Matemáticas I Departamento Departame nto de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 01. Representación Verbal de una Función
Realice lo que se pide en cada problema. 1. La suma de dos números no negativos es 15. Expresar el producto de uno de ellos con el cuadrado del otro como una función de uno de los números. 2. Un rectángulo tiene dos vértices en el eje y dos vértices en el semicírculo cuya ecuación es
= √2 5 − .
Determine el área de dicho rectángulo en términos de la distancia del origen a uno de los vértices del rectángulo (medido sobre el eje ). 3. Un ranchero pretende delimitar un terreno rectangular que tenga
1000 de superficie. El terreno será cercado y
dividido en dos partes iguales, con una cerca adicional, paralela a dos lados. Determine la cantidad de cerca utilizada en términos de alguno de sus lados. 4. Un muro de 10 pies está a 5 pies de un edificio. Calcular la longitud de la escalera, apoyada en el muro, que vaya del suelo hasta el edificio. 5. Sea la circunferencia +
= 1 y el punto (2,4). Encuentre la función de distancia entre cualquier punto de la
circunferencia y el punto . 6. Una empresa desea construir una caja rectangular abierta, con 450 3 de volumen, de tal modo que la longitud de su base sea el triple del ancho de su base. Exprese la superficie de la caja en función del anc ho. 7. Un tanque cónico, con vértice hacia abajo, tiene 5 pies de radio y 15 pies de altura. Al tanque se bombea agua. Exprese el volumen del agua en función de su profundidad. 8. Un alambre de longitud
se
corta a
unidades
de un extremo. Un trozo de alambre se dobla formando un
cuadrado y la otra parte se dobla para formar un círculo. Exprese la suma de las áreas en función de . 9. Muchas medicinas se encierran en cápsulas. Suponga que se forma una cápsula pegando dos hemisferios a los extremos de un cilindro circular recto. Si el volumen total de la cápsula debe ser de 0.007 3 , encuentre la función de área superficial en términos té rminos del radio o de la altura del cilindro. 10. Un canalón de agua de 20 pies de longitud tiene sus extremos e n forma de triángulo isósceles, con lados de 4 pies de longitud. Determine el volumen del canalón en función de la dimensión del lado superior del t riángulo.
Matemáticas para ingeniería I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 02. Funciones Seccionadas
Conteste lo que se pida en cada uno de los ejercicios
1. En 2002 el cobro por envío de un paquete por correo fue aumentado a 37 centavos por la primera onza o fracción y 23 centavos más por cada onza o fracción adicional. Cualquier paquete menor a 12 onzas puede ser enviado mediante este servicio. ¿Cuál es la función que describe el cobro en términos del peso del paquete?
1 3 0 0 ≤ ≤ 1 − 3 0 +16 +1 6 0 1 < ≤ 2 () = −5 +25 1+2005 +80 2 < ≤ 4 +8 0 4 < ≤ 6 { 1. 2 5 − 26. 26 . 2 5 + 162. 16 2. 5 6 < ≤ 10 /í =0 1989
2. La cantidad de sólidos descargados descargados por una planta de tratamiento a un río viene descrito por
Donde
()
es medido en
y en años con
correspondiendo a
. Grafique la cantidad de sólidos
descargados con respecto al tiempo.
3. La esperanza de vida se ha visto incrementada por el aumento en la longevidad y el aumento en los nacimientos nacimientos en las décadas de los 40’s y 60’s. La esperanza de vida (en años) en la población de Estados Unidos desde 1900 hasta el
2000 se aproxima por la función
1 . 3 + 2 2 . 9 0 ≤ ≤ 3 () = −0.72. 6+7.+229.4+ 11.11.5 73<<≤≤170 = 0 1900
Donde esta medida en décadas, con estadounidense.
correspondiente a
. Grafique la esperanza de vida de la población
4. El costo de una llamada telefónica diurna de larga distancia desde Toronto a Mumbai, India, es 69 centavos para el primer minuto y 58 centavos por cada minuto adicional (o parte de un minuto). Dibuje la gráfica de (en dólares) de
la llamada telefónica como una función del tiempo (en minutos).
5. Una librería por Internet cobra $15 por envío para pedidos menores a $100, pero el envío es gratis para pedidos de $100 o más. Encuentre el costo de un pedido como una función del precio total de los libros comprados.
