ANNEXE DEUX CRITERES DE PLASTICITE USUELS : VON MISES ET TRESCA
1. Préliminaires Comme nous l’avons vu à la section 3.2 du chapitre I, la fonction de charge d’un matériau obéissant à un critère de plasticité parfaite isotrope s’écrit ~ f (σ ) = f (σ I ,σ II ,σ III ) ≤ 0
(A.1)
où (σ I ,σ II ,σ III ) sont les contraintes principales. Le domaine d’élasticité peut donc être représenté dans R 3 . Dans cet espace, la décomposition de la contrainte en parties sphérique et déviatorique d’un tenseur des contraintes
σ = s + 1 / 3( trσ )1
(A.2)
peut être représentée de la façon suivante (figure 1). Le vecteur OM (σ I ,σ II ,σ III ) étant associé
à σ , et e ∆ (1/ 3 , 1/ 3 , 1/ 3 ) , vecteur unitaire porté par l’axe trissecteur ∆ , à I / 3 , il vient : OH = (OM .e ∆ ) e ∆ = ( trσ ) e ∆ / 3
(A.3)
∆
M
σ III
s
H σ
OM (σ )= HM (s )+ OH (1/ 3(trσ ) I )
O
e∆
1/ 3( trσ ) I
σ II
σI
Figure1. Représentation géométrique dans l’espace des contraintes principales de la décomposition d’un tenseur en parties sphérique et déviatorique
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de sorte que le vecteur OH de composantes (trσ / 3, trσ / 3, trσ / 3) représente dans l’espace des contraintes principales la partie sphérique du tenseur σ , la partie déviatorique étant associée au vecteur OM − OH = HM . Ce dernier est perpendiculaire à l’axe ∆ .
2. Critère de von Mises 2.1 Domaine d’élasticité. La fonction de charge relative à un tel critère s’écrit :
f (σ ) = (1 / 2 s : s )
1/ 2
− k = (1 / 2sij s ji )
1/ 2
(
2 − k = 1 / 2( s I2 + s II2 + s III )
)
1/ 2
−k
(A.4)
où (s I , s II , s III ) désignent les valeurs principales de s et k représente la limite d’élasticité en cission simple. Dans l’espace des contraintes principales, le module du vecteur HM est égal à :
(
2 HM = s I2 + s II2 + s III
)
1/ 2
(A.5)
de sorte que le critère de von Mises peut également s’écrire f (σ ) ≤ 0 ⇔ HM ≤ k 2
(A.6)
Le domaine d’élasticité est un cylindre circulaire d’axe ∆ et de rayon k 2 (figure 2).
∆
σ III
k 2
σ II
O σI
Figure2. Domaine d’élasticité relatif au critère de von Mises
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2.2 Règle d’écoulement plastique(matériau standard) Partant de l’expression générale ∂f & p p d = ε& = λ& λ ≥ 0 si f (σ ) = f& (σ ) = 0 ∂σ
(A.7)
Tenant compte de (A.4), il vient df =
d(1/2 s : s ) s :d s s ∂f :dσ = = :dσ 1/ 2 = ∂σ 2k 2k 2(1/2 s : s )
∀dσ
(A.8)
d’où
s ∂f = ∂σ 2k
(A.9)
et par conséquent, puisque le multiplicateur plastique λ& est indéterminé p 1/ 2 d = λ& s λ& ≥ 0 si (1 / 2 s : s ) = k et s : σ& = 0
(A.10)
Cette règle d’écoulement peut s’interpréter géométriquement en remarquant d’une part que d a les mêmes directions principales que σ (voir également la section 4.4. du chapitre I), et p
que dans l’espace des contraintes principales le vecteur associé à d
p
est normale extérieure à
la surface de charge cylindrique, donc perpendiculaire à l’axe ∆ , et même plus précisément colinéaire au vecteur associé à s (figure 3).
∆
σ III d
p
s
σ II
O σI
Figure3. Interprétation géométrique de la règle d’écoulement associée pour un critère de von Mises
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La relation (A.10) implique en particulier que
( ) = tr(λ& s ) = 0
tr d
p
(A.11)
signifiant ainsi que le matériau est plastiquement incompressible.
