Teoría de Control I
UPS
Ing. Junior Figueroa
TAREA – TAREA – MODELAMIENTO MODELAMIENTO MATEMÁTICO Ejercicio 1. Encuentre la función f unción de transferencia, la figura.
= ⁄
, para cada red que se muestra en
Respuestas:
= 3 1 2 = 4 6 1 Ejercicio 2. Encuentre la función de transferencia, la figura.
= ⁄
Respuestas:
3 = 6 5 4 2 2 2 = 2 3 3 2 1
, para cada red que se muestra en
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Ejercicio 3. Obtenga la función de transferencia en las siguientes figuras.
/
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de los circuitos eléctricos que se muestran
a)
b)
c)
d)
Respuestas:
= 1 = 1 / = 1 = 1 1 2
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Ejercicio 4. Considere el transformador eléctrico mostrado en la figura. Determinar la ecuación diferencial que relacione el voltaje de entrada
y la corriente
del circuito primario en función
de todas las constantes presentes en el circuito. Sugerencia: La forma en la que se obtienen sus ecuaciones se relaciona con el análisis realizado cuando se tienen dos engranes acoplados.
Respuesta:
= () () Ejercicio 5. Encuentre la función de transferencia, que se ilustra en la figura.
= ⁄
Respuesta:
= [ ] 3
, para la red mecánica traslacional
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Ejercicio 6. En la siguiente figura se ilustra el sistema de suspensión de una rueda de un camión. La masa del vehículo es
y la masa de la rueda es
y la rueda tiene una constante elástica de la rueda es
y
. El muelle de suspensión tiene una constante elástica
. La constante de amortiguamiento del muelle de suspensión y
, respectivamente. Una carga añadida al camión produce una fuerza F sobre el
soporte del resorte y la rueda se flexiona tal como se muestra en la figura (a). En la figura (b) se muestra
/
el modelo del movimiento de la rueda. Determínese la función de transferencia
.
Respuesta:
= [ ] Ejercicio 7. Obtenga la función de transferencia muestra en a figura.
/ / y
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del sistema mecánico que se
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Respuesta:
= = Ejercicio 8. Encuentre la función de transferencia, que se ilustra en la figura.
= ⁄
, para la red mecánica traslacional
Respuesta:
= 1 2 2
Ejercicio 9. Para el sistema mecánico de la figura hallar la función de transferencia que relaciona el desplazamiento
de la masa
la palanca es ideal.
con la fuerza externa
Respuesta:
= ⁄
5
, es decir
= ⁄
.Suponer que
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Ejercicio 10. La figura muestra el diagrama simplificado de un sistema de control de una rueda de impresión de un procesador de textos. La rueda de impresión está controlada por un motor de cd a través de bandas y poleas. Suponga que las bandas son rígidas. Se definen los siguientes parámetros y variables:
es el par del motor,
lineal de la rueda de impresión,
motor, es el radio de la polea y
es el desplazamiento del motor,
es la inercia del motor,
es el desplazamiento
es el coeficiente de fricción viscosa del
es la masa de la rueda de impresión.
a) Escriba la ecuación diferencial del sistema. b) Encuentre la función de transferencia
/
Respuesta:
= [ ] Ejercicio 11. Considere el sistema que se muestra en la figura. Un servomotor de corriente continua y controlado por inducido mueve una carga con un momento de inercia momento de inercia del rotor es son
y
. El par desarrollado por el motor es
y el
. Los desplazamientos angulares del rotor del motor y el elemento de carga
, respectivamente. Considerar que la masa de los engranajes es despreciable y que no existe fricción
viscosa entre ellos; además tener presente que no existe fricción viscosa entre la carga y cualquier otra superficie. La razón de engranajes es
= =
. Con base a lo anterior obtener la función de transferencia
6
⁄
.
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Respuesta:
= . [ ] Ejercicio 12. Para el sistema combinado traslacional y rotacional que se muestra en la figura, encuentre la función de transferencia
= ⁄
. El sistema consta de un motor cd controlado por
inducido que mueve una masa M mediante un sistema de control de movimiento rotativo a lineal (cremallera y piñón). El par desarrollado por el motor es
desplazamientos angulares del rotor del motor y el piñón son
y el momento de inercia del rotor es
. Los
y , respectivamente. Considerar que la masa
de los engranajes es despreciable y que no existe fricción viscosa entre ellos.
Respuesta:
= 5 6 11 Ejercicio 13. La figura muestra el modelo simplificado de un telégrafo. Ante la recepción de un pulso eléctrico
el actuador electromagnético que contiene un solenoide produce una fuerza magnética
proporcional a la corriente
palanca que provoca el movimiento
, es decir,
=
, originando un desplazamiento en la
de la masa del martillo 7
, el cual choca contra una campana,
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produciendo una onda sonora. Escriba las ecuaciones diferenciales del sistema y obtenga la función de transferencia inductancia.
⁄
. Suponer que la palanca es ideal y que la bobina tiene resistencia e
Respuesta:
= Ejercicio 14. Para el sistema hidráulico no interactuante mostrado en la figura, obtenga el conjunto de
/ /
ecuaciones diferenciales que definen al sistema, así como la función de transferencia
.
