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TD 1
Exercice 1:
Le service informatique d’une institution d’enseignement a relevé le nombre de travaux exécutés(en lots ) durant les 25 derniers jours de la session pour des travaux de programmation en langage FORTRAN et COBOL. Le nombre de travaux traités par jour pour chaque type de langage est présenté dans les tableaux suivants : Nombre de travaux/ jour ( FORTRAN ) Nombre de travaux/jour ( COBOL ) 889 845 800 948 913 593 736 775 660 647 906 851 907 902 905 723 664 620 647 674 895 850 931 869 954 755 747 753 775 633 877 821 904 958 972 699 705 689 707 746 881 900 887 902 790 756 681 813 663 763 1 Dépouiller le nombre de travaux/jour traités par le service de l’informatique pour chaque type de langage selon une distribution de fréquences.( Prendre, respectivement, comme premières classes [790, 825] et [590, 635] pour le langage FORTRAN et COBOL. 2 Tracer dans chaque cas l’histogramme et le polygone de fréquences. 3 Pour chaque distribution, dans quel intervalle de classe se situe le plus grand nombre de travaux traités par jour ? Déterminer le mode et la médiane . 4 D’après le dépouillement effectué, estce que le nombre de travaux traités par jour a tendance à se grouper autour de la même valeur pour chaque type de langage ?
Exercice 2: L’entreprise METALLO fabrique des tiges métalliques utilisées à travers le pays par différents clients dans l’assemblage de certains montages de structure métallique. Une caractéristique importante de ces tiges est la résistance à la traction qui permet de juger de la capacité des tiges à supporter un certain effort. Le processus de fabrication de l’entreprise fournit des tiges d’une bonne qualité mais nous remarquons néanmoins que la résistance à la traction peut fluctuer légèrement de tige en tige. Cette fluctuation est attribuable à plusieurs facteurs dont les propriétés mécaniques des matières premières, légères rainures dans les tiges.... Un contrôle effectué sur 35 tiges fabriquées donna les résistances à la traction présentées dans le tableau, mesures effectuées à l’aide d’une machine d’essai statique. 1 Ranger selon des classes d’amplitude 35 avec la borne inférieure de 290. 2 Tracer l’histogramme et le polygone de fréquences. 3 Tracer les deux courbes cumulatives. 4 Combien de tiges ont une résistance à la traction inférieure à 400 kg/cm2 ? 5 Combien de tiges ont une résistance comprise entre 360 et 430 kg/cm2 ? 6 Déterminer le mode et la médiane. Résistance à la traction ( kg/cm2) 390
384
340
385
381
384
376
420
404
355
423
361
437
365
380
370
382
292
470
409
396
498
378
376
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F.S.T de Settat 331
342
386
412
408
349
402
364
349
402
364
TD 2
Exercice 1:
L’entreprise ASA utilise une matière isolante dans l’assemblage de certains appareils de mesure de contrôle industriel. Ces composantes isolantes sont achetées d’un fournisseur américain et doivent respecter une certaine épaisseur. Lors d’un contrôle de réception, on a mesuré l’épaisseur d’un échantillon de 20 composantes : Epaisseur en mm 5,6
5,9
6,2
6,1
6,6
5,9
5,9
5,6
6,2
5,8
5,5
5,6
6,0
6,3
6,2
5,9
6,2
6,0
6,2
6,3
1 Calculer l’épaisseur moyen de cet échantillon . 2 Calculer la variance et l’écarttype de l’épaisseur des composantes isolantes. 3 Un lot est considéré acceptable si l’épaisseur moyenne observée dans un échantillon de 20 n’est pas inférieure à 5,8 mm, ni supérieure à 6,2 mm. Devraiton retourner ce lot au fournisseur.
Exercice 2: Soit un groupe de 10 élèves âgés de 9 ans répartis selon leur poids ( X ) en kg et leur tailles ( Y ) en cm. Poids xi
20
21
22
22
25
26
27
28
29
30
Taille yi
115
120
117
123
130
123
132
132
128
135
1 Ranger ces résultats en classes de 2,5 kg pour X et 5 cm pour Y. 2 Pour chaque variable donner : le mode, la médiane, la moyen, l’écarttype. Calculer la covariance. 3 Déterminer le coefficient de corrélation linéaire et la droite de régression.
