UNIVERSITÉ D ’O RLÉANS ACULTÉ DE D ROIT, ÉCONOMIE ET G ESTION F ACULTÉ Florent Bresson
Année universitaire 2009-10 Licence 2e année Macroéconomie monétaire Nature : TD
Macroéconomie monétaire : la demande de monnaie
Exercice no 1 Un individu dispose dispose d’un revenu revenu de 1 875 e qu’il dépense totalement et de manière uniforme au cours du mois. Ce revenu mensuel peut être épargné sous forme de monnaie ou de titres. Le rendement de la monnaie est nul tandis que celui des titres est fixé de manière certaine à 6% par an. Enfin, toute conversion de titre en monnaie donne lieu à des frais de courtage fixes de 0,5 e. 1. Déterminer la fonction de coût coût de détention de la monnaie. Quelle est la valeur du stock stock moyen d’encaisses correspondant à l’optimum? Quel est l’effet d’une hausse de 0,625 e des frais de courtage courtage ? 2. À partir de quel niveau les frais de courtage deviennent deviennent importants au point que l’agent choisisse de détenir l’ensemble de son revenu sous forme de monnaie? 3. Pour la valeur initiale des frais de courtage, quelle valeur du taux d’intérêt incite les individus à détenir une part de leur revenu sous forme forme de titres ?
Correction 1. Dans ce modèle, les coûts auxquels fait face l’individu lorsqu’il détient de la monnaie se compose de deux éléments : un coût d’opportunité liés aux intérêts non perçus et des frais de courtage liés au besoin de vendre des tites pour financer sa dépense. Soit M le niveau de de monnaie acquis lors d’une d’une vente de titres titres.. On suppose donc donc à l’instar de Baumol que ce montant est identique à chaque vente. Sachant que le niveau moyen (ou espéré) d’encaisses monétaire détenu par l’individu est égal à M 2 , on obtient donc un M coût d’opportunité égal à 2 i où i désigne le taux de rendement des des titres. Dans l’énoncé, ce taux de rendement est présenté sous forme de taux annuel alors que la l a période d’analyse est le mois. Il est donc nécessaire de convertir ce taux sous son équivalent mensuel soit i = (1 + 0, 06) − 1 ≃ 0, 0048. 1
12
1
En parallèle, on sait que le revenu, noté R sera totalement dépensé au cours de la période. Dans la mesure où il ne semble pas y avoir de frais pour l’achat de titres et que ces derniers procurent un rendement supérieur à la monnaie, il est dans l’intérêt pour l’agent de convertir l’ensemble de son revenu sous forme de titres en début de mois, puis de le vendre à intervalle régulier par tranches égales à M compte tenu des hypothèses d’uniformité du profil de dépense dans le mois et de constance de M à chaque vente. R Le nombre de ventes de titres réalisées dans le mois est donc égal à M et, en notant b le niveau forfaitaire des frais de courtage, on obtient un montant total des frais de R b courtage égal à M Le coût C lié à la détention de monnaie étant la somme des deux composantes de coûts, on obtient, en substituant certaines variables par leurs valeurs numériques, la fonction suivante : C =
M
2
i+
= 0, 0048
R b, M M
2
(1)
+ 0, 5
1875 M
(2)
.
Comme l’objectif de l’agent est de maximiser son profit compte tenu de la contrainte de dépense, ou, ce qui revient au même, de minimiser les coûts auxquels il fait face, on peut résumer le problème d’optimisation au travers de l’expression suivante : Min C = 0, 0024M +
937, 5 M
.
