Tarbajo colaborativo 2: Ecuaciones diferenciales

Octubre de 2015

Ecuaciones diferenciales Momento II

VÍCTOR JULIO MARTÍNEZ BARRIOS CESAR DAVID FLOREZ LÓPEZ JISSELL ORTIZ YULIS PAOLA VERGARA ARROYO RAFAEL ESTEBAN TAPIA UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

Tabla de contenido Introducción ....................... ................................................ .................................................. ................................................... ..................................... ........... 2 Objetivos ........................ ................................................. .................................................. ................................................... ......................................... ............... 3 3.1 3.2

Objetivo General........................... General.................................................... .................................................. ............................................. .................... 3 Objetivos Específicos ....................... ................................................ ................................................... ......................................... ............... 3

Desarrollo de los ejercicios: Fase I ........................................................... ........................................................................... ................ 4 4.1 Temática: Ecuaciones diferenciales de orden superior ...................... ...................................... ................ 4 4.2 Temática: Demostración soluciones lineales independientes ..................... ............................ ....... 8 4.3 Temática: Solución de ecuaciones diferenciales de orden superior ................. 10 4.3.1

Variación de parámetros: ....................... ................................................. ................................................... ........................... 10

4.3.2 Coeficientes indeterminados: ...................... ............................................... ............................................... ...................... 11 4.4 Temática: Operadores diferenciales ...................... ............................................... ........................................... .................. 12 4.5 Temática: Solución de ecuaciones diferenciales ........................ .............................................. ...................... 13 Desarrollo de los ejercicios: Fase II .......................................................... ........................................................................ .............. 14 5.1 5.2

Solución problema planteado: ...................... ................................................ ................................................... ........................... 14 Revisión a solución planteada: ..................... ............................................... ................................................... ........................... 16

Conclusiones ......................... .................................................. ................................................... ................................................... .............................. ..... 20 Referencias bibliográficas ............................................ ...................................................................... ........................................... ................. 21

Introducción

El siguiente informe se entrega como evidencia del desarrollo del trabajo colaborativo dos, del curso Ecuaciones Diferenciales, de la universidad nacional abierta y a distancia UNAD. En el mismo se abordan los temas correspondientes a la unidad II del mencionado curso, a través del desarrollo de 2 actividades asociadas cada una de ellas a una temática diferente. En la actividad inicial se aborda la identificación y solución de ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas. Como segundo punto se realizan diferentes procesos de solución de ecuaciones diferenciales de orden superior y en la actividad final, se revisa la aplicación de las ecuaciones diferenciales de orden superior en la solución de problemas de la vida real.

Objetivos 3.1

Objetivo General

Poner en práctica las temáticas abordadas en la unidad dos del curso de ecuaciones diferenciales. 3.2

Objetivos Específicos



Identificar ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes y lineales no homogéneas.



Resolver ecuaciones diferenciales de orden superior usando las temáticas abordadas en la unidad II del curso.



Aplicar los conceptos de ecuaciones diferenciales de orden superior en la solución de problemas de la vida real.

Desarrollo de los ejercicios: Fase I 4.1

Temática: Ecuaciones diferenciales de orden superior

Indique cuáles de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes y cuáles son diferenciales lineales no homogéneas y resuélvalas: A. B. C.

D. E.



 2 8=0  8 16=0  2   = 0 Donde 0 =0,  0 = 1 3 14 58=0  4 4=0 Donde 1 =1,  1 = 1

Solución A.

 2 8=0 Donde 0=0,´0=1 Retomamos la ecuación original:

 2 8=0  ó    ℎé    Comenzamos de la ecuación auxiliar:

 28=0 42 = 0 Las raíces de la ecuación auxiliar son  =4   = 2 Como son raíces reales y distintas, entonces:

 =    = − 

 Ahora, aplicando las condiciones iniciales a la solución general de la ecuación. Primero,

0 = −∗ ∗ = 0, da que   = 0, por lo tanto son opuestos.  A partir de la derivada:

 =4− 2 0 =4 2 = 1  Ahora, resolviendo algebraicamente   = 0 y 4 2 = 1 se tiene  = 1⁄6   = 1⁄6. Entonces, la solución del problema de valor que: inicial es:  = 16 −  16  B.