Exercice 3: Désirant savoir si l’accélération que subit un corps est nulle ou constante, un exérimentateur mesure la distance que parcourt cet objet en fonction du temps. Il trouve : Temps ti ( s ) Longueur li ( m )
1
2
3
4
30
110
220
375
1 Tracer le diagramme de dispersion. 2 Déterminer le coefficient de corrélation dans l’hypothèse : a D’un mouvement rectiligne uniforme l = at ( accélération nulle ) b D’un mouvement uniformément accéléré l = t2 ( accélération constante ) 3 Représenter, dans les cas a) et b), la droite de régression.
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TD 3
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Exercice 1: Soit une variable aléatoire X représentant le nombre de globules rouges par mm3 de sang d’individus pris au hasard dans une population donnée. On suppose que X suit une loi normale. La valeur moyenne E(X) et l’écarttype ( X) sont : Chez l’homme : X1 = 5 106 /mm3 ; 1 = 255100 /mm3 X2 = 45 105 /mm3 ; 2 = 255100 /mm3 1 Déterminer, successivement, pour les hommes et pour les femmes, L’encadrement du nombre de globules rouges, en se limitant à un risque d’erreur de 5 %. 2- On choisit, au hasard, un homme et une femme dans cette population. Quelle est la probabilité pour que le nombre de globules rouges chez l’homme soit inférieur à celui de la femme ? Chez la femme
:
Exercice 2: On relève dans l’analyse du sang de 100 malades, un poids moyen de Ca m1 = 120 mg avec 1 = 10 mg. Ces 100 malades représentent un échantillon pris au hasard dans une population N de gens hospitalisés pour des anomalies sanguines ( N > 100 ). 1- En suppose que la distribution de poids de Ca est Normale; Quel est l’encadrement du poids de Ca pour un malade pris dans cet échantillon, si l’on l’on accepte un risque d’erreur de 5% ? 2- Donner l’IC à 95% relatif au poids moyen de Ca pour l’ensemble des malades.
Exercice 3: La mesure de puissance de 5 machines à laver, issues d’une même chaîne de fabrication a donnée les résultats suivants ( Watts ) : 3550 3560 3580 3600 3620 Entres quelles limites varie la puissance moyenne de l’ensemble des machines à laver de la série, au risque d’erreur de 5% ?
Exercice 4 : On fabrique des pièces en série. Leur diamètre est une variable aléatoire Normale X, de moyenne m = 32 mm et = 1 mm. Contrôler la fabrication, on prélève à intervalles réguliers 20 pièces. Soit X la moyenne de X dans un échantillon. 1 Quelle est la loi de probabilité de X ? 2 Donner, l’encadrement de X pour que la machine puisse être considérée comme bien réglée avec une probabilité de 0,99 ? 3- Les pièces doivent être utilisées ensuite. Pour cela elles doivent satisfaire à la norme 31 < x < 33 mm. Quelle est la probabilité pour qu’une pièce soit utilisée ?
