Tema 3.- Sistemas de Ecuaciones Lineales

Sistemas Lineales

TEMA II. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES . GUIÓN 1.- Sistemas de ecuaciones lineales. 1.1.- Ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales. Solución. 1.2.- Expresión matricial de un sistema de ecuaciones. 1.3.- Sistemas homogéneos y sistemas completos. 1.4.- Sistemas equivalentes. 1.5.- Sistemas escalonados y escalonados reducidos. 2.- Resolución de sistemas. 2.1.- Análisis de la compatibilidad. 2.2.- Método de Gauss. 2.2.- Método de Gauss-Jordán. 2.4.- Regla de Cramer.

_______________________ ___________________________________ _______________________ _______________________ _______________________ _________________ ______

1.- Sistemas de Ecuaciones Lineales. Definiciones. 1.1.- Definición: incógnitas , x1, x2, ... ,xn a una expresión de la forma Se llama ecuación lineal con n incógnitas, a1 x1 + a2 x2 +. . . + an xn = b en la que a1, a2, . . . , an y b son escalares. Los n primeros escalares se llaman coeficientes de la ecuación y ecuación y b término independiente independiente. solución de una ecuación lineal de n variables es una colección de n escalares que la Una solución satisfacen. El conjunto de todas las soluciones que la satisfacen se llama conjunto llama conjunto solución de solución de la ecuación que suele describirse mediante una representación una representación paramétrica.

Ejemplos: i) - El conjunto solución de una ecuación lineal con dos variables son los puntos de una recta del plano. En el caso de las ecuaciones lineales con tres variables representa un plano en el espacio. ii) - La representación paramétrica del plano solución de la ecuación x+y –z = 1 será

⎧x = 1 − λ + μ ⎪ ⎨ y = λ ⎪z = μ ⎩

λ , μ ∈ R

iii) - En el siguiente conjunto de ecuaciones distinguir las lineales de las que no lo son: a) 2 x + 7 y –z = 0 b) 2x – 3 y = e 2 c) x y – z = 0 x d) Sen 2x + 3y = -z e) e + y = 1 f) x2 + y2+x z =1

Mª Fuensanta Andrés Abellán. Departamento de Matemáticas de la UCLM.

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1.2.- Definición: Se llama sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas a un conjunto de m ecuaciones lineales con n incógnitas que se expresa como sigue: a 11x1 + a 12 x 2

+ a 21x1 + a 22 x 2 +

... ...

+ a1n x n = b1 + a 2n x n = b 2

...



a m1x1 + a m2 x 2

+

...

+ a mn x n = b m

x j son las incógnitas, aij son los coeficientes y bi son los términos independientes con i ∈{1, 2, ... ,m} y j ∈{1, 2, ... ,n}.

1.3.- Definición: Se dice que n escalares α1,α2,...αn constituyen una solución del sistema si al sustituirlos por x1, x 2, ... ,xn convierten las ecuaciones en igualdades. Resolver un sistema es encontrar todas las soluciones que tiene. Un sistema se dice compatible si tiene alguna solución e incompatible si carece de ellas. Se dice compatible determinado cuando la solución es única y se dice indeterminado cuando tiene más de una.

1.4.- Expresión matricial de un sistema. Usando notación matricial la expresión a 11x1 + a 12 x 2 + ... a 21x1 + a 22 x 2

+

+ a 1n x n = b1 + a 2n x n = b 2

...

...



a m1x1 + a m2 x 2

+

+ a mn x n = b m

...

se transforma en AX = b. A es la matriz de coeficientes del sistema, X es la matriz columna que contiene las incógnitas y b es la matriz columna que contiene los términos independientes.

