Tarea N°2
Nombres: María Benavides P.
Diego Balbontin B. Profesor: Dr. Guillermo Krstulovic L. Curso: Mecánica de Rocas Fecha: miércoles 16 de marzo, 2016
En el presente informe se abordarán tópicos fundamentales para la Geomecánica y la estabilidad de excavaciones de macizos rocos, tales como planos de esfuerzos y deformación, la redistribución de esfuerzos al realizar un túnel o socavón, y tensiones verticales y/u horizontales. Para esto se hará uso del Problema de Kirsch (1898), el cual posee solución analítica para las tensiones verticales y horizontales si se considera que la geometría de la excavación es un círculo, y el medio circundante es un complejo homogéneo isótropo linealmente elástico (C.H.I.L.E.), lo cual nos permitirá determinar aproximaciones
de los esfuerzos verticales, horizontales y las deformaciones para prevenir el colapso de faenas tanto en Minería (piques, chimeneas, galerías, etc.) e Ingeniería Civil (túneles, subsuelos, entre otros).
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Un macizo rocoso es el conjunto de matriz rocosa y las discontinuidades que lo afectan (fallas, diaclasas). Como es técnicamente imposible modelar analíticamente el comportamiento de este conjunto, es común considerar que el macizo se comporta como un C.H.I.L.E., es decir es un medio continuo cuyas propiedades son homogéneas y posee un comportamiento elástico. Es de gran interés en Minería y obras civiles, recurrir a aproximaciones que nos permitan conocer cómo se distribuyen los esfuerzos y cómo se comportará el medio circundante a una faena una vez realicemos un socavón o túnel para prevenir colapsos. A priori, se identifican 3 fuerzas fundamentales presentes en los macizos (obviando las tectónicas): la fuerza hidrostática en cada punto, y las tensiones tanto verticales como horizontales. Cuando se realiza una determinada intervención en el macizo, se produce una redistribución de los esfuerzos, debido a que estos dependen de la configuración geométrica del medio. Desafortunadamente, si se evalúa analíticamente la situación, no existe una solución exacta que gobierne esta redistribución de los esfuerzos; no obstante, si se considera que la geometría de la excavación es un círculo y el medio es linealmente elástico y continuo (Problema de Kirsch) podemos encontrar una aproximación bastante buena para túneles o alguna otra configuración similar. En cualquier otro caso, se debe recurrir a métodos numéricos para modelar la situación.
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Todo elemento solicitado a carga axial experimenta una deformación no solo en el sentido de la solicitación (deformación primaria (deformación secundaria o inducida
), sino también según el eje perpendicular
,
), o sea, toda tracción longitudinal con
alargamiento implica una contracción transversal (disminución de la sección del elemento estirado). El coeficiente de Poisson es una propiedad intrínseca de cada material; es la relación de la deformación perpendicular a la axial y se define (para cuerpos isótropos) como:
= = Este coeficiente aparece frecuentemente en problemas de elasticidad y diseño de estructuras y se relaciona con el esfuerzo mediante la siguiente relación:
= Donde:
:
:
esfuerzo, deformación unitaria, y
:
módulo de Young.
Para modelar la situación antes descrita, haremos uso de la Teoría de elasticidad de Kirsch (1898), la cual considera como aproximación que el macizo es continuo, es decir, no existen fallas o diaclasas que lo atraviesen, por lo que nos entregará buenas aproximaciones para excavaciones a gran profundidad (donde los enormes esfuerzos son capaces de cerrar discontinuidades). Además consideraremos como condiciones de frontera que no existen fuerzas de tracción en el macizo, existen desplazamientos en superficie y los esfuerzos abarcan un campo lejano desde la excavación. Mostraremos que el Problema de Kirsch entrega una solución analítica cuando la configuración geométrica es un círculo, lo cual nos arrojará buenas predicciones para problemas como la construcción de un túnel o galerías. A continuación se presentan los fundamentos matemáticos y analíticos del método. 4
ℎ
Suponga que se tiene un punto del macizo rocoso a la profundidad . Si se llama volumétrico del macizo sobre el punto, entonces la presión
= ℎ
al peso
en dicho lugar está dada por
. Una partícula situada en dicho lugar, tenderá a acortarse verticalmente con una
, debido a que = , y tenderá a dilatarse horizontalmente con una deformación unitaria igual a . No obstante, como la capa es indefinida, dicha deformación unitaria igual a
partícula no podrá dilatarse debido al confinamiento a la que está sometida, lo que da origen a una compresión uniforme en todos los sentidos del plano
= ℎ
, donde
dada por
es la relación entre esfuerzos horizontales y verticales en reposo.
