FACULTAD DE INGENIERÍA DE SISTEMAS
ASIGNATURA:
INVESTIGACIONES DE OPERACIONES
TEMA:
TAREA SESIÓN 5
DOCENTE:
ING. COELLO OBALLE CARLOS ENRIQUE
ALUMNO:
HUAYANEY BRONCANO JESUS YEEDER
HUAR AZ-
2017
PERÚ
La empresa MIKY produce dos calidades de pinturas: para interiores y para exteriores; a partir de dos tipos de materias primas: M1 y M2. El consumo de materia prima por producto y su disponibilidad diaria en toneladas de MP, se muestra en el cuadro siguiente: Tipo de materia prima Materia prima M1 Materia prima M2 Utilidad diaria
Tonelada de MP por tonelada de pintura Pintura para exterior Pintura para interior 6 4 1 2 5 4
Disponibilidad diaria de MP 24 6
La utilidad diaria (en miles de $) de la pintura para exteriores es de 5 $ por tonelada, y de la pintura para interiores es de 4 $ por tonelada de pintura respectivamente. El estudio de mercado indica que la demanda máxima diaria de pinturas para interiores es de 2 toneladas. Además, la demanda diaria de pinturas para interiores no puede exceder a las pinturas para exteriores en 1 toneladas. La empresa MIKY, desea hallar un modelo matemático que optimice la mezcla de productos, con el objeto de maximizar la utilidad diaria total. Determinar la solución gráfica del modelo matemático de programación lineal; comentar el espacio de soluciones factibles y la solución óptima. A continuación, se efectúa enunciados que permitirán realizar variaciones en los coeficientes o parámetros del modelo matemático inicial del problema. Analice y resuelva los nuevos planteamientos del problema que se indican a continuación:
1. Determinar el nuevo modelo matemático de PL, el espacio de soluciones factibles y la solución óptima modelo; si la demanda máxima diaria de pintura para exteriores es de 2.5 toneladas; considerando igual los demás datos del problema original. 2. Considerando los datos del problema inicial, efectúe la variación de la restricción de la demanda máxima de la pintura para interiores; considerando ahora que su demanda máxima diaria es por lo menos de 2 toneladas. Determine el nuevo modelo matemático y halle su solución gráfica. 3. Considerando los datos del problema inicial, efectúe la variación de la restricción de la disponibilidad diaria de la materia prima M1; considerando ahora que su disponibilidad es de por lo menos 24 toneladas. Determine el nuevo modelo matemático y halle su solución gráfica.
a) Definición de las variables de decisión
x = Toneladas diarias de producción de pinturas para exteriores x = Toneladas diarias de producción de pinturas para interiores 1 2
Determinar la Función Objetivo: Zmáx= 5X1 + 4X2 ($)
Sujeto a:
Materia prima M1
6X1 + 4X2 ≤ 24 (ton)
Materia prima M2
X1 + 2X2 ≤ 6 (ton) El estudio de mercado indica que la demanda máxima diaria de pinturas para interiores es de 2 toneladas. Además, la demanda diaria de pinturas para interiores no puede exceder a las pinturas para exteriores en 1 toneladas. -X1 + X2 ≤1 X2 ≤2 X1, X2 ≥ 0
Condición de no Negatividad: X j ≥0
j= 1, 2
Luego resumiendo tenemos el siguiente modelo matemático: Zmáx= 5X1 + 4X2 S.a:
6X1 + 4X2 ≤ 24 X1 + 2X2 ≤6 -X1 + X2 ≤1 X2 ≤ 2 X1, X2 ≥ 0 Modelo matemático de PL con: dos variables y cuatro restricciones.
PARA GRAFICAR a) Primera Restricción: 6X1 + 4X2 = 24 Si X2 = 0 X1 = 4 Si X1 = 0 X2 = 6
b) Segunda Restricción: X1 + 2X2 = 6 Si X2 = 0 X1 = 6 Si X1 = 0 X2 = 3
C) Tercera Restricción: -X1 + X2 = 1 Si X2 = 0 X1 = -1 Si X1 = 0 X2 = 1
D) Cuarta Restricción: X2 = 2
GRÁFICA DE RESTRICCIONES:
En el Punto I: -X1 + X2 = 1 -X1 + 2 = 1 -X1 = 1-2 X1=1
(X2 = 2) Punto: I (1,2)
En el Punto J: X1+ 2X2 = 6 (X2 = 2) X1 + 2(2)= 6 X1 = 2 Punto: J (2,2)
En El Punto K: 6X1 + 4X2 ≤ 24 --- (I) X1 + 2X2 ≤6 --- (II) (-2) ------------------
6X1 + 4X2 = 24 -2X1 – 4X2 = -12 -----------------------
4X1 = 12 X1 = 12/4 X1 = 3
X1 + 2X2 = 6 (3) + 2X2 = 6 3 + 2X2 = 6 2X2 = 6-3 X2 = 3/2 X2 = 1.5
La solución factible está conformada en el conjunto de puntos en los cuales todas las restricciones se cumplen, dichos puntos son los siguientes: PUNTO I (1,2) PUNTO J (2,2) PUNTO K (3,1.5) Para hallar la solución óptima reemplazaremos los 3 puntos en la función objetivo, como es maximizar la función objetivo, el z más alto sera la solución óptima.