 8 16=0  Donde 0=0,´0=1 Solución: Retomemos la ecuación original:

 8 16=0 Hallamos la ecuación auxiliar:

 816=0 , = 8±√ 26 464 =  82 = 4

Tenemos entonces que las dos raíces

     son iguales, en tal caso

usamos la solución general para ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes y con raíces iguales:

 =   

Reemplazando tenemos la solución a la ecuación diferen cial planteada:

 = − −  Ahora, aplicando las condiciones iniciales a la solución general de la ecuación. Primero:

0 = −∗ 0−∗ = 0 0 =  = 0  ∗ 1 = 0  =   =4− 4− 0 =4 4 = 1 0 =40  4 = 1 4 = 1  =   Entonces, la solución del problema de valor inicial es:

=−   − C.

 2   = 0  Donde 0=0,´0=1 Solución: Retomemos la ecuación original:

 2   = 0

Ecuación característica

 21=0 ↓ ↓  1 1 = 0 Tiene dos raíces complejas repetidas  =  = 1  = − − Luego la solución general es:  =    Es una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficiente constante. D.

3 14 58=0  Donde 1 =1,1 = 1 3r14r58 = 0 =≫ r= -b ±√b2a-4ac  4358 14± √ 1 96696 14±√ 500 14 ±14 = = = 6 23 6 5 = 14±10√  6 2(7±5√ 5 ) = 7±5√ 5 =≫  = 75√ 5 ,  = 75√ 5 6 3 3 3 Solución:

Por tanto la solución general de la ecuación diferencial es:

yx=Ce- cos 5√ 35 x Ce- sen 5√ 35 x = e- C cos 5√ 35 x C sen 5√ 35 x

E.

y 4y  4 = 0  Donde 1 =1,1 = 1 m 4m4=0 m2m2 = 0 m=2 m=2 y = ce cxe 1 = ce ce y = 2ce 2cxe 1=2cc 2ce c c = 1 2 2c 2c = 1 2c 2c =2 2c 2c = 1 0=1

Es inconsistente para esas condiciones iniciales.

4.2

Temática: Demostración soluciones lineales independientes

  y ||; son soluciones linealmente independientes de la siguiente ecuación diferencial:  4  6=0 En el intervalo ∞ ∠  ∠ ∞ Demostrar que

Solución:

  || no son linealmente independientes, quiere decir que la ecuación  =     | | no es solución de la ecuación diferencial      4  6=0 Verificando tenemos que:   =   ,   ≥ 0 1   | |  =    = {1  =  ,   < 0   ,   ≥ 0  = {3 3  ,   < 0 Suponiendo que

,   ≥ 0  = {66  ,   < 0 Para  ≥ 0, tenemos lo siguiente: 6 4.3  6  = 0 6  12  6  = 0 0=0 Para  < 0, tenemos lo siguiente: 6 4.3  6  = 0 6  12  6  = 0 0=0  Ahora,  =     || es la solución de la ecuación diferencial, por tanto contradice la implicación, y se concluye que   || son linealmente independientes. Otra manera de demostrarlo es de la siguiente forma:   =   ,   ≥ 0 1 1    =  || = {1  =  ,   < 0 2  Aquí se denota que para (1), sea  ≥ 0 es igual a cero solamente cuando  =  = 0, pero si esto sucede en la ecuación (2) da como resultado =2, lo cual no es cero y no cumple. De igual forma la ecuación (2), sea para  < 0  la ecuación es solamente cero cuando  =  ≠ 0, pero usando este hecho la ecuación (1) da como resultado =2 lo cual no es cero siempre, entonces no existen constantes distintas de cero tal que la función sea cero para todo x en los reales, luego concluimos que son linealmente independientes; adicionalmente como vimos anteriormente  =  || es solución de la ecuación diferencial.