La dilatación horizontal antes mencionada debe ser nula en el sentido de los siguientes términos:
-
Alargamiento por compresión vertical, dado por
-
Alargamiento en el sentido que se ha considerado, dado por
-
Por empuje en el sentido perpendicular al plano mencionado, dado por
Luego:
ℎ ℎ + ℎ = 0 ℎ + = 0 = 1
Multiplicando por y dividiendo por
Donde
=
se obtiene que:
.
Así:
= 1 5
Para poder evaluar el comportamiento de la roca en un túnel o excavación subterránea es necesaria la deducción de las ecuaciones formuladas por Kirsch en 1898, las cuales fueron planteadas de acuerdo al siguiente esquema (Ver Fig.1):
Fig.1: representación de los parámetros que definen el problema de Kirsch.
Donde:
= Esfuerzo vertical que produce el peso del material por sobre la excavación. = Esfuerzo horizontal que produce el macizo rocoso por empuje lateral.
= Esfuerzo tangencial que existe en cualquier punto del perímetro o dentro de la masa
de material que lo rodea.
= Esfuerzo radial que existe dentro de la masa de material que rodea la excavación.
= Esfuerzo cortante que existe dentro de la masa de material que rodea la excavación.
= Ángulo que forma la línea radial con la horizontal. = Radio de la excavación.
= Radio que permite la ubicación de un punto dentro de la masa de material.
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Las ecuaciones presentadas a continuación son expresiones en coordenadas polares, las cuales representan los esfuerzos en un plano perpendicular al eje de excavación. 1. Sin considerar el esfuerzo horizontal
:
= 2 ⌊1+ +1+3 cos2⌋ = 2 ⌊1 14 + 3 cos2⌋ r = 2 ⌊1+2 3 sin2⌋
= 2 ⌊1+ +1+3 cos2⌋+ 2 [1+ 1+3 cos2]
2. Considerando esfuerzo horizontal
se tiene que:
= 2 ⌊1 14 + 3 cos2⌋+ 2 [1 +14 + 3 cos2]
r = 2 ⌊1+2 3 sin2⌋
Podemos estimar el esfuerzo horizontal de tal manera que
como un porcentaje del esfuerzo vertical
= Luego, sustituyendo en las ecuaciones anteriores se tiene que:
= 2 [(1+)1+ +(1) 1+3 cos2] = 2 [(1+) 1 (1) 14 + 3 cos2] r = 2 [(1)1+2 3 sin2]
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Luego de modelar la situación, y una vez obtenidas las expresiones que gobiernan el comportamiento de los esfuerzos al realizar un socavón, podemos determinar los puntos en los cuales la faena presenta riesgos de colapsos o deformaciones peligrosas, ya que al obtener una expresión que depende sólo del peso del macizo, y de la posición del punto (gracias a que se usan coordenadas polares esta queda definida solo por un ángulo y la distancia al centro) podremos calcular el esfuerzo en alguno de los puntos de interés. Si consideramos
=
los esfuerzos quedarían expresados como:
= (1+) +2(1)cos2 = 0 r = 0
Cumpliendo con la tracción nula. Considerando esfuerzos horizontales de campo lejano:
=0 → ∞ ;
= = r =
Condiciones de borde
0
Como el esfuerzo tangencial máximo y mínimo depende de
= 0 → = →
Punto Punto
Si
=0
, tendremos que,
= = (3) = = (3 1)
, entonces:
= 3
Se desprende entonces que en el punto a es donde se genera el máximo esfuerzo debido a la excavación ( ver Fig. 2).
