EJERCICIOS PROPUESTOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
MARIA ESTHER PALENCIA VILLADIEGO TANIA ZAMARA RHERNALS MARTINEZ
Tutor MARCOS CASTRO
UNIVERSIDAD DE CARTAGENA Programa: ADMINISTRACION FINANCIERA Área: ESTADISTICA APLICADA ALA INVESTIGACION V SEMESTRE CERETE 2013
EJERCICIOS PROPUESTOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
1. Un embarque de 7 televisores incluye dos defectuosos. Un hotel realiza una compra de manera aleatoria d 3 de estos aparatos. Si X es el número de televisores defectuosos comprados por el hotel encuentre la media o valor esperado de X. Respuesta: Sea
X= El número de televisores N= El tamaño de la población K= Numero de éxitos de la población n=Tamaño de la muestra n-K= Fracaso
Entonces: por distribución Hipergeométrica tenemos que: h( )
(
)
( )( ( )
)
X= 0,1,2,………..n
Entonces: h(
)
( )(
)
( )
Hallamos la función de distribuciónpara poder calcular el Valor esperado el cual está dado por: U= E(X) =∑ X p(X) p( )
( )( )
p( )
( )( )
p( )
( )( )
( )
( )
( )
U = E(X) =∑ X p(X)
==
Entonces: ∑x p(x) = ( )
( )
4. Suponga que las probabilidades 0.4, 0.3, 0.2, y 0.1 respectivamente , de que 0, 1, 2, o 3 fallas de energía eléctrica afecten una cierta subdivisión en un año cualquiera. Encuentre la media y la varianza de la variable aleatoria X que representa el número de fallas de energía eléctrica que afectan esa subdivisión. Respuestas: media =1 y varianza =1.
Solución: De acuerdo al enunciado del ejercicio se obtiene la siguiente tabla de valores.
Variable aleatoria X 0 1 2 3
P(X)
X * P (X)
X2
X2 * P(x)
0,4 0,3 0,2 0,1
0 0,3 0,4 0,3 ∑=1
0 1 4 9
0 0,3 0,8 0,9 ∑=2
Aplicamos la fórmula del valor esperado o media:
u= E (X)=∑ x * P (x) se obtiene E(x)= 1
de
la
tabla
Para hallar la varianza aplicamos la fórmula: Var(x) = ∑ x2= obtiene de la tabla que: Var(x) 2-1=1 Var (x) =1
p (x)- u2 se
6. La probabilidad de que el nivel del ruido de un amplificador de un banda amplia exceda 2 dB es 0.05. Encontrar la probabilidad de que entre 12 de esos amplificadores el nivel del ruido: a) Exactamente 1 exceda 2 dB. b) A lo más en dos exceda 2 dB. c) En 2 o más se excedan 2 dB. Respuestas: a) 0.3413 b) 0.9805 c) 0.1183. Solución:
Se trata de una distribución binomial, donde la probabilidad de éxito es P=0.05, el número de ensayos es n=12, los ensayos son independientes entre sí, entonces se cumple que: q=1-p q=1 -0.05 = 0.95 q=0.95 X es la variable aleatoria X=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) a) Hallamos la probabilidad de que exactamente 1 entre los 12 amplificadores, exceda 2 dB. Aplicamos la fórmula de la distribución binomial: B (x, n, p)= (Cn, x )* (Px)*(qx-n) Para los valores x=1 n=12 p=0.05 q=0.95 Se obtiene: (C12,1)* (0.051)*(0.95)12-1 =12*(0.05)*0.5688 =0.3412
