝ Nap körül. A Newton-törvények szerint a Nap által a Földre gyakorolt er˝o egyenl˝o és ellentétes irányú a Föld által a Napra gyakorolt er˝ovel. Mi több, mindkét er˝o iránya a két égitestet összeköt˝o egyenessel esik egybe. Mivel a Nap tömege mellett a Föld tömege szinte elhanyagolható, ezért a Nap mozgásától eltekinthetünk, feltehetjük, hogy a térben

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó Függelék – A centrális er˝ok és a bolygópályák

253

fix helyzetu. ˝ A koordináta-rendszerünket célszeru˝ úgy megválasztanunk, hogy az x = y = z = 0 origó a Nap középpontjával essen egybe. A Föld azonban mozog valamilyen pályán az origó körül. Jelöljük a Föld helyzetvektorát r-rel, amelynek a három komponense legyen x, y és z. Mivel a Nap az origóban nyugszik, a Földre ható er˝o az origó felé mutat, ahogy az 1. ábrán látható. Az er˝o nagysága pedig csak az origótól számított r távolságtól függ. Az ilyen tulajdonságú er˝oket – az origó felé mutatnak és a nagyságuk csak a távolságtól függ – centrális er˝oknek hívjuk. Idézzük fel az 1. közjátékban bevezetett rˆ =

r r

egységvektort. A centrális er˝ot általános formában az r F = f (r)ˆ képlet definiálja, amelyben f (r) az er˝o két tulajdonságát tartalmazza. Egyrészt az f (r) abszolút értéke az r távolságban lév˝o Földre ható er˝o nagyságával egyenl˝o, másrészt az f (r) el˝ojele határozza meg, hogy az er˝o a Nap irányába vagy az azzal ellentétes irányba mutat – azaz vonzó vagy taszító. Amikor f (r) pozitív, az er˝o a Naptól elfele mutat (taszító), amikor pedig negatív, akkor a Nap felé irányul (vonzó). A Nap és a Föld között természetesen a gravitációs er˝o hat. Newton általános tömegvonzási törvénye szerint az m1 és az m2 tömegu˝ testek között ható gravitációs er˝o a következ˝o két alap-

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

254


tulajdonsággal rendelkezik: N1: Az er˝o vonzó és arányos a tömegek, valamint egy bizonyos G konstans szorzatával. A G-t gravitációs állandónak hívjuk, és az értéke G ≈ 6.673 m3 kg−1 s−2 . N2: Az er˝o fordítottan arányos a tömegek közötti távolsággal. Képletben kifejezve: Az er˝o vonzó és a nagysága

Gm1 m2 -tel r2

egyenl˝o. Az f (r) függvény tehát a következ˝o: f (r) = − vagyis

Gm1 m2 , r2

Gm1 m2 Fgrav = − rˆ. r2

A Föld–Nap-rendszerre korlátozódva a Nap tömegét M -mel, a Földét m-mel fogjuk jelölni. A Földre ható er˝o ezért GM m Fgrav = − 2 rˆ. r A Föld mozgásegyenlete természetesen a szokásos F = ma, ami a gravitációs esetben a következ˝o:

m

d2r GM m = − 2 rˆ. 2 dt r

Van ennek a képletnek egy érdekes tulajdonsága: A Föld tömegével lehet a két oldalt egyszerusíteni. ˝ A mozgásegyenlet tehát

www.interkonyv.hu



255

független a Föld tömegét˝ol: GM d2r = − 2 rˆ. 2 dt r

(1)

A Földét˝ol nagyon eltér˝o tömegu˝ objektum, például egy urszon˝ da, ugyanolyan pályán keringhet a Nap körül, mint a Föld. De ennek az a feltétele, hogy a Nap tömege legyen sokkal nagyobb a Föld vagy a szonda tömegénél, és ezért a mozgásától el lehessen tekinteni.