6. Cierto país grava los primeros $20 000 del ingreso de una persona a razón del 15% y todo el ingreso de más de $20 000 se grava al 20%. Encuentre una función que especifique el impuesto total sobre un ingreso de pesos.
7. Cierta obra en rústica se vende en $12. Al autor se le pagan regalías del 10% en los primero 10 000 ejemplares
vendidos, 12.5% en los siguientes 5 000 ejemplares y 15% en cualquier ejemplar adicional. Encuentre una función que especifique las regalías totales si se venden ejemplares.
8. En las llamadas telefónicas interurbanas, el tiempo que dura cada paso del contador depende de la hora de la llamada Agosto – Diciembre 2011
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Matemáticas para ingeniería I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 02. Funciones Seccionadas
De 8 a 14 hrs 12 segundos De 14 a 20 hrs 18 segundos De 20 hrs a 8 hrs del día siguiente 24 segundos Encuentre el tiempo del contador en función de la hora en la que se realiza la llamada
9. En una tienda rebajan el 10% en compras inferiores a $50 y el 20% si son superiores a $50. ¿Cuál es la relación entre el precio marcado y el que se paga ? 10. Un ciclista sale de excursión a un lugar que dista 20 km de su casa. A los 15 minutos de salida, cuando se encuentra a 6 km de su casa, hace una parada de 10 minutos. Reanuda la marcha y llega a su destino una hora después de haber salido. ¿Cuál es la expresión analítica de la distancia de su casa en términos del tiempo de salida? 11. La función mayor entero
() = ⟦⟧
, también llamada función piso
grande que es menor o igual que un número Realice la gráfica de dicha función.
() = ⌊⌋
, se define como el entero más
. Encuentre una forma alternativa de representar dicha función.
() = ⌈⌉
12. La función techo , se define como el entero más pequeño que es mayor o igual que un número Encuentre una forma alternativa de representar dicha función. Realice la gráfica de dicha función.
() = [] () = − ⟦⟧ () = − [] | () = 0,| , =≠00 () = |log( + 4 +3)| () = |sin| ℎ() = | − | () = | − 5 + 4|
13. La función parte entera
, se define como
⌈ ⌉ ≤ −1 () = ⌊0⌋ −1<≥1< 1
.
. Realice la gráfica de esta función
14. La función mantisa , se define como la diferencia entre cualquier número y la función mayor entero. Realice la gráfica de esta función. 15. La función parte fraccionaria
, se define como la diferencia entre cualquier número y la función parte
entera. Realice la gráfica de esta función.
16. La función signo se define como
. Realice la gráfica de esta función.
17. Seccione la función 18. Seccione la función 19. Seccione la función 20. Seccione la función
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Matemáticas I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 02. Transformación de Funciones
() = √ . Encuentre el dominio y el rango de ( 4) ( 6) ( 2) () 3 () 2 (2 3)
1. Sea a. b. c. d. e. f. g. h. i. j.
(−)
(2) 2+ 3 1.3(0.1 1)
2. Identifique los desplazamientos, contracciones, ensanchamientos, reflexiones, así como la función elemental y realice la gráfica correspondiente. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j.
() = 2( 2) () = √ 2 5 () = ln() () = − () = 2| 4| 2 () = 3 () = 3 1 () = ( 1) () = √ 2 () = 3log( 1)
Matemáticas I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 02. Transformación de Funciones
3. Identifique la gráfica correspondiente a cada función a. b. c. d. e. f.
() = ( 2) 3 () = ( 1) 1 () = 2√ 2 1 () = √ 21 () = ln( 2) 1 () = | 2| 1 y
y
y
x
x
x
i.
ii. y
iii. y
x
y
x x
iv.
v.
vi.
Matemáticas I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 02. Transformación de Funciones
4. Se muestra la gráfica de f(x). Dibuja lo que se pida en cada c aso y
y
x
x
( 1) 2
a.
2(2)
b.
y
y
x x
( 2) 2
c.
() 1
d.
y
y
x
x
( 2)
e.
()
f.
y
y
x
x
g.
h.
()
Matemáticas I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 04. Operaciones con funciones y Dominios
Exprese las siguientes funciones como una operación de funciones (suma, resta, multiplicación, división o composición de funciones) y determine los dominios de las siguientes funciones. a.
b.
c.
d.
f.