4.3

Temática: Solución de ecuaciones diferenciales de orden superior 4.3.1 Variación de parámetros:

Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de variación de parámetros:

 =

Solución:

Comenzamos de la ecuación auxiliar:

  1 = 0 Como las raíces de la ecuación auxiliar son  =   = , la función complementaria es  =  cos sin . Ahora,  =     . Sustituimos  = cos ; =sin   =sec   y calculamos el Wronskiano. Así: cos cos sin =cos sin  = 1 cos,sin = sin sin =sec ∗sin=sec∗tan  = sec0  cos cos sec0 =cos∗sec =sec  = sin Entonces:  = ∫  = ∫ sec∗tan 1  = ∫sec ∗tan  = sec  = ∫  = ∫ sec 1  = ∫sec  =ln|sectan| En consecuencia:

 =sec∗cosln|sectan|∗sin  = ln|sectan| ∗sin1 Y la solución general de la ecuación es:

 =   =   || ∗

4.3.2 Coeficientes indeterminados:

Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de coeficientes indeterminados:

 3 2=31 Solución:

 3 2=31

 32=0 21 = 0  = 2  = 1  =   =     =   =  032   =31 322=31 223=31 2=3 →= 32 2332=1→2=5,5→= 5,25  =   ,  =    =     32  5,25

 =

4.4

Temática: Operadores diferenciales

Encontrar un operador diferencial que anule a: A. B. C.

3  2 1  

Solución: A. Pendiente B. Pendiente

  Tenemos entonces: =1  =2 Por lo tanto el operador diferencial que anula la ecuación es:  = 

C. Retomamos:

4.5

Temática: Solución de ecuaciones diferenciales

Resolver la siguiente ecuación diferencial:

     = 0 Solución:

Tenemos que:

=

 =  Entonces:

 Además

 = −     = −       Reemplazando en la ecuación diferencial:

   −    −         = 0

 



Simplificando:

       = 0    Es una ecuación diferencial homogénea de coeficientes constantes, por lo tanto: El polinomio característico es:

 =   1 = 0 Entonces: 1 =  ; 2 =  Luego la solución general es:

 =        ;   =    =        

Desarrollo de los ejercicios: Fase II

5.1

Solución problema planteado:

Una masa que pesa 4 lb, estira un resorte 3 pulgadas al llegar al reposo en equilibrio y se le aplica una velocidad de

√ 2 pies/seg dirigida hacia abajo.

Despreciando todas las fuerzas de amortiguación o externas que puedan estar

presentes, determine la ecuación de movimiento de la masa junto con su amplitud, periodo y frecuencia natural. ¿Cuánto tiempo transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa por la posición de equilibrio? Solución. La ecuación diferencial del movimiento libre no amortiguado es:

      1    =0  2    = 0 Como vamos a emplear el sistema técnico de unidades inglesas, las medidas empleadas en pulgadas se deben pasar a pies. Como entonces:

1=12,

3= 14   Además, hay que convertir las unidades de peso, que están en libras, en unidades de masa. Así:

 =  ;  =4  =32/  = 324 = 18   También, según la ley de Hooke,

 =    = 4   = 14 

4 =  14   → =16/ Por lo tanto la ecuación diferencial se transforma en:

  16 =0 →  128=0  1⁄8   Ahora, como el contrapeso parte de la posición de equilibrio, el desplazamiento y la velocidad iniciales son

0 =0, 0 = √ 2 donde el signo es positivo porque

la masa recibe una velocidad inicial en dirección positiva o hacia abajo. Entonces,

 =128, o sea,  = 8√ 2,

de modo que la solución general d la

ecuación diferencial es:

 =  cos sin  =  cos8√ 2  sin8√ 2 ′ = 8√ 2 sin(8√ 2 )8√ 2 cos(8√ 2)  Al aplicar las condiciones iniciales 0 = 0,   0 = √ 2,   se obtiene  = 0,  = 1⁄8. Así, la ecuación del movimiento es:  = 18 sin8√ 2 Por lo tanto, la amplitud   = ⁄, el periodo =2/=2/8√ 2 =/4√ 2 →= √ / y la frecuencia natural   = /2 = 8√ 2 /2 → =√ /.

