UNIVERSIDAD
DEL VALLE SEDE TULUÁ ESCUELA DE INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN ASIGNATURA: ANÁLISIS Y MÉTODOS NUMÉRICOS Profesor: Efraín Vásquez Millán. Ecuaciones s TALLER N 3. Ecuacione o
en una variable ariable
Semestre 2015 - 01
1.
Méto Método do de Bise Bisecc cció ión n
1. Considere Considere el metodo de bisección bisección iniciando con el interv intervalo alo [1 · 5, 3· 5] a. ¿Cuál es la longitud del intervalo en el nésimo paso de este método?
b. ¿Cuál es la máxima distancia posible entre la raíz r y el punto medio de este intervalo? intervalo?
2. En el método de bisección bisección,, un intervalo intervalo [ an−1 , bn−1 ] es dividio a la mitad, y una de estas mitades es escogida para el próximo intervalo. intervalo. Defina dn = 0 si [an, bn] es el intervalo de la mitad izquierda del intervalo [an−1 , bn−1 ], y dn = 1 en cualquier otro caso. Exprese la raíz determinada por el algoritmo(de bisección) en términos de la sucesión d1 , d2 , · · · 3. Utilice un método gráfico, para localizar aproximación para todas las raíces de la ecuación no lineal ln( x + 1) + tan(2x) = 0 4. Use el método de bisección para encontrar un cero de la ecuación λ cosh
50 λ
= λ + 10
5. Para cada una de las siguientes funciones, halle un intervalo [a,b] de manera que f (a) y f (b) tengan distinto signo. a. f (x) = e x − 2 − x b. f (x) = cos(x) + 1 − x
c. f (x) = ln (x) − 5 + x d. f (x) = x 2 − 10x + 23
6. Aplique el método de bisección para encontrar las soluciones exactas dentro de 10−2 para x4 − 2x3 − 4x2 + 4x + 4 = 0 en cada intervalo. a. [−2, −1]
b. [0, 2]
c. [2, 3]
d. [−1, 0]
7. Demuestre que f (x) = x3 − x − 1 tiene exactamente un cero en el intervalo [1,2]. Aproxime el cero con 10 −2 de precisión usando el algoritmo algoritmo de bisección. bisección. 8. Use el algoritmo de bisección para encontrar soluciones correctas a 10−5 para las siguientes problemas:
1
c. ex − x2 + 3x − 2 = 0 . para 1 ≤ x ≤ 2
a. x − 2−x = 0 . para 0 ≤ x ≤ 1 b. ex + 2−x +2cos x − 6 = 0. para 1 ≤ x ≤ 2 9. Encontrar una aproximación de Considere f (x) = x 3 − 25 ].
√ 25 correcta a 10−4 usando el algoritmo de bisección. [Sug.: 3
10. Encuentre una cota al número de iteraciones necesarias para alcanzar una aproximación con exactitud de 10−3 a la solución de x3 + x − 4 = 0, que se encuentra en el intervalo [1, 4]. Encuentre una aproximación a esta raíz con este grado de exactitud. 11. Sea f (x) = (x − 1)10 , p = 1, y pn = 1 + n1 . Demuestre que |f ( pn )| < 10−3 siempre que n > 1, pero que | p − pn| < 10−3 requiere que n > 1000. n
12. Sea { pn } una sucesión definida por pn = pn diverge.
(
k=1
1 k
) . Demuestre que l´ım ( pn n
→∞
− p −1) = 0 , pero que n
13. Un paracaidista (y por supuesto su paracaídas) cae desde el reposo. El peso combinado del paracaidistta y su paracaídas es W . El paracaídas tiene una fuerza actuando sobre él (debido a la resistencia del aire) la cual es proporcional a la velocidad en cualquier instante durante la caída. Asumiendo que el paracaídas cae verticalmente hacia abajo y que el paracaídas ya está abierto cuando el salto ocurre, describa el movimiento resultante. 14. Use el método de bisección para determinar el coeficiente de rozamiento necesario para que un paracaidista de masa m = 68· 1kg tenga una velocidad de 40 ms después de una caída libre de t = 10 s.
2.
Iteración de punto fijo
15. Pruebe que la sucesión {xn } definida recursivamente por
x = −15, x = x = 3 − |x |, 0
n
1 2
n+1
n
(n
≥ 0)
16. Resuelva en cada caso a. Demuestre que cada una de las funciones siguientes tiene un punto fijo en p precisamente cuando f ( p) = 0 , donde f (x) = x 4 + 2x2 − x − 3.
i. g1 (x) = 3 + x − ii. g2 (x) =
x+3
4
−x
2
2x2
1 4
1 2
iii. g3 (x) = iv. g4 (x) =
3x4 +2x2 +3 4x3 +4x 1
x+3 x2 +2
1
2
−
b. Efectúe 4 iteraciones, si esto es posible, en cada una de las funciones g definidas en (a). Tome p0 = 1 y pn+1 = g ( pn ) para n = 0, 1, 2, 3. c. ¿Cuál función de iteración cree usted da la mejor aproximación a la solución? 2
17. Usa el teorema visto en clase (existencia y unicidad del punto fijo) para demostrar que g (x) = 2 −x tiene un punto fijo único en [ 13 , 1]. Use la iteración de punto fijo para encontrar una aproximación al punto fijo, con una precisión de 10−4 . Use alguno de los corolarios para estimar el número de iteraciones requeridas para alcanzar 10 −4 de precisión.
