De 70 alumnos que se inscribieron al curso de probabilidad y estadística en el semestre anterior. 15 no lo terminaron, 20 obtuvieron una calificación de NA y el resto lo aprobaron, ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno acredite la materia? P(A)=35/70 = ½
En una caja hay 5 esferas blancas, 4 rojas y 3 negras. Se extrae una esfera, se observa su color y se regresa a la caja. Bajo estas condiciones, ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer 3 esferas, éstas sean de color rojo?
En una caja hay 5 esferas blancas, 4 rojas r ojas y 3 negras. Si se extraen al azar 3 esferas en forma consecutiva, sin reemplazo, ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 sean de color rojo? Sea R1 el evento extraer una esfera roja. P (R1 R2 R3) = P(R1) P(R2 / R1) P(R3 / R1 R2)= 4/12*3/11*2/10 = 24/1320 = 1/51
Una caja contiene 100 focos, 50 azules y 50 rojos; de los cuales, 10 son defectuosos: 6 azules y 4 rojos. ¿Cuál es la probabilidad de que un foco elegido al azar, sea defectuoso (evento D)? P(D) = 10/100 = 5/100 Si seleccionamos un foco al azar y se observa que éste es azul (evento A), ¿Cuál es la probabilidad de que el foco sea defectuoso, dado que es azul? Escribiremos P(D/A), para representar la probabilidad del evento D, dado A. Entonces,Puesto que hay 50 focos azules y de éstos, 6 son defectuosos P(D / A) = 6/50 = 3/25
Se tienen dos cajas. La caja I contiene 3 esferas rojas y 2 azules, en tanto que la caja II contiene 2 esferas rojas y 8 azules. Se arroja una moneda. Si se obtiene cara se saca una esfera de la caja I; si se se obtiene sello se saca una esfera de la caja II. R indica el evento “sacar una esfera roja” mientras que I y II indican los eventos escoger caja I y caja II, respectivamente. i)
Hallar la probabilidad de sacar una esfera roja.
ii)
ii) Hallar la probabilidad de que se escogiera la caja I, dado que la esfera es roja.
R/ i) P(R) = P(I)P(R / I) + P(II)P(R / II) P(R) = (1/2)(3/5)+(1/2)(2/10)=2/5
II) La persona que arrojó la moneda no da a conocer si resultó águila o sol (de tal manera que la caja de la cual se sacó la esfera se desconoce) pero indica que se extrajo una esfera roja. Buscamos la probabilidad de que se escoja la caja I y se sabe que se sacó una esfera roja. Empleando el teorema de Bayes, esta probabilidad está dada por: P(I/R) = P(I) P(R/I)/P(I)P(R/I)+P(II)P(R/II) P(I/R)= (1/2)(3/5)/(1/2)(3/5)+(1/2)(2/10)= ¾
En un Instituto Superior, el 25% de los hombres y el 10% de las mujeres estudian Biología. Las mujeres constituyen el 60% del estudiantado. Si se selecciona al azar un estudiante y resulta cursando Biología, determinar la probabilidad de que sea mujer.
