UNIVERSIDAD DE INGENIERÍA Y TECNOLOGÍA CARRERA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
Tarea Académica N° 1
Formulación de modelos
ESTUDIANTE Yasmin Apari Muñoz
PROFESOR Luis Peña Mendoza
Fecha de entrega: 04 de abril de 2016 2016 - 1
Caso 1 Problema de combinación de productos a fabricar Metalco Company desea hacer una nueva aleación con 40% de aluminio, 35% de zinc y 25% de plomo a partir de varias aleaciones disponibles que tienen las siguientes propiedades: Propiedad % de aluminio % de zinc % de plomo Costo ($/libra)
1 60 10 30 22
2 25 15 60 20
Aleación 3 45 45 10 25
4 20 50 30 24
5 50 40 10 27
El objetivo es formular el modelo que determine las proporciones de estas aleaciones que deben mezclarse para producir la nueva aleación al costo mínimo. Solución: Variables de decisión: Xi : proporción de aleación “i” para producir la nueva aleación Donde: i = {1, 2, 3, 4, 5} Función objetivo: C = costo total de la nueva aleación Mín C = 22 X 1 + 20 X 2 + 25 X3 + 24 X4 + 27 X 5 Restricciones: Aluminio: 0.60 X1 + 0.25 X2 + 0.45 X3 + 0.20 X4 + 0.50 X5 = 0.40 Zinc: 0.10 X1 + 0.15 X2 + 0.45 X3 + 0.50 X4 + 0.40 X5 = 0.35 Plomo: 0.30 X1 + 0.60 X2 + 0.10 X3 + 0.30 X4 + 0.10 X5 = 0.25 X1 + X2 + X3 + X4 + X5 = 1
Caso 2 Problema de Transporte Medequip Co. produce equipos de precisión de diagnóstico médico en dos fábricas. Se han recibido pedidos de 3 centros médicos para la producción de este mes. La siguiente tabla muestra el costo unitario de envío desde cada fábrica a cada centro, además muestra el número de unidades que se producirán en cada fábrica y el número de unidades ordenadas a cada cliente. Ahora debe tomar la decisión sobre el plan de cuántas unidades enviar de cada fábrica a cada cliente.
A De Fábrica 1 Fábrica 2 Orden
Cliente 1 $ 600 $ 400 300 und.
Costo unitario de envío Cliente 2 $ 800 $ 900 200 und.
Cliente 3 $ 700 $ 600 400 und.
Producción 400 und. 500 und.
Solución: Variables de decisión: Xij : número de unidades que se envían de la fábrica “i” al cliente “j”. Donde: i = {1, 2} j = {1, 2, 3} Función objetivo: C = costo total del envío Mín C = 600 X 11 + 800 X12 + 700 X13 + 400 X21 + 900 X22 + 600 X23 Restricciones: X11 + X12 + X13 = 400 X21 + X22 + X23 = 500 X11 + X21 = 300 X12 + X12 = 200 X13 + X23 = 400
Caso 3 Problema del plan de producción e inventarios Una compañía manufacturera produce 2 tipos de productos, A y B. La demanda (en unidades) se muestra a continuación: Marzo Abril
A 5000 8000
B 2000 4000
La compañía posee 2 líneas de ensamble (cualquier producto puede ensamblarse en cualquier línea). La capacidad de cada línea y las tasas de producción se muestran en las siguientes tablas:
Marzo Abril
Capacidad (horas) Línea 1 Línea 2 800 2000 400 1200
Producto A B
Tasa de producción (horas / unidad) Línea 1 Línea 2 0.15 0.16 0.12 0.14
El costo de producción es de 5 $ / hora (se paga sólo por las horas trabajadas). Se puede almacenar productos a un costo mensual de 0.50 $ / unidad. Actualmente, el almacén cuenta con 500 unidades de A y 750 unidades de B. Se desea que el inventario al final del mes de Abril sea por lo menos 1000 unidades de cada producto. Plantee un MPL para determinar el plan de producción e inventarios que minimice el costo total y cumpla con la demanda. Solución: Variables de decisión: Xij : cantidad de horas trabajadas por línea “i” en el producto “j”. Donde: i = {1, 2} j = {A, B} Función objetivo: C = costo total Min C = 5 (X 1A + X2A + X1B + X2B) + (0.5 * 2000) Restricciones: X1A + X1B ≤ 1200 X2A + X2B ≤ 3200 X1A / 0.15 + X2A / 0.16 = 1350 X1B / 0.12 + X2B / 0.14 = 6250