b) Hallamos la probabilidad de que a lo más en dos amplificadores excedan 2 dB Debemos resolver: b) (0,12, 0.05)+ b (1, 12,0.05)+b (2, 12,0.05) =1*1*0.54036+12*(0.05)*0.5688+66*(2.5*10-3)*0.5987 =0.54036+0.34128+0.09878
=0.98042 c) Hallamos la probabilidad de que dos o más amplificadores excedan 2 dB Se debe resolver p(X ≥ 2) b(2,12,0.05)+b(3,12,0.005)+b(4,12,0.05)+b(5,12,0.05)+b(6,12,0.05)+b(7,12,0.05)+ b(0,12,0.05)+b(9,12,0.05)+b(10,12,0.05)+b(11,12,0.05)+b(12,12,0.05)
Aplicando la formula binomial y resolviendo obtenemos: 0.09879 + .01733 +2.052469 * 10-3 + 1.72838 * 10-4 + 1.061288 *10-5 + 4.787769 * 10-7 + 1.574924 * 10-8 + 3.68406 * 10-10 +5.81689 * 10-12 + 5.5664 * 10-14 + 2.31933 * 10-6 = 0.1183 La probabilidad de que dos o más amplificadores excedan 2 dB es de 0.1183
8. En promedio cada rollo de 500 metros de lámina de acero trae dos imperfecciones. ¿Cuál es la probabilidad de que a medida que se desenvuelva el primer rollo, la primera imperfección aparezca en el primer segmento de 50 metros? Respuesta: 0.1813. Solución: Aplicamos la fórmula de distribución de Poisson: P(x, )=
El promedio de imperfecciones es:
= 4*10-3
En un segmento de 50 metros el promedio será:
(50) * (4* 10-3) = 0.2 Remplazando valores para el primer segmento de 50 metros obtenemos: P(1,0.2) =
= 0.1637
La probabilidad de que a medida que se abre el primer rollo, la primera imperfección aparezca en el primer segmento de 50 metros es de 0.1637
10. A un mostrador llega un promedio de 0.5 clientes por minuto. Después de que la encargada abre el mostrador, ¿cuál es la probabilidad de que tenga que esperar por lo menos 3 minutos antes de que se presente el primer cliente? Respuesta: 0.2231.
Solución: Aplicamos la fórmula de distribución de poisson: P(x, )=
X=1 λ=0.5 * 3 = 1.5 Reemplazando valores obtenemos: p(1,1.5) =
= 0.3346
La probabilidad de que tenga que esperar por lo menos 3 minutos antes de que se presente el primer cliente es de 0.3346
12. Entre los 12 colectores solares en exposición en una feria comercial, 9 son planos y los otros son curvos. Si una persona que visita la feria toma 4 de esos colectores para examinarlos, ¿cuál es la probabilidad de que tres de ellos sean colectores planos? Respuesta: 0.5091. Solución: Aplicamos la fórmula de la distribución hipergeometrica: P(n, X, N, Xt)=
(
Debemos resolver
)
( (
) )
p(4,3,12,9) =
(
) (
(
) )
=
=
= 0.5090
La probabilidad de que tres de los colectores sean planos es de 0.5090
14. Entre los 300 empleados de una compañía, 240 están sindicalizados mientras que los otros no. Si se escogen 8 por sorteo para integrar un comité que administre los fondos de pensiones, calcule la probabilidad de que 5 están sindicalizados mientras que los otros no, utilizando: a) la fórmula para distribución hipergeométrica. b) la fórmula para la distribución binomial como una aproximación. Respuestas: a) 0.1470, b) 0.1468.
