TALLER UNO REPASO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS
TANIA DURAN MADRIGAL(080350382015)
TUTOR: LUIS GUILLERMO CARO
UNIVERSIDAD DEL TOLIMA “CREAD TUNAL/BOGOTÁ” PROGRAMA ADMINISTRACION FINANCIERA CALCULO UNIVARIADO II SEMESTRE – JUNIO 2016
TALLER UNO REPASO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS Ejercicio 1. Indique si el enunciado es falso (F) o verdadero (V). a. Todo número natural es entero. ( F) b. Algún número entero es natural. (V ) c. Todo número racional es entero. ( F) d. Algún número entero es racional. (V ) e. Todo número irracional es entero. (F) f. Algún número real es irracional. (V) g. Todo número real es racional. (V) h. Todo número real es racional o irracional. (V) i. Algún número real es entero. (V) j. Todo número natural es irracional. (F ) k. Todo número racional es entero. (F ) l. Algún número racional es natural o entero. ( V) m. Todo número entero es irracional. (F ) n. Todo número entero es positivo. ( F) o. Todo número entero es negativo. (F ) Ejercicio 2. Clasifique los números según su tipo (N, Z, Q, I). Escriba una X si el número corresponde al conjunto. Conjunto numérico/Núm ero 4
N
Z
I
X
3/8
X X
√5 −3. .3
X
π 6
Q
X X
−2.666 …
X
∛8
X
π −1
X
2.0005
X
√2
X
∜ 81
X
−1.86
X
√ −2
X
√3 5−1
X
2
X
5.0009−7
X
−1
X
e1
X
1/e1
X
−e1
X
2!
X
Ejercicio 3. Ubique los números de la tabla anterior en la misma recta numérica real.
Ejercicio 4. (Consulta) Escriba las reglas de las operaciones para los números reales. Use un ejemplo para cada regla. Complete la tabla. REGLA
NOMBRE
EJEMPLO
a (b+c) = ab + ac
Ley distributiva de la multiplicación respecto de la suma Ley del inverso de la multiplicación
4 · (2 + 3) = 4 · 2 + 4 ·3
Ley asociativa de la multiplicación Ley del inverso de la suma Ley conmutativa de la multiplicación Ley del neutro de la suma Ley del neutro de la multiplicación Ley asociativa de la suma Ley conmutativa de la suma
4 (3 · 2 )=(4 · 3)2
1 a · =1 a a · (b · c)= (a · b) · c a + (- a) = - a + a = 0 a·b=b·a a+0=a a·1=a (a + b) + c = a + (b + c) a + b = b +a
1 5 · =1 5
-3 + 3 = 0 4·2=2·4 4+0=4 5·1=5 (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) 2 +3 = 3 +2
Ejercicio 5. Algunas reglas básicas de las operaciones para los números reales aparecen en la tabla. Escriba los ejemplos que faltan. REGLA
NOMBRE
EJEMPLO
a+b=b+ a
Ley conmutativa de la suma Ley asociativa de la suma
7+5=5+7
a(b+c )=(a+b)+c
6 + ( 9 + 3) = ( 6 + 9) +3
a+0=a
Ley del neutro de la suma Ley del inverso de la suma Ley conmutativa de la multiplicación Ley asociativa de la multiplicación Ley del neutro de la multiplicación Ley del inverso de la multiplicación
a+ (−a ) =0 ab=ba a( bc)=(ab) c a ·1=1· a=a
a
( 1a )=1 a ≠ 0
Ley distributiva de la multiplicación respecto de la suma
a ( b+c ) =ab+ac
7+0=7 2 + (- 2) = 0 (8 · 6) = (6 · 8) 5 · (4 · 3) = ( 5 · 4) · 3 9·1=1·9=9 1 2· =12 ≠ 0 2 6 (5 + 8) = (6 · 5) + (6 · 8)
Ejercicio 6. Algunas reglas básicas de las operaciones para los números reales aparecen en la tabla anterior. Úselas para realizar las siguientes operaciones. Muestre el procedimiento utilizado. a.
