INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CAMPECHE. Unidad II.- introducción a la probabilidad probabilidad
Competencia específica a desarrollar:
Consulta los conceptos de probabilidad y los aplica bajo condiciones de independencia estadística conjunta y condicional en las técnicas de conteo y el análisis combinatorio.
-TEMAS DE INVESTIGACIÓN CONCEPTUAL (Berenson)-
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Definición de conjunto:
El término conjunto juega un papel fundamental en el desarrollo de las matemáticas modernas; Además de proporcionar las bases para comprender con mayor claridad algunos aspectos de la teoría de la probabilidad. Su origen se debe al matemático alemán George Cantor (1845 – 1918). Podemos definir de manera intuitiva a un conjunto, como una colección colección o listado de objetos con características bien definidas que lo hace pertenecer a un grupo determinado. Para que exista un conjunto debe basarse en lo siguiente:
La colección de elementos debe estar bien definida. Ningún elemento del conjunto se debe contar más de una vez, generalmente, estos elementos deben ser diferentes, si uno de ellos se repite se contará sólo una vez. El orden en que se enumeran los elementos que carecen de importancia.
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Notación de conjuntos
A los conjuntos se les representa con letras mayúsculas A, B, C, ... y a los elementos con letras minúsculas a, b, c, ..., por ejemplo, el conjunto A cuyos elementos son los números en el lanzamiento de un dado. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} En base a la cantidad de elementos que tenga un conjunto, estos se pueden clasificar en conjuntos finitos e infinitos.
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Conjuntos Explícitos e implícitos.
Los conjuntos se determinan de dos formas: a) Por Extensión.- Llamado también por modo explicito, enumerativo o de forma tabular, donde cada elemento del conjunto es nombrado individualmente. Ej.: P= {Tierra, Marte, Neptuno, Júpiter} Q= {Juan, Iván, Jorge} Car (D)=n (D)=5 Car (A) =n(A)= 4
R= {Rebeca, Mercedes, Victoria} b) Por Comprensión.- Llamado también modo implícito, descriptivo o de forma constructiva, es cuando los elementos que forman el conjunto, enuncian una propiedad que los caracteriza a todos. Ej.: P= {x/x es un planeta} Se lee El conjunto P formado por los elementos x tal que x es un planeta Q= {x/x es un elemento químico} Se lee El conjunto Q formado por los elementos x tal que x es un elemento químico. o
Conjuntos Finitos e Infinitos
FINITOS: Tienen un número conocido de elementos, es decir, se encuentran determinados por su longitud o cantidad. El conjunto de días de la semana INFINITOS: Son aquellos en los cuales no podemos determinar su longitud. El conjunto de los números reales Existen dos formas comunes de expresar un conjunto y la selección de una forma particular de expresión depende de la conveniencia y de ciertas circunstancias siendo: EXTENSIÓN: Cuando se describe a cada uno de los elementos. A = {a, e, i, o, u} COMPRENSIÓN: Cuando se enuncian las propiedades que deben tener sus elementos. A = {x | x es una vocal} Para describir si un elemento pertenece o no a un conjunto, se utiliza el símbolo de pertenencia o es elemento de, con el símbolo , en caso contrario .
A = {1, 2, 3} 2 A; 5 A
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El conjunto Universal.
CONJUNTO UNIVERSAL: Es el conjunto de todos los elementos considerados en una población o universo, en un problema en especial. No es único, depende de la situación, denotado por Ω o υ.
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El conjunto vacío.
CONJUNTO VACIÓ O NULO: Es aquel que no tiene elementos y se simboliza por ø o {}. A = {x2 + 1 = 0 | x є R} El conjunto A, es un conjunto vacío porque no hay ningún número real que satisfaga a x2+1 =0 o
Subconjunto
Un subconjunto de A es cualquier conjunto formado por cualquier número de elementos de A. Entre los subconjuntos de A se incluyen el conjunto y el mismo A. Para indicar que B es un subconjunto de A se escribe B
A; y también se lee “B está contenido
en A”.
Por los dicho antes, A y A A. El símbolo puede leerse al revés: . Esto es, B A es lo mismo que A B. (La parte abierta señala al conjunto mayor.) No debe escribirse B A para indicar la relación B A. En cambio, si a A puede escribirse { a} A. Al meter el elemento a entre llaves se considera el conjunto unitario { a}. Si un conjunto C no es subconjunto de A se escribe C A. Un conjunto tiene muchos subconjuntos. Hay subconjuntos con un solo elemento, que podrían llamarse subconjuntos elementales; subconjuntos con dos elementos; etc. (Puede demostrase que si un conjunto A tiene n elementos, el número de subconjuntos de A es 2 n, incluyendo el vacío y el mismo A.) La relación de contenido cumple las propiedades siguientes. 1. Si C B y B A C A. 2. Si A B y B A A = B. 3. Para todo conjunto A, A.
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Diagrama de Venn -El concepto gráfico de conjuntos.
Diagramas de Venn
Una forma frecuente de representar un conjunto es mediante un óvalo, una porción del plano con forma más o menos redondeada. En la figura adjunta de muestra un ejemplo. Al meter al conjunto B dentro de A se quiere indicar que B A. El complementario de B respecto de A es la parte de A que no es B. Si al conjunto total (el todo) se le llama E, que suele representarse mediante un rectángulo, los conjuntos B y B c, complementarios uno del otro en E, se representan como se indican en la figura adjunta:
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Operaciones con conjuntos.
Unión.
Sean A y B dos subconjuntos cualesquiera del conjunto universal. La unión de A y B, expresada por A υ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o pertenecen a B. A υ B ≠ {x | x є A o x є B}
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS.
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera del conjunto universal. La intersección de A y B, expresada por A B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A y a B simultáneamente, es decir: A’
υ
B = {x | x є A y x є B}
DIFERENCIA DE CONJUNTOS O COMPLEMENTO RELATIVO .
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera del conjunto universal. La diferencia o complemento relativo de B con respecto a A, es el conjunto de los elementos que pertenecen a A, pero no pertenecen a B. A - B = {x | x є A, x B} Nota: A - B _ B - A
COMPLEMENTO ABSOLUTO O SIMPLEMENTE COMPLEMENTO .
Sea A un subconjunto cualesquiera del conjunto universal. El complemento de A es el conjunto de elementos que perteneciendo al universo y no pertenecen al conjunto A, denotado por A’ o Ac. A’ = {x | x є U, x A}
Nota: A’ = U - A
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Leyes o propiedades de las operaciones con conjuntos.
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cardinal de un Conjunto. -
Propiedades. Proposiciones.
1. Número Cardinal.- Nos referimos al número de elementos que tiene un conjunto. Car (D)= n (D)= número de elementos. Ej.: _ El número Cardinal del conjunto D= {a, e, i, o, u} Es = 5 a e i o u 1 2 3 4 5 ¬número Cardinal del conjunto D
Por lo tanto
Nos dice que: D tiene 5 elementos
_ Si A= {6, 8, 10,12} A tiene 4 elementos.
Por lo tanto
