Tema 1: Números naturales.
ÍNDICE 1. ORIGEN Y EVOLUCIÓN DE LOS NÚMEROS 2. SISTEMAS DE NUMERACIÓN
3 3
2.1. Definición Defin ición ................................................................................................................................................... 3 2.2. Tipos ............................................................................................................................................................ 3 2.2.1. Sistemas no posicionales .......................................................................................... ............................ .............................................................................................. ................................ 3 2.2.2. Sistemas posicionales ..................................................................................................................... ...................................................... ......................................................................... ..........5
3. NÚMEROS NATURALES
6
3.1. Definición Defin ición ................................................................................................................................................... 6 3.2. El número cero ......................................................................................................................................... 6 3.3. Utilidad Utili dad....................................................................................................................................................... 6 3.4. Ejercicio Ejerci cio ..................................................................................................................................................... 7
4. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO NATURAL
7
4.1. Definición Defin ición ................................................................................................................................................... 7 4.2. Tabla de órdenes ..................................................................................................................................... 7 4.3. Lectura L ectura y escritura escri tura de d e un número natural ....................................................................................... 8 4.4. Ejercicio Ejerci cio ..................................................................................................................................................... 8
5. APROXIMACIONES DE NÚMEROS NATURALES
8
5.1. Definición Defin ición ................................................................................................................................................... 8 5.2. Utilidad Utili dad....................................................................................................................................................... 8 5.3. Métodos de aproximac a proximación ión ..................................................................................................................... 9 5.3.1. Aproximación Apr oximación por truncamiento ........................................................... .............................................................................................................. ................................................... 9 5.3.2. Aproximación por redondeo .......................................................................................................... ........................................... ......................................................................... ..........9
6. REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES EN LA RECTA NUMÉRICA 7. ORDENACIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES
10 10
7.1. Ejercicios Ejerci cios ................................................................................................................................................. 10
8. OPERACIONES DE LOS NÚMEROS NATURALES
11
8.1. Suma: a + b = c ......................................................................................................................................... 11 8.1.1. Definición ........................................................ ...................................................................................................................... ............................................................................................ .............................. 11 8.1.2. Propiedades ............................................................................................................................................... 11
8.2. Resta: a - b = c ....................................................................................................................................... 12 8.2.1. Definición Defi nición ....................................................... .............................................................. ............................................................................................ .............................. 12 Gema Isabel Marín Caballero
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8.2.2. Propiedades .............................................................. ............................................................................................................................ ................................................................................. ................... 12
8.3. Multipli M ultiplicación cación:: a · b = c ........................................................................................................................ 12 8.3.1. Definición Defi nición ....................................................... .............................................................. ............................................................................................ .............................. 12 8.3.2. Propiedades .............................................................. ............................................................................................................................ ................................................................................. ................... 12 8.3.3. Ejercicios....................................................... .............................................................. ............................................................................................ .............................. 13
8.4. División: Divisi ón: D : d = c ................................................................................................................................... 14 8.4.1. Definición Defi nición ....................................................... .............................................................. ............................................................................................ .............................. 14 8.4.2. Tipos de divisiones di visiones ................................................................................. ................................................. 14 8.4.3. Propiedades .............................................................. ............................................................................................................................ ................................................................................. ................... 14
9. OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS NATURALES
15
9.1. Introducción Introd ucción ............................................................................................................................................ 15 9.2. Reglas de prioridad priori dad ............................................................................................................................... 15 9.3. Tipos de operaciones combinadas .................................................................................................... 15 9.3.1. Operaciones Oper aciones combinadas sin paréntesis paré ntesis ........................................................ .............................................................................................. ...................................... 15 9.3.2. Operaciones combinadas con paréntesis ............................................................................................ 16
10. EJERCICIOS 11. PROBLEMAS
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1. ORIGEN Y EVOLUCIÓN DE LOS NÚMEROS Desde la antigüedad hasta nuestros días, los seres humanos (egipcios, babilonios, griegos, romanos, chinos, indios, árabes, mayas, etc.) han utilizado números para contar y para el comercio . Sin embargo, la forma de representarlos ha variado a lo largo de la historia . Para ello, han recurrido a diversos métodos como: hacer muescas en un hueso, hacer nudos en una cuerda, ensartar semillas en un collar para llevar la cuenta de las cabras de su rebaño, inventar diferentes sistemas de numeración, etc. Todas las civilizaciones han tenido un sistema de numeración. numeración. Éstos han pasado de unos pueblos a otros y han evolucionado a lo largo del tiempo. Los sistemas de numeración asocian numeración asocian la cantidad de objetos con un símbolo para identificar o expresar tal cantidad (un número). Por tanto, los números números surgen de la necesidad de contar y las civilizaciones, desde la Prehistoria, han manejado sistemas de numeración muy numeración muy diversos, con similitudes y diferencias. Los números que se usan para contar se les llama números naturales desde naturales desde el siglo XVIII y el sistema de numeración que se emplea en la actualidad para escribirlos es el sistema de numeración decimal, decimal, que tiene su origen en la India 300 años antes de nuestra era. Con ellos se puede también ordenar, identificar objetos o elaborar códigos . Los números, números, en sus diferentes formas, están presentes en nuestras vidas y en todo aquello que nos rodea. Los números gobiernan la música, la arquitectura, la naturaleza, la economía, la política, etc .
