TALLER PARA REALIZAR EN CLASE El alumno alumno deber deberá á form formula ularr el prob problem lema a propu propuest esto o como como un model modelo o de programación programación lineal. 1. La 1. La <
> Company>> fabrica fabrica piezas de metal metal de alta precisión precisión que se utilizan en los motores de automóviles de carrera. Cada pieza se fabrica en un proceso de forado y re!nación" y para ello se requiere cantidades m#nimas de diversos diversos materiales. materiales. Cada pieza requiere requiere $% onzas de plomo" plomo" $& de cobre y '% de (ierro colado. Hay cuatro tipos de minerales disponibles para el proceso de forado y re!nación. El mineral de tipo ) contiene $ onzas de plomo" * de cobre y * de (ierro colado por libra. +na libra de mineral tipo * contiene * onzas de plomo" ' de cobre y ' de (ierro colado. +na libra de mineral de tipo , contiene una onza de plomo" $ de cobre y $ de (ierro colado. -or ltimo" el mineral de tipo $ contiene * plomo" ) de cobre y & de (ierro colado por libra. El costo por libra" para los $ minerales" es de /*%" /,%" /'%" /0%" respectivamente. 1 la empresa Higgins le gustar#a mezclar los minerales de manera que se satisfagan las especi!caciones de las piezas y se minimice el costo de fabricación. 2e!n 2e!na a las las vari variab able les s de deci decisi sión ón y plan plante tee e el mode modelo lo apr apropia opiado do de programación programación lineal. A. Compre Comprensi nsión ón del problem problema a 3inerales
-lomo
Cobre
Hierro colado * 9nzas ' 9nzas $ 9nzas & 9nzas
Costo por libra /*% /,% /'% /0%
7ipo 8) 8) $ 9nzas * 9nzas 7ipo 8* 8* * 9nzas ' 9nzas 7ipo 8, 8, ) 9nza $ 9nzas 7ipo 8$ 8$ * 9nzas ) 9nza :estriccion $% 9nzas $& 9nzas '% 9nzas es Objeti Objetivo vo 3inimizar el costo de fabricación de las piezas y mezclar los materiales de manera que se satisfagan las especi!caciones. !. "e#ni$ "e#ni$ión ión de varia variable bles s X i
4 Cantidad de mineral tipo i 5)" *" ,"$6 a utilizar en la muestra
C. %&n$ &n$ión ión objeti objetivo vo Z ( min )= 20 X 1 + 30 X 2 2 + 60 X 3 3 + 50 X 4 4
S.A +2 = 40 Onzasde Onzasde 4 X 1 + 2 X 2 + 1 X 3 X 4 3 4
Plomo Plomo
2 X 1 + 6 X 2 +4 +1 = 48 Onzasde Onzasde 2 3 4 X 3 X 4
cobr cobree
+4 +8 = 60 Onzas Onzas de hierr hierro colado colado 2 X 1 + 6 X 2 X 3 X 4 2 3 4
". No ne'atividad X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ≥ 0
(. La <> acaba de adquirir una licencia de operación para el servicio de automóviles entre el aeropuerto y el centro de la ciudad. 1ntes" en el servicio de estos automóviles operaba una ota de ,% vagonetas= sin embargo" el volumen del negocio usti!ca la adición de otro ve(#culo. 1demás" la mayor#a de los ve(#culos son muy vieos y requieren un mantenimiento muy costoso 2ebido a la baa inversión que se necesita para la adquisición de la licencia" la C#a. está en disposición de reemplazar todos los ve(#culos eistentes. ?e están considerando tres tipos de ve(#culos@ vagonetas" autobuses peque;os y autobuses grandes. La compa;#a (a eaminado cada tipo de ve(#culo y (a recopilado los datos que se muestran en la tabla A. El conseo de administración de la C#a. (a autorizado /0%%.%%%.%%% para la adquisición de ve(#culos. Las instalaciones de servicio y mantenimiento pueden manear ,% vagonetas. En la actualidad" la compa;#a no desea ampliar dic(as instalaciones. -uesto que la nueva ota puede incluir buses peque;os y grandes" el departamento de mantenimiento debe estar en posibilidades de trabaar con ellos. +n autobs peque;o es equivalente a ) B vagonetas" y cada autobs grande es equivalente a tres vagonetas. -lantee un modelo lineal que permita a la C#a. determinar el nmero óptimo de cada uno de los tipos de ve(#culos que debe adquirir con el obeto de maimizar las utilidades anuales esperadas. Tabla )