A=”ser mujer”, B=”Estudiar biología Conocemos P(A)=60/100=0,6; P(A’)=0,4 P(B/A)=10/100=0,1; P(B/A’)=25/100=0,25 Podemos por lo tanto hallar P(A,B)=P(A).P(B/A)=0,6. 0,1=0,06 También podemos calcular P(A’,B)=P(A’):P(B/A’)=0,4.0,25=0,1 Construimos ahora la tabla de contingencia c ontingencia de las probabilidades
A A´ Total
B 0,06 0,1 0,16
P(A/B) = 0,06/0,16 = 6/16 = 3/8
B’ B’ 0,54 0,3 0,84
Total 0,6 0,4 1
La tabla a continuación nos presenta el ascenso a catedráticos de los profesores de una institución durante los últimos 5 años. ¿cuál es la probabilidad de que un profesor seleccionado al azar: Hombres Mujeres Total Ascendido 278 26 304 No Ascendido 662 194 856 Total 940 220 1160
¿cuál es la probabilidad de que un profesor seleccionado al azar sea hombre (H) y fue ascendido? P(H_A) = 278 / 1160 = .24 ¿cuál es la probabilidad de que un profesor seleccionado al azar sea hombre (H) y no f ue ascendido? P(H_A') = 662 / 1160 = .57 ¿cuál es la probabilidad de que un profesor seleccionado al azar sea mujer (M) fue ascendido? P(M_A) = 26 / 1160 = .02 18 ¿cuál es la probabilidad de que un profesor seleccionado al azar sea mujer (M) y no fue ascendido? P(M_A') = 194 / 1160 = .17 Calculemos ahora las probabilidades condicionales. a. probabilidad de que un profesor escogido al azar sea ascendido dado que es hombre (H) P(A/H) = 278 / 940 = .30 Alternativamente P(A_H) = P(H) • P(A/H) P(A/H) = P(A_H) = .24 / .81 = .30 P(H)
9. Una urna contiene 10 bolas, 6 blancas y 4 negras Si se saca una bola al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea blanca? 6/10
Se saca una bola de una urna que contiene 12 bolas, 7 azules y 5 blancas, ¿cuál es la probabilidad de que sea azul o blanca? En este caso tienes 12 bolas 7 azules y 5 blancas pues te kedaria asi P(A)=7/12 =0,583 =58% P(B)=5/12 =0,416 =41%
Un individuo que entra a una farmacia ti ene una probabilidad de comprar pasta dental de .45, de comprar desodorante de .35 y de comprar ambos de .25. Si ese individuo entra a la farmacia, ¿cuál es la probabilidad de que compre pasta dental o desodorante? P(p)=0.45 P(d)=0.35 P(p int d)=0.25 P(p o d)=P(p)+P(d)-P(p int d) =0.45+0.35-0.25=0.55
En la población de Colombia se ha estimado que la probabilidad de fumar es de .65 y la de fumar ocasionalmente de .20, ¿cuál es la probabilidad de no fumar para esa población? P(f)=0.65 P(fo)=0.20 P(f o fo)=0.65*0.20=0.85 p(nf)=1--p(f o fo)=1-0.85=0.15 en una universidad 40% poseen un diploma en el idioma Francés, 30% poseen un diploma en el idioma Italiano y 10% poseen un diploma en ambos idiomas. Si se escoge un miembro de esa comunidad al azar, ¿cuál es la probabilidad de que posea un diploma de francés o italiano? F : Diploma en Francés I : Diploma en Italiano P(F)=0.40 P(I)=0.30 P(F y I) = 0.10 P(F o I ) = P(F) + P(I) - P(F y I) P(F o I) = 0.40 + 0.30 - 0.10 = 0.60 , es decir el 60% poseen un diploma de Francés o Italiano.
Suponga que un distribuidor de autos recibe 12 nuevos modelos, 8 automáticos y 4 estándares. Si se venden cuatro autos el próximo mes, ¿cuál es la probabilidad pro babilidad de que los autos vendidos sean: i)
Dos automáticos y dos estándares?
ii)
Los 4 automáticos?
iii)
Los 4 estándares?
Las formas en que podemos elegir 4 autos de entre 12, son las combinaciones de 12 elementos tomados de 4 en 4: C(12,4) = 495 De ellas, las combinaciones que incluyen 2 automáticos y 2 estándares son las combinaciones de 8 elementos tomados de 2 en 2, multiplicadas por las combinaciones de 4 elementos tomados de 2 en 2: C(8,2)xC(4,2) = 28x6 = 168 La probabilidad serán los casos favorables entre los casos posibles, es decir: p = 168/495 = 0,34 (enséñale a tu profesor a redondear)
Las combinaciones en que los 4 son automáticos son las combinaciones de 8 elementos tomados de 4 en 4 C(8,4) = 70 Las combinaciones en que los 4 son estándares son las combinaciones de 4 elementos tomados de 4 en 4 C(4,4) = 1 Las combinaciones en que 4 son automáticos o 4 son estándares serán 70 + 1 = 71 La probabilidad serán los casos favorables entre los casos posibles, es decir: 71/495 = 0,1434
Para este tipo de problemas es fundamental f undamental el hecho de que todas y cada una de las combinaciones tienen la misma m isma probabilidad de suceder (son equiprobables).