Asumir que el líquido es de densidad constante y el área de sección transversal de los tanques es uniforme. Sugerencia: Obtener una función de transferencia para cada tanque,
/
y
, escribiendo un balance de masa transitoria alrededor de cada tanque; luego estas
funciones de transferencia deberán ser combinadas para eliminar el flujo intermedio obtener la función de transferencia deseada.
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y así
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Respuesta:
= . + +
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Ejercicio 15. Para el sistema hidráulico interactuante mostrado en la figura, obtenga el conjunto de ecuaciones diferenciales que definen al sistema, así como la función de transferencia
/
.
Asumir que el líquido es de densidad constante y el área de sección transversal de los tanques es uniforme. Sugerencia: El análisis se debe iniciar escribiendo los balances de masa en los tanques como se hizo para el caso no interactuante, sin embargo la relación de flujo para
ℎ ℎ y para es la misma de antes = .
Respuesta:
=
= + + + +
Ejercicio 16. Determine la función de transferencia
= ⁄
del sistema mostrado en la
figura, ante lo cual hay que suponer que las masas de los engranes son despreciables.
Respuesta:
es ahora
=
+ +
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Ejercicio 17. La levitación magnética consiste en mantener un objeto suspendido en el aire sin ningún tipo de contacto mecánico gracias a la acción de una fuerza conocida como fuerza electromagnética
(
). Esta fuerza es generada por un electroimán que mediante la atracción permite mantener en
suspensión un objeto ferromagnético. La siguiente figura muestra el diagrama de un sistema de suspensión magnética de una esfera. El objetivo del sistema es controlar la posición de la esfera de acero mediante el ajuste de la corriente en el electroimán a través del voltaje de entrada
.
Las ecuaciones diferenciales que describen la dinámica del sistema vienen dadas por la segunda ley de Newton y por la ley de Kirchhoff:
donde:
= = = = =
voltaje aplicado a la bobina
corriente de bobinado
inductancia de bobinado aceleración gravitacional
. = . = . . , = = = =
fuerza electromagnética
distancia entre la esfera y la bobina
resistencia del bobinado masa de la esfera
constante del electroimán – factor de acoplamiento entre el campo magnético y la esfera
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,
Linealizar las ecuaciones que representan al sistema alrededor del punto de equilibrio (
/
determinar la función de transferencia
. Respuesta:
=
.. . . − .. . +
) y
Ejercicio 18. El esquema de nivelación de precisión de la tabla mostrada en la figura se basa en la expansión térmica de los actuadores en dos esquinas para nivelar la tabla subiendo o bajando sus respectivas esquinas. Los parámetros del sistema son los siguientes:
= = = = = = = =
temperatura del actuador, temperatura ambiente,
flujo de entrada de energía calorífica, flujo de calor almacenado en el actuador,
flujo de calor perdido, resistencia térmica entre el actuador y el aire,
capacidad térmica del actuador,
resistencia eléctrica del calentador.
Supóngase que el actuador actúa como una resistencia eléctrica pura
; el flujo de calor que ingresa en
el actuador es proporcional a la entrada de alimentación eléctrica
desplazamiento es proporcional a la diferencia entre decir,
=
y
= ⁄
, y que el
debido a la expansión térmica, es
. Encontrar la ecuación diferencial que relaciona el desplazamiento del 11
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actuador
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con el voltaje aplicado en la entrada
constante.
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. Suponer que la temperatura ambiente
es
Respuesta:
1 = Ejercicio 19. Sea el sistema térmico mostrado en la figura, el cual consta de una niquelina dentro de un horno eléctrico. La niquelina emite calor a la razón
y el horno pierde calor a la razón
que el aire en el interior del horno está a una temperatura uniforme
. Al suponer
y que no se almacena calor en
las paredes, obtener una ecuación diferencial que describa cómo cambiará con el tiempo la temperatura en el horno. En el sistema
es el flujo de calor neto del aire en el interior del horno, es la resistencia
térmica y representa la oposición al flujo de calor debido a las paredes del horno (el entorno más caliente transfiere calor al otro de menor temperatura) y
es la temperatura del medio ambiente
(aunque se suele suponer constante, en realidad es también una variable temporal).
Respuesta:
= Ejercicio 20. Sea el sistema térmico mostrado en la figura, consistente en una cámara de calentamiento con capacitancia térmica
℃ / 15 /℃ a temperatura
/℃
℃/ ℃ / = 10 / = 25 ℃ = 3 ℃/ =
y resistencia térmica
, en la cual entra un cierto fluido
y abandona el recipiente con temperatura
; la cámara es calentada por
una resistencia eléctrica que provee energía calorífica
y produce un flujo de salida
de energía calorífica; de ahí, obtenga la ecuación en función de la variable
gobierna al sistema y sus valores finales si
,
. Sugerencia: Utilice el análisis y el resultado del ejercicio anterior. 12
,
que
y
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Respuesta:
= 11 1 → ∞ = 55 ℃
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