Solución:
a).Aplicamos la fórmula de distribución hipergeometrica: P(n, X, N, Xt)=
(
)
( (
Para los valores n = 8 P(8,5, 300, 240)=
) )
X=5
(
) (
N=300
(
Xt =240
)
=0.1470
)
b).La fórmula para la distribución binomial como una aproximación
b(x,n,p) = Cn,x * px * q n-x Con P=
=
= 0.8
P = 0.8 y q = 1-p = 1-0.8 = 0.2
q = 0.2 b (5,8,0,8) = C (8,5) * (0,8)5 * (0,2)8-5 = C (8,5) * (0,8)5 * (0,2)3 = 5 * (0.32768) * (8*10-3) = 0.1468
0.1470
15. La tabla siguiente muestra las probabilidades de que una computadora falle 0, 1, 2, 3, 4, 5, ó 6 veces en un día cualquiera; número de fallas: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 probabilidad: 0.17 0.29 0.27 0.16 0.07 0.03 0.01. Se pide calcular la media aritmética y la desviación estándar de ésta distribución. Para hallar la media se utiliza la expresión: U = ∑X*p(x) (0) x (0.17) + (1) x (0.29) + (2) x (0.27) + (3) x (0.16) + (4) x (0.07) + (5) x (0.03) + (6) x (0.01) = 1.8 Por propiedad:
=∑
(X- ) p(x)
= (0- ) (0.17) +0(1- ) (0.29) +(2) (0.07) +(5- ) (0.03) + (6- ) (0.01)
) (0.27) + (3-
) (0.16) + (4-
= 1.8 σ = √1.8 = 1.3426
19. Una variable aleatoria tiene distribución normal con desviación estándar igual a 10. Si la probabilidad de que asuma un valor menor que 82.5 es 0.8212. ¿Cuál es la probabilidad de que tome un valor mayor que 58.3? Solución: S=10;
P (X <82.5) = 0,8212
1- X= Z
Z= 1- 0.8212 = 0.1788 Z=0.1788
Ahora por tabla en la región de probabilidades Para 0,1788 le corresponde en Z de -0,92 Hallamos u para el ejercicio Z ð+ X= u
(-0,92) (10)+ 82.5= 73.3
u = 73.3
P (X >58,3) ( (
) )
( (
( 1 – 0,0668
) )
) Ahora tabla para Z < – 1.5 corresponde a un área de 0,9332
22 Las fallas debidas al desgaste de un componente eléctrico, siguen la distribución normal. Si los componentes de un determinado tipo tienen una vida útil promedio de 1000 horas con una desviación estándar de 25 horas, encuentre la proporción de componentes que tendrá una vida de desgaste en horas de: a) mayor que 1040 horas b) menor que 955 horas c) entre 1020 y 1049 horas. Respuestas: a) 0.0548 b) 0.0359 c) 0.7631. Solución: = 1000 = 25 Z=
a) para x= 1040; Z =
= 1.6
Entonces p( x>1040) = 0.5 – p(z = 1.6) = 0.5 – 0.4452 = 0.0548 La proporción de componentes con mayor de 1040 horas de desgaste es de 0.0548
b) para x = 955 ; Z =
= Z = = 1.8
Z = 1.8
Entonces p(<955) = 0.5 + p (Z = 1.8) = 0.5 – 0.4641 = 0.0359
La probabilidad hasta el valor z =0 es del 50%, es decir del 0.5 de toda la distribución. La proporción de componentes con vida de desgaste menor a 955 horas es de 0.0359
c) p (1020< x <1049)
Z1 Z
=
= Z = = 0.8
=
= Z = = 1.96
P(0.8 < Z < 1.96) = 0.2881 + 0.4750 = 0.7631 La proporción de componentes que tendrá una vida de desgaste entre 1020 y 1049 horas es de 0.7631
24 Se ha encontrado que durante la semana las velocidades de los vehículos que se mueven en cierto tramo de carretera tienen una distribución normal con media igual a 72 km./hora y desviación estándar igual a 16 km./hora: a) ¿Cuál es la velocidad mediana? b) Encuentre los cuartiles inferior y superior de la distribución. c) Si hay un límite de velocidad de 100 km./hora ¿qué porcentaje de vehículos exceden esa velocidad? Respuestas: a) 72 b) 61.28 y 82.72 c) 4.01%. Solución: = 72 = 16 a) La media es el valor central de la distribución, como esta es una distribución normal entonces coincide con el valor de la media, por lo tanto la velocidad mediana es 72 km/h b)
x=z
Z=
+
X1= -0.67 * 16 + 72 =61.28 ;
X2 = 0.67 * 16 + 72= 82.72
X1= 61.28 Es el cuartil inferior de la distribución X2 = 82.72Es el cuartil superior de la distribución c) P(x Z
=
100) =?