PUNTO I (1,2) X1 = 1 X2 = 2
Z= 5X1 + 4X2 Z= 5(1) + 4(2) Z= 13 ($)
PUNTO J (2,2) X1 = 2 X2 = 2
Z= 5X1 + 4X2 Z= 5(2) + 4(2) Z= 18 ($)
PUNTO K (3,1.5) X1 = 3 X2= 1.5
Z= 5X1 + 4X2 Z= 5(3)+ 4(1.5) Z= 21 ($)
La solución óptima del modelo matemático de PL es: X1 = 3.0 toneladas diarias de producción de pinturas para exteriores X2 = 1.5 toneladas diarias de producción de pinturas para interiors Z = 21,000 $ (utilidad total máxima diaria, determinado en la función objetivo)
A continuación, se efectúa enunciados que permitirán realizar variaciones en los coeficientes o parámetros del modelo matemático inicial del problema. Analice y resuelva los nuevos planteamientos del problema que se indican a continuación: Preguntas
1. Determinar el nuevo modelo matemático de PL, el espacio de soluciones factibles y la solución óptima modelo; si la demanda máxima diaria de pintura para exteriores es de 2.5 toneladas; considerando igual los demás datos del problema original. Tipo de materia prima Materia prima M1 Materia prima M2 Utilidad diaria
Tonelada de MP por tonelada de pintura Pintura para exterior Pintura para interior 6 4 1 2 5 4
Disponibilidad diaria de MP 24 6
a) Definición de las variables de decisión
x = Toneladas diarias de producción de pinturas para exteriores x = Toneladas diarias de producción de pinturas para interiores 1 2
Determinar la Función Objetivo: Zmáx= 5X1 + 4X2 ($)
Sujeto a:
Materia prima M1
6X1 + 4X2 ≤ 24 (ton)
Materia prima M2
X1 + 2X2 ≤ 6 (ton) El estudio de mercado indica que la demanda máxima diaria de pinturas para interiores es de 2 toneladas. Además, la demanda diaria de pinturas para interiores no puede exceder a las pinturas para exteriores en 1 toneladas. -X1 + X2 ≤1
X1 < 2.5 X2 ≤2 X1, X2 ≥ 0
Condición de no Negatividad: X j ≥0
j= 1, 2
Luego resumiendo tenemos el siguiente modelo matemático: Zmáx= 5X1 + 4X2 S.a:
6X1 + 4X2 ≤ 24 X1 + 2X2 ≤6 -X1 + X2 ≤1 X1 < 2.5 X2 ≤ 2 X1, X2 ≥ 0 Modelo matemático de PL con: dos variables y cuatro restricciones.
