CORRELACIÓN CORRELACIÓN Y REGRESIÓN 1. El editor en jefe de un importante importante periódico metropolitano ha intentado convencer al dueño del periódico para que mejore las condiciones de trabajo en el taller de prensas. Estás convencido de que, cuando trabajan las prensas, el grado de ruido crea niveles no saludables de tensión y ansiedad. Recientemente hizo que un psicólogo realizara una prueba durante la cual los prensistas se situaron en cuartos con niveles variables de ruido y luego se le hizo otra prueba para medir niveles de humor y ansiedad. La siguiente tabla muestra el índice de su grado de ansiedad o nerviosismo y el nivel de ruido al que se vieron expuestos, (1,0 es bajo y 10,0 es alto). Nivel de ruido Grado de ansiedad
4 39
3 38
1 16
2 18
6 41
7 45
5 40
8 48
a) Represente gráficamente esos datos. b) Desarrolle una ecuación de estimación que describa los datos. c) Pronostique el grado de ansiedad que podríamos podríamos esperar cuando el nivel de ruido es 9. d) Calcule e interprete interprete el coeficiente de correlación. correlación. e) Calcule e interprete el coeficiente de determinación. determinación . S oluc ión :
El Nivel de ruido es la variable independiente la denotaremos por x y el Grado de Ansiedad es la variable dependiente la denotaremos por y. Ordenando los datos tenemos:
x y
1 16
2 18
3 38
4 39
5 40
6 41
7 45
8 48
a) Represente gráficamente esos datos En el siguiente gráfico se puede observar que la tendencia es lineal con una pendiente es positiva.
Nivel de ruido relaciondo con el Grado de ansiedad 60 50 d a 40 d e i s n A e 30 d o d a r 20 G
10 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Nivel de Ruido
b) Desarrolle una ecuación de estimación que describa los datos. Como la gráfica presenta una tendencia lineal se procederá con calcular la ecuación de estimación utilizando regresión lineal con el método de mínimos cuadrados. La ecuación de mínimos cuadrados para la regresión lineal es la que se indica a continuación:
̂
̂
Donde: Variable dependiente calculada por la ecuación de estimación, indica el pronóstico para un valor dado de . Variable independiente. Variable Indica Indica el valor de cuando es =0. Pendiente de la recta. Pendiente Representa el valor de la variable dependiente correspondiente a un valor de . Representa
̂
∑ ∑ ∑ ∑ (∑ ) ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (∑ )
Para calcular los valores de y se utilizan las siguientes fórmulas.
Para nuestro caso n=8 entonces los valores de i son de 1 al 8. Tenemos el siguiente cuadro para calcular las sumatorias que se utilizarán en las fórmulas.
i=1 i=2 i=3 i=4 i=5 i=6 i=7 i=8
1 2 3 4 5 6 7 8 36
16 18 38 39 40 41 45 48 285
16
1
256
36
4
324
114
9
1444
156
16
1521
200
25
1600
246
36
1681
315
49
2025
384
64
2304
1467
204
11155
̂
Por lo tanto la ecuación de estimación es:
c) Pronostique el grado de ansiedad que podríamos esperar cuando el nivel de ruido es 9. Evaluando en la ecuación de estimación para x=9, se tiene:
̂ ̂
d) Calcule e interprete el coeficiente de correlación.
Una medida de la calidad o bondad de ajuste realizado viene dado por el coeficiente de relación entre las variables x e, definido como:
Donde:
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
Entonces reemplazando los datos en las fórmulas:
El coeficiente de correlación puede adoptar valores desde -1 hasta 1. Si R es +/- 1 o próximo a estos valores, decimos que el modelo lineal es adecuado para describir los datos experimentales. Cuando R es cercano a 0 decimos que una expresión lineal no es una buena descripción de los datos. Para este caso el valor obtenido de R=0,899, entonces podemos decir que la ecuación lineal de estimación es una buena representación de la relación que existe entre el nivel de ruido y el grado de ansiedad. e) Calcule e interprete el coeficiente de determinación. El coeficiente de determinación es el cuadrado del coeficiente de correlación:
A diferencia del coeficiente de correlación este solo adopta valores de 0 hasta 1, no puede ser negativo. Mientras más cercano a 1 decimos que el modelo lineal es adecuado para describir los datos y mientras más cercano a 0 decimos que una expresión lineal no es una buena descripción de los datos. En nuestro caso R=0,809, entonces podemos decir que la ecuación lineal de estimación es una buena representación de la relación que existe entre el nivel de ruido y el grado de ansiedad. A continuación se muestra un gráfico de los datos y la ecuación de estimación.