Tipo de ve*+$&lo
Pre$io de $ompra
,tilidad an&al neta esperada
-a'oneta A&tobs pe/&e0o A&tobs 'rande
2.344.444 14.444.444 (5.444.444
(.444.444 (.644.444 2.344.444
A. Comprensión del problema 7ipo de ve(#culo
-recio de compra
7ipo ) 5agoneta6 7ipo * 51utobs peque;o6 7ipo , 51utobs grande6
/ '.0%%.%%%
+tilidad anual neta esperada / *.%%%.%%%
/ )%.%%%.%%%
/ *.&%%.%%%
/ *D.%%%.%%%
/ '.0%%.%%
Restri$$iones 7El capital que se destina para la adquisición de ve(#culos / 0%%.%%%.%%%
Las instalaciones tienen capacidad para albergar ,% vagonetas El espacio que ocupa un autobs peque;o equivale a
1
1 2
de vagonetas
El espacio que ocupa un autobs grande equivale a , vagonetas Objetivo 2eterminar el nmero óptimo de cada uno de los tipos de ve(#culos que debe adquirir con el obetivo de maimizar las utilidades anuales esperadas. !. "e#ni$ión de variables X i
4 Cantidad de ve(#culos tipo i 5)" *" ,6 a adquirir o comprar
C. %&n$ión objetivo Z ( max ) =2.000.000 X 1 + 2.80 0 .000 X 2 + 6.500.000 X 3
S.A 6.500 .000 X 1 + 10.000 .000 X 2 + 29.000 .000 X 3 ≤ 500.000 .000
X 1 + X 2 + X 3=30 Vagonetas X 2= 0
−1.5
X 1 +
−3
X 3= 0
X 1 +
". No ne'atividad X 1 , X 2 , X 3 ≥ 0
8. <<7ermec Ltda. >> se desenvuelve en el negocio de reparación de máquinas lavadoras y secadoras domFsticas. La compa;#a brinda servicios a clientes en toda la ciudad. 7iene cinco empleados de servicio que viven en diferentes lugares de la ciudad. Con el obeto de a(orrar tiempo de maneo y costos al inicio de cada d#a" el personal de servicio se dirige directamente de sus casas a los lugares donde se les requiere. La tabla & presenta las distancias asociadas con los primeros cinco trabaos que deben llevarse a cabo. 1 cada empleado de servicio se le paga por conducir. -or ello la compa;#a desea minimizar la distancia etra de trabao. -lantee el modelo apropiado de programación lineal. Tabla 6
Empleado de servi$io 1 ( 8 9 3
1 (4 12 6 (4 9
Nmero de trabajo 8 9 2 14 (( (4 (9 19 ( 6 (( 2
3 (( 14 1( 2 (9
Gmero de trabao ( 8 9 )$ ' )% & ** *% ' *$ )$ ** * & )' ** '
3 ** )% )* ' *$
( 19 6 2 (( 12
A. Comprensión del problema Empleado de ?ervicio ) * , $ 0
1 *% )' & *% $
Objetivo 3inimizar la distancia etra de trabao. !. "e#ni$ión de variables X i
4 2esigne por X ij
el numero de trabao i 5)" *" ," $" 06 que se
asigna al trabaador 54 )"*" ," $" 06 1nálisis
j
)
*
,
$
0
)) *) ,) $) 0)
)* ** ,* $* 0*
), *, ,, $, 0,
)$ *$ ,$ $$ 0$
)0 *0 ,0 $0 00
i ) * , $ 0
C. %&n$ión objetivo Z ( min )= 20 X 11+ 14 X 12 + 6 X 13 + 10 X 14 + 15 X 15 + 16 X 21 + 8 X 22 + 22 X 23 + 20 X 24 + 10 X 25 + 8 X 31 + 6 X 3 2 + 24 X 3 3 + 14 X
S.A X 1 1 + X 1 2 + X 13 + X 1 4 + X 15 =5 X 2 1 + X 2 2 + X 2 3 + X 2 4 + X 2 5=5 X 3 1 + X 3 2 + X 3 3 + X 34 + X 3 5=5
X 4 1 + X 4 2 + X 4 3+ X 4 4 + X 4 5 =5 X 5 1 + X 5 2 + X 5 3 + X 54 + X 5 5=5
". No ne'atividad X 1 1 , X 12 , X 1 3 X 1 4 , X 1 5 , X 21 X 22 , X 23 , X 24 X 25 , X 31 , X 32 X 33 , X 34 , X 35 X 41 , X 42 , X 43 X 44 , X 45 ≥ 0
9. -ara la formulación de una dieta para pollos" el lote diario requerido de la mezcla son )%% libras de alimento" y la dieta debe contener@ ). 1l menos %.& pero no más de ).* de calcio. *. 1l menos ** de prote#nas. ,. 1 lo más 0 de !bras crudas. ?uponga" además" que los principales ingredientes utilizados incluyen ma#z" soya y caliza 5carbonato de calcio6. El contenido nutritivo de estos ingredientes se resume a continuación en la tabla D. El obetivo es minimizar el costo total del lote dado de la mezcla" de manera que satisfaga las restricciones f#sicas y nutritivas. -lantee este problema como un modelo de programación lineal. Tabla 5
In'rediente Piedra $ali:a ;a+: Alimento so