(3)
Pour résoudre ce problème, on utilise la condition de premier ordre du programme d’optimisation. En d’autres termes, il suffit de calculer la dérivée de la fonction de coût par rapport à la variable M , puis de trouver la valeur de cette dernière qui annule la dérivée première. En notant M la valeur correspondant à l’optimum, on obtient : ∗
0, 0024
−
∂C = 0, ∂M R 0, 5 = 0, M 2
(4) (5)
∗
∗
M =
937, 5 , 0, 0024
(6) (7)
M = 625. ∗
Pour s’assurer que le niveau M correspond bien à un minimum, il faut s’assurer du ∂ C ≥ 0. Comme l’expression de la respect des conditions de second ordre, en l’occurence ∂M 1875 dérivée seconde, M est toujours strictement positive quel que soit M > 0, l’extremum obtenu correspond bien à la valeur qui minimise les coûts. On en déduit donc que le montant optimal de titres cédés et donc la somme de monnaie optimale acquise à chaque vente est de 625 e. Par conséquent, l’individu réalisera 1875 625 = 3 ventes au cours du mois. Enfin, le stock moyen d’encaisses monétaires détenu par les 625 agents au cours de la période étant égal à M 2 , il sera égal à l’optimum à 2 = 312, 5e. ∗
2
2
3
2
2. Lorsque l’agent décide de ne détenir que de la monnaie, la valeur optimale de M est logiquement égale au niveau du revenu dépensé R, soit 1 875e. En remplaçant M par cette valeur dans l’expression de la demande de monnaie et en laissant b inconnue, on obtient la relation : 1875 =
1875b 0, 0024
(8)
et donc, en réorganisant les termes de cette expression, la valeur ˜b qui correspond à un tel niveau de demande de monnaie, soit : 2 0, 0024 ˜b = 1875 = 1875 1875
×
× 0, 024 = 4, 5
(9)
Au delà de 4,5e de frais de courtage, la demande de titre de l’agent est donc nulle. 3. Toujours à partir de l’expression de la demande de monnaie, on va chercher la valeur du taux d’intérêt qui correspond à une demande de monnaie égale au niveau de revenu puisque toute augmentation du taux d’intérêt au delà de ce seuil conduira nécessairement à une diminution de la demande de monnaie. En ˜i, la valeur seuil de ce taux d’intérêt mensuel, on obtient donc : 1875 =
937, 5 ˜i
(10)
937,5 ≃ 0, 00026. Exprimé en termes annuels, la valeur seuil de ce taux est donc soit ˜i = 1875 de (1 + 0, 00026)1 2 − 1 = 0, 0032. 2
Exercice no 2 Une économie est composée de trois individus disposant chacun d’un capital de 1 000 e. À l’année t, ces individus anticipent le taux d’intérêt pour la période t + 1 en s’appuyant sur la série suivante de taux d’intérêts passés et courants, soit : Année t − 4 t − 3 Taux 16% 12%
t
−2
4%
t
−1
6%
t
9%
Déterminer la fonction de demande spéculative de monnaie sachant que : – le premier individu suit des anticipations adaptatives et s’attend donc en t+1 à observer avec certitude le taux observé à la dernière période, – le deuxième individu anticipe de manière certaine un taux d’intérêt égal à la moyenne arithmétique des taux observés sur les cinq dernières périodes, et – le troisième individu réalise ses anticipations de taux d’intérêt extrapolant la série des trois derniers taux selon une tendance géométrique.
Correction Pour le premier individu le calcul du taux d’intérêt anticipé correspond à celui de la période en cours, autrement dit 9%. Dans le cas du second individu, il s’agit de la moyenne arith3
métique des taux passés et actuels, autrement dit 15 (0, 16 + 0, 12 + 0, 0 4 + 0, 06 + 0, 09) = 9, 4%. Dans le dernier cas, la progression géométrique des taux d’intérêts est de raison égale à 1,5. En d’autres termes, le taux en t + 1 doit être égal à 1,5 fois celui observé en t, soit 13,5%. On sait finalement que dans le cadre d’une demande de monnaie pour motif de spéculation, les individus définissent leur demande de monnaie en fonction d’un taux d’intérêt critique basé sur le niveau anticipé des taux d’intérêt. En notant ia le niveau anticipé de taux d’intérêt pour la période suivante, le taux d’intérêt critique ic est égal au ratio 1+i i . Pour nos trois individus, on obtient donc respectivement des valeurs de ces taux d’intérêts critiques de 0,09 0,94 0,135 1,09 ≃ 8, 25%, 1,094 ≃ 8, 6% et 1,135 ≃ 11, 9%. Si l’on désigne par i le taux d’intérêt courant, on déduit de ces derniers calculs les fonctions de demande de monnaie individuelles respectives suivantes : a
a
M 1D =
M 2D =
M 3D =
La demande de monnaie agrégée duelles, on obtient donc :
M =
0 sinon. 1000 si i 0 sinon. 1000 si i 0 sinon.
M iD =
i=1
≤ 8, 25%,
(11)
≤ 8, 6%,
(12)
≤ 11, 9%,
(13)
étant la somme des demandes de monnaie indivi-
M D
3 D
1000 si i
3000 si i
≤ 8, 25%,
2000 si 8, 25% < i
≤ 8, 6%, 1000 si 8, 6% < i ≤ 11, 9%,
(14)
0 sinon.
Puisque le taux actuel est de 9%, on en déduit donc que la demande de monnaie est égale à 1000e.
Exercice no 3 Un individu détient un capital de 1 000 e qu’il peut investir sous forme de monnaie au rendement nul et sous forme de titres rémunérés au taux i. Il réalise ses anticipation sur le taux d’intérêt à la période suivante selon la formule ia = µi + (1 − µ)in où ia est le taux anticipé et in le taux auquel devrait être rémunéré le titre d’après ses qualités intrinsèques selon l’individu. On suppose que i et in sont respectivement fixés à 10% et 15%. 1. Commenter le mode de formations des anticipations de l’agent. 2. Pour quelle valeur du paramètre devient-elle nulle ?