Nivel de ruido relaciondo con el Grado de ansiedad
y = 4.3929x + 15.857 R² = 0.809
60
50
d 40 a d e i s n A30 e d o d a r G20
10
0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Nivel de Ruido
2. El gerente de una Clínica dispone de la siguiente información: Año Cirugías
2011 120
2012 143
2013 150
2014 170
2015 162
2016 158
a) Grafique y determine la ecuación de tendencia. b) Proyecte las cirugías al corazón para el año 2017. S oluc ión :
El Año es la variable independiente la denotaremos por x y el Número de cirugías es la variable dependiente la denotaremos por y. Ordenando los datos tenemos: x 2011 2012 2013 2014 y 120 143 150 170 Para este caso contamos con 6 pares de datos n=6
2015 162
2016 158
a) Grafique y determine la ecuación de tendencia. El siguiente gráfico muestra como los datos forman una sección creciente y otra decreciente, haciendo inferir que los datos corresponden a una ecuación cuadrática con
coeficiente principal negativa. Es por ello que en este caso haremos uso del ajuste parabólico con el método de mínimos cuadrados.
Relación entre el año y el número de cirugías 180 160 140 s a 120 í g u r i C 100 e d o r 80 e m ú 60 N
40 20 0 2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
Año
Tenemos la ecuación cuadrática de la forma general:
̂
Donde para hallar los valores de a, b y c se tendrá que resolver el sistema de ecuaciones lineales con 3 variables que se muestra a continuación:
{
Tenemos el siguiente cuadro para calcular las sumatorias que se utilizarán en las fórmulas.
i=1
2011 120
4044121
8132727331 16354914662641
241320
485294520
i=2
2012 143
4048144
8144865728 16387469844736
287716
578884592
i=3
2013 150
4052169
8157016197 16420073604561
301950
607825350
i=4
2014 170
4056196
8169178744 16452725990416
342380
689553320
i=5
2015 162
4060225
8181353375 16485427050625
326430
657756450
i=6
2016 158
4064256
8193540096 16518176833536
318528
642152448
12081 903 24325111 48978681471 98618787986515 1818324 3661466680
Reemplazando en las fórmulas, tenemos:
̂
Resolviendo el sistema se tiene
Por lo tanto se tiene la ecuación de estimación:
b) Proyecte las cirugías al corazón para el año 2017. Para calcular el número de cirugías al corazón para el año 2017, evaluamos la ecuación de estimación hallada anteriormente en x=2017.
̂
̂ ̂
Como el número de cirugías debe ser un número entero este último se redondea a . El siguiente gráfico muestra la línea de tendencia cuadrática dibujada por la ecuación de estimación:
Relación entre el año y el número de cirugías
y = -3.4821x 2 + 14030x - 1E+07 R² = 0.9457
180 160 140 s a 120 í g u r i C 100 e d o r 80 e m ú 60 N
40 20 0 2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
Año
3. Se ha medido la variación de creatinina en pacientes tratados con Captopril (droga antihipertensión) tras la suspensión del tratamiento con diálisis, resultando la siguiente tabla: Días tras la diálisis: X 1 Creatinina (mg/dl): Y 5.7
5
10
15
20
25
35
5.2
4.8
4.5
4.2
4
3.8
a) Calcule el modelo de regresión lineal b) Interprete la variación de creatinina, en función de los días transcurridos tras la diálisis c) Si un individuo presenta 8 días tras la suspensión del tratamiento con diálisis, que sucede con la creatinina (mg/dl)
S olución :
En el siguiente gráfico se puede observar que la tendencia es lineal con una pendiente es negativa.
Relación entre los días tras la diálisis y la creatinina (mg/dl) 6 5 ) l d 4 / g m ( a 3 n i n i t a e r 2 C
1 0 0
10
20
30
40
Días tras la diálisis
a) Calcule el modelo de regresión lineal La ecuación de mínimos cuadrados para la regresión lineal es la que se indica a continuación:
̂ ∑ ∑ ∑ ∑ (∑ ) ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (∑ )
Para nuestro caso n=7 entonces los valores de i son de 1 al 7. Tenemos el siguiente cuadro para calcular las sumatorias que se utilizarán en las fórmulas.
i=1
1
5.7
5.7
1
i=2
5
5.2
26
25
i=3
10
4.8
48
100
i=4
15
4.5
67.5
225
i=5
20
4.2
84
400
i=6
25
4
100
625
i=7
35
3.8
133
1225
111
32.2
464.2
2601
Por lo tanto la ecuación de estimación es:
̂
b) Interprete la variación de creatinina, en función de los días transcurridos tras la diálisis. De acuerdo a la ecuación de estimación calculada anteriormente se puede decir que la creatina en un paciente tras la suspensión de la diálisis disminuye en 0,0552 por cada día que trasncurre. Y que además en el día del diálisis (x=0) la persona presentará un nivel de creatinina de 5,475 mg/dl. c) Si un individuo presenta 8 días tras la suspensión del tratamiento con diálisis, que sucede con la creatinina (mg/dl) Esto se puede deducir evaluando la ecuación de estimación para x=8.