⎛ a ⎜ ⎜a A =⎜ ⎜⎜ ⎝ a

11

a 12

21

a 22

m1

⎞ ⎟ a ⎟ ⎟ ⎟ a ⎠⎟

a 1n

2n

a m2

mn

⎛ x ⎜ ⎜x X =⎜ ⎜⎜ ⎝ x

1 2

n

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠

⎛ b ⎜ ⎜ b b = ⎜ ⎜⎜ ⎝ b

1 2

m

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠

La siguiente matriz se llama matriz ampliada del sistema.

a b ⎛ a a ⎜ a b ⎜a a (A, b) = A = ⎜ .......... .......... .......... .... ⎜⎜ a b ⎝ a a 11

12

1n

1

21

22

2n

2

m1

m2

mn

m

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠


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⎧x + y − z + t = 1 ⎪− x − 2y + 2z + t = 0 ⎪ , su ⎨ 2x y 3z 0 + − = ⎪ ⎪⎩y − 2z + t = 0

Ejemplo: Dado el sistema

⎛ 1 1 − 1 ⎜ ⎜ −1 − 2 2 A= ⎜ 2 1 −3 ⎜⎜ ⎝ 0 1 − 2

1 ⎞

⎟ 1⎟ 0⎟ ⎟⎟ 1 ⎠

y su matriz ampliada es

matriz de coeficientes es

⎛ 1 1 − 1 ⎜ ⎜−1 − 2 2 (A, b) = ⎜ 2 1 −3 ⎜⎜ ⎝ 0 1 − 2

1 1 ⎞

⎟

1 0⎟

0 0⎟ 1

⎟⎟ 0 ⎠

1.5.- Sistemas Homogéneos. Se llaman homogéneos los sistemas del tipo AX = 0. Todo sistema homogéneo tiene, al menos, la solución x1 = x2 = ... = x n = 0 llamada solución trivial o nula. Cuando un sistema homogéneo tiene alguna solución no trivial entonces tiene infinitas soluciones, es decir, es indeterminado. Las combinaciones lineales de las soluciones de un sistema homogéneo son también soluciones de este, es decir: si (α1,α2,...αn) y (β1, β2, ... , βn) son soluciones de un sistema homogéneo dado, entonces λ(α1,α2,...αn) +μ (β1, β2, ... , βn) con λ y μ escalares cualesquiera es también solución.

Ejemplo: a) El sistema homogéneo

⎧x − y + z = 0 ⎪2x + y − z = 0 ⎨ ⎪2y + z = 0 ⎩

tiene como única solución

⎧x − 2y + z = 0 ⎪ ⎨y − z = 0 ⎪x − y = 0 ⎩

tiene el siguiente conjunto de soluciones

x=y=z=0 b) El sistema homogéneo {(x, y, z) / x = y = z}

1.6.- Sistemas completos. Los sistemas no homogéneos, es decir los que tienen término independiente se dicen completos. Es decir, el sistema, a 11x1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b1 a 21x1 + a 22 x 2

+

...

+ a 2n x n = b 2

...



a m1x1 + a m2 x 2

+

...

+ a mn x n = b m

con algún bi ≠ 0, es un sistema completo. Si el sistema es compatible, su conjunto de soluciones puede ser de dos formas: a) El conjunto de soluciones tiene un único vector x0 ∈K n-{0} b) El conjunto de soluciones es como sigue: Mª Fuensanta Andrés Abellán. Departamento de Matemáticas de la UCLM.

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{ x ∈ K / x = x0 + n

s

∑ λ u } i

i

i =1

x0 es una solución particular del sistema completo y {u1, u2, …, us} un conjunto de soluciones del sistema homogéneo asociado.

Ejemplo: a) El sistema

⎧x − y + z = 4 ⎪2x + y − z = −1 ⎨ ⎪2y + z = 0 ⎩

tiene como única solución

x =1, y =-1, z =2

⎧x − 2y + z = 1 ⎪ b) El sistema ⎨ y − z = 0 tiene infinitas soluciones que en forma paramétrica se pueden ⎪x − y = 1 ⎩ ⎧x = 1 + λ ⎪ expresar como sigue ⎨ y = λ ⎪z = λ ⎩ El conjunto de soluciones del sistema completo es {(1, 0, 0)+λ (1, 1, 1), ∀λ ∈K} El vector (1, 0, 0) es una solución particular del sistema completo y el vector (1, 1, 1) una ⎧x − 2y + z = 0 solución del sistema homogéneo

⎪y z 0 ⎨ − = ⎪x − y = 0 ⎩

Observar que el sistema dado representa una recta en el espacio.

