Taller Probabilidad
2.5. Diez fichas numeradas del 1 al 10 se mezclan en una palangana. Se sacan de la palangana dos fichas numeradas una y otra vez sin sustitución. ¿Cuál es la probabilidad de que ?
, ,
+ = 10
= Pares de fichas cuya suma es 10 = {1,9 1,9, 2,8 2,8, 3,7 3,7, 4,6 4,6} =4 = Casos posibles 10! = 102 = 2! ∙ 10−2 10−2! = 2!10!∙ 8! = 9 2!∙ 10 = 902 = 45 = Probabilidad que las dos fichas escogidas sumen 10 = 454 = 8,89% 2.6. Un lote consta de 10 artículos sin defecto, 4 con pequeños defectos y 2 con defectos gr aves. Se elige un artículo al azar. Encontrar la probabilidad de que:
= Número total de artículos del lote = 10 + 4 + 2 = 16 = Sin defectos = Con defecto grave a) No tenga defectos
= = 10 16 = 62,5%
b) No tenga defecto grave
= 1 − = 1 − 162 = 78 = 87,5% c)
Que no tenga defecto o que tenga un defecto grave
∪ = + − ∩ 2 −0 ∪ = 10 + 16 16 3 ∪ = 12 = 16 4 ∪ = 75% 2.7. Si del mismo lote de artículos descritos en el problema 2.6 se escogen dos artículos (sin sustitución), encontrar la probabilidad de que: a) Ambos sean buenos
= Ambos sean buenos
9 = ∩ = 10 ∙ 16 15 = 38 = 37,5%
b) Ambos tengan defectos graves
= Ambos sean graves
= ∩ = 162 ∙ 151 1 = 120 = 0,83%
c)
A lo menos uno sea bueno
= Al menos uno bueno = Ninguno bueno = = 1 − = ( ∩ ) = 166 ∙ 155 = 18 = 1 − 18 = 78 = 87,5% d) A lo más uno sea bueno
= Ambos sean buenos = A lo más uno bueno = = 1 − = 1 − 38 = 58 = 62,5% e) Exactamente uno sea bueno
= Exactamente uno sea bueno = ( ∩ ) ∪ ( ∩ ) 6 = 1 ( ∩ ) = 10 ∙ 16 15 4 1 ( ∩ ) = 166 ∙ 10 = 15 4 = 14 + 14 = 12 = 50%
f)
Ninguno tenga defectos graves
= Ninguno tenga defectos graves = ∩ = 1 − 162 ∙1− 152 13 = 91 = 14 ∙ 16 15 120 = 75,83% g) Ninguno sea bueno
= ( ∩ ) = 166 ∙ 155 = 18 = 12,5% 2.8. Un producto se arma en tres etapas. En la primera etapa hay 5 líneas de armado, en la segunda hay 4 líneas de armado y en la tercera 6 líneas de armado. ¿De cuántas maneras puede moverse el producto en el proceso de armado? Principio de la multiplicación
= 4∙ 5∙ 6 = 120 2.9. Un inspector visita 6 máquinas diferentes durante el día. A fin de impedir que los operadores sepan cuándo inspeccionará, varía el orden de las visitas. ¿De cuántas maneras puede hacerlo?
= −! ! = 6!0! ∙2∙ 1 = 6∙5 ∙4∙3 1 = 720
2.10. Un mecanismo complejo puede fallar en 15 partes diferentes. Si falla en 3 partes ¿De cuántas maneras puede suceder?
Cn = 15! C = 153 = 3! ∙ 15−3! 15! C = 3!∙12! C = 131∙∙214∙3∙ 15 = 2730 6 C = 455 2.11. Hay 12 maneras en las cuales un artículo manufacturado puede tener un pequeño defecto y 10 maneras en las cuales puede tener un defecto mayor.
a) ¿De cuántas maneras puede ocurrir un de fecto menor y uno mayor?
= ∙ 12! = 12! = 1! ∙ 12−1! 11! = 12 10! = 10! = 1! ∙ 10−1! 9! = 10 = 12 ∙ 10 = 120 b) ¿2 defectos menores y 2 defectos mayores?
= ∙ 12! = 12! = 11 ∙ 12 = 2! ∙ 12−2! 2!∙10! 1 ∙ 2 = 66
10! = 10! = 9∙ 10 = 2! ∙ 10−2! 2!∙8! 1 ∙ 2 = 45 = 66 ∙ 45 = 2970 2.12. Un mecanismo puede ponerse en cuatro posiciones, digamos mecanismos en un sistema.
a, b, c
y d . Hay 8 de tales
a) ¿De cuántas maneras puede instalarse este sistema?
= 4 = 65.536 b) Supóngase que dichos mecanismos están instalados en algún orden (lineal) preasignado. ¿De cuántas maneras posibles se instalan los mecanismos, si dos mecanismos adyacentes no están en la misma posición?
= 4 ∙ 3 = 8.748 c)
¿Cuántas maneras son posibles si solo se usan las posiciones a y b con la misma frecuencia?
8! , = 4!∙4! ∙8 = 1.680 , = 5∙1∙ 6∙7 2∙3 ∙4 24 , = 70 d) ¿Cuántas maneras son posibles si solo se usan dos posiciones diferentes y una de ellas aparece tres veces más a menudo que las otra?
= 42∙,
42 = 2!44!− 2! = 2!4!∙ 2! 42 = 31 ∙∙ 42 = 6 8! , = 2!∙6! , = 71 ∙∙ 82 = 562 , = 28 = 6 ∙ 28 = 168
2.13. Supóngase que de objetos se eligen al azar, con sustitución. ¿Cuál es la probabilidad de que ningún objeto sea elegido más de una vez? (Supóngase )
<
= Número total de casos posibles
= Veces que no se repite
= + − 1! = ! ∙ − 1!