A gravitációs potenciális energia A gravitációs er˝ot lehet potenciális energiából származtatni. Emlékeztetünk rá, hogy egy adott potenciális energiához tartozó er˝o a potenciális energia negatív gradiensével egyenl˝o: V. F = −∇ A gravitációs er˝ot leíró V -t nem túl nehéz kitalálni. El˝oször is, mivel az er˝o arányos a GM m konstanssal, ennek a tényez˝onek a potenciális energiában is szerepelnie kell. Mivel továbbá az er˝o csak az r távolságtól függ, várható, hogy a V (r) potenciális energia is egyedül az r függvénye. Végül az er˝o, amely a V (r) differenciálásával kapható meg, 1/r2 -tel arányos, ily módon a potenciális energiának 1/r-rel kell arányosnak lennie. Mindent összevéve a V (r) = −

GM m r

függvénnyel próbálkozva kiderül, hogy ez a helyes formula.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

256


A Föld egy síkban mozog Korábban már említettük, hogy a centrális er˝onek van egy szimmetriája, az origó körüli forgási szimmetria. A 7. el˝oadásban láttuk, hogy ennek a szimmetriának a következtében az impulzusmomentum megmarad. Tegyük fel, hogy egy adott pillanatban a Föld helyzetvektora r, sebessége pedig v . Ezt a két vektort, valamint a Nap középpontját tartalmazó sík a földpálya síkja az adott pillanatban.

impulzusmomentum, az 2. ábra: Az L r helyzetvektor és a v sebességvektor kölcsönös helyzete

impulzusmomentum az r × v vektorszorzattal arányos, Az L ezért mer˝oleges mind az r, mind a v vektorra (ld. a 2. ábrát), vagyis mer˝oleges a pályasíkra. Ennek az észrevételnek a súlya akkor válik igazán világossá, amikor az impulzusmomentum id˝oben állandó. megmaradásával kombináljuk, amely szerint az L Ennek egyenes következménye, hogy a pályasík is változatlan marad. Egyszerubben ˝ szólva, a földpálya és a Nap folyamatosan

www.interkonyv.hu



257

ugyanabban a változatlan helyzetu˝ síkban fekszik. Ennek ismeretében célszeru˝ a koordinátatengelyeket úgy választani, hogy a pályasík essen egybe az x, y síkkal. Az eredetileg háromdimenziós feladat így kétdimenzióssá válik, mert a z koordináta semmilyen szerepet sem játszik benne.

Polárkoordináták Dolgozhatnánk az x, y Descartes-koordinátákkal, de a centrális er˝ovel kapcsolatos feladatokat sokkal könnyebb az r, θ polárkoordinátákban megoldani. A kétfajta koordináta kapcsolata a következ˝o: $ r=

x2 + y 2

cos θ =

x . r

Polarkoordinátákban a Föld mozgási energiájára az elég egyszeru˝ T =

m 2 r˙ + r2 θ˙2 2

(2)

kifejezést kapjuk. A potenciális energia még egyszerubb, ˝ mert egyáltalán nincs benne θ: V (r) = −

www.interkonyv.hu

GM m . r

(3)


© Typotex Kiadó

258


A mozgásegyenletek Mint általában, most is legegyszerubben ˝ a Lagrange-módszerrel lehet a mozgásegyenleteket felírni. Emlékeztetünk rá, hogy a Lagrange-függvény a mozgási és a potenciális energia különbsége: L = T − V . A (2) és a (3) alapján polárkoordinátákban L=

GM m m 2 , r˙ + r2 θ˙2 + 2 r

(4)

a mozgásegyenletek pedig a következ˝ok: d ∂L ∂L = dt ∂ r˙ ∂r ∂L d ∂L . = ˙ dt ∂ θ ∂θ Az L-et ide behelyettesítve kapjuk meg explicit formában a mozgásegyenleteket: GM , r2

(5)

d 2 ˙ mr θ = 0. dt

(6)

r¨ = rθ˙2 −

valamint

Ez utóbbi egyenlet megmaradási törvényt fejez ki; mint várható, az impulzusmomentum megmaradását. (Egészen pontosan az impulzusmomentum z komponensének a megmaradását.) Az impulzusmomentumot L-lel szokás jelölni, de hogy a Lagrange-

www.interkonyv.hu



259

függvénnyel ne lehessen összetéveszteni, inkább a pθ jelölést fogjuk használni. Ha ismerjük pθ értékét egy adott pillanatban akkor minden pillanatban ismerjük. A (6) megoldását ezért írhatjuk mr2 θ˙ = pθ

(7)

alakban, amelyben pθ -t ismert konstansnak tekinthetjük. A szögsebességet most kifejezzük a Nap–Föld-távolságon ke˙ resztül. Ehhez csak meg kell oldani (7)-t θ-ra: pθ θ˙ = . mr2

(8)

Nemsokára visszatérünk ehhez a képlethez, de el˝oször foglalkozzunk az r-re vonatkozó GM m m¨ r = mrθ˙2 − r2

(9)

mozgásegyenlettel. Ebben a szögsebesség szerepel, de (8) alapján ezt helyettesíthetjük az impulzusmomentummal:

m¨ r=

GM m p2θ − . 3 mr r2

(10)