= −5 +4 √ −1 = −1 −3 +4 +5 ℎ = ln −4−1+4
= sin +5 ℎ= −2 = ln −1+2 = 4 −√ −9 +2 −10 = +7 −5 +3 −8 = tan − 3 = sec4 − = ++ 33 +5−4 ∈ [ − 1, 1 0] ∈ [ − 10, 5 ] ∈[−5,6] ∈ [−5,3] 0= 4= −3= 3= 0 + g.
h.
i.
j.
e.
k.
Realice lo que se pide en cada pregunta a.
Sean las funciones
con dominio en
e imagen en
e imagen en
y la función
. Se sabe además que
con dominio en . Encuentre el
dominio de las operaciones siguientes: i.
ii.
iii. iv.
()
b. Suponga que dominio de
tiene dominio en
∈[,]
e imagen en
∈ [, ]
y la función
= −2
. Encuentre el
Matemáticas I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 04. Operaciones con funciones y Dominios
c.
Suponga que se tienen las siguientes gráficas
f(x)
y
g(x)
x
h(x)
Obtenga
= +− ℎ
en el intervalo de
[−5,5]
Matemáticas para ingeniería I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Funciones Inversas. Funciones Trascendentes
Encuentre las funciones inversas de las siguientes funciones. En caso que la función no sea inyectiva, determine los intervalos de definición de cada una de las funciones inversas correspondientes. a. b. c. d. e.
= || = √9 = sinh = − = cosh = + = tanh = −+ log log 3 = 2log 1 2− = 4 cos2 5cos 3 = 0 (6−) = 2 − 2+ 2 2− = 28 3sin cos = 3
f. g. h. i. j.
= sin 12 = √+ = + = − = √ −/
Encuentre el(los) valor(es) de que satisfagan las siguientes ecuaciones. a. b. c. d. e. f.
g. h. i. j. k. l.
√3− = √ 27 2log = 3 log log2log11 = 2log5 4loglog6 = 2log 10+ = 5 cos5 cos = 0
Encuentre los valores exactos de las siguientes expresiones.
cscarccos b. g. cotarcsin c. h. tan2arcsin d. i. cos2arcsin e. j. cos arcsin Reescriba las siguientes expresiones trigonométricas como expresiones algebraicas de . a. cosarcsin f. tanarccos √− b. sinarctan g. cotarcsin c. secarcsin √ + h. cos2arctan d. sin2arcsin i. tan arccos e. cos arccos j. secarctan a.
sinarccos secarctan sinarctanarccos sinarccos cosarcsinarccos0
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f.
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Matemáticas para ingeniería I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 06. Representación Verbal de Funciones Trascendentes.
Conteste lo que se pida en cada uno de los ejercicios 1. Se introducen alces, todos de la misma edad, en una bioreserva. El número de alces vivos disminuye un 10% cada
año. Encuentre una función que estime la cantidad de alce s vivos después de años. 2. La cantidad de bacterias en cierto cultivo se triplica en un lapso de 2 horas. Si la cantidad inicial de bacterias era de
600, encuentre una función que calcule el número de bacterias después de horas. 3. La población del mundo en el año 2000 fue de 6.1 miles de millones y la tasa de crecimiento relativo era de 1.4% por año. Si el crecimiento de la población continúa a este ritmo, encuentre una función que describa el número de
habitantes años después del año 2000. 4. La vida media del cesio 137 son 30 años. Suponga que se tiene una muestra de 10 g. Encuentre una función que
modele la masa restante después de años. 5. Si un fondo de ahorros paga interés a razón de 10% compuesto semestralmente. Encuentre una expresión que determine el valor de la inversión de
pesos después de meses.
= 10log. Demuestra que el aumento de 1 dB en el nivel de intensidad de sonido corresponde a un incremento del 2 6% de la intensidad
6. La fórmula para encontrar el nivel de intensidad del sonido es
desde la fuente = / . Utilice el modelo = 10log para mostrar que los niveles de decibeles y a distancias y desde una fuente de sonido se relación mediante la ecuación = + 20log
7. Una ley de la física establece que la intensidad del sonido es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
(en ) afectada por un sismo se relaciona con la magnitud (en grados Richter) del fenómeno mediante la fórmula = 2.3log( + 3000) − 5.1. Exprese el área afectada en
8. En la región occidental de Estados Unidos, el área términos de la magnitud del sismo.
(en ergs) liberada durante un sismo de magnitud en la escala de Richter se puede calcular mediante la fórmula log = 11.4+1.5. Encuentra la energía liberada durante el famoso terremoto de Alaska de 1964, que
9. La energía
tuvo una intensidad de 8.4 en la escala de Richter.