PARA GRAFICAR a) Primera Restricción: 6X1 + 4X2 = 24 Si X2 = 0 X1 = 4 Si X1 = 0 X2 = 6
b) Segunda Restricción: X1 + 2X2 = 6 Si X2 = 0 X1 = 6 Si X1 = 0 X2 = 3
C) Tercera Restricción: -X1 + X2 = 1 Si X2 = 0 X1 = -1 Si X1 = 0 X2 = 1
D) Cuarta Restricción: Si la demanda máxima diaria de pintura para exteriores es de 2.5 toneladas
X1< 2.5 X1= 2.5 D) Quinta Restricción: X2 = 2
GRAFICANDO LAS RESTRICCIONES:
En el Punto I: -X1 + X2 = 1 -X1 + 2 = 1 -X1 = 1-2 X1=1
(X2 = 2) Punto: I (1,2)
En el Punto J: X1+ 2X2 = 6 (X2 = 2) X1 + 2(2)= 6 X1 = 2 Punto: J (2,2)
En El Punto K: X1+ 2X2 = 6 (X1 = 2,5) (2,5) + 2X2= 6 2X2 = 6-2.5 X2 = 3.5/2 X2= 1.75 Punto K (2.5, 1.75) La solución factible está conformada en el conjunto de puntos en los cuales todas las restricciones se cumplen, dichos puntos son los siguientes: PUNTO I (1,2) PUNTO J (2,2) PUNTO K (2.5, 1.75) PARA HALLAR LA SOLUCIÓN ÓPTIMA REEMPLAZAREMOS LOS 3 PUNTOS EN LA FUNCIÓN OBJETIVO, COMO ES MAXIMIZAR LA FUNCIÓN OBJETIVO, EL Z MAS ALTO SERA LA SOLUCIÓN ÓPTIMA. Z = 5X1 + 4X2 Z= 5(1)+ 4(2) Z= 13
PUNTO I (1,2) X1 = 1 X2 = 2
Z = 5X1 + 4X2 Z= 5(2)+ 4(2) Z= 18
PUNTO J (2,2) X1 = 2 X2 = 2
Z = 5X1 + 4X2 Z= 5(2.5)+ 4(1.75) Z= 19.5
PUNTO K (2.5, 1.75) X1 = 2.5 X2 = 1.75
La solución óptima del modelo matemático de PL en el Punto “K”: X1 = 2.5 toneladas diarias de producción de pinturas para exteriores X2 = 1.75 toneladas diarias de producción de pinturas para interiors Z = 19.500 $ (utilidad total máxima diaria, determinado en la función objetivo)
2. Considerando los datos del problema inicial, efectúe la variación de la restricción de la demanda máxima de la pintura para interiores; considerando ahora que su demanda máxima diaria es por lo menos de 2 toneladas. Determine el nuevo modelo matemático y halle su solución gráfica. Tipo de materia prima Materia prima M1 Materia prima M2 Utilidad diaria
Tonelada de MP por tonelada de pintura Pintura para exterior Pintura para interior 6 4 1 2 5 4
Disponibilidad diaria de MP 24 6
a) Definición de las variables de decisión
x = Toneladas diarias de producción de pinturas para exteriores x = Toneladas diarias de producción de pinturas para interiores 1 2
Determinar la Función Objetivo: Zmáx= 5X1 + 4X2 ($)
Sujeto a:
Pintura para exterior
6X1 + 4X2 ≤ 24 (ton)
Pintura para interior
X1 + 2X2 ≤ 6 (ton) El estudio de mercado indica que la demanda máxima diaria de pinturas para interiores es de 2 toneladas. Además, la demanda diaria de pinturas para interiores no puede exceder a las pinturas para exteriores en 1 toneladas. -X1 + X2 ≤1 X2 ≥2 X1, X2 ≥ 0
Condición de no Negatividad: X j ≥0
j= 1, 2
Luego resumiendo tenemos el siguiente modelo matemático:
Zmáx= 5X1 + 4X2 S.a:
6X1 + 4X2 ≤ 24 X1 + 2X2 ≤6 -X1 + X2 ≤1 X2 ≥ 2 X1, X2 ≥ 0 Modelo matemático de PL con: dos variables y cuatro restricciones.
PARA GRAFICAR a) Primera Restricción: 6X1 + 4X2 = 24 Si X2 = 0 X1 = 4 Si X1 = 0 X2 = 6
b) Segunda Restricción: X1 + 2X2 = 6 Si X2 = 0 X1 = 6 Si X1 = 0 X2 = 3
C) Tercera Restricción: -X1 + X2 = 1 Si X2 = 0 X1 = -1 Si X1 = 0 X2 = 1
D) Cuarta Restricción: X2 = 2
GRAFICANDO LAS RESTRICCIONES
En el Punto I: -X1 + X2 = 1 -X1 + 2 = 1 -X1 = 1-2 X1=1
(X2 = 2) Punto: I (1,2)
En el Punto J: X1+ 2X2 = 6… (I) -X1 +1X2= 1…. (II) 3 X2 = 7 X2 = 7/3 X2 = 2.3 Punto: J (2.3, 1.4)