Ennek az r-re vonatkozó egyenletnek van egy érdekes interpretációja: Olyan, mint valamilyen egyedi r koordinátára vonatkozó mozgásegyenlet egy összetett

Feffektív =

www.interkonyv.hu

p2θ GM m − mr3 r2

(11)


© Typotex Kiadó

260


GM m tag maga a gravitációs r2 er˝o, de az els˝o tag megjelenése elég váratlan. Valójában ez nem „ effektív” er˝o hatása alatt. A −

más, mint a fiktív centrifugális er˝o, amely minden olyan részecskére hat, amelyiknek van impulzusmomentuma az origóhoz viszonyítva22 . Kifejezetten hasznos felfogásmód az, ha a (10) egyenletre úgy nézünk rá, mintha egy valóságos egydimenziós mozgás egyenlete lenne a gravitációs és a centrifugális er˝o adott kombinációjának jelenlétében. A különböz˝o impulzusmomentumokhoz persze különböz˝o pθ tartozik, de mivel pθ megmarad, rögzített számnak tekinthet˝o. Az effektív er˝ohöz meg lehet konstruálni a megfelel˝o

Veffektív =

p2θ GM m − 2 2mr r

(12)

effektív potenciális energia függvényt, amely számot ad mind a gravitációról, mind pedig a centrifugális er˝or˝ol. Könnyen igazolható, hogy Feffektív = −

dVeffektív . dr

Gyakorlatilag az r mozgása felfogható egyetlen részecske mozmr˙ 2 , potenciális energigásaként, amelynek kinetikus energiája 2 ája Veffektív , a Lagrange-függvénye pedig Leffektív =

p2θ mr˙ 2 GM m . − + 2 2 2mr r

(13)

22 Ez némileg félrevezet˝ o magyarázat, mert centrifugális er˝o csak forgó koordináta-rendszerben hat (ld. a 6. el˝oadást). A (11) els˝o tagja formailag egyezik meg a centrifugális er˝ovel. – (A fordító)

www.interkonyv.hu



261

Effektív potenciális energia diagrammok A potenciális energia függvényalakjának felrajzolása sokat segíthet a tájékozódásban. Az egyensúlyi pontokat például (amelyekben a rendszer nyugodhat), azonosíthatjuk a potenciális energia stacionér pontjaival (minimumaival, maximumaival). Ez érvényes a centrális er˝o hatására végbemen˝o mozgásra is, csak ekkor az effektív potenciált kell alapul venni. Ábrázoljuk el˝oször a Veffektív tagjait külön-külön, ahogy a 3. ábrán látható. Vegyük észre, hogy a két tag különböz˝o el˝ojelu, ˝ a centrifugális tag pozitív, a gravitációs pedig negatív. Ez azzal kapcsolatos, hogy a gravitációs er˝o vonzó, a centrifugális er˝o viszont elfele taszítja a részecskét az origótól.

3. ábra: A potenciális energia centrifugális és gravitációs járulékának görbéi

Az origó közelében a centrifugális tag a jelent˝osebb, de nagy r-nél (abszolút értékben) a gravitációs tag a nagyobb. Amikor

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

262


összeadjuk o˝ ket, a Veffektív 4. ábrán felrajzolt görbéjét kapjuk.

4. ábra: Az effektív potenciális energia görbéje

Figyeljük meg, hogy ennek a kombinált görbének van egy minimuma. Ez elég hihetetlenmek tunik, ˝ hiszen els˝o látásra azt fejezi ki, hogy a Föld mintha nyugodhatna egy meghatározott egyensúlyi pontban. De ez a látszat hamis és annak következménye, hogy csak az r koordinátával foglalkozunk, a θ szögváltozóról nem veszünk tudomást. A minimum helyes értelmezése az, hogy az impulzusmomentum minden értékéhez tartozik egy olyan pálya, amelyen mozogva a Föld állandó távolságban marad a Naptól. Ezek a pályák körök. A Veffektív függvény grafikonján a körpályának a minimumban nyugvó fiktív részecske felel meg. Számítsuk ki r értékét a minimumban. Ehhez a Veffektív függvényt deriválni kell, és a deriváltat nullával kell egyenl˝ové tenni.

www.interkonyv.hu



263

Ez egy egyszeru˝ számítás, amelynek elvégzését Önökre bízom. Az eredmény az, hogy a minimum az

r=

p2θ GM m2

(14)

pontban van. A (14) megadja a földpálya sugarát (feltéve, hogy az köralakú, ami nem egészen igaz) az impulzusmomentum függvényben.