55% de las personas de Cartagena viven vi ven en el área metropolitana, además, 70 % de esas personas se sienten felices y 40% de todas las personas viven en el área metropolitana y son felices. Demostrar si los eventos vivir en el área metropolitana y ser felices son eventos dependientes o independientes.
Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes y si P(A) = .30 y P (B) = .45, determinar P (Ac/B) y P (A / B).
LOS EVENTOS P(A)=30 Y P(B)=45 SUMAS P(A)+P(B)=75 P(A)=30/P(B)=45 =0,666 =66% El 50% de las personas de una comunidad poseen una cámara digital y una computadora. Además, 30% posee una computadora y 40% una cámara digital. ¿Cuál es la probabilidad que si seleccionamos una persona al azar posea una cámara o una computadora? P(A) =0.5 P(B)=0.3 P(AYB)= 0.4 P(A o B)= P(A)+P(B)-P(A o B) P(A o B) = 0.5+0.3-0.4=0.4= 40% De probabilidad de seleccionar a una persona al azar que posea una cámara/computadora
E = {(R, R), (R, V), (V,R), (V;V)}. p(R,R) = 3/ 5 2/ 5 = 6/ 25 ⋅ = , p( R,V) = 3 /5 3/ 5 = 9/ 25 ⋅ = p(V,R) = 2 /5 2/ 5 = 4/ 25 ⋅ = , p(V,V) = 2/ 5 3/ 5= 6 /25 ⋅ = p(mismo color) = 12/25; p(mismo color) = 13/25.
Lanzamos una moneda hasta observar la segunda cara. ¿Cuál es la probabilidad de observar dos cruces antes de que se observe la segunda cara? Los casos en que esto ocurre son: CXX ó XX ó XCX, que son incompatibles. por lo tanto la probabilidad de su unión , (A), es la suma de sus probabilidades. P(A)= 1/8 + 1/4 + 1/8 = 4/8 = ½
Se lanza un dado 6 veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener puntuación par en los lanzamientos impares e impar en los lanzamientos pares? Sea A el suceso obtener impar en los lanzamientos pares y par en los impares. Como son independientes se tendrá: p(A) = (3/6)^6= 1/64
Un 65% de los alumnos de un centro han aprobado Matemáticas, un 70% ha aprobado Filosofía, y un 53% ha aprobado ambas materias. Si se elige al azar un estudiante, calcúlese la probabilidad de que: i) Haya aprobado al menos una de las dos materias. ii) Haya perdido ambas materias iii) Si aprobó Matemáticas ¿Cuál es la probabilidad de haber aprobado filosofía? Designamos por M el suceso aprobar Matemáticas y por F el de aprobar Filosofía. a) p(M∪F) = 0,65 + 0,70 - 0,53 = 0,82; b) p(Mc ∩ Fc ) = 11 - 0,82 = 0,18 c) p(F/M) = 0 53/ 0 65 = 0,815 Un jugador de tenis tiene una probabilidad de ganar una partida .25. Si juega 4 partidas, calcula la probabilidad de ganar más de la mitad Se pide la probabilidad de ganar 3 ó 4 partidas. p(ganar 3)= 4!/3!1!= (0,25)^3 (0,75)=4(0,25)^3 (0,75), P(ganar 4)= (0,25)^4
Suponiendo que la riqueza es independiente del sexo, calcular: a) Las probabilidades que faltan en la tabla b) La probabilidad de que sabiendo que una persona no es pobre que sea hombre. c) La probabilidad de que una persona sea rica o mujer
A)
Rico/a 0,001214 0,000786 0,002
Hombre Mujer
Pobre 0,605786 0,374214 0,98
Total 0,607 0,393 1
b) Como son independientes p(H/ R) = 0,607 c) p(R ∪ M) = 0,002 + 0,393 - 0,000786 = 0,394214
Un aparato está formado por dos partes A y B. El proceso de f abricación es tal que la probabilidad de un defecto en A es 0,06 y la probabilidad de un defecto en B es 0,07. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto no sea defectuoso? p =0,94.0,93 = 0,8742
Se lanzan 6 bolas en 3 cajas de modo que cualquiera tenga la misma probabilidad de caer en cualquier caja. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres cajas queden ocupadas? Supongamos que la probabilidad de que una bola caiga fuera de una caja es nula, entonces la probabilidad de que una bola caiga en una determinada caja es 1/3. Llamemos a las cajas a, b y c. Sea A el suceso que no caiga ninguna bola en la caja a. “B “C
“ “
“
b.
