Tema 1 - Marea Astronomica

Inge In gen nier ie r´ıa Mar´ıtim ti ma

Oscilaciones de largo periodo: Marea Astron´ omica omica Apuntes de Clase MOS, MDM, AMF Grupo de Din´amica amica de Flujos Ambientales, Universidad de Granada.

Curso 2012–2013

´ Indice 1. Introducc Introducci´ i´ on on

1

1.1. Definici´ Definici´ on on   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Consideraciones Consideraciones cualitativas cualitativas

2 3

2.1. Algunas caracter´ caracter´ısticas del sistema T-S-L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Fuerza generado generadora ra de mareas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Deriv Derivaci´ on del potencial generador de mareas on

3.1. Fuerzas uerzas mareales en las ecuaciones ecuaciones del movimient movimiento: o: Marea de Equilibri Equilibrio o  . . . . . . . . . 4. Constitu Constituyen yentes tes de aguas aguas someras someras.. Mareas Mareas no lineales lineales 5. Mec´ Mec´ anica celeste y mareas anica

3 5 13

17 18 19

5.1. Lista de constituy constituyente entess y origen  origen   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Mareas reales. An´ alisis alisis Arm´ onico

21 24

6.1. Introducci Introducci´ ´ on on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 6.2. 6.2. Pr´ Pr´actica actica an´ alisis alisis arm´onico onico   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

i

Palabras clave marea astron´omica, omica, gravedad, teor´ıa ıa del equilibrio, equilibrio , teor´ıa ıa din´amica, amica, an´alisis alisis arm´onico, onico, constituyentes, pleamar, bajamar, mareas vivas, mareas muertas, aguas someras.

Bibliograf´ıa B´ asi as ica Dean, R.G., and R.A. Dalrymple (1991).   Water Wave Mechanics for Engineers and Scientists.  World Scientific. Dronkers, J.J. (1964)  Tidal computations . North-Holland Pub.Co. Amsterdam. Dronkers, J.,  Dynamics  Dynamics of Coastal Coastal Systems  Systems , Advanced Series on Ocean Engineering, Vol. 25, World Scientific, 2005. Foreman, M. G. G., Manual for tidal currents analysis and prediction (revised edition),  Pacific Marine  Science Report, Institute of Ocean Sciences, Patricia Bay, Sidney, British Columbia ,  78-6 , 1996. French, A.P., (1971)  Newtonian mechanics. M.I.T. Introductory Physics Series , Norton New York. Gim´enez enez Curto, L.A., (1982)   La marea astron´  omica , Universidad de Santander. Park, D. (2008)  Waves, Tides and Shallow-water Processes . Butterworth-Heinemann (Elsevier) UK. Pawlowicz, R., B. Beardsley, and S. Lentz, Classical tidal harmonic analysis including error estimates in Matlab using T-Tide,  Comput. Geosci. ,  28 , 929–937, 2002. Pugh, D.T. (1987).   Tides Surges and mean sea level . John Wiley and Sons. ROM1.0-0.9 ROM1.0-0.9 2009.   Recomendac Recomen dacione ioness

para Obras Mar´ M ar´ ıtimas  ıtim as . Puertos del Estado.

ii

1.

Intr Introdu oducc cci´ i´ on on

Las mareas terrestres est´an an producidas por la interacci´on on gravitatoria simult´anea anea b´asicamente asicamente entre el sistema de tres cuerpos: Luna, Sol, Tierra. La marea astron´omica omica presenta unas frecuencias caracter car acter´´ısticas asociadas a sociadas a la rotaci´ on on terrestre y la revoluci´ on on de la Luna alrededor de la Tierra y ´esta esta respecto del Sol. Otros cuerpos o est´ an an demasiado lejos o sus masas no son los suficientemente grandes como para influir de forma significativa en la marea. La simple observaci´on on del fen´omeno omeno muestra que el efecto de la Luna es mayor que el del Sol. Se tiene constancia de que ya Arist´oteles oteles se percat´o de la presencia de una “respiraci´ on on del mar” o marea. P´ıteas, Estrab´ on y Plinio el Viejo sospecharon de la relaci´on on entre cuerpos celestes y mareas. Pero fue Newton el primero en discutir el origen gravitacional de las mareas desde un punto de vista matem´atico. En sus   Principia Matenea enea de agua y mostr´ o que hematica  supuso una Tierra cubierta por una capa homog´ la superficie libre adoptaba la forma de un esferoide a resultas de la atracci´on on L-T. El hecho hecho que el eje del esferoide estaba orientado orientado seg´un un el eje T-L justificaba la ocurrencia de 2 mareas diarias. La misma situaci´on on se observa con el sistema S-T, pero en menor magnitud. De las posiciones de T-L-S dedujo la presencia de mareas vivas y mareas muertas. Newton hizo una descripci´on on solo cualitativa. M´as as tarde, Bernoulli gan´o el premio de la Academia de Ciencias de Pa´ Pa´ıs por p or extender la teor´ teor´ıa del Newton al Ecuador. Laplace trat´ o de mejorar la teor´ teor´ıa de Newton (en su “Mec´anica anica Celeste”). Celeste”). Lo hizo, pero pe ro tambi´ tamb i´en en qued´ qued o´ reducido a un ´ambito ambito te´ orico orico debido a las complicadas condiciones condiciones de contorno contorno del problema. problema. No obstante, obstante, los resultados resultados de la teor´ teor´ıa que muestran muestran una correspondencia entre las fuerzas peri´odicas odicas y el movimiento del mar, son muy ´utiles utiles puesto que muestran c´omo omo las observaciones meareales deben ser analizadas desde un punto de vista te´orico orico y pr´actico. actico. Desde un punto de vista pr´actico, actico, Lord Kelvin (Thompson) desarroll´o el an´alisis alisis arm´onico. onico. Si bien Laplace combin´o todas las contribuc contribuciones iones peri´ odicas odicas en una f´ormula, ormula, Kelvin bas´o su m´ etodo etodo en el desarro desarrollo llo de una suma suma de t´ermi er mino noss per p eri´ i´odicos: odicos: las llamadas constituyentes mareales. El estudio y an´alisis alisis de las mareas se ha contemplado desde tres puntos de vista o teor´ te or´ıas: ıa s: Teor´ Teor´ıa del Equili Equ ilibri brio o: la superficie libre sigue en cada instante la posici´on relativa de la Luna y el Sol, i.e. como si la Luna y el Sol estuvieran en reposo. La masa de agua, por tanto, no tiene inercia. Esta teor´ıa ıa describe las variaciones aparentes del nivel del agua a gua que apreciar´ apreciar´ıa un observador viajando viaja ndo con la rotaci´ rot aci´ on on terrestre a lo largo de un paralelo sobre la capa de agua deformada. El concepto de equilibrio en este contexto fue introducido por Newton y posteriormente desarrollado por Darwin, 1898, y es ´util util para una descripci´on on cualitativa de algunos fen´omenos omenos relacionados con las mareas. Teor´ıa Din´ Di n´ amica: amica: La teor´ teor´ıa del equilibrio equilibrio supone irrealmente irrealmente que el agua no tiene inercia; no hay retardos, la masa de agua responde instant´aneamente aneamente a las fuerzas generadoras generadoras de marea. Tampoco Tampoco tiene en cuenta el efecto de los contornos contornos y de la batimetr batimetr´´ıa. Esa dependencia dependencia de la configuaci´ configuaci´ on de los contornos hace on 1

que la marea sea un fen´omeno omeno muy local. Por tanto no predice bien ni las fases ni las amplitudes. Para el estudio de las mareas reales, esto es, para describir con precisi´ precisi´ on la marea, hay que resolver las ecuaciones generales del movimiento on y las fuerzas involucradas considerando las condiciones de contorno adecuadas. Esto es lo que resuelve Laplace, 1775, y constituye la aproximaci´on on te´orica orica m´ as as correcta. Para contornos idealizados y asumiendo un cierto n´umero umero de hip´otesis otesis es posible p osible obtener resultados anal´ıticos ıticos los cuales son ´utiles utiles para ganar intuici´on on sobre el efecto de cada agente. agente. Para batimetr´ batimetr´ıas y contornos contornos realistas se recurre recurre invariablemente a modelos mod elos num´ericos. ericos . An´alis al isis is Arm´ Ar m´ onico: onico: La soluci´ soluci´on on m´ as as heur´ıstica ıstica al problema pro blema de d e la determi d eterminaci´ naci´on on de las mareas lleg´o con Lord Kelvin, 1868-1876, y Darwin, 1883-1886. Como las frecuencias de las mareas se conocen muy bien, se determinan las amplitudes y las fases de las componentes arm´onica onica en un lugar determinado a partir de un registro real de marea (en general de un a˜no no de duraci´on). on). La t´ecnica ecnica se denomin d enominaa an´ a n´alisis alisis arm´onico. onico. Luego, una vez obtenidas las amplitudes y las fases, puede extrapolarse la elevaci´on on generada g enerada por marea a varias d´ecadas ecadas con buena precisi´ pr ecisi´ on. on. 1.1. 1.1.

Defin Definic ici´ i´ on on

Se define marea define  marea (astron´ omica) como omica)  como la distorsi´on on en la forma de un cuerpo inducida por el empuje gravitatorio de otro. Respecto a esta definici´on on hay que tener en encuenta varios aspectos. N´otese que no se menciona nada de rotaci´on: on: la rotaci´on on terrestre no genera ninguna marea. Otro punto a tener en cuenta se refiere al t´ermino ermino   marea meteorol´  ogica 1 , con el que trataremos en el Tema correspondiente. Seg´un un la definici´on on dada, el t´ermino ermino “marea” y el t´ermino erm ino “me “meteo teorol rol´ o´gica” no guardan relaci´ ogica” on. on. Adem´as, as, ciertas constituyentes a las que habitualmente nos referiremos como “mareas” no lineales o de aguas someras no se generan astron´ omicamente, sino que se generan internamente durante la propagaci´on omicamente, on (no lineal), e.g. por efecto de la fricci´on. on. Y, por ´ultimo, ultimo, hay que mencionar que en este Tema trataremos  distorsiones diferenciales  generadas generadas por los empujes gravitatorios gravitatorios.. El elipsoide elipsoide achatado achatado por p or los polos m´as as las deformaciones asociadas a las mareas terrestres ser´ a nuestra referencia sobre la cual medir las mareas en el mar. A efectos pr´acticos, acticos, esto es, para determinar determinar los periodos caracter caracter´´ısticos ısticos que la marea genera, genera, podemos considerar una Tierra esf´erica erica y despreciar los esfuerzos tensionales sobre la una Tierra s´ olida. olida. 1

El viento y los cambios de presi´on on atmosf´erica erica (marea meteorol´ meteorol ogica) o ´gica) tambi´en en juega ju ega su s u papel pap el en el nivel observado. observado.