= = 1.75
z = 1.75
Utilizando la tabla P( X
100)= 0.5 – P (z = 1.75) = 0.5 – 0.4599 = 0.0401
El porcentaje de vehículos que sobre pasa los 100 km/h seria 0.0401 * 100 = 4.01
P (X
100) = 4.01%
26 Las especificaciones con la que se fabrican los tornillos de acero de sección transversal circular requieren que sus longitudes se encuentren entre 8.45 y 8.65 cm y sus diámetros entre 1.55 y 1.60 cm. Los tornillos producidos por una máquina tiene longitudes que siguen una distribución normal con una media de 8.55 cm y con desviación estándar de 0.05 cm y diámetros que siguen otra distribución normal independiente con media igual a 1.58 cm y desviación estándar de 0.01 cm. Encontrar: a) El porcentaje que estará fuera de los límites de longitud especificado. b) El porcentaje que estará fuera de los límites especificados de diámetro. Respuestas: a) 4.56% b) 2.41% Solución: Valores para las longitudes
= 8.55
; =0.05
Valores para los diámetros
=1.58
;
= 0.01
a) Para los valores de longitudes: Z
=
=
= -2
Z
=
=
=2
z1 = - 2 z2 = 2
P(8.45 < X < 8.65) = P (-2 < Z < 2) = 0.4772 + 0.4772 = 0.9544 El porcentaje de tornillos en longitudes dentro de los límites especificados es de 95.44%. Así el porcentaje de tornillos por fiera del límite especificado es de 100% - 95.44% = 4.56% b) Para los valores del diámetro Z1
=
=
=-3
; Z2 =
=2
P(1.55 < X < 1.60) = P(- 3 < Z < 2) = 0.4987 + 0.4772 = 0.9759 El porcentaje que esta fuera de los límites especificados es (1-0.9759) * 100% = (0.0241) * 100% = 2.41%
29. Como regla general, el 5% de ciertos productos manufacturados por un torno son defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que en 1000 de estos productos, haya 10 defectuosos? Respuestas: Como el 5% son defectuosos es decir 0,05 entonces q = 1 - P = 1 - 0,05 = 0,95
con n= 1.00
Sea X: La variable número de clientes, lapso por distribución binomial tenemos: Entonces por aproximación de normal o binomial tenemos U=npU= (1.000)(0,05)= 50 √
ð
)(
= √(
)(
)
√
= 6.89 = 6.9
Ahora por normal. )
P(
(
(
)
)
(
)
(
)
Luego por tabla para Z de 5.7 no existe, lo que indica que esta probabilidad es (0) ya sea que “n” es muy grande y “p” muy pequeño. 34 La anchura de una perforación sobre una lámina metálica, sigue la ley normal con media igual a 0.9 y desviación típica igual a 0.003. Los límites de especificación son 0.9± 0.005. a) ¿Qué porcentaje de láminas será defectuosa? b) ¿Cuál es el máximo valor permisible de la desviación típica si se desea que haya solo un defectuoso por cada 100? Respuestas: a) 9.5% b) 0.001938. Solución:
= 0.9 = 0.003 X1 = 0.9 – 0.005
a) X1 = 0.895
X2= 0.9 + 0.005
; X2 = 0.905
Z1
= - 1.66
=
; Z2 =
= 1.66
P(-1.66 < z < 1.66)= 0.4515 +0.4515 = 0.903 El porcentaje de láminas defectuosas es (1 – 0.903) * 100% = 9.7%
p(z1 < z < z2) = 0.99
b) Se quiere que
En la tabla los valores de z son -2.54 y 2.54. Z=
1 =
=
= 1.968 * 10 -3
= 1.968 * 10 -3
=
El valor máximo permisible para la es 0.001968
35. La probabilidad de que un individuo sufra una reacción por una inyección de un determinado suero es 0.001; determinar la probabilidad de que de 2000 individuos, más de 2 tengan reacción. Sugerencia: Utilice la fórmula de binomial y utilice alternativamente la distribución normal.
