Profesional Práctica de ejercicios
Nombre: Nombre: Geovanne Ruiz Ruiz Matrícula: Matrícula: 2651950 Nombre del curso: Fundamentos Nombre del profesor : Alma Cecilia Matemáticos Módulo: Módulo: 2 !a inte"ral i nte"ral # sus a$licaciones
Torres errera Actividad: Actividad: 2
A$licaci%n
de
inte"rales Fecha: Fecha: 2& de se$tiem're de 2016 2016 Bibliografía: Bibliografía: (te)art* +, -200./, Cálculo: e una varia'le* trascendentes tem$ranas -6 ed,/, M3ico: Cen"a"e !earnin", 4(: 97.9706.665&0 97.9706.665&0 Desarrollo de la práctica: Parte 1: 1, Resu esuelve lve el $ro $ro'le 'lema util utiliz izan and do los los conce$ nce$to tos s mate matemá máti tico cos s de o$timizaci%n, a, A $art $artir ir de una una hoja de máquina tamaño carta - A8 cu#as medidas son a$ro3imadamente 21cm de anco # &0cm de lar"o* se desea construir una caa rectan"ular sin ta$a recortando un cuadrado de cada es;uina de <3< cm, ='tener las dimensiones de la caa: anco* lar"o # alto* $ara ;ue la caa encierre un volumen má3imo, A = 21−2 x L=30 −2 x V = x ( 21−2 x ) ( 30− 2 x ) V ( ( x x ) = 4 x
3
'
V =12 x
x =
2
−102 x + 630 x
2
− 204 x + 630
17 + √ 79 79 2
Profesional Práctica de ejercicios
x =
25.88 2
x = 12.94
x =
17−√ 79
x =
2
8.12 2
x =4.06
12.94 no
puede ser punto crítico porque el resultado seria negativo 21−2 x = 21−2 ( 12.94 )= 21−25.88 =−4.88
El único punto crítico que queda es 4.06
Por lo tanto A = 21−2 x A = 21−2 ( 4.06 ) A = 21−8.12 A =12.88 L=30 −2 x L=30 −2 ( 4.06 ) L=30 −8.12 L=21.88
Profesional Práctica de ejercicios
2, Res$onde a las si"uientes $re"untas: a, Cuánto va a medir el anco de la caa al recortarle los cuadrados en cada es;uina:
12,.. cm
', Cuánto va a medir el lar"o de la caa al recortarle los cuadrados en cada es;uina:
21,.. cm
c, Con los resultados anteriores* $lantear la ecuaci%n matemática $ara el volumen de la caa en >unci%n de <3< ?-3/ @
4 x
3
2
−102 x + 630 x
d, ='tener los $untos crticos de la >unci%n volumen x =4.06
e, Btilizar el criterio de la $rimera derivada $ara o'tener el valor de <3< con el cual el volumen es má3imo V ( 4.05 )= 0.63 '
V ( 4.07 )=−1.5 '
En x = 4.06 hayunmáximo V ( 4.06 ) =1144.1 cm
3
>, ar la res$uesta al $ro'lema: imensiones de la caa con volumen má3imo: Anco:
12,.. cm
!ar"o:
21,.. cm
Alto:
8,06 cm
Parte : e'es res$onder a las $re"untas $lanteadas* $ues son evidencia de com$rensi%n del $roceso de soluci%n,
Profesional Práctica de ejercicios
&, Btiliza las >%rmulas 'ásicas $ara resolver las si"uientes inte"rales inde>inidas,
w
1+ 1
w
2
1,