Caso 4 Coalco, problema de transporte Coalco explota carbón en 3 minas y lo embarca para 4 clientes. Los costos por tonelada de carbón en producción, la ceniza y el contenido de azufre del carbón; y la capacidad de producción de cada mina se proporcionan en la siguiente tabla: Mina 1 2 3
Costo de producción ($/t) 50 55 62
Capacidad (t) 120 100 140
Contenido de ceniza 8% 6% 4%
Contenido de azufre 5% 4% 3%
El costo de transporte de carbón ($ / t) desde cada mina a cada cliente se muestra en la siguiente tabla, así como también la demanda de carbón que necesita cada cliente se muestra en la siguiente tabla: Mina 1 Mina 2 Mina 3 Demanda (t)
Cliente 1 4 9 8 80
Cliente 2 6 6 12 70
Cliente 3 8 7 3 60
Cliente 4 12 11 5 40
Se requiere que, para cada cliente, la cantidad total de carbón embarcado proveniente de las 3 minas contenga a lo más 5% de ceniza y a lo más 4% de azufre. Plantear un modelo de programación lineal que minimice el costo por cumplir las demandas de los clientes. Solución: Variables de decisión: Xij : cantidad de carbón enviado de la mina “i” al cliente “j”. Donde: i = {1, 2, 3} j = {1, 2, 3, 4} Función objetivo: C = costo total Min C = 50 (X11 + X12 + X13 + X14) + 55 (X21 + X22 + X23 + X24) + 62 (X31 + X32 + X33 + X34) + 4 X11 + 9 X21 + 8 X31 + 6 X12 + 6 X22 + 12 X32 + 8 X13 + 7 X23 + 3 X33 + 12 X14 + 11 X24 + 5 X34 = 54 X11 + 64 X21 + 70 X 31 + 56 X 12 + 61 X22 + 74 X32 + 58 X13 + 62 X23 + 65 X33 + 62 X14 + 66 X24 + 67 X34 Restricciones: X11 + X12 + X13 + X14 ≤ 120 X21 + X22 + X23 + X24 ≤ 100 X31 + X32 + X33 + X34 ≤ 140 X11 + X21 + X31 ≥ 80 X12 + X22 + X32 ≥ 70 X13 + X23 + X33 ≥ 60 X14 + X24 + X34 ≥ 40 0.08 X11 + 0.06 X21 + 0.04 X31 ≤ 0.05 (X11 + X21 + X31) 0.08 X12 + 0.06 X22 + 0.04 X32 ≤ 0.05 (X12 + X22 + X32) 0.08 X13 + 0.06 X23 + 0.04 X33 ≤ 0.05 (X13 + X23 + X33)
0.08 X14 + 0.06 X24 + 0.04 X34 ≤ 0.05(X14 + X24 + X34) 0.05 X11 + 0.04 X21 + 0.03 X31 ≤ 0.04 (X11 + X21 + X31) 0.05 X12 + 0.04 X22 + 0.03 X32 ≤ 0.04 (X12 + X22 + X32) 0.05 X13 + 0.04 X23 + 0.03 X33 ≤ 0.04 (X13 + X23 + X33) 0.05 X14 + 0.04 X24 + 0.03 X34 ≤ 0.04 (X14 + X24 + X34)
Caso 5 Problema en la mezcla de aceite Una empresa produce aceite monogrado y aceite multigrado, mezclando aceite común con dos aditivos. Por cada litro de los aceites producidos los contenidos en litro de aditivos son: Tipo de Aceite Aceite monogrado Aceite multigrado
Aditivo I 3/20 1/4
Aditivo II 1/4 7/20
La empresa dispone de 120 litros de aditivo I, 175 litros de aditivo II y de una cantidad ilimitada de aceite común. Los precios por litro de aditivo I y II son respectivamente 200 US$. y 160 US$. y un litro de aceite común vale 80 US$. El aceite monogrado se vende a 150 US$ el litro y un litro de aceite multigrado vale 180 US$ La producción combinada de los dos aceites tiene que ser superior ó igual a 400 unidades (una unidad es igual a un litro de aceite). Plantee el modelo como un problema de Programación Lineal. Solución: Variables de decisión: X : cantidad de litros de aceite monogrado Y : cantidad de litros de aceite multigrado Pc monogrado = (3*200/20) + (50*160/20) + (12*80/20) = 118 X Pc multigrado = (5*200/20) + (7*160/20) + (8*80/20) = 138 Y Función objetivo: U = utilidades Max U = (150 X – 118 X) + (180 Y – 138 Y) = 32 X + 42 Y Restricciones: Cantidad de litros de Aditivo I: (3X /20) + (5Y / 20) = 120 Cantidad de litros de Aditivo II: (5X /20) + (7Y / 20) = 175 Producción total: X + Y ≥ 400