2. SISTEMAS DE NUMERACIÓN 2.1. Definición Un sistema de numeración es un “conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para
representar cantidades”. Un sistema de numeración es un “conjunto de símbolos y reglas que permiten escribir cualquier número”.
Por tanto, los sistemas de numeración numeración sirven para escribir números y, así, recordarlos y transmitirlos. Pero deben servir, también, para operar con ellos.
2.2. Tipos Existen sistemas de numeración posicionales y no posicionales . 2.2.1. Sistemas no posicionale posicionaless
Los sistemas no posicionales consisten posicionales consisten en que el
“valor de cada cifra no depende del lugar que
ocupa”.
a) b) c) d)
Ejemplos de sistemas no posicionales más conocidos: Sistema del hombre primitivo:. Sistema egipcio:. Sistema maya:. Sistema romano: utiliza siete letras mayúsculas del alfabeto latino como símbolos para representar los números, que son: I, V, X, L, C, D y M. Dichos símbolos tienen su equivalencia en el sistema decimal: 1, 5, 10, 50, 100, 500 y 1.000, respectivamente.
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Ejemplos: V, IV, XXII, …
XI = X + I = 10 + 1 = 11 IX = X - I= 10 - I = 9 El sistema de numeración romano procede romano procede de Roma y utiliza 7 símbolos para para expresar cantidades. Los símbolos que usaban y el valor que corresponde corr esponde a cada una de ellas son: Símbolos Valor I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M 1.000
Las reglas para escribir números en el sistema de numeración romano son: romano son: Repetición: Repetición: Los símbolos I, X, C y M se pueden escribir hasta tres veces seguidas. Los demás símbolos V, L y D no se pueden repetir. Ejemplos: III = 3 XXX = 30 CCC = 300 MMM = 3.000 Suma: Un Suma: Un símbolo escrito a la derecha de otro de igual o mayor valor, le suma a ésta su valor. Ejemplos: XVI = 10 + 5 + 1 = 16 CLV = 100 + 50 + 5 = 155 DCCCLX = 500 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 = 860 MM = 1.000 + 1.000 = 2.000 Resta: Los Resta: Los símbolos I, X y C escritos a la izquierda de otro de mayor valor, le resta a ésta su valor. El símbolo I sólo se puede restar de V y X; X sólo se puede restar de L y C; y C sólo se puede restar de D y M. Ejemplos: IV = 5 – 1 = 4 XC = 100 – 10 = 90 XL = 50 – 10 = 40 CM = 1.000 – 100 = 900 Multiplicación: Una Multiplicación: Una raya situada sobre uno o más símbolos multiplica su valor por mil. Dos rayas multiplican el valor del número por un millón. Ejemplos: VI
6 1.000 000
VIII I M
6.000
8 1.000 000 1 8.001 001
1.000 000 1.000 000 1.000 000.000 000
V I XL XL M
5 1.000 1 5.001 40 1.000 40.000
1.000 1.000.000 1.000.000.000
Utilidad: Actualmente, los números romanos se usan para numerar capítulos de libros, representar los siglos, poner fecha a los monumentos, indicar las horas en algunos relojes, en la denominación de los reyes, en la designación de congresos y olimpiadas, etc .
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Los tres primeros sistemas representan números con dibujos, es decir, pictogramas. Y el último sistema representa cantidades con letras. Estos sistemas son también conocidos como sistemas aditivos porque aditivos porque para escribir un número, se van sumando los símbolos necesarios hasta completar la cantidad deseada. Pero en el sistema de numeración romano tiene la peculiaridad de que los símbolos situados a la izquierda de un símbolo de valor superior, restan su valor. 2.2.2. Sistemas posicionales
Los sistemas posicionales posicionales son aquellos en los cuales el
“valor de cada cifra depende de la
posición que ocupa”.
