UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER Taller de Fisica III Movimientos Armónicos 1. Demostrar que la energía total de un péndulo simple que se mueve con oscilaciones de pequeña amplitud φ amplitud φ es aproximadamente: 1 E = gmLφ2 2 2. Un gran bloque P P ejecuta un movimiento armónico simple horizontal deslizándose sobre una superficie sin fricción con una frecuencia f . f . Un bloque B descansa sobre él como se ilustra en la Figura 1, y el coeficiente de fricción estática entre los dos es µ . ¿Qué amplitud máxima de oscilación puede tener el sistema si el bloque no se desliza. s
Figura 1
3. Un péndulo simple de longitud L está sujeto a un carro que desliza sin rozamiento hacia abajo por un plano inclinado que forma un ángulo θ con la horizontal, como muestra la Figura 2. Determinar el periodo de oscilación del pendulo.
Figura 2
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4. Una masa m está unida al extremo de un resorte sin masa con constante de fuerza k y longitud no estirada l 0 . El otro extremo del resorte puede girar libremente alrededor de un clavo incrustado en una superficie horizontal sin fricción (Figura 3). Se hace que la masa gire en un círculo con frecuencia angular de w .
Figura 3
a )
Calcule la longitud l del resorte en función de w .
b)
¿Cómo cambia √ el resultado del inciso a) cuando w se acerca a la frecuencia natural w = km del sistema masa-resorte?. (Si el resultado le parece extraño, recuerde que los resortes sin masa y las superficies sin fricción no existen; sólo son descripciones aproximadas de resortes y superficies reales. Además, la ley de Hooke misma es sólo una aproximación al comportamiento de los resortes reales; cuanto más se alargue un resorte, más se desviará su comportamiento de la ley de Hooke.)
5. Dos varillas delgadas idénticas, cada una con masa m y longitud L, se unen en ángulo recto para formar un objeto en forma de L, el cual se balancea sobre la cúspide de un triángulo agudo (figura 4). Si el objeto en forma de L se desvía un poco, oscila. Calcule la frecuencia de oscilación.
Figura 4
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6. Hallar el periodo de las pequeñas oscilaciones de un cilindro de radio r que rueda, sin deslizar, por el interior de una superficie cilíndrica de radio R (Figura 5).
Figura 5
7. La Figura 6 muestra un pequeño disco delgado de radio r y masa m que esta rígidamente unido a la cara de un segundo disco delgado de radio R y masa M . El centro del disco pequeño se localiza en el borde del disco grande, el cual está montado en su centro sobre un eje sin fricción. El arreglo se hace girar un angulo θ a partir de su posición de equilibrio y se suelta.
Figura 6 a )
Demuestre que la velocidad del centro del disco pequeño cuando pasa por la posición de equilibrio es:
v = 2 a )
Rg (1 − cosθ) M/m + (r/R)2 + 2
12
Muestre que el periodo del movimiento es:
(M + 2m) R + mr 12 2
T = 2π
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2mgR
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8. En el caso del sistema eléctrico de la figura 7 hallar: a )
La frecuencia de resonancia, w.
b)
la anchura de la resonancia γ .
Figura 7
9. Un péndulo de torción está constituido por un hilo vertical AB y un disco macizo unido al hilo en O (Figura 8). La constante de torción del hilo es C . a )
Hacemos oscilar el péndulo de torsión y comprobamos que el periodo de sus oscilaciones es T 0 = 0,5s. Calcular el momento de inercia del disco con respecto al eje que coinside con el hilo.
b)
Sumergimos el sistema en un líquido viscoso y lo hacemos oscilar como en el primer caso. Se comprueba que en cada oscilacion la amplitud, que decrece regularmente, ∆T toma un valor igual a la mitad del valor presedente. Calcular las variaciones T 0 y ∆T que experimenta el período de este péndulo cuando oscila en el líquido.
Figura 8
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10. Imagine que se hace un túnel desde un extremo de la Tierra hasta el otro pasando por el centro. Un objeto de masa m a una distacia r es atraído hacía el centro de la Tierra debido a la masa encerrada a esa distancia. Demuestre que el objeto experiemnta un movimiento armónico simple. Asuma que la Tierra es perfectamente esférica con densidad ρ. ¿Cuánto tiempo duraría un viaje de extremo a extremo de la Tierra?. 11. Un tablón horizontal de masa m y longitud L se articula en un extremo. El otro extremo del tablón está sostenido por un resorte con constante de fuerza k. El momento de inercia del tablón en torno al eje es 31 mL2 . El tablón se desplaza un ángulo pequeño θ desde su posición de equilibrio horizontal y se libera. Demuestre que el tablón se mueve 3k con movimiento armónico simple con frecuencia angular w 2 = . m
12. La figura muestra un metrónomo invertido, donde la masa M se puede situar entre los extremos A y B . Despreciar el peso de la barra rígida OAB. OA = L , OB = 10L , la masa de la barra del péndulo se considera despreciable. a )
Encuentre la ecuación diferencial que gobierna el movimiento cuando la masa M está situada a una distancia h del punto O.
b)
Cuál es la frecuencia natural de la oscilación cuando M está primero localizada en A y luego en B
13. Encuentre la ecuación de la trayectoria de un punto sometido a dos movimientos oscilatorios armónicos rectangulares dados por las ecuaciones x = 3sin(wt) Universidad Industrial de Santander Fisica III - Movimientos Armónicos
y = 5sin(wt − π/6) 5
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14. El cuerpo D de la figura tiene una masa de 10 kg y está soportado por un resorte con una constante de 1000 N/m. El cuerpo en la parte superior da al resorte un movimiento armónico vertical por medio de la manivela que tiene una velocidad angular de 40 rpm. La longitud de la manivela es de 1,30 cm. a )
determine la amplitud y ángulo de fase del movimiento de la masa D cuando el coeficiente de amortiguación es 100 N.s/m y cuando se desconecta el amortiguador.
b)
Determine el rango de valores de w (si hay alguno) que limitará al movimiento de la masa a 2 cm. Cuando b = 0.
NOTA: Ejercicio Reto
En la figura las tres masas están unidas por una varilla rígida, sin peso. Las dos masas m están sostenidas por resortes de constantes k. Suponiendo que las masas tienen movimientos rectilineaos y que el ángulo de rotación de la varilla es muy pequeño,hallar las ecuaciones de movimiento de las masas m. Datos: Cuando los resortes no esten sometidos a tensión tomaremos x = 0 e y = 0 para t = 0; x 0 = a, x˙ 0 = 0, y 0 = 0, y˙ 0 = 0.
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