Caso 6 Problema de desperdicio en el corte o de recorte de las existencias Una Compañía papelera produce rollos de papel con un ancho estándar de 20 pies cada uno. Los pedidos especiales de los clientes, con diferentes anchos, se producen recortando los rollos estándar. Los pedidos típicos (que pueden variar día a día) se resumen en la siguiente tabla: Pedido 1 2 3
Ancho deseado (pies) 5 7 9
Número deseado de rollos 150 200 300
En la práctica, un pedido se prepara fijando las cuchillas de corte en el ancho deseado. Por lo común, hay cierto número de formas en las cuales se pueden cortar un rollo estándar para satisfacer un pedido determinado. Se requiere formular el modelo que minimice el desperdicio. Representación Matemática: Trate de determinar las combinaciones de las posiciones de las cuchillas (variables) que pueden satisfacer los pedidos requeridos (restricciones) con el área mínima de desperdicio en el corte (objetivo). La definición de las variables como se dan deben traducirse de tal forma que pueda utilizarla el operador de la cortadora. De manera específica las variables se definen como el número de rollos estándar que van a cortarse conforme a una posición determinada de las cuchillas. Esta definición requiere la identificación de todas las posiciones posibles de las cuchillas.
Solución: Corte tipo i 1 2
5 2
Ancho de pies 7 1 1
9 1 -
Ancho útil en pies 16 17
Desperdicio en pies 4 3
3 4 5 6
2 4 1 -
2 -
1 2
19 20 19 18
1 0 1 2
Variables de decisión: Xi : número de rollos cortados bajo el patrón del corte tipo “i”. Donde: i = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Función objetivo: D = desperdicio Min D = 4 X 1 + 3 X2 + X3 + 0 X4 + X5 + 2 X6 Restricciones: -
Demanda 5 pies: 0 X1 + 2 X2 + 2 X3 + 4 X4 + 1 X5 + 0 X6 = 150 Demanda 7 pies: 1 X1 + 1 X2 + 0 X3 + 0 X4 + 2 X5 + 0 X6 = 200 Demanda 9 pies: 1 X1 + 0 X2 + 1 X3 + 0 X4 + 0 X5 + 2 X6 = 300
Caso 7 Problema en la programación de autobuses La Municipalidad de Lima está estudiando la factibilidad de introducir un sistema de autobuses de tránsito masivo que disminuya el problema de la contaminación ambiental, reduciendo el número de vehículos que circulan en la ciudad. El estudio inicial busca la determinación del número mínimo de autobuses que pueda manejar las necesidades de transporte. Después de recopilar la información necesaria, el ingeniero de la ciudad observó que el número mínimo de autobuses fluctuaba según la hora del día. Al estudiar más a fondo los datos, fue evidente que era posible hacer una aproximación del número de autobuses mediante valores constantes sobre intervalos sucesivos de 4 ho ras cada uno. El siguiente gráfico resume los descubrimientos del ingeniero. Para llevar a cabo el mantenimiento diario requerido, cada autobús podía operar sólo ocho horas sucesivas del día.