= Probabilidad que no se repita
= = !!− !
= ! − ! = ! + − 1! ! ∙ − 1! ! ∙ − 1! = !!−∙! ∙ + − 1! = − !!∙ ∙−+1! − 1!
2.14. Con las letras , , , , y ¿cuántas palabras clave de 4 letras se pueden formar, si
a) Ninguna letra se puede repetir
= 6 −6!4! = 6!2! = 3∙ 4 ∙5∙ 6 = 360 b) Cualquier letra se puede repetir cualquier número de veces
= 6 = 1.296 2.15. Supóngase que
() = y () = . Exprese ( ) en términos de y . [Sugerencia: No se
calculen las expresiones anteriores para resolver este problema.]
De acuerdo con el Triángulo de Pascal, cada número combinatorio se obtiene sumando los dos números combinatorios que tiene sobre él. Esto es:
− 1 + = + 1 De esta manera tenemos:
995 + 994 = + 100 5 =+ De igual forma, se puede comprobar en el Triángulo de Pascal que las filas se leen igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda:
= −
Entonces:
100 100 = 5 100−5 100 100 = 5 95 Con ello obtenemos que:
100 95 = + 2.16. Una caja contiene esferas numeradas 1, 2, …, n. Se escogen dos esferas al azar. Encontrar la probabilidad de que los números sobre las esferas sean consecutivos, si a) Las esferas se escogen sin sustitución Casos en los que los números son consec utivos:
= −1 Casos posibles:
= 2 = 2!!− 2! = ∙2− 1 Probabilidad que sean consecutivos:
= −1 = ∙ −1 2 = 2 b) Las esferas se escogen con sustitución Casos en los que los números son consec utivos:
= −1
Casos posibles:
1! = = 2! ∙+2 −− 1! = ∙2+ 1 Probabilidad que sean consecutivos:
= −1 = ∙ +1 2 − 1 = 2 ∙∙ + 1 2.17. ¿Cuántos subconjuntos que contengan al menos un elemento se pueden formar de un conjunto de 100 elementos? El cardinal del conjunto potencia o el conjunto de las partes es:
| | = 2 Este incluye al subconjunto vacío, así que:
= 2 − 1 = 1,267651×10 2.18. Entre los números 1, 2, …, 50 se escoge uno al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el número escogido sea divisible entre 6 o entre 8?
= Casos posibles = Números divisibles entre 6 = Números divisibles entre 8 = {6,12,18,24,30,36,42,48} = {8,16,24,32,40,48} ∪ = {6,8,12,16,18,24,30,32,36,40,42,48} | ∪ | = 12
∪ = | ∪ | ∪ = 12 50 ∪ = 0,24 ∪ = 24% 2.19. De 6 números positivos y 8 números negativos se eligen 4 números a azar (sin sustitución) y se multiplican. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto sea un número positivo?
= Número total de casos posibles
= 144 14! = 14! = 4!14−4! 4!∙10! ∙ 13 ∙ 14 = 24.024 = 111∙ 12 ∙2 ∙3 ∙4 24 = 1.001
La multiplicación será positiva si: •
Todos los números escogidos son positivos
= 64 ∙ 80 6! = 4! ∙ 66!− 4! ∙ 1 = 4!∙2! = 51 ∙∙ 62 = 302 = 15 •
Hay dos positivos y dos negativos
= 62 ∙ 82 6! ∙ 8! = 2! ∙ 66!− 2! ∙ 2! ∙ 88!− 2! = 2!∙4! 2!∙6!
= 51 ∙∙ 62 ∙ 71 ∙∙ 82 = 302 ∙ 562 = 420 •
Todos los números escogidos son negativos
= 60 ∙ 84 8! = 1 ∙ 4! ∙ 88!− 4! = 4!∙4! = 5∙1∙ 62 ∙7∙3 ∙8∙4 = 1.680 24 = 70 La probabilidad que la multiplicación sea positiva es:
= + + 420 + 70 = 15 +1.001 505 = 1.001 = 0,5045 = 50,45% 2.20. Cierta sustancia química se forma mezclando 5 líquidos distintos. Se propone verter un líquido en un estanque y agregar sucesivamente los otros líquidos. Todas las combinaciones posibles se deben probar para establecer cuál da mejo r resultado. ¿Cuántas pruebas deben hacerse?
= 5! = 1∙ 2∙ 3∙ 4 ∙5 = 120
2.21. Un lote contiene artículos. Si se sabe que artículos son defectuosos y se inspeccionan al azar y en forma sucesiva, ¿cuál es la probabilidad de que el -ésimo artículo inspeccionado sea el último defectuoso en el lote?
≥
Como el orden en que sean seleccionados los artículos no importa, se asumirá que se escogen k
− artículos no defectuosos primero, y en los intentos restantes se seleccionarán los
defectuosos. Siendo la probabilidad de este evento así:
− 1 ∙ ⋯∙ 1 = − ∙ − − −1 1 ∙ ⋯∙ − − −− − ∙ ∙ − − − 1 − − − 2 − − − − 2 ∙ ⋯∙ − ∙ ∙ − 1 ∙ ⋯∙ 1 = − ∙ − − −1 1 ∙ − −2 − + − + − 1 − + − 2 − − ! ∙ ! = − !− 1! − − 1! = −!! ∙ !
0 < < 10
se escogen al azar con sustitución entre los números 0, 1, 2, …, 9. 2.22. números ¿Cuál es la probabilidad de que dos no sean iguales?
= 101 ∙ 109 ∙ 108 ∙ ⋯∙ −10 + 1 9! − = ! = − 9!! ∙