“
c.
El suceso A ∪B ∪ C es el de que al menos una caja quede vacía. La probabilidad pedida es la del suceso contrario. Vamos a aplicar la fórmula [1]. p(A) = p(B) = p(C) = (2/3)6 y p(A ∩ B) = p(B ∩C) = p(A ∩ C) = (1/3)6 . Luego p(A ∪B ∪ C) = 3(2/3)6 - 3(1/3)6 = 63/243, y por lo tanto p = 180/243 = 20/2
El gerente de una fábrica de juguetes planea la introducción de un juguete nuevo al mercado. En el pasado el 40% de los juguetes introducidos por esta compañía al mercado han tenido éxito. Antes de lanzar un nuevo juguete, se realiza una investigación de mercado y se elabora un informe. En el pasado el 80% de los juguetes con éxito recibieron informes favorables y el 30% de los juguetes sin éxito también recibieron informes favorables. El gerente de la fábrica quiere conocer la probabilidad de que el nuevo juguete tenga éxito, dado que se recibe un informe favorable. Sean los eventos S, F, S´ y F´ donde S= “Juguete con éxito”. F=“Informe favorable”. S´= “Juguete si éxito”. Con los datos que nos han proporcionado podemos notar que * PS=0.40 * PS´=0.60 * PF|S=0.80 * PFS´=0.30 Entonces PSF= PF|S*PSPS*PFS+PS´*PFS´ =0.80(0.40)0.800.40+0.300.60 = 0.320.32+(0.18) =0.64 Es decir, que la probabilidad de que un juguete tenga éxito, dado que recibió un informe favorable, es de 0.64. Por lo tanto, la probabilidad deque un juguete no tenga éxito puesto que recibió un informe favorable es de 0.36, por que solo hay dos eventos posibles esto es que PS´F=1-PSF. =0.36
Dos maquinas A y B han producido p roducido respectivamente, 100 y 200 piezas. Se sabe que A produce un 5% de piezas defectuosas y B un 6%. Se toma una pieza y se pide: a) Probabilidad a) Probabilidad de que sea defectuosa. b) Sabiendo b) Sabiendo que es defectuosa, probabilidad de que proceda de la primera máquina. A 'Piezas fabricadas por la máquina A'. · B 'Piezas fabricadas por la máquina B'. · D 'Piezas defectuosas'. ≡
≡
≡
· P(D|A) = 0.05. · P(D|B) = 0.06. Número de piezas fabricadas: · Por la máquina A: 100 · Por la máquina B: 200 Número total de piezas: 100+200 = 300 Probabilidad de escoger una pieza: · De la máquina A: P(A) = 100/300 = 1/3.
· De la máquina B: P(B) P (B) = 200/300 = 2/3. Pasamos a resolver los apartados que nos propone el enunciado del problema.
partado a)
En este apartado nos piden obtener la probabilidad de que la pieza seleccionada sea defectuosa, para ello, debemos emplear el teorema de la Probabilidad la Probabilidad Total : P(D) = P(D|A)·P(A) + P(D|B)·P(B) = 0.06·(1/3) + 0.06·(2/3) = 17/300 Por lo tanto, la probabilidad de que una pieza sea defectuosa, independientemente de la máquina de la que provenga, es de, aproximadamente 0.056667 0.056667..