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TD 3 Exercice 5 :
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1 La teneur en glucose dans le sang ou glycémie des sujets d’une population donnée est supposée distribuée suivant une loi Normale N ( M = 1 g; = 0.2 g ). Quelle est pour un individu, la probabilité d’avoir une glycémie entre 0.7 et 1.2 g ? Pour 1000 personnes examinées, combien en moyenne auront une glycémie entre 0.7 et 1.2 g ? 2 La détermination de l’IC à partir des glycémies obtenus pour un échantillon d’effectif n ( n > 30 ), a donné pour les sujets d’une 2ème population les valeurs suivants pour les bornes de cet intervalles : 1.14 et 1.26 g. Quelle la valeur moyenne observée X des Glycémies des sujets composant l’échantillon étudiée au risque d’erreur de 5 % ? Quel est l’effectif de l’échantillon étudiée ? (s = 0.3 pour la 2ème population )
Exercice 6 : Dans un établissement de construction, une machine produit en série des engrenages dont le diamètre par suite d’imperfections inhérentes au fonctionnement de la machine, est une variable aléatoire distribuées suivant N ( M, ). La moyenne M peutêtre fixée à volonté par un réglage approprié, tandis que , caractéristique du procédé de fabrication, est égale à 0.002 mm quelle que soit la valeur de M. 1- Pour qu’un engrenage soit utilisable, son diamètre doit être compris entre 23.60 et 23.70. a- Quelle valeur de M0 fautil donner à M pour que la proportion des engrenages soit maximale ? b- Quelle est cette proportion ? 2- Un client reçoit un lot de 10000 engrenages. Il ignore la valeur de M correspondant à leur fabrication et se propose de l’estimer à partir de la moyenne d’un échantillon de n engrenages tirés au hasard du lot. a- Rappeler la loi de probabilité de la variable aléatoire Xn, moyenne d’échantillon. b- Exprimer les bornes de l’IC à 90% pour M, centrée sur X, valeur observée de Xn. c- Quelle valeur fautil donner à n pour que cet échantillon ait une longueur au plus égale à 0.01 mm ?
Exercice 7 : On mesure les diamètres de pièces mécaniques dans un lot important fabriqué par une même machine. Les valeurs observées suivent une loi normale de moyenne 10.06 mm et d’écarttype 0.18 mm. Si l’on prélève dans ce lot 9 pièces au hasard quelle est la probabilité pour que le diamètre moyen de cet échantillon soit : a- inférieur à 10 mm ? b- supérieur à 10.15 mm ?
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TD 4 Exercice 1: La durée de vie moyenne d’un échantillon de 100 ampoules est de 1500 heures et un écart-type de 200 heures. En appelant M la moyenne de la population, vérifier l’hypothèse M = 1550 h relativement à l’hypothèse M 1550 h avec un niveau de signification de 0.05 puis de 0.01.
Exercice 2: Une machine automatique effectue le remplissage d’un contenant. La machine est ajustée de sorte qu’en moyenne le poids net du contenant soit de 12 kg. La dispersion du procédé est stable et est mesurée par un écart-type de 0.6 kg. De plus, on considère que le poids net est distribué normalement. Une analyse veut vérifier si la machine automatique semble toujours centrée à 12 kg. Il tire un échantillon aléatoire de 9 contenants et mesure le poids net de chacun. Le poids moyen de cet échantillon est de 12.3 kg. Est-ce que l’analyse peut conclure qu’au moment de l’échantillonnage le procédé était centré à une valeur autre que 12 kg.
Exercice 3: Des appareils électriques de chauffage ont une moyenne de vie de fonctionnement de 2000 heures avec un écart-type de 100 heures. A l’aide d’un changement de l’un de ses composantes, le fabriquant affirme que la durée de vie moyenne peut-être accrue. On a testé un échantillon de 50 appareils et on a observé une durée de vie moyenne de 2100 heures. Peut-on soutenir cette affirmation au niveau de signification de 0.01 ?
Exercice 4: Un fabriquant vend des pipettes de 10 ml avec la garantie suivante : 10 ml ± 0.02 à 95 % On a acheté un lot de 10 pipettes de 10 ml et on a contrôlé leur volume, les résultats sont les suivants : 10.05 10.01 9.97 10.03 10.01 10.00 10.02 9.99 10.06 10.04 L’affirmation du fabriquant est-elle justifiée au seuil de 1% ?
Exercice 5: Dans un atelier de fabrication de benzène la limite maximum tolérable pour le benzène est de 80 mg/m 3. L’inspection de travail a effectué 15 prélèvements du gaz de l’atmosphère de l’atelier et a obtenu les résultats suivants : 75 80 81 78 82 77 75 80 79 81 78 77 79 78 77 L’industriel respecte-t-il les limites tolérables ?