2

2.

Consid Considera eracio ciones nes cualit cualitati ativ vas

2.1.

Algunas caracter caracter´ ´ısticas del sistema sistema T-S-L

La Tierra describe de dos movimientos: un movimiento de rotaci´on on sobre su propio eje, efectuando una vuelta completa en 24 horas (un d´ d´ıa solar medio, T  medio,  T  ), y un movimiento de revoluci´on on alrededor del Sol, dando una vuelta completa en un a˜no no tropical (365d 5h 48m 45.68s, T 2 ). Estos tiempos son medidos respecto al Sol, que a su vez se mueve. mueve. Con respecto a las estrellas fijas la Tierra da una vuelta vuelta sobre s´ s´ı misma cada 23h 56m 4.09s en tiempo tiemp o solar (d´ (d´ıa sid´ereo, T  ereo,  T d,s orbita orbita alrededor alrededor del Sol d,s ) y completa su ´ cda 366 366.25 .2566 d´ıas sid´ereos ereo s (a˜ (ano n˜o sid´ si d´ereo er eo,,  T a,s a,s ). La ´orbita orbita que la Tierra describe en su movimiento alrededor del Sol es (casi) una elipse elipse en uno de cuyos cuyos focos fo cos se encuentra encuentra ´este. este. Entre el 3 y el 4 de enero la Tierra se encuentra en el perihelio, punto de la ´orbita orbita m´ as cercano al Sol, y la distancia es de as 11 1,47 10 m. Hacia el 4 de julio la Tierra se encuentra en el afelio, punto de su ´orbita m´as as lejano del Sol a una distancia de 1, 1 ,52 1011 m. V´ease ea se Fig. Fi g.  1.  1 . Debido a que la ecl´ ecl´ıptica, ıptica , que es el plano que contiene contie ne la ´orbita de la Tierra, forma un ◦ angulo ´angulo de 66, 66,55 con el eje de rotaci´on on de la Tierra, resulta que el ´angulo de incidencia de los rayos solares a lo largo del a˜ no es variable. Este hecho causa los cambios estacionales no en el clima y los movimientos regulares del Sol hacia el N y hacia el S del Ecuador. Si llamamos α llamamos α al  al ´angulo angulo que forma el eje de la Tierra con la l´ınea que une los centros de ´esta esta y el Sol, resulta que el 21 ´o 22 de junio α junio  α  es m´ınimo ınimo y tiene t iene un valor de 66, 66 ,55◦ ; esta situaci´on on se conoce como solsticio (sol est´atico) atico) de verano y da origen al inicio del ◦ verano. El 22 o´ 23 de septiembre  α  = 113, 113,45 = 180◦ 66 66,,55◦ es m´aximo aximo y se tiene el 2 solsticio de invierno, comienzo del invierno .  El 20 ´o 21 de marzo α marzo  α  = 90 tiene lugar el equinoccio de primavera, momento del a˜no no en que el eje Tierra-Sol est´a contenido en el plano del ecuatorial ecuatorial terrestre terrestre (el Sol alcanza alcanza el c´ enit enit y la duraci´ duraci´on on del d´ıa es igual que la de la noche). De igual manera, el 20 ´o 21 de marzo de cada a˜ no no tiene lugar el equinoccio de primavera. Tanto la rotaci´ on de la Tierra como su revoluci´on on on se efect´ uan en sentido contrario uan ??), esto es, hacia el Este. La Luna a las agujas del reloj mirando desde el N (Fig. ??), gira sobre s´ı misma sobre un eje aproximadamente paralelo al del Tierra y en la misma direcci´ on on dando una vuelta vuelta cada 27.32166 d´ıas solares. solares. El mismo periodo presenta presenta su movimiento de revoluci´on on alrededor de la Tierra. La ´orbita orbita que describe es una ´orbita orbita (cuasi) el´ıptica, ıptica, con la Tierra en uno de los focos. El plano en el cual la Luna orbita la Tierra est´a inclinado 5, 5,15◦ repecto al plano de la ecl´ ecl´ıptica y 28 28,,5◦ con el plano ecuatorial terrestre terrestre (declinaci´ (declinaci´ on on3 lunar). Este plano rota lentamente con un periodo de 18.6 a˜nos nos respecto a un eje normal al plano de la ecl´ ecl´ıptica. ıptica. Como consecuencia consecuencia de esto, los puntos puntos en que la trayectoria trayectoria lunar corta el plano de la ecl´ ecl´ıptica va girando (regresi´on on de los nodos), completando una vuelta cada

·

·

−

2

En solsticios de verano e invierno el Sol alcanza, respectivamente, su mayor y menor altura aparente. Las horas de luz son m´aximas aximas en el solsticio de verano y m´ınimas ınimas en el soslticio de invierno. 3 La declinaci´on on de un cuerpo celeste es el ´angulo angulo que forma la l´ınea que forma su centro y el centro de la Tierra con el plano del Ecuador.

3

Figura 1:   Posici´on on de los equinoccios y solsticios y afelio y perihelio. 18.6 a˜ nos. Existe por tanto un periodo   nodal  de 18.61 a˜ nos. nos en el cual la declinaci´on nos on lunar se incrementa y reduce lentamente. La declinaci´on on lunar mensual m´axim ax imaa var´ıa entre 18.3 y 28.6. Por ejemplo, hay valores m´aximos aximos de declinaci´on on lunar en 1969, 1987, 2006, 2025 y m´ınimos en 1978, 1997, 2015 2 015 y 2034. La distancia distancia entre los centros centros de la Tierra y la Luna var´ var´ıa entre entre 3 ,56 108 m en el perigeo y 4, 4,07 108 m en apogeo. La l´ınea que une el apogeo con el perigeo (l´ (l´ınea de apsides) ´apsides) se mueve mueve tambi´ tambi´ en, en, aunque en sentido sentido contrario contrario al resto de los movimien movimientos tos (sentido horario); completa una vuelta cada 8.85 a˜ nos. nos. Los movimientos de las l´ıneas de nodos y ´apsides, apsides, que son las m´as as importantes de las numerosas perturbaciones de la orbita ´orbita de la Luna, no tienen periodos regulares regulares de revoluci´ revoluci´ on. Los valores anteriormente on. son valores medios. La revoluci´on on de la Luna alrededor de la Tierra se efectua en el mismo sentido que la de ´esta esta alrededor alr ededor del Sol, y tiene un periodo de 27.32166 27.3 2166 d´ıas solares con respecto resp ecto a las estrella fijas, es lo que se llama mes sid´ereo, ereo,  T m,s m,s . Con respecto al Sol sin embargo, el periodo de revoluci´on on de la Luna es, aproximadamen aproximadamente, te, T   T m  = 29 29,,53 d´ıas solare sol aress (mes ( mes sin´ odico), este es el valor medio, pudiendo variar algunas horas. odico), Mientras la Tierra da un giro sobre s´ı misma, la Luna se ha desplazado. Por tanto, ta nto, el tiempo que transcurre entre dos pasos sucesivos de la Luna por el mismo meridiano es de 24h 50m 28.33s (d´ (d´ıa lunar, T L ). La declinaci´on on del Sol var´ var´ıa desde 23 23,,45◦ en el solsticio de verano hasta 23 23,,45◦ en el solsticio de invierno, i.e. el plano ecuatorial de la Tierra est´a inclinado inclinado 23.45 respecto a la ecl´ ecl´ıptica. ıptica. La Luna puede tener adem´as as de ◦ ◦ esta declinaci´on on otros 5, 5,15 Norte o Sur, teniendo un rango total de 57, 57 ,20 grados. La ◦ Luna alcanza su m´axima axima declinaci´on on 28, 28,60 una vez cada 18.5 a˜nos. nos. El ciclo completo de declinaci´on on de la Luna, desde la m´axima axima declinaci´on on Sur hasta la m´axima axima Norte y vuelta vuelta dura 27.2 d´ıas, periodo que se conoce con el nombre nombre de mes tropical. Todas estas perturbaciones influyen en las mareas y originan diferentes componentes per´ odicas de las cuales en un an´alisis odicas alisis pr´actico actico s´olo olo se determinan las m´as as importantes. En la tabla siguiente siguiente se resumen resumen algunas caracter´ caracter´ısticas ısticas generales generales de la Tierra, la Luna y el Sol.

·

·

 −

4

Figura 2:   Sistema Tierra-Luna-Sol mostrando el plano orbital lunar, su declinaci´on on y la l a ecl´ e cl´ıptica. ıpt ica.

Di´ametro Tierra Di´ametro Luna Masa Tierra Masa Luna Masa Sol Dist Dist.. me medi diaa entre entre cen centros tros T-L T-L Dist. Dist. media media ent entre re cent centros ros T-S T-S 2.2. 2.2.

12753 km 3479 km 5,98 1024 kg 7,34 1022 kg 1,96 1030 kg 38432 3843299 km 14936000 1493 60000 0 km

× × ×

Fuerza uerza gener generado adora ra de mare mareas as

La fuerza La  fuerza generadora de marea  en un punto dado se define como la aceleraci´on on4 relativa al centro de la Tierra de la unidad de masa situada en dicho punto debida a las fuerzas gravitatorias creadas por un cuerpo celeste (digamos Luna o Sol) situado a una distancia que, en general, var´ var´ıa con el tiempo. tiemp o. Para derivar expresiones matem´aticas aticas para las fuerzas generadoras de marea debidas al Sol y la Luna, los principales factores a tener en cuenta, aunque no todos participen directamen directamente te en la generaci´ generaci´ on, on, son (Fig. 2 (Fig.  2): ): 1. Revoluci´ Revoluci´ on de la Luna alrededor de la Tierra en una ´orbita inclinada respecto del on ecuador terrestre. 2. Rotaci´ on de la Tierra sobre su propio eje 5 . on 3. Movimiento de d e la Tierra Tie rra alrededo al rededorr del Sol So l a lo largo l argo de la ecl´ıptica, ıptica , la cual cua l tambi´en en se encuentra inclinada respecto al Ecuador terrestre. Para deferminar la fuerza generadora de marea, supondremos inicialmente un sistema de referencia no inercial, un geoide cubierto homog´eneamente eneamente por una l´amina amina de 4 5

Fuerza por unidad de masa. Ojo. La rotaci´on, on, por s´ı sola, no genera mareas.