Apartado b) En esta ocasión, debemos obtener la probabilidad de dada que la pieza es defectuosa, sea de la máquina A, para resolver este apartado, emplearemos la Ley la Ley de Bayes: Bayes: Por lo tanto, la probabilidad de dado que una pieza es defectuosa, sea de la máquina A es de, aproximadamente, 0.294118 0.294118..
Un banco ha estimado por experiencias ex periencias anteriores que la probabilidad de que una persona falle en los pagos de un préstamo personal es de 0.3. También ha estimado que el 40% de los préstamos no pagados a tiempo se han solicitado para financiar viajes de vacaciones y el 60% de los préstamos pagados a tiempo se han solicitado para viajes de vacaciones. Se pide calcular la probabilidad de que un préstamo que se haga para financiar un viaje de vacaciones no sea pagado a tiempo. Solucion A= ‘una persona falla en los pagos de su préstamo personal B= ‘una persona recibe un préstamo para financiar fi nanciar viajes de vacaciones P(A)= 0,3 P(B/A)=0,4 P(B/A_) = 0,6 De donde P(A_)= 0,7 P(B_/A_)=1-P(B/A_)= 1-0,6 = 0,4 P(B_/A)=1-P(B/A)=1-0,4= 0,6 a) Por el teorema de Bayes: P(A/B)= P(A) P(B/A)/ P(A) P(B/A)+P(A)P(B/A)= (0,3)(0,4)/(0,3)(0,4)+(0,7)(0,6)=0,22
b) P(A_/B_) = P(A_) P(B_/A_)/ P(A_) P(B_/A_)+P(A) P(B_/A)= (0,7)(0,4)/(0,7)(0,4)+(0,3)0,6)= 0,608
En una confiter´ıa hay 6 urnas que contienen 14 caramelos de naranja y de lim´on; una tiene 8 de naranja y 6 de lim´on; dos urnas contienen 7 de naranja y 7 de lim´on y tres urnas contienen 6 de naranja y 8 de lim´on. Se elige una urna al azar y se extraen 3 caramelos sin reemplazamiento en dicha urna. Sabiendo que 2 son de naranja y 1 de lim´on, ¿cu´as es la probabilidad de que la urna elegida contenga 7 caramelos de naranja y 7 de lim´on?. Soluci´on: 49/137.
Un estudio neurológico sobre la relación entre la presión sanguínea alta y la incidencia de derrame cerebral encontró que: Para personas mayores de 70 años, el 10% tendrá un derrame dentro de los próximos cinco años De todos los pacientes de 70 años o más que han tenido un derrame, el 40% tenía presión alta Para personas de 70 años o más que no ha sufrido de derrame, el 20% tiene presión alta. Un paciente de 74 años visita a su médico y éste le encuentra con la presión alta. ¿Cuál es la probabilidad de que sufra un derrame cerebral en los próximos cinco años?
Sean los sucesos A1: Para personas mayores de 70 años, tener un derrame dentro de los l os próximos cinco años A2:Para personas mayores de 70 años, no tener un derrame dentro de los próximos cinco años P(A1)+P(A2)=1 Por lo que es una partición del espacio muestral B: Tener la tensión alta P(A1)=0,1 P(A2)=0,9 P(B|A1)=0,4 P(B|A1)=0,2 P(A1|B)=(P(A1)·P(B|A1))/(P(A2)·P(B|A2)+P(A2)·P(B|A2))=0,1·0,4/(0,1·0,4+0,9· 0,2)= =0,04/0,22=0,1818181818
En una fábrica de televisores las máquinas I,II y III producen respectivamente el 28%, el 32% y el 40% del total. t otal. En la producción de cada máquina el 3%, 4% y el 5% son televisores defectuosos. Se toma al azar un televisor de la producción total y se le encuentra defectuoso
¿Cuales son las probabilidades que haya sido producido por: (a) la máquina I (b) la máquina II (c) la máquina III
P(D) = P(I)*P(D/I) + P(II)*P(D/II) + P(III)*P(D/III) P(D) = (.28)(.03) + (.32)(.04) + (.40)(.05) P(D) = .0412 (a) P(I/D) = (P(I)*P(D/I))/P(D) P(I/D) = (.28*.03)/.0412 P(I/D) = .203 -----> respuesta (a) (b) P(II/D) = (P(II)*P(D/II))/P(D) P(II/D) = (.32*.04)/.0412 (. 32*.04)/.0412 P(II/D) = .310 ------> respuesta (b) (c) P(III/D) = (P(III)*P(D/III))/P(D) P(III/D) = (.40*.05)/.0412 P(III/D) = .485 -----> respuesta
Una moneda es lanzada cinco veces. D efinir espacios muestrales diferentes de acuerdo con los siguientes objetivos: i) Sólo el número de caras es de interés. ii) El resultado de cada lanzamiento individual es de interés. iii) Mostrar que cualquier espacio muestral satisfactorio para (ii) puede ser también usado en (i), pero que la afirmación recíproca no es cierta.