A Kepler-törvények Tycho Brahe dán csillagász volt, aki még a teleszkópok el˝otti id˝oben, a tizenhatodik század második felében élt. Különleges gonddal elkészített nagyméretu˝ szögmér˝o eszközei segítségével minden el˝odjénél pontosabban tudta meghatározni az égitestek pozícióját. A Naprendszer mozgására vonatkozó táblázatai a legpontosabb méréseken alapulnak, amelyeket a távcs˝o megjelenése el˝ott végeztek. Ami az elméleteit illeti, azok elég áttekinthetetlenek voltak. Legértékesebb örökségként a táblázatait hagyta az utódokra. A táblázatok igazi jelent˝osége munkatársának, Johannes Keplernek köszönhet˝oen vált világossá. Kepler a táblázatok adatait egyszeru˝ geometriai és matematikai tényekhez próbálta hozzáilleszteni. Fogalma se volt róla, hogy a bolygók miért mozognak az így kapható szabályok szerint – a miértekre adott válaszai mai szemmel nézve elég zavarosak –, de tény, hogy a szabályok mu˝ ködtek.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

264


Newton rendkívüli teljesítménye – bizonyos értelemben a modern fizika kezd˝o lépése – az volt, hogy a saját mozgástörvénye, valamint a távolság négyzetével fordítottan arányos gravitációs er˝otörvénye alapján magyarázatot adott a bolygómozgás Keplerféle törvényeire. Emlékeztetek ezekre ez utóbbiakra: K1: A bolygók ellipszispályán mozognak, amelyek egyik közös gyújtópontjában található a Nap. K2: A bolygót a Nappal összeköt˝o vezérsugár egyenl˝o id˝ok alatt egyenl˝o területeket súrol. K3: A bolygók keringési idejének négyzete egyenesen arányos a Naptól mért átlagos távolságuk köbével.

5. ábra: A Föld elliptikus pályája a Nap körül

www.interkonyv.hu



265

Kezdjük az elliptikus pályára vonatkozó K1-gyel. Korábban láttuk, hogy a körpályák az effektív potenciál minimumához tartozó egyensúlynak felelnek meg. De az effektív egydimenziós rendszernek vannak olyan mozgásai, amelyekben oszcillál a minimum körül. Az ilyen mozgás során a Föld váltakozva foglal el egy Naphoz legközelebbi és egy attól legtávolabbi pontot. Közben persze, mivel van valamekkora L ≡ pθ impulzusmomentuma, kering˝o mozgást is végez a Nap körül. Ez más szavakkal annyit jelent, hogy θ folyamatosan n˝o az id˝o függvényében. A távolság oszcillációjából és a szöghelyzet növekedéséb˝ol összeálló trajektória egy ellipszis, amelyet az 5. ábrán láthatunk. Ha a trajektórián végighaladva csak a Naptól mért távolságra figyelünk, akkor azt tapasztaljuk, hogy ez a távolság váltakozva n˝o és csökken, mintha a Föld az effektív potenciálban oszcillálna. Kicsit nehezebb lenne bebizonyítani, hogy a pálya tényleg egy pontos ellipszis, ezért ezzel a feladattal most nem foglalkozunk. Vizsgáljunk most egy másik mozgást az effektív potenciálban. Tegyük fel, hogy a részecske energiája elég nagy ahhoz, hogy kiszabaduljon a potenciális energia egyensúlyi pontját tartalmazó gödörb˝ol. Egy ilyen pályán a részecske a végtelenb˝ol érkezik, az r = 0 közelében visszaver˝odik a potenciálról, majd újra távozik a végtelenbe, ahonnan sohase jön többé vissza. Ilyen pályák léteznek, végtelen hiperbolapályáknak hívják o˝ ket. Foglalkozzunk most a K2-vel. Kepler második törvénye szerint a vezérsugár, miközben végighalad az ellipszisen, egyenl˝o id˝ok alatt egyenl˝o területeket súrol. Ennek nagyon megmaradási törvény szaga van, és valóban az is – az impulzusmomentum

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

266


megmaradását fejezi ki. Osszuk el a (7) egyenlet mindkét oldalát m-mel: r2 θ˙ =

pθ . m

(15)

Kövessük képzeletben a bolygót a Nappal összeköt˝o vezérsugár mozgását. Egy kis dt id˝o alatt a súrolt terület legyen dA, a középponti szög megváltozása pedig dθ.