se llena con combustible de masa inicial . Si se desprecian las fuerzas de fricción, la masa total del cohete en el tiempo , después de la ignición se relaciona con su velocidad de ascenso mediante la ecuación = ln + , donde y son constantes. En el tiempo de ignición = 0, = 0, = + . Cuando se apaga el cohete = . Con esta información, halla una fórmula, en términos de un logaritmo, para la ve locidad
10. Un cohete de masa
del cohete al momento en que se apaga. Agosto – Diciembre 2011
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Matemáticas para ingeniería I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 06. Representación Verbal de Funciones Trascendentes.
11. Las autoridades de cierta ciudad quieren construir un andador entre las calles A y B. En la esquina que forman las dos calles se encuentra un edificio que ocupa un área de 9 por 16 metros. Escribe una ecuación de la longitud del andador, como función del ángulo que hace el m ismo andador con la calle A.
12. Una cámara de televisión está filmando el lanzamiento de un cohete, cuando éste despega, la cámara gira para seguir su movimiento. Si la velocidad inicial del cohete es de
80 / y durante 3 segundos viaja en línea recta, y la
cámara está situada a 5 km del lugar de lanzamiento. Encuentra una función que describa el ángulo de la cámara durante los primeros 3 segundos. 13. Un anuncio espectacular de 12 metros de altura, se encuentra montado 4 metros por encima del nivel visual de un observador. Encuentra una función que describa el ángulo subtendido por el observador como una función de la
distancia al espectacular.
14. Un sistema masa resorte, colocado sobre una mesa sin fricción, oscila de forma sinusoidal con periodo de 0.5 segundos. El resorte está conectado en un extremo a la masa y en el otro a un punto fijo
sobre la mesa. Si la
es de 12 cm y la menor de 8 cm, determine una expresión para la distancia de la masa al punto como una función del tiempo medido en segundos mayor distancia de la masa al punto
15. A medida que un globo de aire caliente sube, su ángulo de elevación desde un punto del punto
a nivel del suelo y a 110 km
que está directamente bajo el globo. Encuentra una función que determina la altura del globo en
función del ángulo de elevación.
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Matemáticas para ingeniería I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 07. Límites
Resuelva los siguientes límites algebraicos 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
1 lim 2 1 → 1 lim 2 1 →∞
11213 1 lim → 15 1 lim → 1 2 3 4 5 lim →∞ 5 1 3 2 2 3 lim 2 1 →∞ 5 6 lim 8 15 → 3 2 lim 4 3 → 2 4 8 lim 8 16 → 2 1 lim 2 1 →−
11.
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12.
13.
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15.
16.
17.
18.
19.
20.
√ 132√ 1 lim → 9 √ 6 2 lim 8 →− √ 2 lim √ 4 → √ 1 2 3 lim → √ 2 √ 92 5 lim → √ 2 √ 1 3 lim →− 2 √ √ 1 √ 1 lim → √ 1 √ 1 1 √1 2 lim → √ 8 3 2 lim → √ √ √ lim √ 2 1 →
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Matemáticas para ingeniería I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 07. Límites
Resuelva los siguientes límites trigonométricos. 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
2 sin lim → 3 sin lim → 4cos 4 lim → 8 sec2tan3 lim → 5 3 lim → 1cos 2 1cos lim 2 → 1 cos lim → 12cos2 lim → sin3 sin3 lim → sin6 1cos lim → 1sin
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20.
sinℎ lim → 3ℎ 2ℎ sin4 lim → cos3 1 tan lim 4 → sin lim → 1 cos cos lim → cot tan lim → sin sec lim → 72 √sin 2 lim → sin 5 sin 3 lim → sin tan sin lim → sin Página 2 de 4
Matemáticas para ingeniería I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 07. Límites
Resuelva los siguientes límites exponenciales/logarítmicos 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
lim → 3 2 1 6 lim → − 2 lim → + 2 3 lim (2 5) →∞ lim 12 → 1 3 lim sin → ln 1 lim → lim → 1 17 lim (19) → − 3 lim →∞ 4
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20.
