Ejercicios sobre trigonometría esférica y el triángulo rectángulo esférico. 1) Define triángulo esférico rectilátero y describe sus propiedades.
Triangulo esférico rectilátero Si uno de los lados es igual a 90°, se dice que el triángulo esférico es rectilátero. Sea a igual a un recto. De la relación del coseno (2) obtenemos: Cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A Cos A = − cotg b cotg c También de la relación del coseno (2): Cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B cos c os b = sen c cos B De la relación de los senos: Sen A = 2) Define triángulo rectángulo esférico, constrúyelo y cita sus elementos y observaciones:
Si tres puntos de la superficie esférica son unidos por arcos de círculo máximo menores a 180º, la figura obtenida se denomina triángulo esférico. Los lados del polígono así formado se expresan por conveniencia como ángulos cuyo vértice es el centro de la esfera y no por su longitud. Este arco medido en radianes en radianes y y multiplicado por el radio de la esfera es la longitud del arco. En un triángulo esférico los ángulos cumplen que: 180° < + +< 540°.
Fórmulas fundamentales Notación :
Ángulo formado entre los arcos AC y AB : Ángulo formado entre los arcos AB y BC : Ángulo formado entre los arcos AC y BC Fórmula del coseno SEN CB=COSAC COSAB+SENAC SENAB COS Formula del seno
=
=
Los senos de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. 3) Cita la regla del pentágono de Napier:
El pentágono de Napier es una regla nemotécnica para resolver triángulos esféricos rectángulos; toma este nombre en memoria del científico escocés John Napier, y se construye de la siguiente forma: Se colocan en cada sector circular: cateto - ángulo - cateto - ángulo - cateto, consecutivamente, tal como aparecen ordenados en el triángulo, exceptuando el ángulo recto C . Se remplazan los ángulos B, A, y la hipotenusa c por sus complementarios: B por (90° - B) A por (90° - A) c por (90° - c ) Se establecen dos reglas:
1. El seno de un elemento es igual al producto de las tangentes de los elementos adyacentes: Sen(a) = tg (b) tg (90° - B), o su equivalente: seno( a) = tg (b) ctg (B) 2. El seno de un elemento es igual al producto de los cosenos de los elementos opuestos: Sen (a) = cos (90° - A) cos (90° - c ), o su equivalente: sen(a) = sen (A) sen (c )
4)Cita la fórmula general del teorema de los senos para un triángulo esférico rectilátero.
Teorema de los senos
Si en un triángulo ABC , las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c , entonces: a senα
=
b senβ
=
c senγ
5)Cita las reglas de Neper para triángulos esféricos rectángulos. Se colocan en cada sector circular: cateto - ángulo - cateto - ángulo - cateto, consecutivamente, tal como aparecen ordenados en el triángulo, exceptuando el ángulo recto C . Se remplazan los ángulos B, A, y la hipotenusa c por sus complementarios: B por
(90° - B) A por (90° - A) C por (90° - c)
Se establecen dos reglas: 1. El seno de un elemento es igual al producto de las tangentes de los elementos adyacentes:
Sen (a) = tg (b) tg (90° - B), o su equivalente: seno( a) = tg (b) ctg (B) 2. El seno de un elemento es igual al producto de los cosenos de los elementos opuestos:
Sen (a) = cos (90° - A) cos (90° - c ), o su equivalente: sen (a) = sen (A) sen(c )
6) Dado
el triángulo esférico rectángulo. Determina sus elementos.
Fórmulas fundamentales Notación :
Ángulo formado entre los arcos AC y AB : Ángulo formado entre los arcos AB y BC : Ángulo formado entre los arcos AC y BC 7) Resolver el triángulo esférico rectángulo, dados: a = 122º 36’ 07” y b = 158º 22’ 04”. Cálculo de C: Neper: cos C = ctg a ctg (90º - b)
Cos C=
C=arccos =() a = 122º 36’ 07”
b = 158º 22’ 04”. −0.3957 Cos C= = −1.56353 = 0.25363
→
C = 75º 18’ 25”
0.36864 Sin B = = = 0.43759 B = 154º 02 ’ 59” 0.84243 →
Cos C = = −0.53879 = 0.57961 c = 54º 34’ 59” −0.92956 →
8) Dados los ángulos de un triángulo rectángulo esférico ABC, A= 90º, B= 125º y C= 130º. Determine el exceso esférico. Sean el triángulo esférico ABC sus ángulos:
A=90° B=125° C=130 Si A‘B‘C‘ es el triángulo polar, entonces. a‘+A=180°
; a‘+90°=180°
;
a‘=90°
b‘+B=180°
; b‘+125°=180° ;
b‘=55°
c‘+C=180°
; c‘+130°=180°
c‘=50°
;
Luego a‘+ b‘ + c‘= 90°+55°+50°=195°
9) Dados los lados de un triángulo ABC, los lados miden 110º, 100º y 120º. Determine el exceso esférico utilizando la fórmula de Huilier y Serret.
10) Determine el perímetro de un triángulo polar del triángulo esférico cuyos ángulos sean 108º, 110º y 130º. Solución: Sean el triángulo esférico ABC sus ángulos:
A=108° B=110° C=130 Si A‘B‘C‘ es el triángulo polar, entonces. a‘+A=180°
;a‘ + 108° = 180°
b‘+B=180°
; b‘ + 110° = 180° ;
b‘ =70°
c‘+C=180°
; c‘+ 130° = 180°
c‘ =50°
Luego a‘+ b‘+ c‘= 72° + 70° + 50° El perímetro. A‘B‘C‘ =192°
;a‘ =72°
;
