UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER ESCUELA DE INGENIERÍAS ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA Y DE TELECOMUNICACIONES
PROPIEDADES DE LA SERIE DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS Propiedad
Linealidad Desplazamiento de tiempo Desplazamiento en frecuencia Conjugación Inversión de tiempo Escalamiento Escalamiento en tiempo Convolución periódica
Multiplicación
Diferenciación Integración
Simetría conjugada para señales reales
Señal real y par Señal real e impar Descomposición Descomposición par e impar de señales reales
Coeficientes de la serie de Fourier
Señal Periódica
Peri ó di c as con peri o do y } frecuencia fundamental 2 − −/ − ∗ −∗ − ó,>0 peri dica con periodo / ∫ +∞ ∑ − =−∞ 2 1 ) ( 1 ) ( 2/ ∫−∞ 0 ℛℯ −∗ ℛℯ − real ℐ|||ℐ − −| ∢ ∢− real y par par y real impar e imaginaria pura real ℰe impar ℛℯ ℐ 1 ∫ || ∑+∞ || =−∞ (de valor finito y periódica solo si
[
real]
[
real]
Relación de Parseval para señales periódicas
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PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS Propiedad
Linealidad Desplazamiento de tiempo Desplazamiento de frecuencia Escalamiento de tiempo y de frecuencia Conjugación Inversión de tiempo Convolución Multiplicación Diferenciación en tiempo Diferenciación en frecuencia Integración
Simetría conjugada para señales reales Señal real y par Señal real e impar Descomposición par e impar de señales reales
Señal
Transformada
∗ ∗ ∫−∞
− 1|| ( ) ∗ 1 2 ∗ 1 0 ℛℯ ∗ℛℯ ℐ| | | ℐ | ∢ ∢ ℰ ℛℯ ℐ +∞ 1 +∞ ∫−∞ || 2 ∫−∞ | | real
real y par real e impar
par y real impar e imaginaria pura
[
real]
[
real]
Relación de Parseval para señales aperiódicas
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TRANSFORMADA Y SERIE DE FOURIER DE SEÑALES BÁSICAS Señal
Transformada de Fourier
+∞ ∑ =−∞
+∞ ∑ δ 2 =−∞ 2 δ
Coeficientes de la serie de Fourier (si es periódica)
1 0,con otro valor 1 − 2 [δ δ] 0,con cos otro valor 1 sin [δ δ] 0,con− ot2ro valor 0, 1 ≠0 ∀ >0 2πδ 1 +∞ 2sin | | 1, < ∑ δ sinc() sin 0, < || ≤ 2 =−∞ +∞ +∞ 2 2 1 ∑ ∑ ( ) ,para todo =−∞ =−∞ 2sin 2sinc() {1,0, |||| < > sin | | 1, < { ) si n c( || > 0, 11 −δ 1 −,ℛℯ >0 1 −,ℛℯ >0 − − 1 1 ! ,ℛℯ >0 Onda cuadrada periódica
-
-
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PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Propiedad
Señal
Transformada de Laplace
ROC
Al menos ∩ − Versi ó n despl a zada de es 1|| ROC escal a da es deci r ,s está en l a ROC si / está en ∗ ∗∗ ∗ Al menos ∩ Al menos Al menos ∩ℛℯ >0 ∫−∞ 1 0 para <0 no contiene impulsos o funciones singulares de orden superior Sien0,entonces 0+ lim→∞ lim lim→ →∞ Linealidad
Desplazamiento de tiempo
Desplazamiento en el dominio de s
decir, s está en la ROC si sestá en R)
Escalamiento en tiempo Conjugación
Convolución
Diferenciación en el dominio del tiempo Diferenciación en el dominio de s Integración en el dominio del tiempo
Teorema del valor inicial y final
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TRANSFORMADA DE LAPLACE DE SEÑALES BÁSICAS Señal
− 1 ! − 1! − − − − 1 ! − − 1! [cos] [sin] [− cos] [− sin] − ⏟− ∗…∗− n veces
Transformada
1 1 1 1 1 1 1 1 1 − 1
ROC
ℛℯ >0 ℛℯ <0 ℛℯ >0 ℛℯ <0 ℛℯ > ℛℯ < ℛℯ > ℛℯ < ℛℯ >0 ℛℯ >0 ℛℯ > ℛℯ > ℛℯ >0 Toda
Toda
Toda
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PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA UNILATERAL DE LAPLACE Propiedad
Señal
Transformada unilateral de Laplace
1|| ∗ ∗∗ ∗ 0− 1 ∫ 0 para <0 no contiene impulsos o funciones singulares de orden superior Sien0,entonces 0+ lim→∞ lim lim→ →∞ Linealidad Desplazamiento en el dominio de s Escalamiento en tiempo
, a>0
Conjugación
Convolución (suponiendo que son cero pata t<0) Diferenciación en el dominio del tiempo Diferenciación en el dominio de s Integración en el dominio del tiempo
Teorema del valor inicial y final