Se requiere formular el modelo para determinar el número de autobuses que van a operar durante los diferentes turnos (variables) que satisfagan la demanda mínima (restricciones), al mismo tiempo que se minimiza el número total de autobuses diarios en operación (objetivo). Solución: Variables de decisión: Xi : número de horas que trabaja el bus “i” Donde: i = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Función objetivo: Min F = X 1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 Restricciones: 4 ≤ X1 + X6 ≤ 16
0 ≤ X1 ≤ 8
8 ≤ X2 + X1 ≤ 22
0 ≤ X2 ≤ 8
10 ≤ X3 + X2 ≤ 25
0 ≤ X3 ≤ 8
7 ≤ X4 + X3 ≤ 29
0 ≤ X4 ≤ 8
12 ≤ X5 + X4 ≤ 23
0 ≤ X5 ≤ 8
4 ≤ X6 + X5 ≤ 20
0 ≤ X6 ≤ 8
Caso 8 Problema en la programación de producción La empresa de jugos “Guatt’s” vende 7 tipos de diferentes jugos envasados en cajas de 1 litro:
Durazno, Naranja, Manzana, Piña, Zanahoria y 3 tipos de combinados (combinado F, combinado G y combinado H). Para la elaboración de los diferentes 8 tipos de jugos, se utiliza como materia prima Kgs de fruta fresca de Durazno, Limón, Naranja, Manzana, Piña y Zanahoria. El costo de cada materia prima ($/Kgs) así como el precio de venta de cada tipo de jugo ($/litro) equivalen a: Durazno Limón Naranja Manzana Piña Zanahoria
Costo de Materia Prima ($/kg) 20 27 24 42 36 16
Precio de Venta ($/litro) 99 99 95 95 99
A su vez, el precio de venta para cada uno de los 3 tipos de combinados es de 120 ($/litro). Para la elaboración de 1 litro de jugo de Durazno, Naranja, Manzana, Piña y Zanahoria; se utiliza como materia prima solo la fruta fresca correspondiente a cada caso. No obstante, los requerimientos de Kgs necesarios para elaborar cada uno de estos jugos, varía. Además, existen limitaciones para la capacidad de producción mensual en la planta procesadora de jugos “Guatt’s”. La información pertinente de estas situaciones se muestra a continuación:
Durazno Naranja Manzana Piña Zanahoria
Requerimientos de Kgs. de Materia Prima Necesaria para elaborar 1 Litro de Jugo 3.75 3 2.25 2.5 5
Capacidad Máxima Producción (litros) 200 280 320 240 150
Para elaborar 1 litro de jugo de los combinados F, G y H, se requieren exactamente 4 Kgs de materia prima en cada uno de estos 3 casos. El combinado tipo F requiere a lo menos un 25% de Naranja, a lo más un 25% de Limón y exactamente un 50% de Zanahoria. Por su parte, el combinado tipo G requiere a lo menos un 20% de Naranja, a lo menos un 15% de Limón y, a lo menos un 35% de Manzana. Finalmente, el combinado tipo H requiere exactamente 50% de Naranja, 10% de Limón y 40% de Zanahoria. Además, la capacidad de producción en los 3 tipos de combinados está limitada a producir como máximo: 250 litros para el combinado G y 180 litros para los combinados F y H. Plantee el problema de programación lineal que permita programar la producción de jugos “Guatt’s” para
un período mensual. Sea claro y preciso en definir las variables de decisión, la función objetivo y el conjunto de restricciones.