̂ ̂
Por lo tanto el nivel de creatinina tras 8 días de la suspensión del tratamiento con diálisis es 5,0334 mg/dl. A continuación se muestra un gráfico de los datos y la ecuación de estimación.
Relación entre los días tras la diálisis y la creatinina (mg/dl)
y = -0.0552x + 5.475 R² = 0.921
6 5 ) l d 4 / g m ( a 3 n i n i t a e r 2 C
1 0 0
5
10
15
20
25
30
35
40
Días tras la diálisis
PRUEBA DE INDEPENDENCIA 4. Quinientos empleados de una empresa que fabrica cierto producto, sospechoso de estar asociado con alteraciones respiratorias, se clasificaron en forma cruzada con base de grado de exposición al producto y si tenían o no los síntomas de tales alteraciones respiratorias. Los resultados se muestran en la siguiente tabla: Síntomas presentes Sí No Total
Alto
Limitado
185 120 305
33 73 106
Sin exposición conocida 17 72 89
Total 235 265 500
¿Proporcionan estos datos la evidencia suficiente para indicar que, en un nivel de significación de 0.05, existe una relación entre el grado de exposición y la presencia de los síntomas de las alteraciones respiratorias? S olución :
Hipótesis Ho: Hipótesis nula de independencia: no hay relación entre variables. H1: Hipótesis alternativa: existe relación entre variables.
Se calcula el valor estadístico de contraste con la siguiente fórmula:
( ) Donde: i: filas de las variables j: columnas de las variables
: son los valores observados
los valores esperados bajo la hipótesis nula de independencia
valor total de la variable en la fila i valor total de la variable en la columna j
Total de la muestra
Por los datos observados en la tabla se tiene que: k=2 (2 filas) y m=3 (3 columnas), N=500.
Rechazamos la hipótesis nula si:
Donde es el valor crítico asociado con una distribución Chi Cuadrado con (k-1)(m-1) grados de libertad, con un nivel de significancia de α. Por lo tanto: Grados de libertad = (2-1)(3-1)=2 α=0.05 Según la tabla de distribución Chi Cuadrado se tiene que Comparando los valores:
por lo tanto rechazamos la hipótesis nula, en consecuencia
aceptamos la hipótesis alternativa. Conclusión: Hay evidencia estadísticamente suficiente para concluir que las personas con cierto grado exposición a un producto presentan síntomas de las alteraciones respiratorias.
5. A un grupo de 350 adultos que participaron en una encuesta de salud, se les preguntó si llevaban o no una dieta. Las respuestas (por sexos) son las siguientes:
A dieta Sin dieta Total
Sexo Masculino 14 159 173
Femenino 25 152 177
Total 39 311 350
¿Sugieren estos datos que al estar en dieta depende del sexo? Sea α = 0.05. S olución :
Hipótesis Ho: Hipótesis nula de independencia: no hay relación entre variables.
H1: Hipótesis alternativa: existe relación entre variables. Se calcula el valor estadístico de contraste con la siguiente fórmula:
( ) Por los datos observados en la tabla se tiene que: k=2 (2 filas) y m=2 (2 columnas), N=350.
Grados de libertad = (2-1)(2-1)=1 α=0.05 Según la tabla de distribución Chi Cuadrado se tiene que Comparando los valores:
por lo tanto aceptamos la hipótesis nula.
Conclusión: No hay evidencia estadísticamente suficiente para concluir que al estar en dieta dependa del sexo.
PRUEBA DE HOMOGENEIDAD 6. En un estudio acerca de la contaminación atmosférica realizado en dos comunidades, se seleccionó una muestra aleatoria de 200 familias de cada una de dichas comunidades. Se le preguntó a uno de los miembros de cada familia si algún miembro de la misma se sentía afectado por la contaminación atmosférica. Las respuestas fueron las siguientes: ¿Algún miembro contaminación? Comunidad Sí 43 I 81 II 124 Total
de
la
familia
ha
No 157 119 276
sido
afectado
por
la
Total 200 200 400
¿Pueden concluir los investigadores que las dos comunidades difieren con respecto a la variable de interés? Sea α = 0.05. S olución :
Hipótesis Ho: Hipótesis de homogeneidad: Existe homogeneidad H1: Hipótesis alternativa: No existe homogeneidad Se calcula el valor estadístico de contraste con la siguiente fórmula:
( )
Por los datos observados en la tabla se tiene que: k=2 (2 filas) y m=2 (2 columnas), N=400.