6. ábra: A vezérsugár által dt id˝o alatt súrolt terület

A 6. ábrán besatírozott kis háromszög területe dA =

1 2 r dθ, 2

mert a háromszög területe az alap (r) és a magasság (r dθ) szor-

www.interkonyv.hu



267

zatának a felével egyenl˝o. A dt-vel végigosztva a dA 1 = r2 θ˙ dt 2 képletre jutunk. Itt felhasználhatjuk az impulzusmomentum megmaradását kifejez˝o (15) képletet, ezért dA pθ = . dt 2m

(16)

Mivel pθ (és persze m is) állandó, látjuk, hogy a súrolt terület konstans ütemben n˝o, és ez az ütem arányos a pályamozgás impulzusmomentumával. Vizsgáljuk meg végül a K3-at: A bolygók keringési idejének négyzete egyenesen arányos a Naptól mért átlagos távolságuk köbével. Korlátozódjunk a körpályákra, noha Kepler törvénye az elliptikus pályákra is érvényes. A törvényt több különböz˝o gondolatmenettel is meg lehet kapni, amelyek közül talán a legegyszerubb ˝ az F = ma Newton-törvényb˝ol indul ki. A kering˝o Földre az F =−

GM m r2

gravitációs er˝o hat. Másrészt a 2. el˝oadásban láttuk, hogy egy körpályán egyenletesen mozgó test gyorsulása a = ω2r

(17)

-rel egyenl˝o, ahol ω a szögsebesség.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

268


1. Feladat: Igazoljuk a (17)-et a 2. eloadás ˝ (3) képlete segítségével. A Newton-törvény tehát a következ˝o: GM m = mω 2 r. r2 Oldjuk ezt meg ω 2 -re: ω2 =

GM . r3

Utolsó lépésként vegyük észre, hogy a τ periódusid˝o – a teljes kör megtételéhez szükséges keringési id˝o – és a szögsebesség között az egyszeru˝ τ=

1 2πω

kapcsolat áll fenn. A keringési id˝ot hagyományosan nem τ -val, hanem T -vel szokás jelölni, de ezt a jelet már lefoglaltuk a mozgási energiára. Mindent összevéve τ2 =

1 r3 . 4π 2 GM

Mint látjuk, a keringési id˝o négyzete valóban arányos a sugár köbével.

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

Tárgymutató

állapottér, 3–10, 107

dinamika, 5

általánosított impulzusok,

dinamikai rendszer, 4

143–147

végtelen sok állapotú,

általánosított koordináták, 143–147 áramlás, 194–197

12–15 dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12

Arisztotelész mozgástörvényei, divergencia, 194–197 71–77 egyenletes körmozgás, 53 bázisvektorok, 30 centrifugális er˝o, 142 ciklikus koordináták, 147–149 ciklus végtelen, 16 ciklusok, 15–16 Coriolis-er˝o, 142 derékszögu˝ háromszög, 25

egyenletes körmozgás gyorsulása, 55 egyszeru˝ harmonikus mozgás, 50 egyszeru˝ harmonikus mozgás gyorsulása, 50 egyszeru˝ harmonikus mozgás sebessége, 50 elektromágneses sugárzás energiája, 124

Descartes-féle koordinátarendszerek, 20

elektrosztatikus energia, 123

determinisztikus törvény, 2

elmozdulás, 47

differenciálszámítás, 35–45

energia 269

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó

270


elektrosztatikus, 123

Hamilton-egyenletek, 179–183

kémiai, 123

Hamilton-egyenletek származ-

kinetikus, 115

tatása, 187

mágneses, 123

Hamilton-függvény, 242–245

mechanikai, 123

Hamilton-mechanika, 171–189

potenciális, 114

harmonikus oszcillátor, 86

energia megmaradása, 117

harmonikus oszcillátor

energiafajták, 122

Hamilton-függvénye,

energiamegmaradás, 174–179

183–187

energiamegmaradás törvénye, 119 er˝o, 78

hatás, 129, 130, 136 hatás-ellenhatás törvénye, 109 Hesse-mátrix, 98

er˝o mérése, 78 Euler–Lagrange-egyenlet, 131– id˝o iránya, 21 136, 141 fázistér, 179–183 fázistérfolyadék, 191–193 folytonos mozgás, 16 forgatás, 164 fundamentális er˝ok, 102 funkcionál, 130 függvény ábrázolása, 22 függvények minimuma, 92–95

id˝obeli transzlációs szimmetria, 171–174 id˝oegység, 21 id˝oeltolási invariancia, 172 impulzus, 107 impulzus megmaradása, 109 impulzusmomentum, 164, 211, 217 impulzusmomentum megmaradása, 165