5

Figura 3:  Esquema mostrando los dos cuerpos celestes sobrellevando una rotaci´on on sobre su centro de masas C. Los s´ımbolos ımbolos se explican en el texto y  θ  es el ´angulo angulo cenital. agua, la cual no tiene inercia. Es decir, no consideraremos la presencia de continentes y que la masa de agua responde instant´aneamente aneamente a las fuerzas generadoras de marea. Consideremos la configuraci´ on on dada en la Fig.  3,  3 , que muestra el centro de masas de la Tierra, de masa m masa  m a , y el centro de masas de un cuerpo celeste (masa  m s ). De acuerdo con la ley de gravitaci´on on de Newton, en cualquier punto dado X  dado  X  de  de la Tierra, el cuerpo celeste S  celeste  S  ejerce  ejerce un empuje gravitacional con direcci´on on X S , cuya magnitud es inversamente proporcional a la distancia X distancia  X S  al   al cuadrado. Asimismo, la fuerza gravitacional en M causa una aceleraci´on on hacia S. Los dos cuerpos, sin embargo, no colisionan, puesto que ambos tienen una componente de velocidad en la direcci´on on perp endicular endicul ar a la l´ınea MS. El resultado es que la Tierra y el cuerpo celeste revolucionan como cuerpos s´olidos alrededor de su centro de masas com´un un (punto C, que cae en el interior de la Tierra). El sistema de part´ part´ıculas T+L tiene un Centro Centro de Masas (CdM) que cae a 4700 km del dentro de la Tierra. ¿C´ omo omo es la rotaci´on on del sistema T-L? La Luna siempre nos muestra su misma cara 6 , pero por lo que a la Tierra respecta, resp ecta, ´esta esta rota exc´entricamente entricam ente respec r especto to del CdM (v´ease ease Fig. 4 Fig.  4). ). Por tanto, (1) Todos los puntos sobre y dentro de la Tierra rotan con la misma frecuencia angular. (2) Todos los puntos sobre y dentro de la Tierra describen arcos del mismo radio. Y (1)+(2) Todos los puntos sobre y dentro de la Tierra experimentan la misma fuerza centr´ centr´ıfuga (ojo, (o jo, fuerza ficticia). ficticia ). Fuerza centr´ centr´ıpeta/centr´ ıpet a/centr´ıfuga ıfuga respecto resp ecto CDM. De acuerdo a la primera ley de Kepler, estas ´orbitas son el´ el´ıpticas. Los periodos orbitales siguen la tercera ley de Kepler. Estos son 27.3 2 7.3 d´ıas (el mes sid´ereo) ereo) para la T-L T-L y 1 a˜ no para la T-S. Por tanto, en un sistema de referencia no-inercial (acelerado), no que se mueve con  M ,  M , en cualquier punto de  X  existe  X  existe una resultante de fuerzas, siendo la diferencia entre la fuerza gravitacional local F  g  g (X ) y la fuerza gravitacional en M, F  g M ). La resultante es lo que hemos definido como la fuerza generadora de marea.  g (M ). Una expresi´on on para esta fuerza puede obtenerse como sigue. Primero se definen los vectores r 0 = SM , SM , r 1 = SX  y r = M X . Entonces r 1 = r 0  + r   y en todos los casos relevantes r r0 , donde r y r1  denotan, respectivamente, los m´odulos odulos de los

 −→

−→

 −−→  −→  −−→  −→  −−→  −→  −−  

6

 −→  −→

Fijaci´ on on de fase, eso le pasa a los sat´ elites elites de los planetas m´as as grandes.

6

−→

movimiento exc´ entrico entrico del sistema Tierra-Luna sin considerar la rotaci´on Figura 4:   Esquema del movimiento terrestre. El punto negro grueso central representa el CdM del sistema. El punto marcado como T, representa un punto cualquiera en la superficie sup erficie terrestre, el cual describe un c´ırculo ırculo de radio id´entico entico a cualquier otro punto de la Tierra. El c´odigo de colores sirve de ayuda para ver la correspondencia entre la posici´ posici´on on de la Luna y la Tierra en el ciclo de ∼ 27,3 d´ıas. ıa s.

7

Figura 5:   Fuerza gravitacional F g (X ), ), F g (M ) y generadora de marea K   en distintos puntos de la superficie terrestre.

 −→  −→

vectores r y r 1 . La fuerza generadora de marea (por unidad de masa) en los puntos X y M es

−r 1 Gms → −→  − F  g  g (X ) =

(1)

→r 1 Gms − −→  − F  g M ) = ,  g (M )

(2)

r12

r1

y r02

r0

con G con  G  = 6,67 10−11 Nm2 /kg2 es la constante de gravitaci´on on universal. Por tanto, la fuerza generadora de marea K  por K  por unidad de masa en el punto X es

×

 −→

−→r 1 −→r 0 −→ − → − → K ( K (X ) = F  g M ) = −Gms − r3  g (X ) − F  g  g (M ) r3



1

0



 .

(3)

En el sistema de referencia no inercial, dir´ dir´ıamos que la fuerza centr´ centr´ıfuga equilibra la gravitacional. En el centro de la Tierra son iguales y opuestas. Una idea cualitativa tanto de magnitud como de direcci´on on de estas fuerzas en distintos puntos de la superficie de la Tierra se muestra en la Fig.  5. Las fuerzas may mayores ores tienen lugar en el z´ enit enit y en el nadir. Para r = R, con R 6 6,4 10 m  el radio terrestre, se sigue que

 ≈

×

K |max  = Gm  =  Gm s |−→ donde se ha hecho uso de que  R



1 (r0

−

R)2

 −

1 r02

≈

2Gms R , r03

(4)

 r0. De este resultado se concluye que

K |max,Sol |−→ mSol = mLuna K |max,Luna |−→ 8



r0,Luna r0,Sol

3

≈

0,46 .

(5)

as´ as´ı que la fuerza fuerza genera generadora dora de marea marea debido debido al empuje empuje gravit gravitator atorio io del Sol es menos de la mitad de intensa que la causada por la Luna. Esto es una consecuencia de la dependencia en r03 . La influencia de otros cuerpos celestes en las mareas registradas en la Tierra son totalmente despreciables. La componente normal a la superficie terrestre genera dos abultamientos, i.e. una variaci´on on del nivel, orientados seg´ un un el eje T-L. En los puntos de z´enit enit y nadir, donde K  se dirige perpendicularmente hacia la superficie terrestre y cuya magnitud es m´axima, axima, se tiene que

∼

−→

K |max,Luna |−→ = 1,15 × 10

7

−

g

.

(6)

As´ As´ı, incluso en estos puntos donde K   K   es m´aximo, aximo, el balance de momento vertical apenas se ve afectado por la presencia de las fuerzas mareales 7 . S´olo olo la componente tangencial de la fuerza generadora de marea (llamada por Doodson fuerza de  tracci´  on ) es din´amicamente amicamente importante, aunque, digamos, ambas componentes generan abultamientos mientos en la misma posici´ on. on. La Fig. 6 Fig.  6 muest  muestra ra que la fuerza tractora conduce el agua, precisamente, hacia los puntos de nadir y z´enit. enit. Este hecho conduce a la manifestaci´on on de la marea de equilibrio, equilibrio, consistente consistente en dos abultamien abultamientos tos sim´ sim´etricos etricos en el eje M S . El hecho de que la fuerza generadora de marea resultante genere dos abultamiento es quiz´ as a s lo m´as as complicado de entender cuando uno se enfrenta por primera vez al estudio de las mareas. Desde un punto de referencia inercial, dir´ dir´ıamos simplemente que la Luna atrae a la Tierra en todos sus puntos, pero que esa atracci´on on es mayor en los lugares m´as as pr´oximos oximos y menor en los m´as as alejados. Como consecuencia, la Tierra se “abomba” “abomba” en la direcci´ on on T-L. Por esa raz´on, on, la Luna provoca provoca siempre dos mareas, una en la parte de la superficie terrestre m´as as cercana a la Luna y otra en la opuesta. La realidad, por supuesto, es m´as as complicada que esto debido a 1. La rotac rotaci´ i´ on de la Tierra sobre su propio eje, en combinaci´on on on con efectos inerciales: la celeridad de la onda de marea en el oc´eano eano es menor que la velocidad por el cual el z´ enit enit y el nadir se mueven mueven por la superficie superficie terrestre. terrestre. En buena aproximaci´ aproximaci´on on la onda de marea se propaga por aguas someras y su celeridad es por tanto c  = g h. Considerando una profundidad media de 4000 m, se tiene que c 197 m/s, mientras que la velocidad lineal de rotaci´on on en el Ecuador es de 448 m/s. esto hace que no se alcance la situaci´on de equilibrio. Un retardo en la masa oce´ anica respecto las fuerzas tractoras es inevitable. El retardo depende de la anica latitud y decrece hacia los polos: unas 6 horas en el Ecuador y pr´acticamente acticamente ◦ 0 ya 65 de latitud. El retardo concreto depende de la localizaci´on. on. Adem´as, as, la propagaci´on on de onda se frena en la plataforma continental, donde la profundidad se reduce. La carrera de marea (el rango de marea) y las corrientes mareales habitualmen habitualmente te son may mayores ores en ´areas areas pr´ oximas a la costa y en mares someros que oximas

√ 

≈

7

Para Para estimar estimar la variac variaci´ i´on on relativ relativa a en altura, altura, puede plantearse plantearse la ecuaci´ ecuaci´ on on de conserva conservaci´ ci´ on on del momento en vertical 0 ≈ −1/ρ∂p/∂z  − g  imponiendo la condici´on on de que con g y la g , siendo esta ultima u ´ltima la corregida g − gc con gc = 1,15 × 10 7 g , un punto con la misma presi´on en ambos casos se desplaza un ∆z . 