Grados de libertad = (2-1)(2-1)=1 α=0.05 Según la tabla de distribución Chi Cuadrado se tiene que Comparando los valores:
Rechazamos la hipótesis de homogeneidad si:
por lo tanto rechazamos la hipótesis de homogeneidad.
Conclusión: Existe evidencia estadísticamente suficiente para concluir que ambas comunidades difieren respecto a la variable de interés.
7. A cada uno de los varones de una muestra de tamaño 250, extraída de una población que se sospechaba sufría de alguna enfermedad de las articulaciones se les preguntó cuál de tres síntomas lo molestaba mayormente. La misma pregunta se le hizo a una muestra de 300 mujeres que se sospechaba padecían la misma enfermedad. Los resultados fueron los siguientes: Síntoma más molesto Rigidez matutina Dolor por la noche Hinchazón de articulaciones TOTAL
Hombres Mujeres 111 102 59 73 las 80 250
125 300
¿Proporcionan estos datos la suficiente evidencia para indicar que las dos poblaciones no son homogéneas con respecto a los síntomas principales? Sea α = 0.05. S olución :
Completando la tabla:
Síntoma más molesto Rigidez matutina Dolor por la noche Hinchazón de las articulaciones TOTAL
Hombres Mujeres 111 102 59 73 80
125
205
250
300
550
Hipótesis Ho: Hipótesis de homogeneidad: Existe homogeneidad H1: Hipótesis alternativa: No existe homogeneidad Se calcula el valor estadístico de contraste con la siguiente fórmula:
( )
Por los datos observados en la tabla se tiene que: k=3 (3 filas) y m=2 (2 columnas), N=550.
Total 213 132
Grados de libertad = (3-1)(2-1)=2 α=0.05 Según la tabla de distribución Chi Cuadrado se tiene que Comparando los valores:
por lo tanto rechazamos la hipótesis de homogeneidad.
Conclusión: Existe evidencia estadísticamente suficiente para concluir que ambas comunidades no son homogéneas con respecto a los síntomas principales.
ODDS RATIO, RIESGO RELATIVO 8. Se tiene interés en evaluar si el uso de anticonceptivo orales es un factor de riesgo del infarto miocárdico en mujeres casadas menores de 45 años de edad. Para tal efecto se realiza un estudio comparativo tipo caso control y se obtienen los siguientes resultados: Uso anticonceptivos orales Sí Nunca Total
de Pacientes con infarto Miocárdico (Casos) 23 35 58
Sin Miocárdicos (Controles) 34 132 166
infarto
Se pide calcular e interpretar el odds ratio (OR). S olución :
El ODDS es el cociente entre la probabilidad de que un evento ocurra frente a la probabilidad de que no ocurra. En los estudios de casos y controles, ODDS Ratio, es el cociente entre la ODDS de exposición observada en casos y la ODDS de exposición en el grupo de control.
Si el resultado de ODDS ratio es mayor a 1 la asociación es positiva, es decir que la presencia del factor se asocia a la mayor ocurrencia del evento. Se le considera un Factor de Riesgo.
Por lo tanto, en nuestro caso es mayor a 1, entonces podemos decir que el uso de anticonceptivos orales es un factor de riesgo frente a padecer infarto miocárdico.
9. Evaluar si niveles altos de colesterol sérico (>250) se considera factor de riesgo de un infarto del miocardio. Por consiguiente se realiza un estudio comparativo de cohortes y se obtiene los siguientes resultados: Desarrolla Niveles de colesterol (mg%) >250 10 ≤250 21
IM
Sérico No IM 125 449
desarrolló
Se pide calcular e interpretar el riesgo relativo. S olución :
⁄ ⁄
Total 135 470
⁄⁄ El riesgo de infarto del miocardio en el grupo con niveles de colesterol sérico mayores a 250 es 0,0741, mientras que el riesgo de infarto del miocardio en el grupo con niveles de colesterol sérico menor o igual a 250 es 0,0447. Por tanto el RR es 1,658 siendo este mayor a 1, entonces podemos decir que, cuánto más probable es que ocurra un infarto de miocardio en las personas que presentan un nivel alto de colesterol sérico frente a las que no.
10. Se realizó un estudio caso-control para encontrar si la vasectomía es un factor de riesgo del cáncer de próstata. Los datos obtenidos se muestran en la tabla cruzada de abajo. VASECTOMIA Sí No Total
Casos 70 105 175
Controles 80 178 258
Calcular el odds ratio. Interpretar los resultados. S olución :
TOTAL 154 279 433
Por lo tanto, en nuestro caso es mayor a 1, entonces podemos decir que realizarse la vasectomía es un factor de riesgo frente a padecer cáncer de próstata.