Ejercicios propuestos. 1.- Sean los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: ⎧ x − 3y - 2z = 0 ⎪ a) ⎨- x - 2y + 2z = 0 ⎪⎩- 2x + y = 0

⎧ x + 2y + 3z = 2 ⎪ x-y+z=0 ⎪ b) ⎨ ⎪ x + 3y - z = -2 ⎪⎩3x + 4y + 3z = 0

c)

⎧ ix − y + z = 0 ⎪x - 2iy − z = 0 ⎨ ⎪⎩- ix + y + 2iz = 1

i) Expresarlos en forma matricial, indicando en cada caso: la matriz de los coeficientes del sistema (A), la matriz de los términos independientes (B), la matriz ampliada del sistema ( A ). ii) Resolver cuando proceda. Solución: a) x=y=z=0,

b) x=-1, y=0, z=1,


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1.7.- Sistemas Equivalentes. Dos sistemas de ecuaciones con las mismas incógnitas, AX = b y CX = d se dice que son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto de soluciones. El conjunto de soluciones de un sistema no se modifica cuando sobre sus ecuaciones se realizan operaciones que llamaremos elementales y que consisten en: 1.- Intercambiar el orden de las ecuaciones en el sistema. 2.- Multiplicar una ecuación cualquiera por un escalar no nulo. 3.- Sumar a una ecuación otra cualquiera multiplicada por un escalar. 4.- Aplicar de forma reiterada cualquier operación anterior. Las afirmaciones 1 y 2 son obvias. Para justificar la tercera vamos a representar el sistema de ecuaciones como sigue:

e1 ( x ) = a11x1 + a12 x 2 + ...

+ a1n x n − b1 = 0 e 2 ( x ) = a 21x1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n − b 2 = 0 e m ( x ) = a m1x1 + a m2 x 2 + ...

+ a mn x n − b m = 0

Observar que si α = (α1,α2,...αn) es solución del sistema anterior, también lo es del sistema e1 ( x ) = 0 e2 ( x ) = 0 . . ei ( x ) + λ e j ( x ) = 0 . em ( x ) = 0

Ejemplo: a)

⎧x + y − z + t = 1 ⎪− x − 2y + 2z + t = 0 ⎪ El sistema S≡ ⎨ ⎪2x + y − 3z = 0 ⎪⎩ y − 2z + t = 0

⎧x + y − z + t = 1 ⎪ − y + z + 2t = 1 ⎪ es equivalente al sistema S1≡ ⎨ . 3y z 2t 0 − + + = ⎪ ⎪⎩ y − 2z + t = 0

Observar que la segunda ecuación de S 1 es la suma de la primera y la segunda ecuación de S, y que la tercera de S1 es la tercera de S mas la segunda multiplicada por 2.

A

⎧x + y − z + t = 1 ⎪ − y + z + 2t = 1 ⎪ su vez S1 es equivalente al sistema S2≡ ⎨ − 2z − 4t = −3 ⎪ ⎪⎩ − z + 3t = 1


y S2 lo es a

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⎧x + y − z + t = 1 ⎪ − y + z + 2t = 1 ⎪⎪ − z + 3t = 1 . En el sistema S 3 resulta evidente que t=1/2. Sustituyendo en la ecuación S3≡ ⎨ ⎪ 10t = 5 ⎪ ⎪⎩ inmediatamente anterior se obtiene el valor de z y así de forma sucesiva se obtiene la solución del sistema del sistema D que es la solución de A (x= 1/2 y= 1/2

z=1/2 t=1/2)

Observar que las matrices ampliadas de los sistemas S y S 3, que son respectivamente ⎛ 1 1 − 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 − 1 1 1 ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − − 1 2 2 1 0 0 1 1 2 1 ⎜ ⎟ y⎜ ⎟, ⎜ 2 1 − 3 0 0⎟ ⎜ 0 0 − 2 3 1⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0 1 − 2 1 0 ⎠ ⎝ 0 0 0 10 5 ⎠

son equivalentes ya que se ha pasado de una a otra multiplicando por matrices elementales. ⎧x + y − z + t = 1