Estos sistemas se caracterizan fundamentalmente por su base, base, que es el “número de símbolos distintos que se emplean en un sistema determinado para representar la información” . En estos sistemas tenemos tantos símbolos como la base del sistema, es decir, si la base bas e es b, el alfabeto va de 0 a b-1 símbolos. Ejemplos de sistemas posicionales más comunes: a) Decimal: es Decimal: es de base 10 porque está compuesto de 10 símbolos (o dígitos) distintos que van del 0 al 9 para representar cualquier cantidad. Es el “sistema de representación numérica del ser humano” . Su origen está en la utilización de los diez die z dedos de las manos para contar. El sistema decimal nació decimal nació en la India en el siglo VII y llegó a Europa gracias a los árabes. Cada cifra puede ocupar distintas posiciones, que son los distintos órdenes o categorías de unidades. unidades. En este sistema el lugar que ocupa cada cifra se denomina orden de unidad. unidad. Cada tres órdenes de unidad forman una clase. clase. La característica principal de principal de este sistema es que diez unidades de un orden cualquiera forman una unidad del orden inmediato superior. Es decir, las unidades se agrupan de 10 en 10 para formar una unidad de un orden superior. En la siguiente tabla se tabla se pueden ver las clases y los órdenes de unidad . Billones
…
n ó l l i b e d s a n e t n e C
n ó l l i b e d s a n e c e D
Millares de millón
n ó l l i b e d s e d a d i n U
…
n ó l l i m e d r a l l i m e d s a n e t n e C
n ó l l i m e d r a l l i m e d s a n e c e D
n ó l l i m e d r a l l i m e d s e d a d i n U
CM
DM
UM
Millones
n ó l l i m e d s a n e t n e C
n ó l l i m e d s a n e c e D
Millares
n ó l l i m e d s e d a d i n U
r a l l i m e d s a n e t n e C
r a l l i m e d s a n e c e D
Unidades
r a l l i m e d s e d a d i n U
CMM DMM UMM CM DM UM
s a n e t n e C
s a n e c e D
s e d a d i n U
C
D
U
b) Binario: Binario: es de base 2 porque utiliza únicamente 2 símbolos (el 0 y el 1) para representar cualquier cantidad. Es el “sistema de numeración utilizado por los computadores para la codificación interna de la información” .
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Curiosidad: Los computadores, máquinas construidas con Electrónica Digital, utilizan el sistema binario y binario y no el sistema decimal por el fácil procesamiento y almacenamiento de los valores digitales, la seguridad, la rapidez de respuesta, la facilidad y la estabilidad que tiene representar dos estados lógicos diferenciados y las operaciones aritméticas son sencillas (sólo tiene que distinguir entre dos dígitos y no entre diez); de modo que permite a la máquina funcionar de forma fiable. No se adoptó el sistema decimal decimal porque resultaba complejo para crear un código apropiado, pues maneja diez dígitos y las operaciones op eraciones aritméticas son más complicadas.
3. NÚMEROS NATURALES 3.1. Definición Los números naturales son naturales son los primeros que se utilizaron y nos proporcionan información del mundo que nos rodea . El conjunto de los números naturales está naturales está formado por: = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ... } El conjunto de los números naturales se representa por la letra . Los números naturales naturales son ilimitados, ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro número natural. natural.
3.2. El número cero Históricamente, el 0 no se empleaba para contar, por lo que en ocasiones no se considera propiamente un número natural. La introducción y el uso del 0 en el sistema de numeración decimal se debe a los árabes, a través del matemático Al Khwarizmi que lo tomó de la numeración hindú. A Europa llegó a través de las traducciones de sus escritos al latín. El 0 se utiliza para indicar que no hay ninguna unidad en esa posición. En el sistema de numeración decimal, el 0 facilita la escritura de los números y las operaciones con ellos. Se puede considerar que el 0 es un número natural porque en el sistema de numeración decimal, facilita la escritura de los números y las operaciones con ellos.
3.3. Utilidad
Los números naturales se naturales se utilizan para: Contar los Contar los elementos de un conjunto. Ejemplos: Ejemplos: contar contar objetos, personas, los jugadores de un equipo de fútbol, los sellos de una colección, etc. Estos números reciben el nombre de cardinales (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…). Ejemplos: Ejemplos: tengo tengo 5 bolígrafos, somos 60 vecinos, etc. Expresar la posición u orden que orden que ocupa un elemento en un conjunto ordenado. Ejemplos: Ejemplos: orden orden que ocupa una persona o un objeto, clasificar los corredores en una vuelta ciclista, numerar las páginas de un libro, etc. Estos números reciben el nombre de ordinales (1º, ordinales (1º, 2º, 3º, 4º, 5º, 6º, 7º, …). Ejemplos: soy el 5º de la fila, trabajo tr abajo en el 11º piso, etc.
Identificar Identificar personas, lugares, objetos, etc., utilizando códigos numéricos y alfanuméricos (combinación de cifras y letras). Ejemplos: Ejemplos: identificar identificar los códigos del DNI (código numérico),
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los códigos de las matrículas de coches (código alfanumérico), los códigos de los prefijos telefónicos (código numérico), los códigos postales, los códigos de barras, etc. Calcular resultados Calcular resultados desconocidos y obtener datos con la ayuda de las operaciones (suma, (suma, resta, multiplicación, división, etc.).