−

9

Figura 6:  Al ser un fluido fluido (no newtoniano) newtoniano) el que se encuentra encuentra en la superficie superficie terrestre, terrestre, ´este este no es capaz de compensar los esfuerzos generados por la componente tangencial a la superficie de la fuerza generadora y fluye. Aqu´ı se muestran la direcci´ on de la fuerza tangencial en magnitud arbitraria. on

en mar abierto. Por otra parte, se observa que la fricci´on on entre la masa de agua y el fondo oce´anico anico hace que los abultamientos est´es es adelantados (desplazados al Este) respecto a la l´ınea imaginaria que une los centros centros de la Tierra y la Luna ◦ (unos 3 de circunferencia). Por esto es habitual que las pleamares tengan lugar algo despu´ es es de que la Luna pase por el meridiano local 8 . 2. La presencia de continentes, que en la mayor´ mayor´ıa de las partes de la superficie impide el libre movimiento de las masas de agua (aparte del mar circumant´artico). artico). La presencia de los continentes (reflexi´on) on) y la rotaci´ on on terrestre son las responsables responsables de la presencia de los   sistemas anfidr´  omicos . Si a˜ nadimos nadimos la rotaci´ on terrestre respecto de su propio eje (efectuada con una veon locidad angular Ω = 7, 7 ,3 10−5 s−1 ), el z´ enit enit y el nadir se mueven mueven sobre la superficie superficie terrestre. El forzamiento debido a la presencia de la Luna, m´as as importante, da lugar al arm´ onico semidiurno de origen Lunar M2, o marea M2, que tiene un periodo onico T M  ıa lunar lun ar (T L   =23h 50m). Este periodo M 2 = T  /2, siendo T M  M 2  = 12h25m y T   un d´ es ligeramen ligeramente te superior al de la S2 puesto que despu´ despu´es es de una revoluci´ revoluci´ on on de la tierra sobre su propio eje (antihoraria) la orientaci´on on de la Luna respecto a un punto fijo en la superficie terrestre es diferente puesto que la Luna rota alrededor de la Tierra (en sentido antihorario antihora rio tambi´en; en; hacia h acia el E). E) . Del mismo modo, en el caso de fuerzas mareales generadas por el sol, en cada punto fijo sobre la superficie de la Tierra, tienen lugar dos pleamares y dos bajamares en un intervalo de 24 horas. Esto genera la presencia del arm´onico onico S2, que es un arm´onico onico semidiurno de origen solar, con un periodo  T S   =  T  /2, siendo T  siendo  T  = 24h 2 4h un d´ıa solar sol ar S 2  = T  (cer (c erca cano no a un d´ıa sid´ sid ´ereo er eo,,  T d,s d,s  = 23h 56 m). Las constituyentes mareales M2 y la S2 conjuntamente explican la presencia de los ciclos de mareas vivas vivas y muertas en los registros de marea. V´ease ease Fig.  8.  8 .  Si el Sol y la

×

8

De hecho, las mayores mayores pleamares en mareas vivas tienen lugar uno o dos d´ıas ıas despu´es es de la luna nueva o llena. Este retardo se conoce como  Edad de la Marea .

10

Figura 7:  Marea de equilibrio en el caso de la Luna. Se muestran los planos ecuatoriales y el plano ◦

orbital de la Luna, los cuales forman un ´angulo (declinaci´ on) on) de aprox. 28 . Se indican el eje de giro Ω de la Tierra respecto de su propio eje, la desigualdad diurna entre dos pleamares consecutivas y la ocurrencia de mareas tropicales y ecuatoriales debido a la declinaci´on lunar. luna r. V´ease ease tambi´ tamb i´en en registro regi stro de marea en la Fig. 8 Fig.  8..

Luna est´an an en conjunci´on on de fase (sizigia), estamos hablando de Luna Nueva o Llena, los abultamientos asociados a las constituyentes M2 y S2 se refuerzan la una a la otra resultando en un marea viva (Fig. 8 (Fig.  8). ). Durante cuarto menguante o creciente, el sistema S-T-L se encuentra en cuadratura, resultando en una marea muerta. El periodo sucesivo entre dos mareas vivas vivas (muertas) es 14 d´ d´ıas, 18 horas y 22min, i.e. medio perio do lunar T m . N´otese otese que el periodo Lunar es mayor que el mes sid´ereo ereo de 27.3 d´ıas, puesto que tambi´ en en incluye el efecto de la traslaci´on on terrestre alrededor del Sol. En la naturaleza, las plamares, bajamares, las mareas vivas, vivas, etc. o curren con cierto desfase respecto de lo que nos indica la marea de equilibrio, lo cual es debido a los efectos inerciales. Aparte de las constituyentes M2 y S2 hay muchas otras. Un n´umero de ellas fueron ya identificadas por Laplace en 1778-1779; en 1931 un refinamiento mayor fue alcanzado por Doodson. La mayor´ mayor´ıa de ellas est´an an relacionadas y determinadas por los dos siguientes aspectos: Mareas equinociales equino ciales y solsticiales y mareas ecuatoriales y tropicales. tro picales. La ecl´ ecl´ıptica, el plano de traslaci´on on de la Tierra alrededor del Sol, y el plano de traslaci´on on de la Luna alrededor de la Tierra no coinciden con el plano ecuatorial. En ´angulo angulo de declinaci´on on entre el plano de la ´orbita orbita lunar y el plano ecuatorial es del orden de ◦ 28 y de la ecl´ ecl´ıptica y el plano pl ano ecuator ec uatorial ial unos un os 23, 23 ,5◦ . Esto implica que, en un punto fijo de la superficie de la Tierra, altura la luna (o el Sol) con respecto al horizonte var´ var´ıa sinusoidalmente sinusoida lmente con un periodo peri odo de 27.3 d´ıas (1 a˜no no en el caso del Sol). La consecuencia es que constituyentes de largo periodo son generadas (con periodos de medio mes sid´ereo, ereo, M f  no no sid´ si d´ereo er eo,, Ssa), Ssa ), adem´ as as de componentes f , y medio a˜ diurnas. La Fig. 7  muestra el caso de un eje que una el centro de la Tierra y el cuerpo celeste (la Luna en esta Figura) y que no pase por el plano ecuatorial. Entonces un punto dado pasa alternativamente por una pleamar grande y una pleamar peque˜ na. na. El resultado es la as´ı llamada desigualdad diurna de la marea, la cual var´ var´ıa en funci´on on del tiempo puesto que el ´angulo angulo δ  en δ  en la Fig. 7  depende 11

Figura 8:  Ciclos de mareas vivas y muertas. Esquema con posiciones relativas de T-L-S y registro de marea en Bonanza (Autoridad Portuaria de Sevilla).

12

del tiempo. M´as as adelante se indicar´an an otras mareas debidas a la declinaci´on. on. La ´orbita orbita Lunar alrededor de la Tierra (y la terrestre alrededor del Sol) son elipses. Eso significa que la distancia entre el centro de la Tierra y el cuerpo celeste dado var´ var´ıa en funci´on on del tiempo. Las fuerzas generadoras de marea son un 20 % ma mayo yores res que la media media si la Luna se encuen encuentra tra en el perigeo perigeo.. Del mismo mismo modo, cuando la distancia a la Tierra alcanza su m´aximo, aximo, se encuentra en el apogeo, apogeo, la fuerza fuerza mareal mareal asociada asociada a la Luna se reduce un 20 %. Para el caso del Sol este efecto es d´ebil, ebil, siendo las variaciones menores al 1 %. Este efecto conduce a la generaci´on on de consituyentes consit uyentes el´ el´ıpticas. ıptica s.

3.

Deri Deriv vaci´ aci´ on del potencial generador de mareas on

La discusi´on on cualitativa de la secci´on on anterior, deja paso ahora a una aproximaci´on on m´ as as cuantitativ cuantitativaa en t´erminos erminos del potencial generador de mareas del cual se derivan derivan las fuerzas que se incorporan en las ecuaciones del movimiento. Puesto que las fuerzas mostradas en Fig. 5  son ambas potenciales (conservativas), est´a claro que la fuerza generadora puede ser escrita como el gradiente de una funci´on potencial.

−→ K  = −∇Φ ,

(7)

y haciendo uso de la Eq.3 Eq. 3  se llega a dΦ =

G ms r 1d r r13

−→ −→ −  G m3 s −→r 0d−→r . r

(8)

0

y de la Fig. 3 Fig.  3  puede inferirse que r1

Φ=

 

r0

G ms = dτ  + τ 2

r

  0

G ms cos θdτ , r02

(9)

donde los l´ımites de intgraci´ o n se han elegido de tal modo que Φ(r on Φ( r  = 0) = 0 (la elecci´on on del origen de potencial es arbitrario). Desarrollando la ecuaci´on on anterior se llega a Φ=

−Gms



 1 r1

1 r0

− −



 r cos θ  . r02

 

(10)

La distancia distancia r  r 1  puede ser expresada respecto a las variables  r 0 , r y  θ  haciendo uso de la relaci´on on trigon tri gonom´ om´etrica etr ica r  r 12 =  r 02 2rr0 cos θ + r 2 siendo

−



1 1 = 1 r1 r0

−

 r 2 cos θ + r0

 r r0

2

1/2

−

 

(11)

Es posible posible desarro desarrolla llarr 1/r1   en potencias de r/r0   en serie de Taylor puesto que r/r0 1. De esta manera, se obtiene el bien conocido desarrollo en arm´onicos onicos zonales que viene dado en funci´on on de los polinomios de Legendre:

 

13

∞

1/r1  = 1/r0



(r/r0 )n P n (cos θ)

( 12 )

n=0

donde

P 2 (cos θ) = (3 cos cos2 (θ) P 3 (cos θ) = (5 cos cos3 (θ)

P 0 (cos θ) = 1

( 13 )

P 1 (cos θ) = cos(θ cos(θ )

( 14 )

1)/2 = (3 cos( cos(22θ) + 1)/ 1)/4 − 1)/

( 15 )

3cos(θ))/ ))/2 = (5 cos( cos(33θ) + 3 cos( cos(θθ))/ ))/8 − 3cos(θ

( 16 )

...

 

(17)

donde P  donde  P n  est´a definido en general como m

P n (cos θ) =

−

( 1)k

k=0

(2n (2n 2k )! (cos θ)n−2k n 2 k!(n !(n k)!(n )!(n 2k)!

−

−

(18)

−

donde m donde  m  = n/  =  n/22 si n si  n  es par y  m =  m  = (n 1)/ 1)/2 si es impar 9 . Sustituyendo Eq. 1 Eq.  111  y  12  1 2 en Eq. 1 Eq.  100, esto es, el desarrollo en la expresi´on de potencial, se llega a

−

Φ=

−

Gms r0

∞



n=2

n

∞

  ≡

 r P n (cos θ) r0

Φn (r, θ) .