µ
la demande de monnaie pour motif de spéculation
4
Correction 1. On note dans un premier lieu que les anticipations sont fonction du taux d’intérêt courant. Lorsque le coefficient µ est positif, une augmentation du taux d’intérêt courant donne lieu à une augmentation du niveau anticipé des taux futurs. Si le coefficient µ est aussi inférieur à 1, une variation donnée du taux d’intérêt se traduira par une variation plus faible du taux d’intérêt anticipé du fait de la prise en compte du taux d’intérêt normal in , considéré comme constant, dans le calcul. En quelque sorte, ce taux d’intérêt normal joue alors le rôle d’une force de rappel par rapport aux variations du taux d’intérêt courant. On parle alors d’anticipations régressives. 2. Dans le cadre de l’analyse keynésienne de la demande de monnaie pour motif de spéculation, la demande de monnaie s’articule autour d’un taux d’intérêt critique défini à partir du niveau anticipé des taux d’intérêts. Lorsque le taux d’intérêt est inférieur à ce taux, les individus placent l’intégralité de leur portefeuille sous forme de monnaie car la hausse anticipé du taux d’intérêt doit donner lieu à une baisse du prix des titres et donc se traduire par des moins-values. Il vaut donc mieux conserver le patrimoine sous une forme oisive plutôt que de le laisser se déprécier. Si au contraire le taux d’intérêt est supérieur au taux critique, la baisse anticipé des taux va correspondre à une augmentation du prix des titres et donc des perspectives de plus-values. Puisque le rendement anticipé des titres est supérieur à celui de la monnaie, la demande de monnaie sera nulle. On va donc chercher quelle valeur de µ se traduit par un taux d’intérêt critique ic égal au taux d’intérêt courant i. La formule de ce taux d’intérêt critique étant ic = 1+i i , il suffit de résoudre : µi + (1 − µ)in (15) i= a
a
1 + µi + (1
− µ)in
qui a pour solution : m=
(i 1)in + i . (i 1)in + i(1 i)
−
−
− En posant i = 10% et in = 15%, on obtient alors m ≃ 77, 8%.
(16)
Exercice no 4 Un agent dispose d’un patrimoine égal à 10000 e qu’il peut répartir entre monnaie et titres. Le rendement de la monnaie est nul et celui des titres se caractérise par un risque qui se présente sous la forme d’une variable aléatoire. L’attitude de l’individu vis-à-vis du risque est représentée par la fonction d’utilité U (r) = 2r − 4r2 où r est le rendement du portefeuille de l’individu. 1. Définir l’attitude vis-à-vis du risque en vous appuyant sur le paradoxe de St-Petersbourg. 2. Sur quel intervalle du taux de rendement r doit être définie la fonction d’utilité pour que cette dernière soit croissante du niveau de risque ? Donner une réprésentation de la fonction d’utilité et commenter. 5
On suppose maintenant que le rendement moyen des titres est de 10% tandis que la variance de ce rendement est estimée à 2%. 3. La détention de monnaie étant supposée sans risque, quelle proportion de son partimoine l’individu va-t-il détenir sous forme de titres compte tenu de ses préférences en matière de risque? 4. Quelle est la valeur de la demande d’encaisses monétaires associé au motif de spéculation pour l’individu? Réaliser le diagramme de Tobin associé à ces résultats. On fait maintenant l’hypothèse que la législation impose à notre agent de détenir de la monnaie dans une proportion égale à 59 de la valeur de son portefeuille. Le reste est placé sous forme de titres dont le rendement moyen est égal à 10%. 5. Pour un rendement et risque nuls de la monnaie, quelle devrait être le degré de risque (variance) associé aux titres pour que la proportion 59 corresponde à l’optimum de l’individu? 6. Expliquer dans quel sens devrait varier la variance du rendement des titres pour que le gestionnaire reste dans une situation optimale si le rendement espéré des titres n’est plus que de 5%. Calculer la valeur de cette variance.
Correction 1. Voir cours. = 2 − 8r. On observe donc 2. La dérivée première de la fonction d’utilité est égale à ∂U ∂r une relation croissante entre utilité et taux de rendement uniquement sur l’intervalle ] − ∞; 0, 25]. Au delà la pente devient négative.
U
0,25
r
F IGURE 1 – La fonction d’utilité de l’agent. En regardant la figure ci-dessus, on constate que la fonction d’utilité est convexe, ce qui traduit une certaine aversion au risque de la part de l’individu puisqu’un individu préférera toujours un gain certain au gain aléatoire d’une loterie caractérisé par la même espérance de gain. 3. Comme le rendement des titres, et donc du portefeuille, présente un certain degré de risque, l’individu va raisonner non à partir de son utilité, mais de son espérance d’utilité. En notant E la fonction d’espérance mathématique, la fonction correspondant à 6
l’espérance d’utilité est :
− 4r2 , = 2E (r) − 4E r2
E u(r) = E 2r
(17) (18)
.