∫ w dw= 1+1 + C = 2 +C
2,
∫ y
&,
∫ x
8,
∫ t
6
−2
−3
dy =
dx =
y
6+ 1
6 +1
x
−2 + 1
∫
5,
+ C =
−3 + 1
dt =
t
−3 + 1
d =
3 4
4
7
+ C
7
−2 + 1
3 3 /4
+ C =
y
+ C =
− x 1
−1 +C 2
2 t
7
+1
+ C = +1
4 7
( − 2 )+1
6,
∫
x
− 2/ 5
x
dx =
(
5
+ C = )+ 1
4
+ C
3
5
−2
+ C
5 x 3
5
+ C
8, n las si"uientes inte"rales $rimero trans>orma la >unci%n del inte"rando $ara ;ue ;uede como una >unci%n $otencia # des$us inte"ra,
Profesional Práctica de ejercicios 1
¿ dy ¿ ¿ √ y dy =∫ ¿ ∫¿ y
7,
1
∫ ! /
7
∫
7
5
−3
dx = x 3 2
.,
5
dx =
2
x
−3 + 1 2
−3 2
+ C = +1
−2 √ x
+C
5, Btiliza las $ro$iedades # >%rmulas 'ásicas $ara resolver las si"uientes inte"rales,
∫ ( x1 + 3 − x − ) dx =∫ x1 dx +∫ 3 2
x
a,
x
∫
−2
dx − x dx
∫ x1 dx = ln| x|+C x
3
∫ 3 dx = ln|3|+C x
∫ x
−2
1
∫ x dx +∫ 3 dx −∫ x x
',
−2
∫
dx =
x
−2 + 1
dx =ln | x|+
3 x
2
−1
x
−2 + 1
x
3
−
||
ln 3
∫
dx =
=
3 x
x
2
−1
+C
x
( )= −1
1
x
x
x
+
∫ x1 dx
dx −
3
||
ln 3
+ ln | x|+ C
Profesional Práctica de ejercicios
∫
3 x
x
2
∫
dx = 3
2
1+ 1
x x 3 x = dx =3 x dx =3 x 1 +1 2
∫
∫ x1 dx = ln| x|+C ∫
3 x
x
2
1
∫ x dx =
dx −
3 x
2
−ln| x|+ C
2
2
2 x −3 ¿
¿ ¿ ∫¿
c,
¿
d d ( 2 x )− ( 3) dx dx
d ( 2 x )=2 d ( x )=2∗1 =2 dx x d ( 3 )=0 dx d ( 2 x )− d ( 3 ) =2−0 =2 dx dx
∫u
2
1 2
u
2
1
1
u
2 +1
∫ 2 du= 2 ∫ u du= 2 2 +1
du =
3
2 x −3 ¿
+ C
2 +1
1 ( 2 x − 3) 2
2 +1
2
1
= ¿ 6
6, Resuelve las si"uientes inte"rales com$uestas,
2
+ C
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a, ¿
∫
√ y + 5
8
√ y
dy
d ( √ y ) + d (5 ) dx dx
d ( √ y )= 1 y dx 2
−1 2
=
1 2 √ y
d ( 5 )=0 dx d ( √ y )+ d ( 5 )= 1 + 0= 1 dx dx 2 √ y 2 √ y u
8
∫ √ y 2 √ y du =∫ 2
3u + 1
du
d u d ( 3 ) + ( 1 ) du du d u (3 ) =3 d ( u ) =3∗1 =3 du du d ( 1 )= 0 du d u d ( 3 ) + ( 1 )=3 + 0=3 du du
Profesional Práctica de ejercicios 2
v
3
dv =
1 3
1
2
v
∫ 2 dv=¿ 3 ln|2| v
∫ 2 13 dv =∫ ¿ v
( 3 ( √ y + 5 )+ 1)
1 2 3
||
ln 2
3
=
2
(√ y + 5 ) + 1
||
3 ln 2
+ C
1 3
−2 ¿ ¿ x ¿
ln x
',
2
1
¿ ∫¿ d d 3 ln ( x ) )− ( 2 ) ( dx dx d d d 3 ( x 3) ln ( x ) )= ln ( u ) ) ( ( dx du dx d 1 ln ( u ) )= ( du u d 3 ( x )=3 x 3−1=3 x2 dx d d 3 1 2 1 ln ( u ) ) ( x )= 3 x = 3 3 x 2= 3 ( du dx u x x d ( 2 )=0 dx d d 3 ( 2 ) = 3 −0 = 3 ln ( x ) )− ( dx dx x x
1 3 √ u
du=
1 3
1
1
∫ √ u du = 3 ∫ u
−1 2
du=¿
−1 + 1
u
3
−1 2
∫ x 1√ u x3 du =∫ ¿
2
1
+1
Profesional Práctica de ejercicios
(
)−2 ) −1 +1
1 ln ( x 3
3
−1 + 1 2
2
= √ ln ( x )−2 + C 3
3
2
c,
( )=
d 1 dx x
∫
se n
()
x
1
x
2
dx
d −1 ( x )=1 x−1−1= −12 dx x
∫ sen x ( u ) (− x ) du =∫ −sen ( u ) du =−∫ sen ( u ) du =−( −cos ( u ) ) 2
2
( ( ))= ( )+
− −cos
1
x
cos
1
x
C