 

(19)

n=2

N´ otese otese que derivando derivando el potencial potencial deber´ deber´ıan aparecer aparecer las componentes componentes de la fuerza generador de mareas. N´otese otese asimismo que los polinomios P 0 y P 1  no aparecen en la Eq. 10 Eq.  10.. Ahora, teniendo en cuenta que r/r que  r/r 0 1 (en el caso de la Luna y el Sol la relaci´on on es −5 0.01 y 10 respectivamente). resp ectivamente). Por ello, ell o, en la mayor´ıa ıa de los casos ca sos pr´ pr ´acticos, acticos, el desarrollo del potenci p otencial al puede pue de ser truncado trunca do despu´ desp u´es es del primer t´ermino. ermino . No obstante, obstante , su influencia in fluencia puede detectarse en el caso real de las mareas. En el caso del Sol, sin embargo, este t´ermino ermino es absolutamente despreciable. El resultado final a primer pr imer orden es10

 

 O    

Φ(r, Φ(r, θ) = Φ2 1 + Φ2 (r, θ ) =

−

 r r0

 ,

 

(20)

Gms r 2 3  1 cos(2θ cos(2θ) +  . 3 3 r0 4

 

(21)

El potencial Φ2 (r, θ) consiste en dos partes 9

N´ otese que una de las funciones generatrices de los polinomios de Legendre es  F (t, x) = (1 − 2 x t + otese 1/2 = n=0 tn P n (x). 10 En el caso caso de la Luna Luna el resu result ltad ado o cons conser erv vando ando el segu segund ndo o t´ ermi e rmino no ser ser´ıa Φm = Gms r 3 1 4 r cos(2θ ) + 3  + 3 r (5 cos(3 cos(3θ) + 3 cos( cos(θ )) . En el caso caso del Sol, Sol, ser´ ser´ıa simple simplemen mente te Φ s = − 4 r 2

t )

∞

−

2

3 0

Gms r 2 3 − 3 4 r0

  cos(2θ) + .

0



1 3

14

(a) Un t´ermino ermino constante independiente del ´angulo angulo zenital θ , que contrinuye a una deformaci´on on permanente p ermanente del geoide. Este E ste t´ermino ermino no es relevante relevante desde un punto de vista din´amico. amico. (b) Una contribuci contribuci´ o´n que es proporcional a cos(2θ on cos(2 θ).

−→ ∇

Las fuerzas generadoras de marea vendr´an an dadas, por tanto, por K  = (Φs + Φ m ), donde Φs y Φm  son, respectivamente, las contribuciones al potencial generador del Sol y la Luna. Para cada caso (por ejemplo, ejemplo, la Luna) y cogiendo cogiendo solamente solamente el t´ ermino ermino a primer orden, se tiene

−→ K m  = −∇Φm  =



1 ∂  ∂  , r ∂θ ∂r



Gms r Φm  = r03

−



3 1  cos θ, (3 cos(2 cos(2θθ) + 1)  ,   (22) 2 2

donde en cada caso se tendr´ tendr´ıa una masa m masa  m s y ´angulo θ angulo  θ  distintos. En la Fig. 9 Fig. 9 (panel  (panel sup. izdo.) se representan las l´ıneas ıneas equipotenciales equip otenciales del potencial, escaladas por γ por  γ ms /r0 . Comp´arese arese este resultado con el mostrado en la Fig.  5  y Fig. 6. Fig.  6. De nuevo, nuevo, la presencia presencia de dos pleas y dos bajamares puede observarse. observarse. T´erminos erminos de orden superior en el potencial generados de mareas dan lugar a nuevas contribuciones, e.g. Φ3  genera mareas diurnas diurna s y mareas de 3 d´ıas ıas (con amplitudes muy p eque˜nas). nas). Para un uso pr´actico, actico, el potencial potencial de mareas debe ser expresado expresado en t´erminos erminos de las coordenadas definidas en una Tierra con rotaci´on, on, i.e. con longitud λ  y latitud φ. Considere la Fig. 10 Fig.  10.. Cuando se proyecta sobre el plano ecuatorial, se tiene una situaci´on on como en el panel derecho de la Fig.  10  1 0. Aqu´ı S  es la proyecci´on on de S  de  S  sobre  sobre el plano ecuatorial. X  es la proyecci´on on de X  de  X  sobre  sobre el plano ecuatorial. M G es el meridiano de Greenwich. T  es T  es el ´angulo angulo horario (posici´ on del cuerpo celeste, de este a oeste). on Entonces, la longitud del punto S  es 2π T  y T  y su latitud δ . Debido a la rotaci´on on ◦ terrestre dT/dt terrestre dT/dt =  = 2π/(d´ π/(d´ıa ıa solar sol ar)= )= 2π/T  , que es 15 /(hora solar media), m´as as el tiempo de cambio de la longitud media (se incrementa un factor 2π/ 2 π/(a˜ (a˜no no solar)= 2π/T  2π/T 2 ). El angulo ´angulo zenital puede entonces expresarse en t´erminos erminos de λ de  λ,,  φ,  φ ,  δ  y  T  aplicando  T  aplicando la regla del coseno a los vectores M X  y M S . El resultado es que

−

 −−  −−→  −−→

cos θ  = sin φ  sin δ  +  + cos φ  cos  co s δ  cos(T    cos(T  + λ) .

 

(23)

Sustituci´on on de este resultado en la Eq.  19  19 del  del desarrollo de Φ y estableciendo  r =  r  = R  R (radio medio terrestre) se llega a (0)

(0)

(0)

Φ2  = Φ2 + Φ 2 + Φ2 , 15

 

(24)

Figura 9:  Panel sup.izdo.: L´ıneas equipotenciales equip otenciales del potencial de marea Φ 2 (r, θ) ∝  cos(2θ). Valores escalados por  γ ms /r0 . Las fuerzas generadoras de marea son normales a la l´ıneas ıneas equipotenciales y su sentido es de colores fr´ıos ıos a colores c´alidos. alidos. Se asume que el eje MS es horizontal y pasa por el centro (0) de la esfera. Panel sup.dcho.: L´ıneas ıneas de contorno del potencial mareal Φ2   para δ  =   = 0 y escalado por (1) 2 3 inf.i zdo.: L´ıneas ıneas de contorno del d el potencial pot encial mareal m areal Φ 2   para  δ >  0 y escalado por −3/4 γm s R /r0 . Panel inf.izdo.: (2) 2 3 L´ıneas de contorno del potencial mareal Φ 2   para δ >  0 y escalado −3/4 γm s R /r0 . Panel inf.dcho.: L´ por −3/4 γm s R2 /r03 .

Figura 10:  Panel izquierdo: Esquema de situaci´on. on.  S  es la proyecci´on on del cuerpo celeste,  δ  es   es el ´angulo angulo de declinaci´ on on y  θ  es el ´angulo angulo cenital. Panel derecho: Esquema de situaci´on on en el plano ecuatorial.

16

donde 3 γm s R2 1 = (1 3sin2 φ)(1 3sin2 δ )  , 3 4 r0 3 3 γm s R2 (1) Φ2 = sin2φ sin2φ  sin  sin 2δ  cos(T    cos(T  + λ) , 4 r03 3 γm s R2 (2) Φ2 = cos2 φ  cos 2 δ  cos[2(T    cos[2(T  + λ)] . 3 4 r0

(0) Φ2

−

−



−



−

−

 

(25)

 

(26)

 

(27)

El prefactor dimensional que est´a en todas las expresiones anteriores se denomina (0) (1) factor de Doodson. N´otese otese que Φ 2 es independien independiente te de la longitud, longitud, Φ2 es peri´ odica odica (2) en t en  t + λ  y que Φ 2 es peri´ odica odica en 2(T  2(T  +  + λ). Estas expresiones describen las mareas de primer, primer, segundo segundo y tercer tipo, respectiv respectivamente, amente, siguiendo siguiendo la denominaci´ denominaci´ on on introducida por Laplace (1799). (0) El potencial Φ2 da cuenta cuenta de las mareas mareas de largo periodo debidas debidas a variaci ariacione oness temporales en el ´angulo angulo δ   δ   (efectos de la declinaci´on) on) y variaciones en la distancia r0 (0) (efectos de la elipticidad de las ´orbitas). orbitas). Una representaci´on on de los valores de Φ 2 en la superficie terrestre (en el caso de  δ  =  δ  = 0) se muestra en la Fig.  9  (panel sup.dcho.). Los valores del potencial son negativos para latitudes φ latitudes  φ entre  entre 35 35,,3◦ (v´ease ea se Fig. Fi g. 9  9)) y positivos fuera de esa zona. Esto es una funci´ on on arm´ onica zonal. Las fuerzas correspondientes onica est´ an dirigidas desde los polos hacia el ecuador. an (1) El potencial Φ2   , que es peri´odico o dico en el ´angulo angulo horario T , T , tiene una estructura diferente. En el caso en el que el cuerpo celeste sea el Sol (la Luna) este potencial es peri´ odico en el tiempo con un periodo de 24 horas (24h 25m). Las amplitudes de las odico correspondien correspondientes tes mareas diurnas varian varian con la declinaci´ declinaci´ on on y desaparecen con δ  con  δ  =  = 0 (el cuerpo celeste en el plano ecuatorial). (2) Finalmente, el potencial de segundo orden Φ 2 describe describe las componentes componentes mareales mareales m´ as as importantes en la Tierra, Tierra, i.e. las mareas semidiurnas. semidiurnas. Las correspondien correspondientes tes fuerzas de marea presentan su mayor magnitud si δ  =   = 0. V´ease ease contornos en la Fig. 9  (panel inf. dcho.).

±

 ∼

3.1. 3.1.

Fuerzas uerzas mareale marealess en las las ecuaci ecuacione oness del movim movimien iento: to: Marea Marea de Equilibrio

La informaci´ on on obtenida en la secci´on on previa puede usarse para introducir las fuerzas de marea en las ecuaciones del movimiento (aguas someras). Esta fuerza est´a dada por las ecuaciones ecuaciones promediadas en vertical. vertical. En la pr´actica, actica, el concepto de  marea de equilibrio  se usa en e n vez del d el t´ermino ermino de potenp oten´ cial mareal. Este es el nivel del mar, medido con respecto a una superficie equipotencial de la fuerza gravitatoria, que podr p odr´´ıa alcanzarse a lcanzarse si la Tierra estuviera enteramente cubierta de agua y el oc´eano eano respondiera instant´ aneamente a las fuerzas mareales. Una aneamente relaci´on on entre la marea de equilibrio y el potencial de marea se deriva a continuaci´on. 17

Considere primero la situaci´on on en ausencia de mareas. En tal caso, las superficies equipotenciales de gravedad est´an an dadas por r por  r  = r  =  r  (λ, φ), tal que Φg (r , λ, φ) φ) =  const.  const. ,

 

(28)

con Φg  el potencial gravitatorio. Definiendo r Definiendo  r =  = r  r  + ξ e  como el nivel imaginario imaginario del mar que resultar´ resultar´ıa de la presencia de las fuerzas de marea, ma rea, la superficie correspondiente corresp ondiente estar´ıa ıa descrita descrit a por Φg (r  + ξ e , λ, φ) φ) + Φ(r Φ(r  + ξ e , λ, φ) φ) =  const  const . El hecho que ξ e resultado resultado es

 

(29)

ermino en series de Taylor. El    r  permite desarrollar el primer t´ermino

ξ e

  ∂ Φg ∂r

+ Φ(r Φ(r  + ξ e , λ, φ) φ) =  const.  const. ,

 

(30)

donde el primer t´ermino ermino del desarrollo desarrollo se incorpora en la contante contante (que toma un nuevo valor). La elecci´on on del origen del potencial es arbitrario. La constante se toma Φg de tal modo que ξ  que  ξ e  = 0 si Φ = 0. Puesto que ∂ ∂r  = g  =  g,, esto conduce a

 

ξ e  =

− Φg .