En el Punto K: X1+ 2X2 = 6 (X2 = 2) X1 + 2(2)= 6 X1= 2 Punto: K (2,2)
X1 + 2X2 = 6 X1 + 2(2.3) = 6 X1 + 4.6 = 6 X1 = 6 - 4.6 X1 = 1.4
La solución factible está conformada en el conjunto de puntos en los cuales todas las restricciones se cumplen, dichos puntos son los siguientes: PUNTO I (1,2) PUNTO J (1.4, 2.3) PUNTO K (2,2) PARA HALLAR LA SOLUCIÓN ÓPTIMA REEMPLAZAREMOS LOS 3 PUNTOS EN LA FUNCIÓN OBJETIVO, COMO ES MAXIMIZAR LA FUNCIÓN OBJETIVO, EL Z MAS ALTO SERA LA SOLUCIÓN ÓPTIMA. PUNTO I (1,2) X1 = 1 X2 = 2
Z= 5X1 + 4X2 Z= 5(1) + 4(2) Z= 13
PUNTO J (1.4, 2.3) X1 = 1.4 X2= 2.3
Z= 5X1 + 4X2 Z= 5(1.4)+ 4(2.3) Z= 16.2
PUNTO K (2,2) X1 = 2 X2 = 2
Z= 5X1 + 4X2 Z= 5(2) + 4(2) Z= 18
La solución óptima del modelo matemático de PL en el Punto “K” : X1 = 2 toneladas diarias de producción de pinturas para exteriores X2 = 2 toneladas diarias de producción de pinturas para interiors Z = 18.000 $ (utilidad total máxima diaria, determinado en la función objetivo)
3. Considerando los datos del problema inicial, efectúe la variación de la restricción de la disponibilidad diaria de la materia prima M1; considerando ahora que su disponibilidad es de por lo menos 24 toneladas. Determine el nuevo modelo matemático y halle su solución gráfica. Tipo de materia prima Materia prima M1 Materia prima M2 Utilidad diaria
Tonelada de MP por tonelada de pintura Pintura para exterior Pintura para interior 6 4 1 2 5 4
Disponibilidad diaria de MP 24 6
a) Definición de las variables de decisión X1 = Toneladas diarias de producción de pinturas para exteriores X2= Toneladas diarias de producción de pinturas para interiores
Determinar la Función Objetivo: Zmáx= 5X1 + 4X2 ($)
Sujeto a:
Materia Prima M1
6X1 + 4X2 ≥ 24 (hra)
Materia Prima M2
X1 + 2X2 ≤ 6 (hra) El estudio de mercado indica que la demanda máxima diaria de pinturas para interiores es de 2 toneladas. Además, la demanda diaria de pinturas para interiores no puede exceder a las pinturas para exteriores en 1 toneladas. -X1 + X2 ≤1 X2 ≤2 X1, X2 ≥ 0
Condición de no Negatividad: X j ≥0
j= 1, 2
Luego resumiendo tenemos el siguiente modelo matemático: Zmáx= 5X1 + 4X2
S.a:
6X1 + 4X2 ≥ 24 X1 + 2X2 ≤6 -X1 + X2 ≤1 X2 ≤ 2 X1, X2 ≥ 0 Modelo matemático de PL con: dos variables y cuatro restricciones.
PARA GRAFICAR a) Primera Restricción: 6X1 + 4X2 = 24 Si X2 = 0 X1 = 4 Si X1 = 0 X2 = 6
b) Segunda Restricción: X1 + 2X2 = 6 Si X2 = 0 X1 = 6 Si X1 = 0 X2 = 3
C) Tercera Restricción: -X1 + X2 = 1 Si X2 = 0 X1 = -1 Si X1 = 0 X2 = 1
D) Cuarta Restricción: X2 = 2
GRAFICANDO LAS RESTRICCIONES
En el Punto I: 6X1 + 4X2 = 24 …. (I) X1 + 2X2 = 6 …. (II) (-2) ---------------------------6X1 + 4X2 = 24 -2X1 - 4X2 = -12 -----------------------
4X1 = 12 X1 = 3
X1 + 2X2 = 6 (3) + 2X2 = 6 2X2 = 6 – 3 X2 = 1.5
PARA HALLAR LA SOLUCIÓN ÓPTIMA REEMPLAZAREMOS EL PRIMER PUNTO EN LA FUNCIÓN OBJETIVO, COMO ES MAXIMIZAR LA FUNCIÓN OBJETIVO, EL Z MAS ALTO SERA LA SOLUCIÓN ÓPTIMA. PUNTO I (1,2) X1 = 3 X2 = 1.5
Z= 5X1 + 4X2 Z= 5(3) + 4(1.5) Z= 21
La solución óptima del modelo matemático de PL en el Punto “I” : X1 = 3 toneladas diarias de producción de pinturas para exteriores X2 = 1.5 toneladas diarias de producción de pinturas para interiors Z = 21.000 $ (utilidad total máxima diaria, determinado en la función objetivo).