3.4. Ejercicio 1) En una clase de 1º de E.S.O., no todos los alumnos y alumnas tienen los mismos años, sus edades pueden variar de 12 a 14 años. Estos números son positivos. ¿Qué edad tendrán los alumnos o alumnas que se encuentren entre los 12 y los 14 años? Solución: 13 años.
4. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO NATURAL 4.1. Definición La descomposición polinómica de un número natural natural consiste en descomponer un número natural en órdenes , es decir, se descompone un número natural como sumas de sus diferentes unidades. Para expresar un número natural, se utiliza la tabla de las unidades u órdenes.
4.2. Tabla de órdenes En la siguiente tabla se tabla se pueden ver las clases y los órdenes de unidad del conjunto de números naturales. Billones
…
n ó l l i b e d s a n e t n e C
n ó l l i b e d s a n e c e D
Millares de millón n ó l l i b e d s e d a d i n U
…
n ó l l i m e d r a l l i m e d s a n e t n e C
n ó l l i m e d r a l l i m e d s a n e c e D
n ó l l i m e d r a l l i m e d s e d a d i n U
CM
DM
UM
Millones n ó l l i m e d s a n e t n e C
n ó l l i m e d s a n e c e D
Millares n ó l l i m e d s e d a d i n U
r a l l i m e d s a n e t n e C
r a l l i m e d s a n e c e D
Unidades r a l l i m e d s e d a d i n U
CMM DMM UMM CM DM UM
s a n e t n e C
s a n e c e D
s e d a d i n U
C
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U
Un número natural se natural se puede descomponer como sumas de sus diferentes unidades . Ejemplo: El número 2.345 podemos descomponerlo del siguiente modo: 2.345 = 2.000 + 300 + 40 + 5 = 2 UM + 3 C + 4 D + 5 U
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Las unidades más utilizadas son las siguientes: 1 decena = 10 unidades 1 centena = 10 decenas = 100 unidades 1 unidad de millar = 10 centenas = 100 decenas = 1.000 unidades ……
Por tanto, en el sistema de numeración decimal, decimal , diez unidades de un orden cualquiera hacen una unidad del orden inmediatamente superior.
4.3. Lectura y escritura de un número natural Se lee “dos mil trescientos cuarenta y cinco unidades” o “dos millares, 3 centenas, 4 decen as y 5 unidades”.
Se lee “doscientas treinta y siete millones ” o “dos centenas de millón, 3 decenas de millón y 7 unidades de millón”.
4.4. Ejercicio 1) Expresa los siguientes números decimales en los distintos órdenes de unidades: 245, 890, 26.077, 123.987, 3.782.401, 590.041.260.000 Solución: Número natural
CM
DM
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CMM DMM UMM CM DM UM
C
D
U
2
4
5
1
8
9
0
2
6
0
7
7
1
2
3
9
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1
1
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0
0
245 1.890 26.077 123.987 3.782.401 590.041.260.000
5
9
0
0
4
5. APROXIMACIONES DE NÚMEROS NATURALES 5.1. Definición Aproximar un número es número es sustituirlo por otro número cercano a él .
5.2. Utilidad Operar con números aproximados simplifica los cálculos. Para trabajar con números decimales, frecuentemente realizamos aproximaciones. aproximaciones.
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5.3. Métodos de aproximación Dos métodos para métodos para aproximar un número son: a) Truncamiento. b) Redondeo. 5.3.1. Aproximación por truncamiento
Truncar un número a un cierto orden es sustituir por ceros las cifras de los órdenes inferiores a él . Ejemplo: Trunca Ejemplo: Trunca a las centenas el número 18.271. DM UM 1
8
C
D
U
2
7
1
Truncamiento 18.2 18.200
Ejemplo: Trunca a las decenas los números: Ejemplo: Trunca a) 12.348 b) 435.677 b) 435.677 CM DM UM
C
D
U
1
2
3
4
8
12.34 12.340
3
5
6
7
7
435.67 435.670
4
Truncamiento
5.3.2. Aproximación por redondeo
Para redondear un número a un cierto orden: orden : Si la cifra siguiente a la cifra del orden considerado orden considerado es mayor o igual que 5, aumentamos esta última en una unidad y truncamos el resto . Si es menor, la mantenemos igual y truncamos el resto . Ejemplo: Redondea Ejemplo: Redondea a los órdenes indicados el número 23.749. a) A las centenas. b) A b) A las decenas. CM DM UM
C
D
U
2
7
4
9
3
Redondeo
4<5 9>5 2 3 7 4 9 2374+1=2375 Ejemplo: Redondea Ejemplo: Redondea a los órdenes indicados el número 12.599. a) A las unidades de millar. b) A b) A las decenas.