+ 2 3 lim (2 1) →∞ 5 3 lim 3 2 →∞ − 2 1 lim ( 2 ) → 2 1)+ lim ( →∞ 2 4 lim → ln ln ; > 0 lim → ln1 lim → lim [ln 1ln] →∞ log ℎlog ℎ2log lim → ℎ 1 − + lim 1 →∞ Página 3 de 4
Matemáticas para ingeniería I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 07. Límites
Esboce las siguientes funciones. En su esbozo incluya asíntotas verticales, asíntotas horizontales (en caso de no existir calcular las asíntotas oblicuas o curvas asíntoticas), huecos, cortes con los ejes 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
3 2 2 = 2 1 = 4 21 ℎ = 3 2 3 4 = 1 = 2 = 3 1 = 1
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8. 9.
y .
= 2 = 1 = / 2 = 1 6 1 1 6 = 8 8 3 2 4 = 2 2 1 = 1 2 1 = ln 2ln 1
10. 11.
12.
13.
14.
15.
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Matemáticas para ingeniería I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 08. Continuidad y Definición de la Derivada
Determine si las funciones son continuas en el punto indicado
= 325 ≠= 11 , = 1 ℎ= +1+1 , = 1 27 ≠ 3 = +26 ≤> 22 , = 2 9 = , = 3, = 3 9 = 3 6 2 < 0 = { 432+ => 00 , = 0 = ln 1+2 = ++ 33 +54 = sin +5 = 4 √ 9 ℎ= 2 = 4 <≥ 33 ≤ 1 = 2 +34 + 1<>1≤ 1 √ 11 > 1 = 536 2≤<2≤ 1 { 4
1.
4.
2.
5.
3.
Determine para qué valores de la función es continua 1.
4.
2.
5.
Determine para qué valores de la siguiente función es continua para todos los valores de .
Determine para qué valores de y
la siguiente función es continua para todos los valores de .
¿Para qué valores de la siguiente función es continua?
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Matemáticas para ingeniería I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 08. Continuidad y Definición de la Derivada
Mediante la definición de la derivada, demuestre las siguientes igualdades 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
= 0 = 0 = 2 = 3 (√ ) = 12 − (√ ) = 13 − (√ ) = 14 − 1 = 1 1 = 2 1 = 3 sin = cos cos = sin tan = sec
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14.
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16.
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20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
cot = csc sec = sectan csc = csc cot = = ln ln = 1 log = l1n sinh = cosh cosh = sinh tanh = sech coth = csch sech = sechtanh csch = cschcoth Página 2 de 3
Matemáticas para ingeniería I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 08. Continuidad y Definición de la Derivada
Mediante la definición de derivada demuestre las reglas de la suma/diferencia, producto, cociente y regla de la cadena. 1.
2.
3.
4.
( ± ) = () ± () (⋅) = ⋅ () + ⋅ () = ⋅ (() )⋅ () () = ⋅
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Matemáticas para ingeniería I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 09. Derivadas
Encuentre las derivadas de las siguientes funciones (las respuestas aparecen en rojo) 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
= −[ ] 11 = 1 1√1 (1 √ ) = 1 √ 1 √ = 1 1 2 1 1 2√ 1 √ 2 √ sin cos = sin 3cos sin lncos = tan tanln = secln ln = 2 1 ln 11 = 11 (7+) = 2 17+ ln 7
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Matemáticas para ingeniería I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 09. Derivadas
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
( ) = ln lnsin = cot lnsin tan11 = 1 2 sec 11 2 ln 2 (sin √ 1 2) = cos√ 1 2 2√ 1 2 10 = 10 ln10 tan sec 9sin 68 9 = 144 16 8 57 sin 68 9cos 68 9 (sin(cos(−))) = 38 5− sin(cos(−))cos(cos( −))sin− sin ln1 3 = 21 3cos 3 lnln11 33 coscoscos3 = 3sincoscos3 sincos3 sin3 arccotln = 1 l1 n
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Matemáticas para ingeniería I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 09. Derivadas
Calcule 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
para las siguientes funciones (las respuestas aparecen en rojo)
6 2 = 0 → = 3 7 = 0 → = 2 2 = 7 → = 2 sec sec csc = 0 → = csc tan cot 5 sin 5 = 3 → = 2sin coscos 5 csc = cot → = csc 4 4 2 = 25 → = 4 4 2525 cos cos = sin → = sisinn sin / / = 4 → = = 5 → = 10
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Matemáticas para ingeniería I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 10. Análisis Gráfico
Determine qué gráfica representa a la primera derivada, a la segunda derivada y a la función original.