8+(9−13)·5
= 8 +(-4) =4 · 5
·
5
= 20 b.
−12+6 · [ ( 6−13 ) · 5+12 ] = - 12 + 6
·
[ (−7 )∗5+12 ]
= - 12 + 6
·
[ −35+12 ]
= - 12 + 6
·
[ −23 ]
=-6
·
[ −23 ]
= 138
c.
−12+6 · [ ( 6−13 )−(2· 5+11−14) ] +17
= - 12 + 6
·
[ (−7 )−( 10 ) +11−14 ]+17
= - 12 + 6
·
[ −1 7−3 ] + 17
= (- 12 + 6) ·(−20+17) = - 6 · (-3) = 18
d.
12 ·5−11 ·(−14) ( 5−13 )−¿+17 [ ( 6−13 )−(−10) ] ¿ 60−11· (−14) ( −8 ) −¿+17 [(−7 ) −(−10)] = ¿ 49∗(−14) = (−8)−¿+17∗[ 3 ] ¿ = [ (−8 ) +686 ] +51 = 678 = 729
+ 51
Ejercicio 7. Resuelva las siguientes operaciones usando las reglas para realizar las cuatro operaciones básicas ( +,−,× , ÷ ) con números racionales. 3 −2
a. 4 + 5
= 15 + (-8) 20 =
5
7 20 3
b. 2 − 7
= 35 – 6 14 = 29 14
c.
5 3 − 2 7 ( 6( ¿)−(−10) ] 7¿
=7
35−6 14 ( 6(¿)−(−10) ] ¿
=7
29 14 ( 6(¿)−(−10) ] ¿
=7
29 14 ( 6(¿)+10 ] ¿
[ [
=7 =7 =7
=
174 +10 14
]
174+140 14
[ ] 314 14
1099 7
]
=7
= 157
5 2 · 3 10 d.
(6 ·(¿)+(10 ÷ −43 )] −2· ¿
[ ] 157 7
10 30 =
(6 ·(¿)+( −430 )] −2 · ¿
[
60 30 = −2 · 30 + −4 = −2 ·
[ [
−240+ 900 −120
660 = −2 · −120
=
]
−22 −2
]
] [ ]
11 = = −2 · −2
= 11
Ejercicio 8. Escriba algunos renglones sobre la definición de los números pi, e, y el número de oro.
NUMERO π (PI) Es un número irracional y es la constante que relaciona el perímetro de una circunferencia con la amplitud de su diámetro. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:
Euclides fue el primero en demostrar que la relación entre una circunferencia y su diámetro es una cantidad constante.18 No obstante, existen diversas definiciones del número , pero las más común es:
es la razón entre la longitud de cualquier circunferencia y la de su diámetro.
Además
es:
El área de un círculo unitario (de radio que tiene longitud 1, en el plano geométrico usual o plano euclídeo). El menor número real
positivo tal que
.
NUMERO DE EULER El número e es un número irracional famoso, y es uno de los números más importantes en matemáticas. Las primeras cifras son: 2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...) Se lo suele llamar el número de Euler por Leonhard Euler. e es la base de los logaritmos naturales (inventados por John Napier). Por otra parte los logaritmos comunes tienen base 10. Los números de Euler de índice impar son todos cero. Los de índice par tienen signos alternados. Los primeros valores son: E0 = 1 E2 = −1 E4 = 5 E6 = −6 E8 = 1358 E10 = −5052 E12 = 2702765 E14 = -199360981 E16 = 19391512145 E18 = -2404879675441 E20 = 370371188237525 NUMERO DE ORO “AUREO” Es un número irracional; un rectángulo áureo es aquel que se puede dividir en un cuadrado y otro rectángulo menor pero semejante al inicial. La ecuación se expresa de la siguiente manera:
El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a más largo que b), que cumplen la siguiente relación. La longitud total, suma de los dos segmentos a y b, es al segmento mayor a, lo que este segmento a es al menor b. Escrito como ecuación algebraica:
Siendo el valor del número áureo φ el cociente: Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre la del segmento mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del segmento mayor entre la del menor. Ejercicio 9. Resuelva las siguientes operaciones usando las reglas para realizar las cuatro operaciones básicas ( +,−,× , ÷ ) con números irracionales (raíces inexactas).
a.