Galilei, Galileo, 22

infinitezimális forgatás, 160

generátor, 217

infinitezimális transzformáció,

Gibbs, Josiah Willard, 199 gyorsulás, 48

www.interkonyv.hu

159, 160 inflexiós pont, 94


© Typotex Kiadó

271

Tárgymutató

információ megmaradása, 12

Liouville, Joseph, 199

inkompresszibilitás, 197

Liouville-tétel, 197, 199

integrálszámítás, 57–67

Lorentz-er˝o, 118

irreverzibilis, 11 mágneses energia, 123 káosz, 18 kémiai energia, 123 kett˝os inga, 165 kinetikus energia, 115 klasszikus fizika, 1 klasszikus mechanika, 1 kommutátor, 204 konfigurációs tér, 108 konjugált impulzus, 168 koordináták, 19–23 koordináta-rendszer, 19 koszinuszfüggvény, 25 körfrekvencia, 54 láncszabály, 43 Lagrange-függvény, 129, 141, 173, 235–239

mágneses mez˝ok, 230–233 második derivált, 44 matematikai indukció, 208 mátrix, 98 mátrix determinánsa, 98 mátrix nyoma, 98 mechanika hamiltoni megfogalmazása, 180 mechanika lagrange-i megfogalmazása, 180 mechanikai energia, 123 megengedett törvény, 194 megmaradási törvények, 15–16, 151–169 mértékegységek, 81–83 mértékinvariancia, 247–249

Laplace, Pierre-Simon, 2, 10, 17, mértékterek, 248 101, 104 legkisebb hatás, 128

mozgás homogén mágneses mez˝oben, 245–247

legkisebb hatás elve, 125–149

mozgásegyenletek, 239–242

lendület, 107

mozgásegyenletek transzformá-

Lévi–Civita-szimbólum, 214, 218

www.interkonyv.hu

lása, 138 mozgástörvény, 5


© Typotex Kiadó

272


nabla, 226–230 nem konzervatív er˝o, 118

rendszer, folytonos viselkedésu, ˝ 4

Newton 1. törvénye, 84

részecskerendszerek, 101–104

Newton 2. törvénye, 80, 84

részecskerendszerek állapot-

Newton 3. törvénye, 109, 164 Noether, Emmy, 153

tere, 104–107 reverzibilis, 10 reverzibilitás, 194

origó, 21

rezg˝omozgás, 50 rotor, 218

parciális deriváltak, 89–92 parciális integrálás, 67–70

sebesség, 46

Poisson, Siméon Denis, 201

skalárszorzat, 32

Poisson-zárójelek, 201–204

stacionárius hatás elve, 130

Poisson-zárójelek tulajdon-

stacionér hatás, 128

ságai, 205

stacionér pontok, 92–95

potenciális energia, 114, 139

szabadsági fok, 6

potenciális energia elv, 114

szimmetriák, 151–169

pozíciós tér, 108

szimmetria, 155, 223

precesszió, 221

transzlációs, 156 szimmetria általánosítása, 160

radián, 24

szimmetria következményei, 162

rendszer, 2–10

szimmetria-transzformáció, 157

determinisztikus, 3

szinuszfüggvény, 25

dinamikai, 4 végtelen sok állapotú, 12–15

tangensfüggvény, 25 tehetetlenség törvénye, 77

reverzibilis, 3

tér és mez˝o, 121

zárt, 3

terek, 19–33

www.interkonyv.hu


© Typotex Kiadó Tárgymutató

273

töltött részecskére ható er˝o, 233–235 tömeg, 77 tömegpont, 45 tömegpont helyzete, 46 tömegpont mozgása, 45 tömegpont sebessége, 46 transzlációs szimmetria, 156 trigonometria, 19–33 unitaritás, 201 valós számok, 17 variációszámítás, 130 végtelen ciklus, 16 vektor, 28 vektor komponensei, 30 vektor szorzása skalárral, 29 vektoriális szorzat, 31 vektormez˝ok, 225–226 vektorok, 19–33 vektorok összeadása, 29 vonatkoztatási rendszer, 22 zárt rendszer, 3

www.interkonyv.hu Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)


Susskind Leonard Hrabovsky George--Az Elmeleti Minimum

Recommend Documents