CM DM UM
C
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1
2
5
9
9
1
2
5
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9
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23.7 23.700 23.75 23.750
Redondeo 5=5 12+1=13 9>5 1259+1=1260
13.000 12.600
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6. REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES EN LA RECTA NUMÉRICA mayor.
Los números naturales naturales se pueden representar en una recta numérica ordenados de menor a
Sobre una recta numérica se señala un punto, que se marca con el número cero. cero. El cero se sitúa en el origen de la recta. A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, se sitúan de menor a mayor los siguientes números naturales: naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 …
7. ORDENACIÓN DE LOS NÚMEROS NATURALES Los números naturales están naturales están ordenados, ordenados, es decir, cada uno es menor que su siguiente. Ejemplo: … < 13 < 14 < 15 < … Los números naturales están naturales están ordenados y ordenados y ello se puede comprobar al representarlos en la recta numérica. Por lo que los números naturales representados naturales representados en una recta numérica están ordenados, ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales. Ejemplo: 5 > 3 5 es mayor que 3. 3 < 5 3 es menor que 5. que 5. Dados dos números naturales cualesquiera, el que está situado más a la derecha en la recta es el mayor y mayor y el que está situado más a la izquierda menor. i zquierda en la recta es el menor. Ejemplos: 6 es mayor que 4, ya que está a la derecha de 4. 4 es menor que 6, ya que está a la izquierda de 6.
7.1. Ejercicios 1) Dados los siguientes números: 14, 2, 12, 5, 5 , 7, 21, 11, 9, 4 y contesta: a) Representa estas cantidades en la recta numérica. b) ¿Qué número es el mayor de todos? c) ¿Qué número es el menor de todos? d) Escríbelos por orden de mayor a menor (en orden decreciente). e) Escríbelos por orden de menor a mayor (en orden creciente). Solución: a) Representación en la recta numérica:
b) c) d) e)
0 2 4 5 7 9 11 12 14 El mayor de todos es 21. El menor de todos es 2. Ordenados de mayor a menor: 21 > 14 > 12 > 11 > 9 > 7 > 5 > 4 > 2 Ordenados de menor a mayor: 2 < 4 < 5 < 7 < 9 < 11 < 12 < 14 < 21
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2) Dados los siguientes números: 5, 42, 12, 7, 35, 29, 58, 13, 64, 27 y contesta: a) Represéntalos en la recta numérica. b) ¿Qué número es el mayor de todos? c) ¿Qué número es el menor de todos? d) Escríbelos por orden de mayor a menor (en orden decreciente). e) Escríbelos por orden de menor a mayor (en orden creciente). Solución: a) Representación en la recta numérica:
b) c) d) e)
0 5 7 12 13 27 29 35 42 58 64 El mayor de todos es 64. El menor de todos es 5. Ordenados de mayor a menor: 64 > 58 > 42 > 35 > 29 > 27 > 13 > 12 > 7 > 5 Ordenados de menor a mayor: 5 < 7 < 12 < 13 < 27 < 29 < 35 < 42 < 58 5 8 < 64
8. OPERACIONES DE LOS NÚMEROS NATURALES 8.1. Suma: a + b = c 8.1.1. Definición
Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y sumandos y el resultado, c, suma. suma. 8.1.2. Propiedades
1) El resultado de sumar dos números naturales es naturales es otro número natural. natural. Si a, b
a+b=c
Ejemplo: 2, 3 Ejemplo: 2, 2 + 3 = 5 2) Asociativa: consiste Asociativa: consiste en que el modo de agrupar los sumandos no varía el resultado. (a + b) + c = a + (b + c) Ejemplo: (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) 5+5=2+8 10 = 10 3) Conmutativa: consiste Conmutativa: consiste en que el orden or den de los sumandos no varía la suma. a+b=b+a Ejemplo: 2+5=5+2 7=7 Gema Isabel Marín Caballero
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4) Elemento neutro: es neutro: es el 0 porque todo número sumado con él da el mismo número. a+0=a Ejemplo: 3 Ejemplo: 3 + 0 = 3
8.2. Resta: a - b = c 8.2.1. Definición
Los términos que intervienen en una resta se resta se llaman: a, minuendo y minuendo y b, sustraendo. sustraendo. Al resultado, c, lo llamamos diferencia. diferencia. 8.2.2. Propiedades
1) El resultado de restar dos números naturales no naturales no siempre es otro número natural. natural. Si a, b
a – b = c
Ejemplo: 2, 5 Ejemplo: 2, 2 - 5 = -3 2) No es conmutativa: a – b ≠ b – a Ejemplo: 5-2≠2-5 3 ≠ -3
8.3. Multiplicación: a · b = c 8.3.1. Definición