3. Critère de Tresca 3.1 Domaine d’élasticité. La fonction de charge d’un tel critère s’écrit : fˆ (σ I ,σ II ,σ III ) =
sup
K , L = I , II , III
{σ K − σ L } − σ 0 ≤ 0
(A.12)
où σ 0 = 2C représente la limite d’élasticité en traction simple du matériau, C désignant sa cohésion. Dans l’espace des contraintes principales le domaine d’élasticité est représenté par un cylindre d’axe ∆ . En effet étant donné un point M (σ I ,σ II ,σ III ) appartenant à ce domaine, c’est-à-dire vérifiant l’inégalité (A.12), ce dernier contient toute la droite passant par M et parallèle à ∆ constituée des points de la forme M ′(σ I + α ,σ II + α ,σ III + α ) , puisqu’il est facile de voir que ∀α
fˆ (σ I +α ,σ II +α ,σ III +α ) = sup {σ K +α −σ L −α }−σ 0 = fˆ (σ I ,σ II ,σ III )
(A.13)
K ,L= I ,II ,III
Il reste alors à préciser la section de ce cylindre en se plaçant dans un plan déviateur quelconque, perpendiculaire à ∆ (figure 4). L’expression (A.12) fait apparaître que le critère de Tresca consiste à limiter la différence entre les contraintes principales extrêmes, la contrainte principale intermédiaire n’intervenant pas dans un tel critère. L’espace des contraintes principales peut être ainsi subdivisé en six régions égales délimitées par les trois plans passant par ∆ et contenant respectivement les trois axes principaux. Chacune de ces régions correspond à un classement d’ordre donné entre les contraintes principales. Plaçons nous par exemple dans la région où σ I et σ III sont les contraintes principales majeure et mineure, tandis que σ II est la contrainte principale intermédiaire. Le critère de Tresca s’écrit alors
σ I − σ III − σ 0 ≤ 0
(A.14)
La restriction du domaine d’élasticité à cette région est donc délimitée par le plan d’équation σ I − σ III = σ 0 parallèle à ∆ et à l’axe Oσ II . Effectuant le même raisonnement pour les cinq 42
autres régions, il apparaît que la frontière du domaine d’élasticité est un hexagone régulier représenté sur la figure 4.
σ III
σ I < σ II < σ III
σ II < σ I < σ III σ I = σ III
σ II = σ III π /3
σ II < σ III < σ I
σI
2 3σ0
σ I < σ III < σ II
o σ I − σ III = σ 0
m1 σ III < σ II < σ I
σ III < σ I < σ II
m2
σ II
σ I = σ II Figure4. Section par un plan déviateur du domaine d’élasticité relatif à un critère de Tresca
La dimension de cet hexagone est caractérisée par la distance om1 = om2 , où m1 désigne la trace dans le plan déviateur de l’arête du cylindre hexagonal, parallèle à l’axe ∆ , qui passe par le point (σ I = σ 0 , σ II = σ III = 0) correspondant à limite d’élasticité en traction uniaxiale. Cette distance n’est autre que la norme du déviateur associé à cet état de contrainte ( s I = 2σ 0 / 3, s II = s III = −σ 0 / 3)
(
2 om1 = om2 = s I2 + s II2 + s III
)
1/ 2
=
2 σ0 3
(A.15)
3.2 Règle d’écoulement On utilise le résultat du cours (chapitre I, équation (1.39)) exprimé en vitesse :
∂fˆ d Kp = λ& , ∂σ K
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λ& ≥ 0
(A.16)
Deux cas doivent être distingués selon la position de l’état de contrainte sur la surface de charge hexagonale.
Régime de face (figure 5-a). Le point est situé sur une face du polyèdre (segment m1 m2 à l’exclusion des extrémités). La fonction de charge s’écrit dans ce cas
fˆ (σ I ,σ II ,σ III ) = σ I − σ III − σ 0 = 0
(A.17)
d’où en vertu de (A.16) d Ip = λ& ≥ 0
d IIp = 0
& d IIIp = −λ& lorsque fˆ (σ I ,σ II ,σ III ) = σ& I − σ& III = 0
(A.18)
De même sur la «face» m2 m3 d Ip = 0
d IIp = µ& ≥ 0
& d IIIp = − µ& lorsque fˆ (σ I ,σ II ,σ III ) = σ& II − σ& III = 0
(a )
(b)
σ I − σ III = σ 0
σ I − σ III = σ 0 m3
m1
(A.19)
m3
m1 σ II
σI
m2
σI
m2
σ II − σ III = σ 0 σ II
d Ip = λ&, d IIp = µ& , d IIIp = −(λ& + µ& )
d = λ& = − d IIIp , d IIp = 0 p I
Figure5. Règle d’écoulement plastique pour un matériau de Tresca : (a) régime de face, (b) régime d’arête
Régime d’arête (figure 5-b). Le point est situé sur une arête du polyèdre (point m2 ). La fonction de charge s’écrit dans ce cas
σ I − σ III − σ 0 = 0 et σ II − σ III − σ 0 = 0
(A.20)
Le vecteur représentant le taux de déformation plastique appartient au cône des normales extérieures en ce point, c’est-à-dire qu’il est combinaison convexe des vecteurs correspondant aux régimes des «faces» m1 m2 et m2 m3 . Soit
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d Ip = λ& ≥ 0
d IIp = µ& ≥ 0
d IIIp = −(λ& + µ& ) lorsque σ& I = σ& II = σ& III
(A.21)
On observe que dans tous les cas, la condition d’incompressibilité plastique est bien vérifiée p (A.22) tr d = ∑ d Kp = 0 K
ce qui se traduit géométriquement par le fait que le vecteur associé au taux de déformation plastique reste perpendiculaire à l’axe ∆. *********************
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