5.2

Revisión a solución planteada:

Instrucciones: 

Lo que está de color negro son, los enunciados y ecuaciones que considere correctas.



Lo que está de color rojo, son las ecuaciones que considere erróneas.



Lo que está de color azul, son las correcciones y procedimientos anexos.

Situación y solución planteada: Enunciado: El movimiento de un sistema masa-resorte con amortiguación está

regido por la ecuación diferencial:

   25=0   En donde, 0 = 1,   0 = 0.   Encuentre la ecuación del movimiento para los siguientes casos:

Caso 1: Movimiento sub-amortiguado:

=6.

=10.  Movimiento sobre-amortiguado: =14.

Caso 2: Movimiento críticamente amortiguado: Caso 3:

Solución:

 = 6 La ecuación característica es:  25=0 |  25=0

Caso 1:

Cuyas raíces son

6±√6 4∗1∗25 = 6±√6 100 =3±4 2 2

La ecuación de movimiento tiene la forma:

 = − sin3− cos3 | = − cos4− sin4  = − cos4 sin4  = 3− sin3 cos34− cos3 sin3  =3− cos4 sin4 −4 sin44 cos4 Para 0 = 1,   0 = 0,   se tiene el sistema: 1 = , 0=3 4 .   Por tanto:  = 1,  = 3⁄4 Finalmente, la ecuación de movimiento tiene la forma:

 = − sin3 34 cos3   = − cos4 34 sin4 =10 La ecuación característica es:  25=0 |  25=0

Caso 2:

Cuyas raíces son

10±√10 100 = 5  10±√10 100 = 5 2 2 La ecuación de movimiento tiene la forma:

 =    =   |  = −  − =  −  =  5  |  =5− − Para  0 = 1 y   0 = 0, se tiene el sistema: 1 = , 0 =  5 . Por tanto:  = 1 y  = 5 Finalmente, la ecuación de movimiento tiene la forma:

 = 15 |  = −15

=14 La ecuación característica es:  25=0 |  25=0

Caso 3:

Cuyas raíces son

14±√14 100 =7±√ 24 2 La ecuación de movimiento tiene la forma:

 = (−+√ ) (−−√ ) ′ = (7√ 24)(−+√ ) (7√ 24)(−−√ ) Para 0 = 1 y   0 = 0,  se tiene el sistema: 1 =   , 0 =  (7 √ 2 4) (7 √ 24). Entonces.

(7√ 2 4)(7√ 2 4)=(7√ 24) (7√ 2 4)(7√ 2 4)=0 (2√ 2 4)=(7 √ 24) √ 24 ∗ 2√ 24 = 14√ 2 42√ 24∗ √ 24 = 4814√ 24 = 247√ 24  = 7 96 48 2√ 24 2√ 24 (2√ 24)  Ahora se remplaza  para hallar  . Así:   = 1   24748√ 24 = 1 √ 24 = 247√ 24  = 1 24748√ 24 = 48247 48 48 +√  y  = −√  Por tanto: =   Finalmente, la ecuación de movimiento tiene la forma:

24(−+√ ) 247√ 24(−−√ )  = 247√  48 48

Conclusiones



Pudieron revisarse las temáticas abordadas durante el desarrollo de la segunda unidad del curso de ecuaciones diferenciales, a través de la solución de ejercicios propuestos para tal fin.



Se utilizaron los conceptos de ecuaciones diferenciales de orden superior en la solución de problemas asociados a otras áreas como la física.

Referencias bibliográficas



Coeficientes indeterminados: Método del anulador, parte 1. [Video en internet] Recuperado

el

día

15

de

octubre

de

2015

desde

https://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/ECUACIONESDIFERENCIALES/Coeficientes-indeterminados--metodo-del-anulador-parte-1 

  Quintero, J. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden y sus aplicaciones. [Artículo de internet] Recuperado el día 15 de octubre de 2015 desde http://joseluisquintero.com/Ecuaciones%20diferenciales%20ordinarias/Ecuacione s%20Diferenciales%20_Clases%20Parcial%202_.pdf