Multiplicar dos números naturales naturales consiste en sumar uno uno de los factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor. factor. Los términos a y b se llaman factores y factores y el resultado, c, producto. 8.3.2. Propiedades
1) El resultado de multiplicar dos números naturales es naturales es otro número natural. natural. Si a, b
a·b=c
Ejemplo: 2, 5 Ejemplo: 2, 2 · 5 = 10 2) Asociativa: consiste Asociativa: consiste en que el modo de agrupar los factores no varía el resultado. (a · b) · c = a · (b · c) Ejemplo: (2 · 3) · 5 = 2· (3 · 5) 6 · 5 = 2 · 15 30 = 30
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3) Conmutativa: consiste Conmutativa: consiste en que el orden de los factores no varía el producto. a·b=b·a Ejemplo: 2·5=5·2 10 = 10 4) Elemento neutro: es neutro: es el 1 porque todo número multiplicado por él da el mismo número. a·1=a Ejemplo:: 3 · 1 = 3 Ejemplo 5) Distributiva: consiste Distributiva: consiste en que la multiplicación de un número natural por una suma es igual a la suma de las multiplicaciones de dicho número natural por cada uno de los sumandos. a · (b + c) = a · b + a · c Ejemplo: 2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5 2 · 8 = 6 + 10 16 = 16 6) Sacar factor común: común: es el proceso inverso a la propiedad distributiva . Si varios sumandos tienen un factor común, común, podemos transformar la suma en suma en producto extrayendo producto extrayendo dicho factor. factor. a · b + a · c = a · (b + c) Ejemplo: 2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5) 6 + 10 = 2 · 8 16 = 16 8.3.3. Ejercicios
1) Realiza las operaciones aplicando la propiedad distributiva: a) 10 · (25 + 3) Solución: 10 · 25 + 10 · 3 = 250 + 30 = 280 b) (15 + 6) · 4 Solución: 15 · 4 + 6 · 4 = 60 + 24 = 84 c) 7 · (12 – 5) Solución: 7 · 12 - 7 · 5 = 84 - 35 = 49 d) (58 – 49) · 100 Solución: 58 · 100 - 49 · 100 = 580 - 490 = 90 e) 2 · (5 – 4 + 9) Solución: 2 · 5 - 2 · 4 + 2 · 9 = 10 - 8 + 18 = 20 f) (12 + 5 – 3) · 4 Solución: 12 · 4 + 5 · 4 – 3 · 4 = 48 + 20 - 12= 56 2) Saca factor común: a) 5 · 7 + 5 · 8 b) 3 · 6 – 3 · 2 c) 8 · 7 – 6 · 8 d) 5 · 9 + 25 e) 7 · 5 – 3 · 5 + 16 · 5 – 5 · 4 Gema Isabel Marín Caballero
Solución: 5 · (7 + 8) = 5 · 15 = 75 Solución: 3 · (6 − 2) = 3 · 4 = 12 Solución: 8 · (7 − 6) = 8 · 1 = 8 Solución: 5 · (9 + 5) = 5 · 14 = 70 Solución: 5 · (7 − 3 + 16 − 4) = 5 · 16 = 80 Página 13 de 18
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f) 6 · 4 – 4 · 3 + 4 · 9 – 5 · 4 g) 8 · 34 + 8 · 46 + 8 · 20 h) 4 · 5 – 4 · 3 + 4
Solución: 4 · (6 − 3 + 9 − 5) = 4 · 7 = 28 Solución: 8 · (34 + 46 + 20) = 8 · 100 = 800 Solución: 4 · (5 – 3 + 1) = 4 · 3 = 12
3) Descompón cada sumando como un producto de factores y, luego, saca factor común: a) 10 + 20 – 30 Solución: 10 · 1 + 10 · 2 – 3 · 10 = 10 · ( 1 + 2 – 3) = 10 · 0 = 0 b) 150 + 210 – 125 Solución: 5 · (30 + 42 – 25) = 5 · 47 = 235 c) 122 – 64 + 40 Solución: 2 · (61 – 32 + 20) = 2 · 49 = 98
8.4. División: D : d = c 8.4.1. Definición
Los términos que intervienen en una división se división se llaman, D, dividendo y, dividendo y, d, divisor. divisor. Al resultado, c, lo llamamos cociente. cociente. 8.4.2. Tipos de divisiones
1) División exacta: Una exacta: Una división es exacta cuando el resto es resto es cero. cero. D=d·c Ejemplo:
15 = 5 · 3 2) División entera: Una entera: Una división es entera cuando el resto es resto es distinto de distinto de cero. cero. D=d·c+r Ejemplo:
17 = 5 · 3 + 2 8.4.3. Propiedades
1) El resultado de dividir dos números naturales no naturales no siempre es otro número natural. natural. Si D, d
D:d=c
Ejemplos: 2, 6
6 : 2
2, 6 2 : 6 2) No es conmutativa: consiste conmutativa: consiste en que el modo de agrupar los factores no varía el resultado. D : d ≠ d : D
Ejemplo: 6:2≠2:6 Gema Isabel Marín Caballero
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3) Cero dividido entre cualquier número da cero. cero . 0:d=0 Ejemplo: 0 Ejemplo: 0 : 5 = 0 4) No se puede dividir por 0. 0. D : 0 No se puede Ejemplo: 5 Ejemplo: 5 : 0
9. OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS NATURALES 9.1. Introducción Al resolver expresiones con operaciones combinadas, debemos tener en cuenta las normas del lenguaje matemático. matemático. Estas normas aseguran que cada expresión tenga un significado y una solución únicos.
