1) Un cole colecc ccio ioni nist sta a de arte arte viaj viaja a una una vez vez al mes, mes, en prom promedi edio, o, para para asis asisti tirr a subastas. En cada viaje se garantiza una compra. El tiempo entre los viajes tiene distribución exponencial. Determine lo siguiente: a) La probabilidad de que el coleccionista no compre obras de arte en un periodo de 3 meses. b) La probabilidad de que el coleccionista no compre ms de ! obras de arte por a"o. c) La probabilidad de que el tiempo entre viajes sucesivos sea ma#or que $ mes.
SOLUCIÓN a) %robabilidad de que el coleccionista no compre obras de arte en un periodo de 3 meses.
λ =
1 1
=1
λ =1 Compra / mes
P0
(3 )
=
( 1 x 3 )0
−
∗e
1 x 3
0,049 ≈ 4,9
=
0!
b) %robabilidad de que el coleccionista no compre ms de ! obras de arte por a"o. P8 (12 ) =
( 1 x 12 )8∗e−1 x 12 8!
0,06 55 ≈ 6,5 =0,06
c) %robabilidad de que el tiempo entre viajes sucesivos sea ma#or que $ mes. − 1 x 2
P2=1 x e
=0,135
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2) El &irs &irstt 'an( 'an( o) *pri *pring ngda dale le tien tiene e un caje cajero ro auto autom mti tico co que que desp despac ac+a +a a auto automov movil ilis ista tas s que que )orm )orman an una una lne lnea. a. Los Los ve+ ve+cu culo los s llega llegan n sigu siguie iend ndo o una una distribución de %oisson, con una )recuencia de $- por +ora. El tiempo necesario para para +acer +acer una una tran transac sacci ción ón en el cajero cajero es expon exponen enci cial, al, con con minut minutos os de prom promed edio io.. En la lne lnea a cabe cabe un tota totall de $/ autom automóv óvil iles. es. Una vez vez llena llena,, los los automóviles que lleguen deben irse a otra parte. 0alcule lo siguiente: a) La probabilidad de que un ve+culo que llegue no pueda usar el cajero, porque la lnea est llena. b) La probabilidad de que un ve+culo no pueda usar el cajero inmediatamente al llegar. c) La cantidad promedio de ve+culos en la lnea. Solución λ =12 automóviles / hora
n =0,1,2,3 … 10
μ=
60 6
Pn=
=10 Automóviles / horas
( ) 12
10
n
p0 , n =0,1,2,3 … 10 =0,
P0 ( 1+ 1.2 + 1.2 + … + 1.2 2
10
), P = 0
10
1−1.2
1−1.2
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a) %robabilidad de que un ve+culo que llegue no pueda usar el cajero, porque la lnea est llena.
( )
P10=
10
12 10
p0=0.1925
b) %robabilidad de que un ve+culo no pueda usar el cajero inmediatamente al llegar. Pn ≥ 1=1 − P0=1− 0.0311=0.9689
c) 0antidad promedio de ve+culos en la lnea ¿ 0 P0+ 1 P1 + 2 P2+ … + 10 P10
1
( ( ( ( (
P =
P2= P3=
P4 = P5=
12 10 12 10 12 10 12 10 12 10
) ) ) ) )
p0 =0.0373
P6=
2
p0= 0.0448
P7=
3
p0 =0.0537
P8=
4
p0 =0.0645
5
p0 =0.0774
P9=
( ( ( (
12 10
12 10 12 10 12 10
) ) ) )
6
p 0=0.0929
7
p0 =0.1114
8
p0 =0.1337
9
p 0=0.16050
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( )
P10=
12 10
10
p0=0.1925
1∗0.03732 + 2∗0.04479 + 3∗0.05375 + 4∗ 0.0645 + 5∗ 0.0774 + 6∗0.09288 + 7∗0.11145 + 8∗0.13374 + 9∗0.16