Respuestas: Como P es pequeño, P = 0.001 y n es muy grande N= 2000
Como U =np U= (2000)(0.001)= 2 ) npq Ahora como p + q = 1 q= 1-p q= 1 -0.001 = 0.999 entonces por aproximación de la normal en la binomial: = √npq remplazando = √(2000) (0.001) ( 0.999) = √1.998 = 1.41 sea X la variable aleatoria que tenga más de dos reacciones. P(X>2) = 1 – P (X<2) = 1- p (Z < X-U/ ) = 1-p(Z<1.5-2/1.41) =1-p(Z<-0.35) =1-(0.3632)
= 0.6368 36 En una distribución de probabilidad binomial, donde p = 1/4, encuentre la probabilidad de encontrar 25 o más éxitos en 80 experimentos. Respuesta: 0.123. Solución: P= = 0.25,
q = = 0.75,
n=80
P(X 25) = 1 – P(X 24) Según la tabla de distribución binomial P(X< 24) = 0.877 1
P(x
)
- P(x<24) = 1 – 0.877 = 0.123
La probabilidad de encontrar 25 o más éxitos en 80 experimentos es 0.123
40 En una distribución normal con media igual a 72 y desviación estándar igual a 12, existen 220 observaciones entre 42 y 90. ¿Cuántas observaciones comprende toda la distribución? Respuesta: 237 Solución: µ= 72
=2
Z1 =
=
Z2 =
=
x1 = 42
x2 = 90
= 2.5 = 1.5
P (42
1
= 237.32
Toda la distribución comprende 237 observaciones
43 De una caja que contiene 4 balotas negras y 2 verdes, se seleccionan 3 de ellas en sucesión con reemplazo. Encuentre la distribución de probabilidad para el número de balotas verdes. Respuesta: Para X= 0, 1, 2, 3, las probabilidades son: 64/216, 96/216, 48/216, 8/216 respectivamente
6 bolas
2 verdes
P =2/6 = 1/3 Es un caso de distribución binomial con parámetros n = 3 y p = 1/3 La fórmula es: P(X=x) = C(n, x) * p^x * (1-p)^(n-x) En este caso: P(X=x) = C(3,x) * (1/3)^x * (1-1/3)^(3-x) P(X=x) = C(3,x) * (1/3)^x * (2/3)^(3-x) La distribución de probabilidad es: P(X=x) = C(3,x) * (1/3)^x * (2/3)^(3-x) y desarrollada P(X=0) = C(3,0) * (1/3)^0 * (2/3)^(3-0) = 0.2963 P(X=1) = C(3,1) * (1/3)^1 * (2/3)^(3-1) = 0.4444 P(X=2) = C(3,2) * (1/3)^2 * (2/3)^(3-2) = 0.2222 P(X=3) = C(3,3) * (1/3)^3 * (2/3)^(3-3) = 0.0370 X=0 --> 0.2963 X=1 --> 0.4444 X=2 --> 0.2222 X=3 --> 0.0370
= = = =
64/216 96/216 48/266 8/216
47 Se sabe que en promedio un empleado de la empresa de acueducto de una gran ciudad, está en condiciones de atender y solucionar satisfactoriamente en una hora a 12 clientes que se presentan para hacer un reclamo. ¿Cuál es la probabilidad de que de 10 clientes que se presentan para hacer un reclamo, seleccionados aleatoriamente, 8 sean atendidos y reciban solución satisfactoria, antes de 4 minutos, contados a partir del momento en que les
toque su turno? Sugerencia: Ver ejemplo 5.26 página 132. Respuesta: 0.076
Solución: La probabilidad de que 10 clientes que se presentan para hacer un reclamo aleatoriamente y reciban solución satisfactoria antes de 4 mints.