9.2. Reglas de prioridad Las reglas para reglas para realizar las operaciones de números naturales o prioridad de las operaciones son las siguientes: 1) Efectuamos las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. 2) Calculamos las potencias y raíces. raíces. 3) Efectuamos los productos (multiplicaciones) y cocientes (divisiones) de izquierda a derecha. 4) Realizamos las sumas y sumas y restas. restas. NOTA: Es NOTA: Es importante respetar el orden de las operaciones para obtener el resultado correcto.
9.3. Tipos de operaciones combinadas 9.3.1. Operaciones combinadas sin paréntesis
a) Combinación de sumas y restas: Ejemplo: 9 Ejemplo: 9 - 7 + 5 + 2 - 6 + 8 - 4 = 7 Comenzando por la izquierda, izquierda , se va efectuando las operaciones según aparecen. b) Combinación de sumas, restas y multiplicaciones: Ejemplo: 3 Ejemplo: 3 · 2 - 5 + 4 · 3 - 8 + 5 · 2 = 6 - 5 + 12 - 8 + 10 = 15 1º Realizamos las multiplicaciones por multiplicaciones por tener mayor prioridad. prioridad. 2º Efectuamos las sumas y restas. restas. c) Combinación de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones: Ejemplo: 10 Ejemplo: 10 : 2 + 5 · 3 + 4 - 5 · 2 − 8 + 4 · 2 - 16 : 4 = 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 8 - 4 = 10 1º Realizamos los productos y cocientes en cocientes en el orden en el que se encuentran porque las dos operaciones tienen la misma prioridad. prioridad. 2º Efectuamos las sumas y restas. restas.
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9.3.2. Operaciones combinadas con paréntesis
Ejemplo: 2 + 3 · (7 – 4) – 2 · 5 + (16 : 4) · 2 = 2 + 3 · 3 – 10 + 4 · 2 = 2 + 9 – 10 + 8 = 9 Ejemplo: 2 1º Realizamos las operaciones contenidas en los paréntesis por tener mayor prioridad. 2º Quitamos los paréntesis. paréntesis. 3º Realizamos los productos y cocientes en cocientes en el orden en el que se encuentran porque las dos operaciones tienen la misma prioridad. prioridad. 4º Efectuamos las sumas y restas. restas.
10. EJERCICIOS 1) Busca el término desconocido e indica su nombre en las siguientes operaciones: a) 327 + ....... = 1.208 Solución: Sumando. 1.208 − 327 = 881 b) ....... – 4.121 = 626 Solución: Minuendo. 4.121 + 626 = 4.747 c) 321 · ....... = 32.100 Solución: Factor. 32.100 : 321 = 100 d) 28.035 : ....... = 623 Solución: Divisor. 28.035 : 623 = 45 2) Busca el término desconocido en las siguientes operaciones: a) 4 · (5 + ...) = 36 Solución: 4 b) (30 – ...) : 5 + 4 = 8 Solución: 10 c) 18 · ... + 4 · ... = 56 Solución: 2 y 5 d) 30 – ... : 8 = 25 Solución: 40 3) Calcula de dos modos distintos las siguientes operaciones: a) 17 · 38 + 17 · 12 Solución: ROPC: 17 · 38 + 17 · 12 = 646 + 204 = 850 PD: 17 · 38 + 17 · 12 = 17 (38 + 12) = 17 · 50 = 850 b) 6 · 59 + 4 · 59 Solución: ROPC: 6 · 59 + 4 · 59 = 354 + 236 = 590 PD: 6 · 59 + 4 · 59 = 59 (6 + 4) = 59 · 10 = 590 c) (6 + 12) : 3 Solución: ROPC: (6 + 12) : 3 = 18 : 3 = 6 PD: (6 + 12) : 3 = (6 : 3) + (12 : 3) = 2 + 4 = 6 NOTA: “PD” es propiedad distributiva de la multiplicación y “ROPC” es reglas de las operaciones combinadas. 4) Opera expresando los pasos seguidos. a) 6 · 4 - 2 · (12 – 7) Solución: 14 b) 3 · 8 – 8 : 4 – 4 · 5 Solución: 2 c) 21 : (3 + 4) + 6 Solución: 9 d) 3 · [13 – 3 · (5 – 2)] Solución: 12 e) (15 - 4) + 3 - (12 - 5 · 2) + (5 + 16 : 4) - 5 + (10 - 8) Solución: 18 f) [15 - (8 - 10 : 2)] · [5 + (3 · 2 - 4 )] - 3 + (8 - 2 · 3 ) Solución: 83 Gema Isabel Marín Caballero