⎪− x − 2y + 2z + t = 0 ⎧x + y − z + t = 1 ⎪ . El b) El sistema S≡ ⎨ es equivalente al sistema S1≡ ⎨ − + + = − + + = y z 2t 1 y z 2 t 1 ⎩ ⎪ ⎪⎩2x + 3y − 3z = 1 ⎧x = 2 − 3μ ⎪y = −1 + λ + 2μ ⎪ conjunto de soluciones se puede expresar como sigue: ⎨ ⎪z = λ ⎪⎩t = μ 2.- Resolución de sistemas de ecuaciones. Definiciones previas: Se llaman sistemas escalonados a aquellos cuya matriz de coeficientes es una matriz escalonada. Llamaremos incógnitas principales en un sistema escalonado a las que aparecen como primera incógnita en alguna de las ecuaciones, e incógnitas libres o secundarias al resto de las incógnitas si las hubiera. ⎧x − y + 5t = −1

Ejemplo: El sistema ⎪⎨ y + 3z − t = 1 es un sistema escalonado. Las incógnitas principales ⎪ z − t =1 ⎩ son x, y, z. Fácilmente se puede obtener la representación paramétrica de su conjunto de ⎧x = −3 − 7λ ⎪y = −2 − 2λ ⎪ soluciones que es: ⎨ ⎪z = 1 + λ ⎪⎩t = λ


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2.1.- Discusión de la compatibilidad de los sistemas escalonados. Se considera un sistema escalonado con m ecuaciones y n incógnitas. De las m filas de la matriz de coeficientes del sistema sólo hay r ≤ n, de ellas que tienen algún elemento no nulo y el resto sólo contienen ceros. Esto equivale a decir que el rango de la matriz de coeficientes es r. En estas condiciones, de la compatibilidad del sistema podemos decir: a) El sistema es compatible si las últimas m-r filas de la matriz ampliada del sistema tienen todos los elementos nulos. b) Si es compatible y r
Ejemplos: ⎛ 1 − 3 4 33 3 ⎞ ⎜ ⎟ 0 0 1 10 1 − ⎜ ⎟ es la matriz ampliada de de un sistema incompatible ⎜0 0 0 1 1 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0 0 0 0 1 ⎠

⎛ 1 − 3 ⎜ ⎜0 0 ⎜0 0 ⎜⎜ ⎝ 0 0

4 33 1 10 0

1

0

0

3 ⎞

⎟ − 1⎟ es la matriz ampliada de un sistema con inf initas soluciones. Hay tres 1 ⎟ ⎟⎟ 0 ⎠

incógnitas principales y una libre.

2.2.- El método de eliminación de Gauss. El método consiste en transformar un sistema de ecuaciones lineales cualquiera en un sistema equivalente que sea escalonado. En el apartado anterior vimos que esto es posible realizando operaciones elementales sobre las filas de la matriz ampliada del sistema.

2.3.- El método de eliminación de Gauss-Jordan . El método consiste en transformar un sistema de ecuaciones lineales cualquiera en un sistema equivalente que sea escalonado reducido.

Ejemplo:

⎧x + y − z + t = 1 ⎪− x − 2y + 2z + t = 0 ⎪ a) Lo que hace el método de Gauss es transformar el sistema S ≡ ⎨ ⎪2x + y − 3z = 0 ⎪⎩y − 2z + t = 0 ⎧x + y − z + t = 1 ⎪ y − z − 2t = −1 ⎪⎪ z − 3t = −1 en el sistema escalonado equivalente S’ ≡ ⎨ ⎪ t = 1/2 ⎪ ⎪⎩ Mª Fuensanta Andrés Abellán. Departamento de Matemáticas de la UCLM.

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En el sistema S’ se despejan las incógnitas realizando una sustitución regresiva. Si se continúa metiendo ceros en la matriz escalonada de coeficientes hasta llegar a la escalonada reducida equivalente (método de Gauss-Jordan) se obtiene la solución del sistema como se muestra en el ejemplo.

Ejemplo: A partir de la matriz del sistema S’ del ejemplo anterior se obtiene.