√
18. Use el procedimiento de iteración de punto fijo para encontrar una aproximación a 25 que sea exacta a 10 −4 . Compare su resultado y el número de iteraciones requeridas con la respuesta obtenida en el ejercicio 9. 3
19. Para cada una de las siguientes ecuaciones, determine una función g y un intervalo [a, b] en el cual la iteración de punto fijo convergerá a una solución positiva de la ecuación. a. 3x2 − e−x = 0
b. x − cos(x) = 0 .
Encuentre soluciones con 10 −5 de precisión. 20. Para cada una de las siguientes ecuaciones, determine un intervalo [a, b] en el cual la iteración de punto fijo converge. Estime el número de iteraciones necesarias para obtener aproximaciones exactas a 10−5 , y efectúe los cálculos. 2
a. x = 2−e 3+x x
b. x =
d. x = 6−x
e. x =
ex
3
c. x = 5−x
3.
5
x2
+2
f. x = 0· 5(sin x + cos x)
Métodos de Newton-Raphson, secante y falsa posición
√
21. Diseñe la fórmula de iteración de Newton para computar R donde R > 0. Realice un análisis gráfico de su función f (x) para determinar el valor inicial para el cual la iteración tendrá convergencia. 3
22. Si utilizamos el método de Newton con f (x) = x 2 − 1 y x 0 = 1010 , cuántos pasos se requieren para obtener la raíz con una aproximación de 10 −8 ? (Solve analíticamente, no experimentalmente). 23. Use el método de Newton-Raphson para aproximar, con una exactitud de 10−4 , el valor de x que produce el punto en la gráfica de y = x 2 más cercano al punto (1, 0). [ Sugerencia : Minimice [d(x)]2 , donde d(x)representa la distancia de ( x, x2 ) a (1, 0)]. 24. Escriba la fórmula de iteración del método de Newton-Raphson en para determinar en forma simplificada el recíproco de la raíz cuadrada de un número positivo. Realice dos iteraciones para 1 aproximar ±√ , iniciando con x0 = 1 y x0 = −1. 5 25. Dada la sucesión definida por xn+1 = x n − tan xn con x0 = 3. Calcule l´ım xn n
→∞
26. Resolver 4 cos x = e x con una exactitud de 10−4 , usando: a. El método de Newton p0 = 1 b. El método de la secante con p0 =
π
4
y p1 = π2 .
27. Sea f (x) = x 2 − 6. Con p0 = 3 y p1 = 2, encuentre p3 3
a. Aplique el método de la secante. b. Aplique el método de la falsa posición.
c. ¿Está (a) ó (b) más cerca de
√ 6.?
28. Si utilizamos el método de la secante en f (x) = x 5 + x3 + 3 y x n−2 = 0 y xn−1 = 1, ¿qué es x n? 29. Aproxime con 10−4 de precisión las raíces de las siguientes ecuaciones en los intervalos dados usando el método de Newton-Raphson a. x3 − 2x2 − 5 = 0, [1 , 4] b. x3 + 3x2 − 1 = 0, [ −4, 0]
c. x − cos x = 0, [0 , π2 ]
30. Use el método de Newton-Raphson para aproximar, con una precisión de 10 −4 , el valor de x que produce el punto en la gráfica de y = x1 más cercano a (2 , 1). 31. La función f (x) = (4(xx−−2)7) tiene un cero en p = 1· 75. Use el método de Newton-Raphson con las siguientes aproximaciones iniciales. a. p0 = 1· 625 b. p0 = 1· 875 c. p0 = 1· 5
d. p0 = 1· 95. e. p0 = 3. f . p0 = 7.
Explique los resultados gráficamente. 32. La suma de dos números es 20. Si a cada número se le añade su raíz cuadrada, el producto de las dos sumas es igual a 155· 55. Determine los dos números con una exactitud de 10 −4 . 33. Use al algoritmo de Horner para evaluar p(3), donde p es el polinomio p(z ) = z 4 − 4z 3 +7 z 2 − 5z − 2 34. Utilizar el método de iteración de Newton para el polinomio del ejercicio anterior con aproximación inicial de z0 = 0. 35. Use el algoritmo de Horner para evaluar p (4), donde p es el polinomio p(z ) = 3 z 5 − 7z 4 − 5z 3 + z 2 − 8z + 2 . 36. Para el polinomio del ejercicio anterior, encuentre la expansión de Taylor alrederor de z 0 = 4. 37. Para el polinomio del ejercicio 35 aplique el método de Newton con z0 = 4. ¿Cuál es el valor de z1 . 38. Obtenga las aproximaciones, con una exactitud de 10−4 a todos los ceros reales del siguiente polinomio aplicando el método de Newton a. P (x) = x 3 − 2x2 − 5 b. P (x) = x 4 + 2x2 − x − 3
c. P (x) = x 3 + 4· 001x2 + 4· 002x + 1· 101
39. Obtenga aproximaciones con un grado de exactitud de 10−5 a todos los ceros de los siguiente polinomio, encontrando primero los ceros reales mediante el método de Newton y reduciendo luego los polinomios de menor grado para determinar los ceros complejos.
4
a. P (x) = x 4 + 5x3 − 9x2 − 85x − 136 b. P (x) = x 4 − 2x3 − 12x2 + 16x − 40
c. P (x) = x 3 − 7x2 + 14x − 6
40. Repita el ejercicio 38 aplicando el método de Müller. 41. Repita el ejercicio 39 aplicando el método de Müller. 42. Aplique los métodos siguientes para obtener una solución con una exactitud de 10−4 para el problema 600x4
− 550x3 + 200x2 − 20x − 1 = 0
a. Método de bisección b. Método de Newton c. Método de la secante
para
0· 1
≤ x ≤ 1
d. Método de la falsa posición e. Método de Müller
5