√ 3+5 √3−12 √ 3 =-6
b.
√ 5+5 √3−12 √ 5 =
c.
d.
−11 √ 5 +
5 √3
√ 5· 3 √5 =
3 √5 · 5
=
3 √ 25
4 √5 ÷ 2 √5
= e.
√3
4 √5 2
= 2
√5
[(4 √5 ÷ 2 √5)· √ 5−2 √ 5]
4 = [( 2 √ 5)·−1 √ 5 ] = [2 √ 5 ·−1 √5] −2 √ 5 ·5
=
= −2 √ 25
Ejercicio 10. Simplifique las siguientes expresiones usando las reglas para las expresiones exponenciales para los números reales. 0
a.
3
b.
2
c.
53 = 125
d.
−3
e.
3 −¿ ¿ ¿
f.
3−2
=1
−1
=1÷2=
2
1 2
= 0,5
= 9
2 =- 3
=9
= 1 ÷ (3 · 3) =
1 2 3
=
1 9
= 0,11
Ejercicio 11. Resuelva los siguientes problemas con fracciones y porcentajes. Muestre el procedimiento utilizado. 1. Un traje costaba 150 euros antes de las rebajas. En la época de rebajas el mismo traje costaba 120 euros.
a) ¿Qué rebaja nos hicieron (en %)? 100% · 120 = 12000 ÷ 150 = 80% R) La rebaja que nos hicieron del traje fue del 80% b) Si nos rebajasen el 15% ¿cuánto nos costaría? 15% ÷ 100 = 0.15 · 150 E = 22.5 E 150 E 22.5 E = 127.5 E R) El traje nos costaría 127.5 Euros c) Si los 120 euros son sin IVA y el IVA es del 16% ¿cuánto nos costará el traje? 120 E · 16% = 1920 ÷ 100% = 19.2 Euros 120 E + 19.2 E = 139.2 Euros R) El traje nos costara con IVA 139.2 Euros 2. En una clase de 50 alumnos hay 30 chicas y 20 chicos, de los 50 alumnos un 10% son repitentes y de estos el 20% son chicas. a) ¿Qué porcentaje representan los chicos dentro de la clase? ¿Y las chicas? 100% · 30 = 3000 ÷ 50 = 60% chicas 100% · 20 = 2000 ÷ 50 = 40% chicos R) En la clase los chicos representan el 40% y las chicas el 60% b) ¿Cuántos chicos repiten curso? 10% ÷ 100 · 50 = 5 repitentes 20% ÷ 100 · 5 rep.= 1 chica R) 4 Chicos repiten curso c) Si hay 5 chicas rubias ¿qué porcentaje representan dentro de las chicas? ¿Y dentro de la clase? 60% ÷ 100 · 5 Chicas rubias= 3% dentro de las chicas 100% · 5 chicas rubias = 500 ÷ 50 = 10% dentro de la clase R) Dentro de las chicas de la clase representa el 3% y en la clase Representa el 10% 3. El número de alumnos del Instituto bajó en los últimos 4 años un 15% cada año. Si ahora hay 522, ¿cuántos alumnos había hace 4 años? 522 alumnos · 15% = 7830 ÷ 100% = 78.3 Alumnos 78.3 · 4 años = 313.2 alumnos 522 alumnos ahora + 313.2 alumnos en 4 años = 835.2 alumnos hace 4 años
R) Hace 4 años habían 835.2 alumnos
4. Alicia tiene unos ingresos anuales de 17640€. Dedica el 30% a pagar el alquiler de la casa. Del resto dedica un tercio a alimentación, otro tercio a gastos de energía, transporte, agua y teléfono y del tercio restante, dedica 5/7 a ocio ahorrando el resto. a) Calcula cuánto dinero dedica mensualmente y anualmente a los siguientes apartados: vivienda; alimentación; gastos de energía, transporte, agua y teléfono; ocio; ahorro. 17640 ÷ 100%= 176.4 · 30% = 5292 alquiler casa 1 3 = 100% ÷ 3= 33.3 · 1= 33.3 Alimentacion 1 3