⎛ 1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜⎜ ⎝ 0

−1 1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ 1 −1 − 2 −1 ⎟ ⎜ 0 ≅ 0 1 − 3 −1 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 0 1 1 / 2 ⎠⎟ ⎜⎝ 0 1

− 1 0 1 / 2 ⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ 1 −1 0 0 ⎟ ⎜ 0 ≅ 0 1 0 1/ 2⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 0 1 1 / 2 ⎠⎟ ⎜⎝ 0 1

0 0 0 1 / 2 ⎞

⎟

1 0 0 1/ 2⎟ 0 1 0 1/ 2⎟

⎟

0 0 1 1 / 2 ⎠⎟

Ejercicios propuestos: 2.- Sean los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

⎧ 2x − y + 3z = 9 ⎪ a) ⎨3x − 5 y + z = -4 ⎪⎩4x - 7y + z = 5

⎧ x + 2y + 3z = 2 ⎪ x-y+z=0 ⎪ b) ⎨ ⎪ x + 3y - z = -2 ⎪⎩3x + 4y + 3z = 0

⎧ x+y+z+t =6 ⎪ x − y + z - t = -2 ⎪ c) ⎨ ⎪ 3x - y + 3z − t = 2 ⎪⎩7x − 5y + 7z − 5t = −6

i) Expresarlos en forma matricial, indicando en cada caso: la matriz de los coeficientes del sistema (A), la matriz de los términos independientes (B), la matriz ampliada del sistema ( A ). ii) Encontrar, en cada caso, un sistema escalonado equivalente y discutirlo. iii) Resolver cuando proceda mediante el método de eliminación de Gauss-Jordan. ⎧x = 2 − λ Soluciones: a) Incompatible, b) Resuelto en el ejercicio 1

3.-Discutir y resolver en función de los parámetros.

⎪y = 4 − μ ⎪ c) ⎨ ⎪z = λ ⎪⎩t = μ

⎧(a + 1)x + 2y + az = 1 ⎪ a) ⎨− ay = 1 ⎪(a − 1)z = b ⎩

⎧ax − y + az = 1 ⎪ b) ⎨− ax + y − a 2 z = 1 ⎪a 2 x − y + 3az = b ⎩

Soluciones: a) Valores de los parámetros

Sistema equivalente a resolver

Solución

⎧(a + 1)x + 2y + az = 1 ⎪ ⎨− ay = 1 ⎪(a − 1)z = b ⎩

x=…….. y=-1/a z=b/a-1

a∈R-{-1,0,1}

Compatibilidad

Compatible Determinado


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a=1∧ b=0

Compatible Indeterminado

a =-1 ∧ b = -2

Compatible Indeterminado

a = 0, a = 1 ∧ b≠0 a =-1 ∧ b≠-2

Incompatible

x=(3-λ)/2 y=-1 z=λ

⎧2x + 2y + z = 1 ⎪ 1y 1 ⎨− = ⎪ ⎩ ⎧y = 1 ⎪z = 1 ⎨ ⎪ ⎩

x=λ y= 1 z=1

4.- Discutir en función de a ∈R la compatibilidad del sistema cuya matriz ampliada es: 2 ⎛ 1 ⎜ 1 1+ a (A,b)= ⎜⎜ 0 − a +1 ⎜⎜ 0 ⎝ 0

0 a −1

−a a2 −1

a2

⎞ ⎟ − a2 + 2⎟ ⎟ a ⎟⎟ a(1 − a) ⎠ 2

Solución.

2 0 2 ⎞ ⎛ 1 2 ⎛ 1 ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎜ 1 1 + a a − 1 − a + 2 ⎟ ≅ ⎜ 0 a -1 ⎜ 0 − a + 1 a2 − a ⎟ ⎜0 − a +1 a ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ 2 0 0 a 1 a(1 a) 0 − − ⎝ ⎠ ⎝ 0 0 2 ⎞ ⎛ 1 2 ⎜ ⎟ 0 a -1 a −1 − a2 ⎟ ⎜ ≅⎜ 0 0 a 2 -1 a − a2 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ 0 0 0 0 ⎝ ⎠

0 a −1 a2 − a a2 −1

⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ − a2 ⎟ ⎜0 ≅ a ⎟ ⎜0 ⎟ ⎜ a(1 − a) ⎠⎟ ⎜⎝ 0 2

2

0

a -1

a −1

0

a 2 -1

0

a2 −1

Valores de los parámetros

Compatibilidad


Solución

a∈R-{-1,1}

Compatible Determinado Incompatible

……..