Si l’on note σ l’écart type du rendement du portefeuille, on a par la définition même de la variance σ2 = E r2 − E (r)2 . On obtient donc l’expression suivante de la fonction d’espérance d’utilité : E u(r) = 2E (r) − 4 E (r)2 + σ2 . (19)
Parallèlement, on sait que l’espérance de rendement du portefeuille dépend de la proportion α de titres qu’il contient. En notant rt le rendement des titres, on obtient E (r) = αE (rt ) puisque le rendement de la monnaie est nul. De même, le degré de risque du portefeuille dépend de la part de titres détenus et du degré de risque qui leur est associé. En notant σt l’écart-type du rendement des titres, on sait que σ = ασt . En incluant ces expressions de E (r) et σ dans l’équation (19), on obtient donc : t
E u(r) = 2αE (r )
2
− 4α
t 2
E (r ) + σ
t2
(20)
.
Dans la mesure où l’individu cherche à maximiser son espérance d’utilité en agissant sur le niveau de la variable α, on obtient la valeur optimale α de celle-ci en résolvant la condition de premier ordre suivante : ∗
∂E u(r) ∂α
2E (rt )
− 8α
∗
E (rt )2 + σt
2
= 0,
(21)
=0
(22) E (rt )
∗
α =
4
E (rt )2
+
∂ 2 E u(r )
(23)
.
− σt 2
t2
= 8 E (r ) + σ La dérivée seconde de la fonction d’espérance d’utilité est ∂α < 0 ce qui nous assure que l’extremum α est bien un maximum. Puisque E (rt ) = 0, 1 et √ que σt = 0, 02 ≃ 0, 14, on en déduit α ≃ 83, 3%. 2
∗
t 2
∗
4. La part du portefeuille conservée sous forme d’encaisses monétaire est donc de 1 − 0, 833 = 16, 7%, soit une demande d’encaisses de 10000 ∗ 0, 167 = 1670e. La valeur de l’écart-type du rendement du portefeuille et du rendement espéré sont respectivement de E (r) = α E rt ≃ 8, 3% et σ = α σt ≃ 11, 8% à l’optimum. Enfin, l’individu est situé ∗
∗
∗
∗
7
sur une courbe d’indifférence défini par l’équation :
− −
E u(r) = 2E (r)
2E (r) 2E (r)
∗
4 E (r)2 + σ2 = 2E (r)
∗
4 E (r)2 + σ2 = 0, 059
− −
2E (r)
σ=
(24)
− 0, 083 − 4E (r)2
(27)
4 E (r)
2
4 E (r)
2
∗
∗
+σ
∗
2
+σ
∗
2
2
(25) (26)
On dispose alors de toutes les données nécessaires à la réalisation du diagramme de Tobin, soit : r
E (r)
∗
E (r t ) σt
0
σ σt
σ
∗
1
σt
α
∗
1
α
F IGURE 2 – Diagramme de Tobin 5. En partant de l’expression théorique de par 59 et 10%, on obtient :
∗ et en substituant α
α
E (rt )
∗
α =
4 σ
t2
=
σt =
=
∗
E (r t )2
E (rt )
+
σt 2
− 4E (rt)2 ,
4α E (rt ) 4E (rt )2 , 4α ∗
0, 1
≃ 0, 187
−
∗
− 0, 04 59 , 4 59
et E (rt ) respectivement
(28) (29) (30) (31) (32)
Pour obtenir un valeur optimale de α = 59 , il est donc nécessaire que l’écart type du rendement des titres soit égal à 18,7%. 6. Si le rendement espéré des titres diminue, la droite de la contrainte budgétaire diminue 8
et nous conduit donc sur une courbe d’indifférence plus basse. Compte tenu de la forme des préférences de l’individu, l’effet de substitution l’emporte sur l’effet revenu, ce qui le conduit à choisir un degré de risque plus faible pour son portefeuille et donc une part de titres plus faible dans son portefeuille. Pour que celle-ci reste constante, il serait donc nécessaire de diminuer le degré de risque afin de retrouver la contrainte budgétaire initiale. Toutefois, cette modification du degré de risque modifie la relation entre part du portefeuille sous forme de titres et degré de risque du portefeuille. La diminution du degré de risque doit donc être plus faible que prévue. En reprenant le développement précédent, on obtient : σt =
=
− 4E (rt)2 ,
(33)
− 4 × 0, 05 59 ,
(34)
E (rt )
4α
∗
0, 05
4 59
≃ 0, 132.
9
(35)