 

(31)

Si en esta expresi´on on se sustituyen los potenciales generadores de marea se tienen que las amplitudes correspondientes a las mareas de equilibrio que son 36.4 cm para la Luna y 16.8 cm para el Sol.

4.

Consti Constituy tuyen entes tes de agua aguass someras someras.. Mareas Mareas no lineal lineales es

Como consecuencia de los estudios de Gauss (en n´umeros umeros complejos), Cauchy (en la resoluci´on on de ecuaciones en derivadas parciales), a principios del s.XVIII, fue posible comenzar con los estudios te´oricos oricos del movimiento mareal en aguas someras. En la publicaci´ on de Airy de 1842 se muestra que debido al car´acter on acter no lineal de la propagaci´ on, una onda sinusoidal pura puede llegar a distorsionarse por efectos no lineales que on, producen arm´ onicos onicos de ordenes ordenes may mayores. ores. Debido a la distorsi´on on de la marea durante su penetraci´on on desde aguas relativamente profundas hasta aguas someras y estuarios, la descripci´on on de la marea empleando s´olo olo constantes de aguas profundas (de origen astron´omico) omico) es inadecuado. Las constituyentes de aguas someras deben ser entonces entonces consideradas. consideradas. Desde un punto de vista te´orico, orico, las constituyentes de aguas someras son infinitas, pero en la pr´actica s´olo o lo un n´ umero umero finito de ellas son importantes. Cuando se estudia la marea en un punto de la costa, y 18

m´ as as a´ un un en el interior inter ior de d e una bah´ bah´ıa, r´ıa, ıa, estuari e stuario, o, es preciso precis o tener tene r en cuenta que las la s mareas se ven afectadas por fen´omenos omenos de contorno tales como la resonancia, la reflexi´on, on, la fricci´on, on, etc. que modifican sus caracter´ısticas ısticas de amplitud y fase fundamentalmente. Estos fen´omenos omenos pueden estudiarse din´amicamente amicam ente utilizando util izando la teor teo r´ıa de las ondas on das largas. larga s. Pero tambi´ t ambi´en en pueden puede n tenerse tener se en cuenta cu enta en el an´alisis alisis arm´onico onico en la mayor parte de los casos. Los fen´omenos omenos de distorsi´ distorsi´ on, resultantes de la acci´on on, on de los contornos sobre las mareas, producen la aparici´ aparicion o´n de una serie de constituyentes llamadas de “aguas someras” o de “profundidades reducidas”. Estas componentes son de dos clases: 1. Sobremareas: Sobremareas: cuya cuya velocidad angular angular es un m´ultiplo ultiplo exacto de las componentes astron´omicas omicas y que se designan por M 4, M 4, M 6, M 6, M 8 M 8 ... , S 4, 4, S 6, 6, ... indicando con el sub´ sub´ındice que su periodo es la mitad, la tercera tercera o la cuarta parte del  M 2  M 2 ´o  S 2  S 2 2. Mareas compuestas compuestas:: cuyo periodo es la suma o diferencia diferencia de los p eriodos de dos o m´as as constituy constituyent entes es astron´ omicas. Se designan por M S 4 (M 2 omicas. M 2 +  S 2),  S 2), 2M 2M S 6 (2M  (2M 22 + S 2), 2), 2M 2M S 2 (2M  (2M 22 S 2), 2), etc.

−

Al efectuar el an´alisis alisis arm´onico onico de la marea en profundidades reducidas es pues necesario considerar alguna de estas componentes. Normalmente las m´as importantes ser´ an las originadas por las componentes astron´omicas an omicas de mayor importancia, M  importancia,  M 2, 2, S   S 2. 2. Las m´as as importantes, por ejemplo, en el Guadalquivir, son las sobremareas asociadas a la M  la  M 22 y a la S  la  S 2: 2: M   M 4, 4, M   M 6, 6, M  M S 4, 4, etc.

5.

Mec´ anica anica celeste celeste y mareas mareas Algunas definiciones a priori: D´ıa ıa sola so lar: r: T  = 24 24h h. Frecuencia ω = 2π/T  . Tras un d´ıa solar un punto fijo en la superficie terrestre tiene la misma orientaci´on on con respecto al Sol.  D´ıa ıa sid´ereo er eo::  T d,s 56m..  T d,s 2 π/T d,s d,s  = 23h 56m d,s  = 0,9973 T  . Frecuencia Ω = 2π/T  d,s . Tras un d´ıa sid´ ereo, ereo, un punto fijo en la tierra tiene la misma orientaci´ on on con respecto a una un a estre est rell llaa fija. fij a. As´ı, ı, un d´ıa sid´ si d´ereo er eo es T  es  T 2 /(1 + T 2 ) d´ıas solares, puesto que en un a˜no no la Tierra realiza una revoluci´on on completa alrededor del Sol.

·

D´ıa ıa luna lu nar: r:  T L  = 24h 50m. Frecuen Frecuencia cia ω  ω  = 2π/T L . Mess sid´ Me si d´ereo er eo::  T m,s 27,,32166 d´ıas solares, con respecto a las estrella fijas. m,s  = 27 A˜ no no solar: T  solar:  T 2  = 365, 365,242 d´ıas solares. solar es. Frecuencia recuenc ia ω  ω 2  = 2π/T 2 . A˜ no no sid´ si d´ereo er eo::  T a,s 366,256 25 6 d´ıas ıa s sid´ si d´ereo er eos. s. a,s  = 366, Periodo lunar: T m = 29 29,,5306 d´ıas solares solare s (mes sin´odico). odico). Tras un periodo lunar, el sistema Tierra-Luna tiene la misma orientaci´on on con respecto al Sol. 19

Figura 11:  Panel izquierdo: Esquema mostrando la rotaci´on on de la Luna y la Tierra alrededor del Sol. Panel derecho: Esquema que muestra el movimiento de la Luna para un observador situado en una Tierra Tierra ba jo rotaci´ rotaci´ on. on.

En primer lugar, se determinar´a el e l mes m es sid´ sid ´ereo er eo T   T m,s T 1 . Este periodo de revoluci´on on m,s del sistema Tierra-Luna alrededor de su CdM ser´a menor que el periodo lunar, puesto que no tiene en cuenta la rotaci´on on del sistema T-L alrededor del Sol. La Fig. 11 Fig.  11 muestra  muestra que tras un periodo Lunar T  Lunar  T m  la Luna ha rotado sobre un ´angulo angulo 2π  + α  con una velocidad angular ω angular  ω 1  = 2π/T 1 (2π (2π  adicional debido a la rotaci´on on de la Luna alrededor de la Tierra). Entonces

 ≡

2π + α  = 2πT m /T 1 .

 

(32)

En el mismo periodo la Tierra ha rotado sobre un ´angulo angulo α  con una velocidad angular ω angular  ω 2  = 2π/T 2 , as´ı que qu e α  = 2πT m /T 2 .

 

(33)

 

(34)

Para estas relaciones se tiene que 1 1 1 + = , T m T 2 T 1

por tanto, T 1 T m,s 27,,3213 d´ıas solares. Ahora puede obtenerse o btenerse una expresi´ on on m,s = 27 para par a el d´ıa Lunar Luna r  T  . Despu´ D espu´es es de d e un tiempo tiem po  T   un punto punto fijo en la Tierra tiene de nuevo nuevo la misma orientaci´on on respecto de la Luna (Fig. 11 (Fig.  11). ). Tras un u n d´ıa ıa Lunar, un punto p unto fijo fi jo en en la Tierra ha rotado respecto del centro de la Tierra un ´angulo angulo 2π 2π + β  con  con una velocidad velocidad angular Ω = 2π/T  2π/T d,s 2π  adicional es a causa de la rotaci´on on de la Tierra sobre su d,s  (el 2π propio pro pio eje). eje ). As´ As´ı,

 ≡

2π + β  =  = 2πT  /T d,s d,s .

 

(35)

En ese mismo tiempo, la Luna ha rotado un ´angulo β  angulo β  a   a velocidad angular ω angular  ω1 , as´ı que qu e 20

β  =  = 2πT  /T 1 .

 

(36)

Combinando estas dos ultimas u ´ ltimas expresiones se llega a

T   =

1

−

T d,s d,s  , (T d,s d,s /T 1 )

 

(37)

o bien T  bien  T   = 24h 24h 50m 28s. 28s. 5.1. 5.1.

Lista Lista de cons constit tituy uyen entes tes y orige origen n

En este Tema Tema se ha mostrado que el periodo principal Lunar y el principal principal Solar son  la constituyente M  constituyente  M 2  (de frecuencia 2ω 2 ω ) y la S  la  S 2  (de frecuencia 2ω 2 ω ), respectivamente. A continuaci´on, on, se muestran otras constituyentes mareales y se indica brevemente su origen. Efecto de la declinaci´ on on :

Mareas de largo periodo. Mareas ecuatorial y tropical. Mareas equinocial y solsticial. Marea M f  Ssa

Or Origen Lunar Solar

Fr Frecuencia 2ω1 2ω2

Periodo odo T /2 13 13,,6 d´ıas T 2 /2 182 182,,6 d´ıas

≈ ≈

Al incrementarse la intensidad de las mareas diurnas, las semidiurna decrece y vicev vicevers ersa. a. Las fuerzas fuerzas semidi semidiurn urnas as m´aximas aximas tienen lugar cuando tanto la Luna como el Sol est´an an en el plano ecuatorial. Al contrario, cuando la declinaci´on on de estos astros es grande (se desplazan al N y al S del Ecuador) las mareas semidiurnas son menores. Por ejemplo, las mareas semidiurnas se reduce reducen n un 23 % cuando cuando la Luna Luna presen presenta ta su m´ axima axima declinaci´on on de 28, 28,6◦ . La contribuci´on on semidiurn semidiurnaa solar solar se reduce un 16 % cuando cuando la declin declinaci aci´´on on ◦ solar alcanza su m´aximo aximo de 23, 23,5 (solsticios). En marzo y septiembre cerca de los equinoccios, con el Sol sobre el Ecuador, la contribuci´on semidiurna solar se ve maximizada con el resultado de que las mareas vivas cerca de los equinoccios son mayores de lo habitual. Estas mareas se denominan mareas vivas equinociales11 . Mareas diurnas. Localmente, el forzamiento diurno mostrar´ a una modulaci´ on o n a causa de que el ´angulo angulo de la declinaci´on on cambia con el tiempo. La 11