= 100% ÷ 3= 33.3 · 1= 33.3 energía, transporte, agua,
teléfono 5 7 = 33.3% ÷ 7= 4.7 · 5= 23.5 ocio 5382.1 € ÷ 12 meses= 448.5 R) La suma de los gastos anuales es de 5382.1 y mensuales es de 448.5 . b) ¿Qué porcentaje del sueldo ahorra?, ¿qué porcentaje dedica a ocio?, ¿qué porcentaje de sus ingresos se lleva la alimentación? 33.3 - 23.5= 9.8 ahorro 17640 € - 5382.1 = 12257.9 ahorra al año
5.. Una empresa dispuso en 2006 de un presupuesto de 75600€. Sus gastos durante el año fueron los siguientes: A salarios se dedicaron los 3/7 del presupuesto. Del resto, 1/9 a gastos de telefonía, 1/18 de electricidad, 5/9 al alquiler del local comercial, 7/30 al mantenimiento de los equipos informáticos y 1/25 a mantenimiento en el mobiliario.
a) Dibuja un diagrama en árbol que represente la situación descrita en el enunciado. b) ¿Qué parte del presupuesto suponen los gastos de telefonía? 1 9 = 100% ÷ 9= 11.11 · 1= 11.11% R) La parte del presupuesto que suponen los gastos es de 11.11% c) ¿Qué porcentaje del presupuesto supone el alquiler del local comercial? 5 9 = 100% ÷ 9= 11.11 · 5= 55.55 % R) El presupuesto que supone el alquiler del local comercial es de 55.55% d) Teniendo en cuenta el dinero disponible en el presupuesto y los gastos producidos, ¿la empresa ha tenido beneficios o pérdidas? 3 7 = 100% ÷ 7= 14.28 · 3= 42.84% salarios 1 9
= 100% ÷ 9= 11.11 · 1= 11.11% telefonía
1 18
= 100% ÷ 18 = 5.55 · 1= 5.55% electricidad
5 9
= 100% ÷ 9= 11.11 · 5= 55.55 % alquiler local comercial
7 30
= 100% ÷ 30= 3.33 · 7= 23.31 % mantenimientos
equipos 1 25 = 100% ÷ 25= 4 · 1= 4 % mantenimiento mobiliario Suma total del % de los gastos = 142.36% R) Según el porcentaje de los gastos que es de 142.36% la empresa ha obtenido perdidas de 42.36% del dinero disponible en su presupuesto.
FUNCIONES DE VARIABLE REAL Usando alguno de los programas Excel o Derive (u otro programa que usted utilice), trace la gráfica de las siguientes funciones de variable real. También puede hacerlo con papel y lápiz. Si usa un programa, debe imprimir el trabajo. En cada gráfica, determine el valor mínimo y máximo que alcanzan los valores en el eje x y en el eje y. Además, indique si los valores para x tienen alguna restricción (división por cero, raíces negativas, etc.). 1.
y=x +1
2.
y=1−x
3.
y=x 2
4.
y=x
5.
y=x 2 +1
3
2
6.
y=1−x
7.
y=( x+1)2
2
8.
y=( x−1)
9.
y=x +5 x+6
2
10.
y=x 2−5 x−6
11.
y=
1 x
12.
y=
−1 x
13.
y=
1−x x
14.
y=
1+ x x
15.
y=
1+ x 1−x
16.
y=
1−x 1+ x
1 x2
17.
y=
18.
y=sin x
19.
y=cos x
20.
y=tan x
21.
y=cot x
22.
y=sec x
23.
y=csc x
24.
y=√ x
25.
y=√ 1+ x
26.
y=√ 1−x
27.
y=√ x−1
28.
y=ln x