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5) Realiza las siguientes operaciones combinadas teniendo en cuenta su prioridad: a) 27 + 3 · 5 – 16 Solución: 27 + 15 - 16 = 26 b) 27 + 3 – 45 : 5 + 16 Solución: 27 + 3 – 9 + 16 = 37 c) (2 · 4 + 12) · (6 - 4) Solución: (8 + 12) · 2 = 20 · 2 = 40 d) 3 · 9 + (6 + 5 – 3) – 12 : 4 Solución: 27 + 8 – 3 = 32 e) 440 - [30 + 6 · (19 - 12)] Solución: 440 - [30 + 6 · 7] = 440 - [30 + 42] = 440 - 72 = 368 f) 2 · {4 · [7 + 4 · (5 · 3 - 9)] - 3 · (40 - 8)} Solución: 2 · {4 · [7 + 4 · (15 – 9)] - 3 · 32} = = 2 · {4 · [7 + 4 · 6] - 3 · 32} = 2 · {4 · [7 + 24] - 3 · 32} = = 2 · {4 · 31 - 3 · 32} = 2 · {124 - 96} = 2 · 28 = 56 g) 100 - {14 - [64 : 2 · (8 - 6)] : 8} Solución: 100 - {14 - [64 : 2 · 2] : 8} = 100 - {14 - [64 : 4] : 8} = = 100 - {14 - 16 : 8} = 100 - {14 - 2}= 100 - 12 = 88
11. PROBLEMAS 1) Dados los números 5, 7 y 9, forma todos los números posibles de tres cifras distintas, ordénalos de menor a mayor y súmalos. Solución: 579 + 597 + 759 + 795 + 957 + 975 = 4.662 2) El cociente de una división exacta es 504, y el divisor 605. ¿Cuál es el dividendo? Solución: 504 · 605 = 304.920 3) El cociente de una división entera es 21, el divisor 15 y el dividendo 321. ¿Cuál es el resto? Solución: 321 - 21 · 15 = 321 - 315 = 6 4) Pedro compró una finca por 643.750 € y la vendió ganando 75.250 €. ¿Por cuánto la vendió? Solución: 643.750 € + 75.250 € = 719.000 € 5) Con el dinero que tengo y 247 € más, podría pagar una deuda de 525 € y me sobrarían 37 €. ¿Cuánto dinero tengo? Solución: 525 + 37 = 562 € 562 - 247 = 315 €
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6) Se compran 1.600 Kg de boquerones, a razón de 4 €/Kg. Si los portes cuestan 400 € y se desea ganar con la venta 1.200€. ¿A cuánto debe venderse el kilogramo de boquerones?
Solución: 1600 · 4 = 6400 6400 + 400 + 1200 = 8000 8000 : 1600 = 5 € 7) ¿Cuántos años son 6.205 días? Consideramos que un año tiene 365 días. d ías. Solución: 6.205 : 365 = 17 años 8) Pedro quiere comprar un automóvil. En la tienda le ofrecen dos modelos: uno de dos puertas y otro de cuatro puertas. En ambos modelos los colores disponibles son: blanco, azul, rojo, gris y verde. Halla el número de posibles elecciones que tiene Pedro. Solución: 2 · 5 = 10 elecciones 9) En una piscina caben 45.000 litros. ¿Cuánto tiempo tarda en llenarse mediante un grifo que echa 15 litros por minuto? Solución: 45.000 : 15 = 3.000 minutos 3.000 : 60 = 50 horas 10) En un aeropuerto aterriza un avión cada 10 minutos. ¿Cuántos aviones aterrizan en un día? Solución: 24 · 60 = 1.440 minutos por día 1.440 : 10 = 144 aviones al día 11) En una urbanización viven 4.500 personas y hay un árbol por cada 90 habitantes. ¿Cuántos árboles hay en la urbanización? ¿Cuántos árboles habrá que plantar para tener un árbol por cada 12 personas? Solución: 4.500 : 90 = 50 árboles hay en la urbanización. 4.500 : 12 = 375 tendría que haber, para que a cada 12 habitantes les correspondiese un árbol. 375 - 50 = 325 árboles
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