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Además
= Lo que significa que el límite inferior de los esfuerzos se da en este punto como indica la figura 2.
Fig 2. Representa punto
y punto .
No obstante, esto es insuficiente para describir el comportamiento del macizo frente a una alteración ya que solo se basa en propiedades geométricas y no en las características físicas intrínsecas de la roca.
Debe analizarse la congruencia de los resultados que entrega la relación de Poisson, que establecía que
= − (1)
.
El Coeficiente de Poisson fluctúa en el intervalo [0, 0.5] donde un material cuyo módulo de Poisson tiende a 0, presenta una resistencia nula a la compresión. Por el contrario, si un material presenta coeficiente cercano a 0.5, entonces hablamos de materiales casi incompresibles. Consideremos un material A con coeficiente de Poisson
= 0,1
(bastante compresible, es
decir tiende a “desparramarse” presentando baja resistencia a los esfuerzos) y
consideremos además un material B con coeficiente de Poisson incompresible). Reemplazando en (1) se desprende que:
9
= 0,48
(casi
Para el material A (
= 0,11
= 0,1
):
, lo cual es congruente ya que al aplicar un esfuerzo vertical, la reacción
horizontal será mucho menor y el material tenderá a deformarse mucho más en la horizontal. Para el material B (
= 0,92
= 0,48
):
, lo cual nos dice que la reacción horizontal es muy similar a la vertical, por
lo que el material tiende resistir mejor la deformación, ya que esta es más uniforme. Esta relación presenta el inconveniente de no incluir la geometría del macizo, lo cual la hace poco realista.
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El Problema de Kirsch es una herramienta muy potente para modelar el comportamiento de un macizo rocoso debido a alteraciones en su geometría, ya que pese a suponer que se trabaja con roca ideal (C.H.I.L.E.) y poseer una solución analítica solo para el caso del círculo, nos entrega resultados cercanos a lo que ocurre en la realidad. También nos entrega información difícil de deducir, por ejemplo que los esfuerzos horizontales a los que está sometido el continuo son mayores que los verticales (contrario a lo que la intuición parece indicar). También se desprende que al realizar un socavón de geometría circular, los esfuerzos radiales son nulos cuando el fluido que lo llena es aire, mientras que la carga tangencial se transforma en la opuesta a la carga aplicada. Conocer estos datos se torna fundamental a la hora de diseñar faenas que consisten en alterar macizos de gran masa o a gran profundidad, ya que es bastante riesgoso, y una buena planificación asegurará tanto la seguridad del personal y los equipos, como el desarrollo óptimo de la obra ya sea con fines económicos o civiles.
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Pese a que no pudimos deducir las expresiones que el Problema de Kirsch entrega como solución, si pudimos interpretar la información que estas nos entregan y la importancia de una correcta interpretación de los principios en los que se basa. Sorprende la importancia que este método adquiere al solo depender de la geometría de la excavación, ya que eso permite extrapolarla a múltiples situaciones, sin considerar propiedades como la litología del medio o su composición. Cabe destacar la importancia de trabajar con este tipo de procedimientos, ya que nos proporcionan herramientas analíticas y fundamentadas que nos permitirán abordar problemas reales de una manera más simple. No obstante, su fiabilidad se ve truncada por el hecho de no incluir características propias de la roca con la que lidiamos, lo que nos induce al error de que todos los macizos se comportarán de la misma forma sin importar su litología o composición. Por otra parte, la relación de Poisson nos permite relacionar de manera bastante simple la generación de esfuerzos horizontales debido a los esfuerzos verticales sobre el macizo, pero resulta ser una herramienta bastante incompleta ya que solo se basa en una característica particular del medio y no integra la geometría del macizo como una herramienta de análisis. Una manera más acertada de abordar estos problemas sería mediante modelos que incluyan tanto las variables físicas del macizo y sus propiedades intrínsecas, como la geometría asociada a este, ya que se podrían generar predicciones más acertadas y realistas al incluir la mayor cantidad de variables que gobiernan el comportamiento del medio.
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