A veces conocidas como las mareas de Santiago

21

componente de la fuerza mareal diurna causada por la Luna es proporcional a la siguiente expresi´on on 1 cos(ω cos(ω t)cos(ω )cos(ω1 t) =  cos (ω 2





− ω1 ) t

 1 +  cos (ω + ω1 )t  , 2





 

(38)

que resulta en la manifestaci´on on de las siguientes constituyentes: Marea Or Origen O1   Lunar K 1   Lunar P 1   Solar K 1   Solar

Frecuencia ω ω1 ω + ω1 Ω ω ω2 ω + ω2 Ω

−  ≡ −  ≡

Periodo odo 25,,823 horas 25 23,,93 horas 23 24,,07 horas 24 23,,93 horas 23

En la pr´actica, actica, la K  la  K 1  de origen Solar es indistinguible de la Lunar y se combinan en una ´unica unica marea denominada denominada K   K 1 . Mareas semidiurnas adicionales. Marea Origen K 2 Lunar K 2   Solar

Frecuencia 2(ω + ω1 ) = 2Ω ω + ω2 2Ω

 ≡

Perio do 11,97 horas 11,97 horas

Del mismo modo que con la K 1 , la K 2  Solar y Lunar son indistinguibles y se combinan en una s´ola K  ola  K 2 . Efecto de la elipticidad de las ´ orbitas orbitas : Debido a la (cuasi) elipticidad de las ´orbitas, orbitas, nuevos arm´onicos onicos de marea son generados. Considerando la ´orbita orbita el´ el´ıptica de la Luna alrededor alrededor de la Tierra, resulta que esta elipse rota alrededor de la Tierra con un periodo de 8 ,85 a˜ nos nos (frecuencia ω (frecuencia  ω s , 118 meses sid´ereos), ereos), tal y como se ilustra en la Fig.  12  12.. La frecuencia del movimiento del apogeo Lunar es (ω ( ω1 ωs ), cuyo periodo es 27, 27,56 d´ıas. En el caso de la Luna aparecen nuevas constituyentes mareales:

−

Marea M m N 2   L2   Q1   2N 2

Origen Lunar Lu Lunar Lunar Lu Lunar Lunar

Frecuencia (ω1 ω3 ) 2ω (ω1 ω3 ) 2ω + (ω ( ω1 ω3 ) ω ω1 (ω1 ω3 ) 2ω ω1

−

−

− −

− − − −

Y en el caso del Sol:

22

Perio do 27,,56 d´ıas 27 12,,66 horas 12 12,,19 horas 12 26,,87 horas 26 12,,90 horas 12

Marea area Orig Origeen S a   Solar T 2 Solar π1 Solar

Frec recuenc uencia ia ω2  2ω 2ω2 2ω 2ω2

− −

Perio eriodo do 365,,25 d´ıas 365 12 12,,01 horas 24 24,,13 horas

Otros efectos : Ciclo nodal de 18, 18,6 a˜ nos. En este periodo los puntos de intersecci´on nos. o n del plano orbital Lunar y el plano ecuatorial rotan alrededor del centro de la Tierra. Este ciclo es reconocible tanto en variaciones del nivel del mar como en dep´ositos ositos marinos. Incrementos en el rango de la declinaci´on lunar sobre el periodo nodal de 18.6 a˜ nos nos incrementan incrementan la amplitud amplitud de las mareas lunares diurnas, que llevan consigo un decremento de las contribuciones semidiurnas. Estas variaciones nodales, hacen decrecer la marea de equilibrio lunar semidiurna promedio promedio un 3.7 % cuando la declinaci´ on on es m´axima; axima; al contrario, contrario, 9.3 a˜nos nos despu´es es las semidiurnas recuperan recup eran el 3.7 % perdido. p erdido. Otras constituyentes importantes son las generadas en aguas someras: Mare area M 4 M S 4 M 6

Orig rigen No Lineal No Lineal No Lineal

Frecuencia Period riodoo 2ω   6h13m  ω + ω   6h6m 3ω   4h8m

Estas constituyentes no est´an an generadas por fuerzas generadora de marea, sino por efectos no lineales en la propagaci´on o n de la onda de marea, i.e. por t´ erminos erminos no lineales lineales en las ecuaciones ecuaciones del movimien movimiento. to. Por ejemplo, ejemplo, la constiuyente M 4  es debida a la interacci´on on de la marea M 2  consigo misma, la M la  M S 4  es debida a la interacci´on on no lineal entre la M  la  M 2 y la S  la  S 2 , etc.

23

on del movimiento el´ıptico ıptico de la Luna alrededor del Sol. Figura 12:  Precesi´on

6. 6.1. 6.1.

Mareas Mareas reales. An´ An´ alisis alisis Arm´ onico onico Intr Introdu oducc cci´ i´ on on

La descripci´on on y predicci´on on de la marea real es un punto dado puede (afortunadamente) llevarse a cabo sin necesidad de considerar la respuesta din´amica amica global de los oc´eanos eanos a las fuerzas fuerzas generadoras. generadoras. Puesto que el potencial generador act´ua ua en frecuencias bien definidas, el nivel de mar observado y las variaciones de las corrientes de marea pueden descomponerse en series arm´onicas onicas de las constituyentes a esas mismas frecuencias, con la adici´on, on, como veremos veremos despu´ despu´es, es, de algunos efectos no lineales lineales en la respuesta local. La predicci´on on de marea astron´omica omica en zonas costeras est´a basada en la descripci´on on de la marea a partir de constantes que pueden ser determinadas mediante an´alisis alisis arm´onico onico aplicado a una serie de marea observada. Un an´alisis alisis de este tipo permite predecir de forma precisa las mareas. Puesto que la amplitud y la fase de cada constituyente mareal puede determinarse mediante observaci´on, on, se puede medir, y puesto que los periodos son bien conocidos a partir de la informaci´on astron´ omica, omica, las mareas se pueden predecir razonablemente bien en cualquier lugar. En l´ıneas generales gener ales el an´alisis alisis arm´onico onico consiste en medir el nivel del mar durante cierto tiempo y, utilizando utilizando uno de los m´ etodos etodos de ajuste existent existentes, es, extraer las amplitudes y fases de las ondas constituyentes en las frecuencias conocidas. De hecho, es an´alisis alisis arm´onico onico es uno de los ´exitos exitos m´as as importantes en el campo de la oceanograf´ gr af´ıa ıa f´ısica ısi ca,, basa ba sado do unicamente u ´nicamente en el an´alisis alisis de una ´unica unica serie temporal y no en la comprensi´ on on de la respuesta din´amica ami ca del oc´eano. ean o.   Dronkers  (2005 2005)) da varios vario s m´etodos eto dos de an´alisis. alisis. Aqu´ Aqu´ı hablaremos s´ olo olo de los m´ınimos cuadrados. cuadrados. Pawlow Pawlowicz icz (basado en desarrollos previos de Foreman) emplea m´ınimos cuadrados. Uno de los par´ametros ametros importantes dentro del an´alisis alisis arm´onico onico de las mareas son 24

la longitud del registro de niveles que constituye la informaci´on on de partida y el n´umero umero de componentes a utilizar. El periodo de datos requerido depende naturalmente del n´umero umero de com compone ponent ntes es que se deseen deseen determ determina inarr y de los periodos periodos de ´estas. estas. Ha Hay y que tener en cuenta que para poder separar componentes de frecuencias parecidas es necesario tener varios ciclos de conjunci´on on de fases. Seg´un un  Dronkers  (2005 2005), ), con co n 29 2 9 d´ıas ıa s es suficiente para determinar de forma aproximada las 8 ´o 10 constituyentes diurnas y semidiurnas principales, m´as as alguna de las constituyentes de profundidades reducidas. La longitud est´andar andar que se considera en el an´alisis alisis arm´onico onico es de d e 369 3 69 d´ıas. El n´umero umero de componentes depende de la exactitud requerida; deben utilizarse al menos 30. A esto habr´ıa ıa que a˜nadir nadir errores en la medida, marea meteorol´ogica, ogica, corrientes en aguas someras y otros efectos no peri´odicos odicos registrados en el mare´ografo. ografo. Si llamamos ξ  llamamos  ξ ((τ ) τ ) al nivel de mar en tiempo  τ  con  τ  con respecto a un nivel de referencia previamente definido, el problema trata de obtener los 2k 2 k  + 1 valores α0 , αn , β n los cuales representan el valor medio α medio  α 0  y las amplitudes y las fases (α ( αn , β n ) consideradas que hagan que la expresi´on on k

ξ (τ ) τ ) =  α 0  +



αn cos(ω  cos(ωn τ  +  + β n )

( 39 )

n=1

aproxime lo mejor posible al registro ξ  registro  ξ τ τ . Supongamos que se ha efectuado un registro horario de mareas durante 369 d´ıas (8857 observaciones) y que pretendemos obtener el nivel medio m´as as las amplitudes y fases de 64 componentes (129 inc´ognitas). Normalmente se toma como origen de tiempos el centro del registro. Sean ξ τ τ , τ  = (  p,  p +  p  + 1, . . . , 0, . . . , p 1, p) el total de las observaciones horarias con respecto al tiempo central (τ  (τ  =   = 0) y expresando la ecuaci´on on anterior de la forma

− −

−

ξ (τ ) τ ) =  A0  +

k

k





An cos(ω  cos(ωn τ ) τ ) +

n=1

 

Bn sin(ω  sin(ωn τ ) τ )

( 40 )

n=1

donde α0 = A0 , αn = An2  + Bn2 , β n  = arctan( Bn /An). La idea es buscar los par´ ametros ametros libres mediante un m´etodo etodo de m´ınimos cuadrados, esto es, minimizando el error

−

 p 2

 =

|

ξ (τ ) τ )

m=− p

− ξ m|2.