y
x
y
y
x x
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Matemáticas para ingeniería I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 11. Tasas de Cambio Relacionadas y Regla de L’Hopital
Tasas de Cambio Relacionadas Resuelva los siguientes problemas 1. Un recipiente cónico (con el vértice hacia abajo) tiene 3 metros de ancho arriba y 3,5 metros de hondo. Si el agua fluye hacia el recipiente a razón de 3 m3/min, encuentre la razón de cambio de la altura del agua cuando tal altura es de 2 metros. (1.3 m/min) 2. Un hombre se aleja de un edificio de 18 metros de altura, a una velocidad de 1.8 m/s. Una persona en la azotea del edificio observa al hombre alejarse. ¿A qué velocidad varía el ángulo de depresión de la persona en la azotea hacia el hombre, cuando éste está a 24 metros de la base de la torre? ( –0.036 rad/s) 3. La altura de un triángulo disminuye a razón de 2 cm/min mientras que el área del mismo disminuye a razón de 3 cm2/min. ¿A qué ritmo cambia la base del triángulo cuando la altura es igual a 20 cm y el área es de 150 cm2? (1.2 cm/min) 4. Un globo está a 100 metros sobre el suelo y se eleva verticalmente a una razón constante de 4 m/s. Un automóvil pasa por debajo viajando por una carretera recta a razón constante de 60 m/s. ¿Con qué rapidez cambia la distancia entre el globo y e l automóvil ½ segundo después? (20.77 m/s) 5.
Considere un triángulo rectángulo de catetos a y b. Si el cateto a decrece a razón de 0.5 cm/min y el cateto b crece a razón de 2 cm/min, determine la variación del área del triángulo cuando a mide 16 cm y b mide 12 cm. (13 cm2/min)
6. Dos lados paralelos de un rectángulo se alargan a razón de 2 cm/s, mientras que los otros dos lados se acortan de tal manera que la figura permanece como rectángulo de área constante igual a 50 cm 2. ¿Cuál es la variación del lado que se acorta y la del perímetro cuando la longitud del lado que aumenta es de 5 cm? (4 cm/s) 7.
Se vierte arena en el suelo a razón de 0.4 m3 por segundo. La arena forma e n el suelo una pila en la forma de un cono cuya altura es igual al radio de la base. ¿A qué velocidad aumenta la altura de la pila 10 segundos después de que se empezó a verter la arena? (0.0521 m/s)
8. Un rectángulo tiene dos de sus lados sobre los ejes coordenados positivos y su vértice opuesto al origen está sobre la curva de ecuación y = 2 x , según se muestra en la figura adjunta. En este vértice, la coordenada y aumenta a razón de una unidad por segundo. ¿Cuál es la variación del área del rectángulo cuando x = 2? (3.443 u2/s)
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Matemáticas para ingeniería I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 11. Tasas de Cambio Relacionadas y Regla de L’Hopital
9. El radio r y la altura h del cilindro circular recto se relacionan con el volumen del cilindro mediante la fórmula V = r 2h.
a. b. c.
= ) ¿Cómo se relaciona dV/dt con dr/dt , si h es constante? ( = 2ℎ ) ¿Cómo se relaciona dV/dt con dr/dt y dh/dt , si ni r ni h son constantes? ( = 2ℎ ) ¿Cómo se relaciona dV/dt con dh/dt , si r es constante? (
d. En cierto instante la altura es de 6 cm y se incrementa en 1 cm/seg, mientras el radio es de 10 cm y disminuye a razón de 1 cm/s. ¿Con qué rapidez cambia el volumen en ese instante? ¿El volumen aumenta o disminuye en ese instante? ( –20 cm3/s) 10. Cuando un plato circular de metal se calienta en un horno, su radio aumenta a razón de 0,01 cm/min. ¿Cuál es la razón de cambio del área cuando el radio mide 50 cm? ( cm2/min) Regla de L’Hopital Calcule los siguientes límites 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
sin = 0 lim →+ √
1−cos = 1 lim → 2 − 1 lim = 1 → ln = 1 lim → − 1 1 lim+ (1 ) = 1 → 1 lim (1 ) = → ln 1 = 1 lim + → sin
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8. 9.