1. Si cada suceso suceso elemental ω =”numero =”n umero de caras de caras obtenidas en los cinco lanzamientos”, un posible espacio muestral es Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. 2. Si es importante el resultado de cada uno de los lanzamientos, estos deben quedar reflejados en el espacio muestral. Un suceso elemental puede ser definido por (C, C, X, C, X) que nos indica que en el primer y segundo lanzamiento de la moneda hemos obtenido cara, en el tercero cruz, el el cuarto cara y en el quinto cruz. Si en un lanzamiento ω, ωi indica el resultado del i-´esimo lanzamiento, i ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, un posible espacio muestral es Ω = {ω = (ω1, ω2, ω3, ω4, ω5) , ωi ∈ {C, X}, i ∈ {1, 2, 3, 4, 5}}. 3. Si tomamos un suceso del espacio muestral del apartado 2 podemos calcular el número de caras que han salido (espacio muestral del apartado 1). Sin embargo, a partir del número de caras que se han obtenido en los cinco lanzamientos l anzamientos no podemos saber el resultado de cada lanzamiento individual. El suceso seguro es aquel que siempre ocurre, es decir es el espacio muestral Ω. El suceso imposible i mposible o nulo es aquel que nunca ocurre, es decir el ∅.
Un jugador italiano expresó su sorpresa a Galileo, por observar que al jugar con 3 dados la suma 10 aparece con más frecuencia que la 9. Según el jugador los casos favorables al 9 serán: 126, 135, 144, 225, 234 y 333; y al 10: 136, 145, 226, 235, 244 y 334. Pero Galileo vio que estas combinaciones no se pueden considerar igualmente probables. Explicar por qué y calcular las correspondientes probabilidades. Solución Consideremos como espacio muestral: muestral : Ω = {w = (w1, w2, w3) : wi ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} , i = 1, 2, 3} , donde cada wi representa el resultado del lanzamiento del i− ´esimo dado (i = 1, 2, 3). N´otese que este espacio es equiprobable y |Ω| = 6^3 . La probabilidad de obtener resultados que sumen nueve es: 3! · [P ({(1, 2, 6)}) + P ({(1, 3, 5)}) + P ({(2, 3, 4)})] + (3 sub2) ¶ · [P ({(1, 4, 4)}) + P ({(2, 2, 5)})] + P ({(3, 3, 3)}) = 1 6 3 · · 6 · 3 + µ 3 2 ¶ · 2 + 1¸ = 25 216 . Por otra parte, la probabilidad en el caso de que la suma sea igual a diez es: 3! · [P ({(1, 3, 6)}) + P ({(1, 4, 5)}) + P ({(2, 3, 5)})] + ( 3sub 2) · [P ({(2, 2, 6)}) + P ({(2, 4, 4)}) + P ({(3, 3, 4)})] = 1 6 3 · · 6 · 3 + ( 3sub 2) · 3 ¸ = 1/ 8 , que es mayor que 25/216.