 

(41)

A la diferencia ξ  diferencia  ξ ((τ ) τ ) ξ m  se le denomina denomin a res´ res´ıduo meteorol´ meteor ol´ogico ogico y contiene informaci´on on sobre “todo lo que no es astron´omico”, omico”, en particular, sobre la marea meteorol´ogica. ogica. Las condiciones para que el error sea m´ınimo ınimo son

−

∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 = = = 0, n  = 1 . . . k . ∂A 0 ∂A n ∂B n que constituyen las ecuaciones siguientes

25

 

(42)

 p



(ξ (τ ) τ )

− ξ m) = 0

( 43 )

)cos(ωm τ ) τ ) = 0 − ξ m)cos(ω

( 44 )

m=− p  p

 

(ξ (τ ) τ )

m=− p  p

(ξ (τ ) τ )

m=− p

sin(ω ωm τ ) τ ) = 0. − ξ m) sin(

 

(45)

con n  = 0 . . . k. k. Sustituyendo la Eq. 40 40 en  en Eq. 43 43 y  y haciendo cuentas se llega a transformar las Eq. 43 Eq.  43  en

A0 N  +  +

k

 p





An S (ωn ) =

1 2

k

 

An f ns ns  =

 p

 

n=1

m=− p

k

 p

Bn gns  =

 

(46)

m=− p

n=1

 1 A0 S (ωs ) + 2

ξ m

ξ m cos(ω  cos(ωs τ ) τ )

( 47 )

ξ m sin(ω  sin(ωs τ ) τ )

( 48 )

m=− p

n=1

para s para  s =  = 1, 2, 3..., ..., k,  N  = 2 p + 1, S  1,  S ((x) = sin((n sin((n + 1/2)x 2)x)/ sin(x/ sin(x/2), 2), f   f ns ωs ) + ns  =  S (ωn S (ωn + ωs ) y  g ns  = S   =  S ((ωn ωs ) S (ωn  + ωs ). De este sistema de 2k 2 k  + 1 ecuaciones se pueden determinar las 2 k  + 1 inc´ognitas ognitas A0 ,  A n y Bn  con lo cual est´a resuelto el problema y puede efectuarse la predicci´on de mareas en el futuro a partir de, por ejemplo, Eq.  40  4 0  o Eq. 39. Eq.  39. El uso del an´alisis alisis arm´onico onico en el problema de la propagaci´on o n de la onda de marea puede llevar consigo importantes resultados sobre la reflexi´on on completa o parcial de ondas sinusoidales, el problema del car´acter acter oscilatorio del movimiento mareal, la influencia general de la fricci´on on del fondo (amortiguamiento de la marea), la informaci´ on on contenida en el res´ res´ıduo meteorol´ meteor ol´ogico, ogico, sobre la variabilidad espacio temporal de las constituyentes, la predicci´on on de elevaciones y corrientes mareales, etc. Algunos ejemplos se esquematizan en las Figs.  13  y  14.  1 4.

−

6.2.

−

−

Pr´ actica acti ca an´ alisis alis is arm´ onico onico

En esta pr´actica actica se realizar´a el an´alisis alisis arm´onico onico de un registro de elevaciones de Puertos del Estado. Concretamente, de los datos del Mare´ografo ografo del Puerto de Sevilla 12 (Esclusa) .  Se proporcionar´ a a los alumnos un documento en pdf con informaci´on de Puertos del Estado sobre el mare´ografo ografo e informaci´ on on clim´atica atica del nivel del mar en esa posici´on. o n. El an´alisis alisis arm´onico onico se realiza con la herramienta est´andar a ndar de uso en 12

Conjunto de Datos REDMAR. C´odigo odigo BD:3338.

26

Figura 13: An´alisis alisis arm´onico onico de un registro de marea del Puerto de Sevilla (datos de Puertos del Estado Estado)) medido medido en el estuar estuario io del Guadalqu Guadalquivi ivirr (apro (aprox. x. 85 km de la desem desembocad bocadura ura). ). En azul azul se muestra la serie de datos original, en verde la predicci´on mareal y en rojo el resid´uo uo meteorol´ ogico. ogico. Las sobreelevaciones observadas en torno al 06-May-1996, que dejan su traza en el residuo, fueron inducidas por el caudal de agua dulce descargado desde la presa de cabecera de Alcal´a del R´ıo. Estos resultados resulta dos han sido generados haciendo haciendo uso del paquete de funciones funciones de MatlabT M  T  − TIDE  de   de Pawlowicz para an´ alisis alisis arm´onico. onico.

Figura 14:   Variaci´on on longitudinal en el estuario del Guadalquivir y plataforma continental interior de las constituyentes arm´onicas onicas semidiurnas y cuarti-diurnas de las elevaciones (en metros). Las barras de error representan el intervalo intervalo de confianza al 95 %. Esta informaci´on, on, proporc p roporcionada ionada tambi´en en p or un an´ alisis alisis arm´onico onico de datos experimentales, es relevante para el estudio de la reflexi´on mareal, posibles resonancias, identificaci´on on de procesos dominantes (procesos no lineales como la fricci´on), on), etc.

27

ocea oc eano nogr graf´ af´ıa ıa  T-TIDE 13 , programado en MatlabTM y basado en un desarrollo previo de Foreman (Foreman , 1996  1996;; Pawlowicz et al., 2002  2002). ). Este an´alisis alisis proporciona la amplitud y la fase de los arm´onicos onicos resueltos. 1. En la carpeta que que se indicar´ indicar´ a en clase, clase, los alumnos alumnos dispondr´ an an de las funciones de TM Matlab necesarias para el desarrollo de la pr´actica. actica. Aparte de otros archivos, la carpeta incluye los archivos ’Sevilla-Esclusaclusa-NIVELNIVEL-MAR-33 MAR-3338.pdf’ 38.pdf’ con informaci´ informaci´ on on clim´atic at icaa y t´ecni ec nica ca a ) ’Sevilla-Es del mare´ografo. ografo. d´ıas b ) ’APSevilla.dat’. Contiene datos ordenados en dos columnas: tiempo en d´  julianos y elevaciones en cent´ cent´ımetros. ’CaudalCabecera.dat’. a.dat’. Contiene Contiene datos ordenados en dos columnas: tiempo c ) ’CaudalCabecer en d´ıas julianos julianos y caudal descargado descargado por la presa de cabecera del estuario estuario del Guadalquivir, ubicada en Alcal´a del de l R´ıo. ıo . ’Analisis armonico wrapper.m’. wrapper.m’. Esta funci´ on on de MatlabTM es un  envoltorio d ) ’Analisis para facilitar el uso de las subrutinas de  T-TIDE  para llevar a cabo el an´alisis alisis arm´onico. onico. 2. Con el material descrito descrito en el punto anterior, anterior, se pide a ) Cargar los datos del archivo ’APSevilla.dat’ en el espacio de trabajo de MatlabTM con la funci´on on load . Realizar una figura con la instrucci´on on  plot  que represente la elevaci´on on en funci´on on del tiempo (dateaxis  para que el tiempo

se visualice en formato fecha). necesarios, ejecutar ejecutar la funci´on on ’Analisis armonico wrapper.m’ b ) Con los datos necesarios, y realizar el an´alisis alisis14 . Interpretarr los resultados resultados de la figura producida y responder a las siguiente siguientess c ) Interpreta cuestiones: 1) ¿Cu´ales ales son las constituy constituyent entes es de may mayor or amplitud? amplitud? ¿Qu´ e origen astron´omico omico tienen esas constituyentes? 2) C´omparese omparese los resultados (amplitudes y fases) con los obtenidos en Bonanza, la desembocadura (a 85km de Sevilla), mostrados en la Tabla  1. 13 14

http://www2.ocgy.ubc.ca/~rich

Como Como puede puede deduci deducirse rse de las entra entradas das requer requerida idass de la funci´ funci´ on on ’Analisis armonico armonico wrapper.m’ (teclear en la ventana de instrucciones ’help  Analisis armonico wrapper.m ’). Para realizar el an´alisis alisis arm´onico onico se requiere, requiere , como c omo m´ınimo, 1) un vector vector de tiempos, tiempos, 2) un vector de elev elevacion aciones es (las correspondi correspondiente entess a cada tiempo), 3) latitud latitud del instrumento instrumento de medida medida (especificada (especificada en ’Sevilla-E ’Sevilla-Esclus sclusa-NIV a-NIVEL-MA EL-MAR-3338 R-3338.pdf’) .pdf’) y 4) el periodo de muestr muestreo eo de los datos datos  T s .

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Tabla 1: Amplitudes Amplitudes en cm y fases en grados Greenwic Greenwich h estimadas al 95 % del interv intervalo alo de confianza, separadas por especies y obtenidas tras el an´alisis alisis arm´onico onico de las elevaciones registradas en el mare´ografo ografo de Puertos del Estado ubicado en en fondeadero de Bonanza, en la desembocadura del estuario del Guadalquivir. Amp.(cm) Fase (◦ )

M 2 92,4 61, 61,74

S2 32, 32,60 90,7

N 2 19,2 46, 46,2

K1 6,51 52, 52,7

Q1 1,82 280,6

O1 6,4 332,5

M 4 3,81 92, 92,8

MS 4 1,84 103,9

MN 4 2,08 70, 70,2

M 6 1,4 279,0

2MS 6 1,60 294,8

2MN 6 0,87 270

MS f  3,9 32

Estime cu´anto anto tiempo tarda la marea en propagarse desde la desembocadura hasta el Puerto de Sevilla. Sevilla. ¿Podr´ ¿Podr´ıa explicar explicar las diferencias diferencias observadas entre las amplitudes obtenidas en Sevilla y en Bonanza para las constituyentes indicadas en la Tabla  1?  1 ? 3) ¿Cu´al al es el % de la varianza arianza (energ´ (energ´ıa) de la se˜ nal original que es capaz nal de explicar o reproducir los arm´onicos onicos resueltos en este an´alisis? alisis? 4) ¿En qu´ e interv intervalo alo de tiempo se producen las may mayores ores diferencias entre la se˜ nal original y la predicha por el an´alisis nal alisis arm´onico? onico ? ¿A qu´e puede ser debida esta diferencia? Opt.) Se pretende realizar un an´alisis 3. (Opt.) alisis arm´onico onico reducido de los datos de elevaciones contenidos en el archivo ’aaM2S2.dat’. Reproduzca el desarrollo te´orico orico indicado anteriormente (Eqs. 39 (Eqs.  39–Eq. –Eq. 6.1  6.1), ), que es el fundamento fundamento del an´alisis alisis arm´onico, onico, para las constituyentes arm´onicas onicas M2 (T  (T M  12,,42 horas) y S2 (T  12 (T S  12,,00 hoM 2 S 2  = 12 ras) unicamente. u ´ nicamente. Resuelva el sistema de ecuaciones resultante con Matlab TM para obtener las amplitudes y las fases correspondientes teniendo en cuenta los datos de elevacione elevacioness proporcionados proporcionados en el archivo archivo ’aaM2S2.dat’. ’aaM2S2.dat’.

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M m 1,6 7