10. 11.
lim+ →
3 ln = 0
ln = 0 lim → ln lim+ →
= 1
tan = 1 lim → 12. lncos = 0 lim →+ 13. arctan = 1 lim → 14. 1 = ∞ lim →+ ln 15. lim+ = 1 →
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Matemáticas para ingeniería I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 12 – Análisis Gráfico y Optimización
Análisis gráfico Grafique las siguientes funciones encontrando los puntos máximos/mínimos, asíntotas horizontales y verticales, intervalos de crecimiento/decrecimientos, concavidades.
() = 3 () = 4 () = ( 2) 4. () = +1 − 5. () = − (−) 6. () = − 7. () = 31/ 5 8. () = 9. () = sin() √ 3 cos();[0,2] 10. () = √4 1. 2. 3.
, donde A y B son constantes desconocidas. 11. Considere el polinomio de tercer grado Determine (de ser posible) los valores de A y B tal que la gráfica de y tenga un valor máximo en x = –1 y un punto de inflexión en x = 1
= 6
En las siguientes gráficas identifique los intervalos de crecimiento/decrecimiento de la función, los puntos máximos/mínimos, las concavidades y los puntos de inflexión. Se sobreponen la primera (azul) y segunda derivada (rojo) para ayudar al proceso. y
y
x
x
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Matemáticas para ingeniería I Departamento de Ciencias, Física y Electrónica Actividad 12 – Análisis Gráfico y Optimización
Optimización Realice los siguientes problemas 1. Una hoja de cartón de 3m por 4m se utilizará para hacer una caja cortando cuadrados iguales en cada una de las esquinas de la hoja de cartón. ¿Cuáles serán las dimensiones de la caja que contenga e l mayor volumen? (0.57) 2. Considere todos los triángulos formados por las líneas que pasan por el punto (8/9, 3) y los ejes X y Y. Encuentre las dimensiones del triángulo con la hipotenusa más corta. (x=26/9, y=13/3)
= √
7/2
más cercana al punto (4, 0). (x=7/2, y= ) 3. Encuentre el punto (x, y) en la gráfica 4. Usted se encuentra en la orilla de un río (cuya velocidad es despreciable) de 1 km de ancho y requiere regresar a su campamento que se encuentra en el lado opuesto del río. Usted puede nadar a 2km/h y caminar a 3km/h. primero usted debe nadar a través del río a cualquier punto del lado opuesto del río. Desde dicho punto caminará hasta el campamento, él cual se encuentra a una milla del punto que se encuentra directamente cruzando el río del punto inicial. ¿Cuál es la ruta que tomará menos tiempo? (0.71) 5. Se quiere construir una ventana en de forma rectangular coronada con un semicírculo. El perímetro de dicha ventana es de 12m, ¿cuáles son las dimensiones que resultarán en el rectángulo de mayor áre a posible? (2.33, 3) 6. Los puntos A y B están situados uno frente al otro y en lados opuestos de un rio recto de 300 m de ancho. El punto D está a 600 m. de B y en su misma orilla. Una compañía de teléfonos desea tender un cable desde A hasta D. Si el costo por metro de cable es el 25% más caro bajo el agua que por tierra. ¿Cómo se debe tender el cable, para que el costo total sea mínimo? (x=400) 7. Un alambre de 100 cm. de longitud, se corta en dos partes formando con una de ellas un círculo y con la o tra un cuadrado. Cómo debe ser cortado el alambre para que: a.
= +)
La suma de las áreas de las dos figuras sea máxima. (
b. La suma de las áreas de las dos figuras sea mínima. (x=100) 8. Existen 50 árboles de manzana en un huerto. Cada árbol produce 800 manzanas. Por cada árbol adicional
plantado en el huerto, el número de manzanas por árbol cae 10 manzanas. ¿Cuántos árboles se pueden plantar a los ya existentes para maximizar la pr oducción? (15) 9. Considere un rectángulo de 12 m de perímetro. Forme un cilindro envolviendo este rectángulo sobre uno de sus lados. ¿Qué dimensiones tendrá el rectángulo que maximice el volumen del cilindro? (r=4, h=2) 10. Una pantalla de cine en la pared tiene 20 m de altura y 10 m sobre el suelo. ¿A qué distancia x desde el frente de la sala se debería posicionar un espectador para que el ángulo de visión de la pantalla de cine sea tan grande como sea posible? (17.32)
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