Solución: Variables de decisión: Xi : cantidad de litros de jugo de “i” X jk : cantidad de litros de jugo de “ j” mezclado con el combinado “k” Donde: i = {A, B, C, D, E, F, G, H, I} j = {A, B, C, D, E, I} k = {F, G, H} A: Durazno B: Naranja C: Manzana D: Piña E: Zanahoria F: Combinado F G: Combinado G H: Combinado H I: Limón Función objetivo: G = Ganancia total obtenida en la producción de jugos Max G = 120 (XF + XG + XF) + 24 XA – 21 XB + 0.5 XC + 5 XD – 6.6 XE – (96 96
2
+ 108
2
+ 168
2
+ 108
2
+ 64
2
+
2
+ 10.8 XI)
Restricciones: XA ≤ 200 ; XB ≤ 280 ; XC ≤ 320 ; XD ≤ 240; XE ≤ 150 ; XF ≤ 180 ; XG ≤ 250 ; XH ≤ 180
≥ 0.25 ;
≤ 0.25 ;
= 0.5 ;
≥ 0.2 ;
≥ 0.15 ;
≥ 0.35
Caso 9 Caso Sunco Oil Sunco Oil produce tres tipos de gasolina (1, 2 y 3). Cada tipo de gasolina se produce mezclando tres tipos de petróleo crudo (1, 2 y 3). En la tabla siguiente se muestran los precios de venta por
barril de las gasolinas y los precios de compra, por barril, del petróleo crudo. Sunco puede comprar hasta 5000 barriles de cada tipo de petróleo crudo diariamente.
Gasolina 1 Gasolina 2 Gasolina 3
PRECIOS DE VENTA POR BARRIL ($) 70 60 50
PRECIO DE COMPRA POR BARRIL ($) 45 35 25
Crudo 1 Crudo 2 Crudo 3
Los tres tipos de gasolina difieren en su índice de octano y en su contenido de azufre. La mezcla de petróleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina 1 tiene que tener un índice de octano promedio de por lo menos 10 y a lo más 1 % d azufre. La mezcla de petróleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina 2 tiene que tener un índice de octano promedio de por lo menos 8 y a lo más 2% de azufre. La mezcla de petróleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina 3 tiene que tener un índice de octano promedio de por lo menos 6 y a lo más 1% de azufre. El índice de octano y el contenido de azufre de los tres tipos de petróleo se dan en la tabla que sigue a continuación. La transformación de un barril de petróleo en un barril de gasolina cuesta 4 dólares, y la refinería se Sunco pude producir diariamente, hasta 14000 barriles de gasolina. Crudo 1 Crudo 2 Crudo 3
ÍNDICE DE OCTANO 12 6 8
CONTENIDO DE AZUFRE 0.5% 2.0% 3.0%
Los clientes de Sunco necesitan diariamente las siguientes cantidades de cada tipo de gasolina: gasolina 1, 3000 barriles, gasolina 2, 2000 barriles, gasolina 3, 1000 barriles. La compañía se siente comprometida a cumplir con estas demandas. Sunco tiene la posibilidad de estimular la demanda de sus productos mediante la publicidad. Cada dólar invertido diariamente en el publicidad para cierto tipo de gasolina, aumenta la demanda diaria de este tipo de gasolina den 10 barriles. Por ejemplo, si Sunco decide gastar diariamente 20 dólares para promover la gasolina 2, la demanda diaria de la gasolina 2 se incrementara en 20(10)=200 barriles. Formule un PL que permita a Sunco a maximizar sus ganancias diarias (ganancias = ingreso – costos). Solución: Variables de decisión: Gi : cantidad de barriles producidos de la gasolina i Cab : cantidad de crudo “b” utilizado en la producción de la gasolina “a” Ni : inversión de publicidad para la gasolina i Función objetivo: G = ganancias diarias Max G = 70 G1 + 60 G2 + 50 G3 + 45 (C11 + C12 + C13) – 35 (C21 + C22 + C23) – 25 (C31 + C32 + C33) – (N1 + N2 + N3) + 10 (70(N1) + 60(N2) + 50(N3)) Restricciones:
12 C11 + 6 C12 + 8 C13 ≥ 10 12 C21 + 6 C22 + 8 C23 ≥ 8 12 C31 + 6 C32 + 8 C33 ≥ 6 0.5 C11 + 2 C12 + 3 C13 ≥ 1 0.5 C21 + 2 C22 + 3 C23 ≥ 2 0.5 C31 + 2 C32 + 3 C33 ≥ 1 C11 + C12 + C13 ≤ 5000 C21 + C22 + C23 ≤ 5000 C31 + C32 + C33 ≤ 5000 G1 + G2 + G3 + 10 (N1 + N2 + N3) ≤ 14000 G1 + 10 N1 < 3000 G2 + 10 N2 < 2000 G3 + 10 N3 < 1000