………

a=1 ∨ a=-1

⎞ ⎟ −a ⎟ a − a2 ⎟ ⎟ a(1 − a) ⎠⎟ 2

2

5.a) Discutir en función de a ∈R la compatibilidad del sistema homogéneo cuya matriz de 2 0 2 ⎞ ⎛ 1

⎜ ⎜1 1+ a coeficientes es: ⎜ 0 − a +1 ⎜⎜ 0 ⎝ 0

a −1

−a a2 −1

a2

⎟ − a2 + 2⎟ ⎟ a ⎟ a(1 − a) ⎠⎟

b) Mª Fuensanta Andrés Abellán. Departamento de Matemáticas de la UCLM.

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Discutir en función de a ∈R la compatibilidad del sistema completo cuya matriz ampliada es la del apartado anterior.

2.4.- Regla de Cramer. Un sistema de ecuaciones lineales AX=B donde

⎡a11 ⎢ A = ... ⎢ ⎢⎣a n1

... a 1n ⎤ ... ...

⎥ ⎥ a nn ⎥⎦ ...

⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ 2 X=⎢ ⎥ ⎢... ⎥ ⎢ ⎥ ⎣x n ⎦

⎡ b1 ⎤ ⎢ b ⎥ 2 B=⎢ ⎥ ⎢... ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ b n ⎦

Se dice que es un sistema de Cramer cuando la matriz de coeficientes A del sistema es una matriz regular. En este caso la solución del sistema será: X = A-1.B.=

⎡ x1 ⎤ ⎢ ... ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ xi ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢⎣ x n ⎥⎦

xi

=

1 A

1 A

⎡ A11 ⎢ ... ⎢ ⎢ A1i ⎢ ⎢ ... ⎢⎣A1n

⎡ A ji ⎤ ⎢ det(A) ⎥ B ⎣ ⎦

...

A j1

...

...

...

...

...

A ji

...

...

...

...

... A jn

...

(A1i b1 + ... + A ji b j + ... + A ni b n ) =

A n1 ⎤ ⎡ b1 ⎤

⎥ ⎢ ... ⎥ ⎥⎢ ⎥ A ni ⎥ ⎢ b i ⎥ ⎥⎢ ⎥ ... ⎥ ⎢ ... ⎥ A nn ⎥⎦ ⎢⎣ b n ⎥⎦ ...

a 11

... a1i −1 b1

...

...

a j1

... a ji −1 b j

...

...

a n1

... ...

... ...

a ni −1 b n

a1i +1 ... a ji +1 ... a ni +1

... a1n ...

...

... a jn ...

... a nn

A

∀i ∈ {1,2,..., n}

Ejercicios para trabajo individual del alumno 1.- Resolver por el método de Gauss los siguientes sistemas.

⎧ x - iy = 0 a) ⎨ ⎩- ix - y = 0

⎧x + y + z + t = 10 ⎪x − y + 2z + t = 9 ⎪ b) ⎨ ⎪2x + z + t = 9 ⎪⎩4x + 2y − z + 2t = 13


⎧ 2x + y + z − 3t + 4s = 1 ⎪ x+y+z + 2s = 6 ⎪ c) ⎨ y − 4t + 5s = 1 ⎪ ⎪⎩ 3x + y + 2z + t + s = −1

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⎧ x + y − 3t − s = 0 ⎪ x − y + 2z − t =0 ⎪ d) ⎨ ⎪4x − 2y + 6z + 3t − 4s = 0 ⎪⎩2x + 4y − 2z + 4t − 7s = 0

e)

⎧ x + 2y + 3z − t = 0 ⎪ x − y + z + 2t = 0 ⎪ ⎨ ⎪x + 5y + 5z − 4t = 0 ⎪⎩x + 8y + 7z − 7t = 0