Un joven tiene un pleito sobre el que cree firmemente que él tiene la razón. Sabe que hay dos tribunales: Tribunal A: formado por 3 personas que, con independencia, tienen probabilidad p, p, 1/2 respectivamente de emitir un informe individual correcto. El informe colectivo se obtiene mediante la regla de la mayoría entre los tres informes individuales. Tribunal B: formado por 1 persona que tiene probabilidad p de emitir un informe correcto. ¿Por cuál de los dos tribunales debería optar el joven? Solucion El tribunal A emite un informe conjunto acertado cuando se da uno de los siguientes sucesos: A1= “los dos miembros con probabilidad p aciertan” (esto ocurre debido a que por la regla de la mayoría esto implica que el informe conjunto será acertado, sin importar el informe del miembro con probabilidad ½) A2= “uno de los dos miembros de probabilidad P acierta y el otro no, y el miembro con probabilidad ½ acierta” Puesto que ambos sucesos son disjuntos, laprobabilidad de que el tribunal acierte es P(A1)+P(A2)= P^2+2p(1-p) 1Sub2=P Es decir, los dos tribunales tienen la misma probabilidad de emitir un informe acertado sobre un pleito.
Un banco ha comprobado que la probabilidad de que un cliente con fondos extienda un cheque con fecha equivocada es de 0.001. En cambio, todo cliente sin fondos pone una fecha errónea en sus cheques. El 90% de los clientes del banco tienen fondos. Se recibe hoy en caja un cheque con fecha equivocada. ¿Qué probabilidad hay de que sea de un cliente sin fondos? Eventos: A: Que se extienda B: Que el cliente tenga fondos
un
cheque
Datos: P(A|Bc) = 1 P(A|B) = 0.001 P(B)= 0.90 P(BC)= 0.10 Operaciones: P(A∩B) = P(B) . P(A|B) = (0.90)(0.001) = 0.0009 P(A∩BC) = P(BC) . P(A|BC) = (0.10)(1) = 0.10 Resultado: P(A∩BC)/P(A) = 0.10/0.90 = 0.99
con
fecha
equivocada equivocada
En una bolsa hay cinco bolas, blancas o negras. Se extrae una bola y es blanca. H´allese la probabilidad de que en la bolsa haya dos blancas y tres negras si para formar la urna se tiraron cinco monedas y se metieron tantas blancas como caras resultaron y tantas negras como cruces. Representemos un suceso elemental como: w = (w1;w2;w3;w4;w5;w6) ; donde w1;w2;w3;w4 y w5 representan los resultados de los lanzamientos de la moneda, y por tanto tambi´en la composici´on de la urna. Adicionalmente, w6 representa el color de la bola extra´ıda de la urna. Denotemos por Ci (i = 0; 1; 2; 3; 4; 5) el suceso de obtener i caras en los 5 lanzamientos de la moneda, es decir, que la urna contenga i bolas blancas y 5 ¡ i bolas negras, y sea B el suceso “extraer una bola blanca de la urna”. Entonces el problema se resuelve mediante los siguientes calculos: 4/(1+1)^4= ¼
Un examen de oposición consta de 14 temas. Se debe escoger un tema de entre dos tomados al azar. Calcular la probabilidad de que a un alumno que ha preparado 5 t emas le toque al menos uno que sabe. ¿Cuál es el número mínimo de temas que debe preparar para que tenga una probabilidad superior a 1/2 de superar el examen? Definimos el suceso A = ”Le toca al menos un tema que ha preparado”. Entonces: p(A) = 1 − p(A c ) = 1 – –(( 14−5 14−5 sub 2)/ (14 sub2 )= 55/ 91 Que es la probabilidad que se pide calcular. Finalmente, supongamos que i = ” número de temas preparados por el alumno”. Para superar el examen le debe tocar al menos un tema que haya preparado. Por lo tanto, la probabilidad de aprobar el examen sería p(A) = 1 – 1 – ( (14−i 14−i sub2)/( 14sub 2) > 1 /2 y resolviéndola se concluye que el alumno debe preparar como mínimo 4 temas.