Libras de $ontenido n&tritivo por libra de in'rediente Cal$io Prote+nas %ibra 4.864 4.44 4.44 4.441 4.45 4.4( 4.44( 4.34 4.46
Costo libra 4.4129 4.4928 4.1(34
A. Comprensión del problema Ingrediente -iedra caliza 3a#z 1limento soya
Libras de contenido nutritivo por libra de ingrediente Calcio -rote#nas Jibra %.,&% %.%% %.%%% %.%%) %.%D %.%* %.%%*
%.0%
Restri$$iones )%% libras de alimento 1l menos %.& Calcio Go más ).* Calcio 1l menos ** -rote#nas 1 lo más 0 Jibras Crudas
%.%&
Costo libra %.%)'$ %.%$', %.)*0%
Objetivo 3inimizar el costo total del lote dado de mezcla" de manera que satisfaga las restricciones f#sicas y nutritivas. !. "e#ni$ión de variables X i
4 Cantidad de cada ingrediente necesario para la mezcla de
alimento. C. %&n$ión objetivo Z ( min )= 0.0164 X 1 + 0.0463 X 2 + 0.1250 X 3
S.A X 1 + X 2 + X 3=100 libras 0.380 X 1 + 0.001 X 2 + 0.002 X 3 ≥ 0.8 Calcio 0.380 X 1 + 0.001 X 2 + 0.002 X 3 ≤ 1 . 2 Calcio 0.00 X 1 + 0.09 X 2 + 0.50 X 3 ≥ 22 Proteinas 0.00 X 1 + 0.02 X 2 + 0.08 X 3 ≤ 5 FibrasCrudas
". No ne'atividad X 1 , X 2 , X 3 ≥ 0
3. +na fábrica de papel recibió tres pedidos de rollos de papel con los anc(os y longitudes indicados en la tabla )%. Los rollos se producen en la fábrica con * anc(os estándar" )% y *% pies" los cuales (ay que recortar a los tama;os especi!cados por los pedidos. Go eisten l#mites sobre la longitud de los rollos estándar" ya que para propósitos prácticos los rollos de longitud limitada pueden reunirse para proporcionar la longitud requerida. El obetivo es determinar el esquema de producción 5modelo de corte6 que minimice la perdida por auste y satisfaga la demanda dada. -lantee este problema como un modelo de programación lineal.
Tabla 14
Pedido nmero 1 ( 8
An$*&ra en pies 3 ) 5
Nmero de rollos 14.444 84.444 (4.444
A. Comprensión del problema -eriodo Gmero ) * , Restri$$iones
1nc(ura en pies 0 A D
Gmero de :ollos )%.%%% ,%.%%% *%.%%%
)% 1nc(o *% 1nc(o
Objetivo 2eterminar el esquema de producción 5modelo de corte6 que minimice la perdida por auste y satisfaga la demanda dada !. "e#ni$ión de variables X i
4 Cantidad de cortes tipo i 5)" *" ,6 a realizar.
C. %&n$ión objetivo Z ( min )=10.000 X 1 + 30.000 X 2 + 20.000 X 3
S.A 5 X 1 + 7 X 2 + 9 X 3 ≤ 10 anchos 5 X 1 + 7 X 2 + 9 X 3 ≤ 20 anchos
". No ne'atividad X 1 , X 2 , X 3 ≥ 0
2. <<3otores :ecreativos>> fabrica carritos para golf y ve(#culos para ni;os en sus tres plantas. La planta 1 produce diariamente $% carritos para golf y ,0 para ni;os= la planta K produce diariamente '0 carritos para golf y ninguno para ni;os= la planta C produce diariamente 0, ve(#culos para ni;os y ninguno para golf. Los costos diarios de operación de las plantas 1" K" C son" respectivamente" /*)%.%%%" /)D%.%%% y /)&*.%%%. Cuántos d#as" incluyendo domingos y feriados" debe operar cada planta durante el mes de septiembre" a !n de lograr una producción de ).0%% carritos de golf y ).)%% ve(#culos para ni;os" a un costo m#nimoM ConsidFrese que los contratos de trabao especi!can que una vez que la planta se abre" los trabaadores reciban el pago de todo el d#a. A. Comprensión del problema
-lanta 1 K C Restri$$iones
Carritos Nolf $% '0 %
Carritos Gi;os ,0 % 0,
Costos / *)%.%%% / )D%.%%% / )&*.%%%
).0%% Carros Nolf ).)%% e(#culos para ni;os
Objetivo 3inimizar los costos de producción de los carritos de Nolf y carritos para ni;os.
!. "e#ni$ión de variables X i 4 Cantidad de d#as tipo i 5)" *" ,6 que deben operar cada planta
durante el mes de ?eptiembre para lograr la producción establecida. C. %&n$ión objetivo Z ( min )= 210.000 X 1 + 190 .000 X 2 + 182 .000 X 3
S.A 40 X 1 A + 65 X 2 =1 .500 35 X 1 A + 53 X 3 C =1.100
". No ne'atividad X 1 A , X 2 , X 3 C ≥ 0 