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TD 5 Exercice 1: Deux fabricants F1 et F2 produisent des lampes fluorescentes dont la durée de vie moyenne est de 12000 h et 11000 h avec les écart-types de 200 et 150 h respectivement. Si 50 lampes de F1 et 75 de F2 sont vérifiées, quelle est la probabilité pour que la durée de vie moyenne de F1 et soit d’au moins 950 h de plus que celle de F2.
Exercice 2: U n laboratoire indépendant a effectué, pour le compte d’une revue sur la protection du consommateur, un essai de durée de vie sur une type d’ampoules électrique d’usage courant ( 60 Watts, 120 Volts ) fabriquées par deux grandes entreprises concurrentielles, dans le secteur de produits d’éclairage. Les essais effectues dans les même conditions sur un échantillon de 40 lampes prévenant de chaque fabricant donnent les résultats suivants : F1 n1 = 40 m1 = 1025 h s1 = 120 h F2 n2 = 40 m2 = 1070 h s2 = 140 h La publicité affirme que ces ampoules ont une durée de vie moyenne de 1000 h. Est-ce que la revue peut affirmer, qu’en moyenne, les ampoules du fabricant F1 ont une durée de vie inférieure à celle du fabricant F2 ?
Exercice 3 : On utilise deux procédés pour la fabrication d’un câble. Afin de déterminer si les deux procédés produisent des cibles de même qualité, on veut comparer la force de rupture des cibles de chacun des procédés. Des tests en laboratoire donnent les résultats suivants : Procédé 1 :
126.4 122.6 124.9 123.8 121.5 127.2 125.6 123.2 126.2 Procédé 2 : 125.7 129.0 130.4 126.3 122.2 127.2 124.2 123.6 129.0 On considère que l’échantillonnage s’est effectué à partir de deux populations normales de variances inconnues mais supposées égales. Conclure.
Exercice 4 : Deux méthodes de dosage A et B de même précision ont données les résultats suivants : A : 66.9 66.9 66.7 66.8 66.3 66.9 66.6 66.5 66.5 66.9 B : 66.5 66.3 66.1 66.3 66.6 66.6 B est une nouvelle méthode de dosage qu’en l’on comparer à la méthode A. Conclure.
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Exercice 5 : Une machine automatique fabrique des supports métalliques de divers longueurs. La longueur requise peut être réglée facilement à l’aide d’un simple ajustement. La longueur est distribuée selon une loi normale. Pour assurer que la production présente une homogénéité raisonnable, on a établie que la variance de la longueur des tiges ne doit pas excéder 0.36 mm². La fabrication a été interrompue pour permettre une réparation importante au bras d’ajustement servant à la coupe des supports. La production étant reprise, on veut s’assurer que la variance de la longueur des tiges n’excède pas la norme requise. Un échantillon de 20 supports prélevé au hasard de la production donne, comme variance de la longueur, s² = 0.42 mm². L’hypothèse selon laquelle ² n’excède pas 0.36 mm² est-elle acceptable au seuil de signification 0.05.
Exercice 6 : Sur un ancien appareillage le taux d’azote d’un échantillon standard peut-être déterminer et suit une loi normale N ( m, ) avec m = 13.535 & = 0.005. Après réparation de l’appareillage on veut s’assurer que la sensibilité est restée la même ou est s’améliorée. On effectue alors 8 dosages d’azote sur ce nouvel appareillage à l’aide du même échantillon standard. On obtient les résultats suivants : 13.541 13.532 13.536 13.542 13.540 13.531 13.547 13.535 Conclure.
Exercice 7 : Les employés des deux usines d’une même entreprise ont été interrogés sur leur préférence entre un ensemble de bénéficiaires marginaux ou une augmentation de salaire. Sur un échantillon aléatoire de 150 employés de l’usine I, 75 favorisaient une augmentation du salaire ; à l’usine II, 103 sur 200 employés favorisaient une augmentation du salaire ; on considère que l’échantillonnage représente au plus 5% de la population. On désire éprouver, au niveau = 0.01, que la proportion d’employés favorisant l’augmentation de salaire est la même dans les deux usines
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