2.- Resolver los siguientes sistemas en las incógnitas x, y, z, y t: ⎧ ⎧x + y − z = 0 ⎧x + 3t = 1 ⎪ ⎪ a )⎨ b) ⎨x − y + z = 2 c)⎨ y − 3z + 4t = 2 ⎩2x + t = −1 ⎪− x + y + z = 1 ⎪ ⎩ ⎩

⎧2x − y + z = 0 ⎪ d)⎨x + y + 2z = 7 ⎪3x − y − 4z = −1 ⎩

3.- Discutir la compatibilidad según los valores de a y b y resolver cuando proceda. ⎧x + y + z = 3 + + = ax y z 1 ax by z 1 + + = ⎧ ⎧ ⎪2x − ay + 3z = 4 ⎪ ⎪ ⎪ a) ⎨x + aby + z = b b) ⎨ x + ay + z = a c) ⎨ ⎪ x + y + az = a 2 ⎪x + by + az = 1 ⎪3x − 3y + 4z = 7 ⎩ ⎩ ⎪⎩5x − (a + b)y + 7z = 8 + b ⎧2x + 2y + 3z - at = a ⎧ax + by + z = 1 ⎪ ⎪ d) ⎨ x − y + 2z + t = 2 e) ⎨x + ay + bz = 0 ⎪ 2x + 3y − z + 3t = 5 ⎪ax + by + az = 1 ⎩ ⎩ 4.- Discutir en función de a ∈R la compatibilidad del sistema homogéneo cuya matriz de coeficientes es:

⎛ 1 ⎜ ⎜1 A= ⎜ −1 ⎜⎜ ⎝ 1

−1 a −1 1− a −1

0 a −1

−a a2 −1

a2

⎞ ⎟ 3 ⎟ − a − 2⎟ ⎟⎟ − a + 1 ⎠ 2

5.- Obtener la parábola y = a x 2 + b x + c que pasa por los puntos (2,5), (3,10) y (4,-3).

6.- Dada la matriz Aa=

-

⎛ 1 ⎜ ⎜ −i ⎜1 − i ⎜⎜ ⎝ 1

i

1+ i

1 ⎞

1

0

i⎟

0

1

0

1

⎟

a⎟

∈ M 4 (C) . Discutir ∀ a∈ C:

⎟

1 ⎠⎟

a) La compatibilidad del sistema que tiene a la matriz Aa como matriz ampliada. b) La compatibilidad del sistema homogéneo que tiene a Aa como matriz de coeficientes. c) Resolver el sistema en aquellos casos en que proceda. d) A partir de la matriz A0 , definir: d-1.- Una matriz B=(bij) tal que bij= d-2.- Una matriz C tal que c ij= Arg(aij)



 



d-3.- Una matriz D =

 A 

0


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SOLUCIONES :

1.- a) x = i y

2.- a)

b) x=1, y=2, z=3, t=4

⎧x = − 4 ⎪ 5 ⎪ ⎪y = α ⎨ ⎪z = β ⎪ 3 ⎪t = ⎩ 5

c) Incompatible

b) x=1, y=1/2, z=3/2, t= λ

d)

⎧x = −λ + 7 μ ⎪ 6 ⎪ ⎪y = λ + 5 μ ⎪ 6 ⎪z = λ ⎨ ⎪ 1 ⎪t = μ ⎪ 3 ⎪s = μ ⎪ ⎩

⎧x = α ⎪y = 3β − 4δ + 2 ⎪ c) ⎨ ⎪z = β ⎪⎩t = δ

d) x =16/9, y =37/9, z=5/9, t= λ 3.- Se responde a la discusión de compatibilidad. a)

Valores de Compatibilidad los parámetros Sistema compatible a ≠1 y - 2 determinado ,b≠0 a=b=1

Sistema compatible indeterminado

a=b=-2

Sistema compatible indeterminado

a=1≠ b

Sistema incompatible

a=-2≠ b a≠1 y -2 b=0

Sistema incompatible Sistema incompatible


⎧x + by + az = 1 ⎪ b(a − 1)y + (1 − a)z = b − 1 ⎨ ⎪(1 − a)(a + 2)z = b − a ⎩ {x + y + z = 1

⎧ x − 2 y − 2z = 1 ⎨ ⎩6y + 3z = -3

Solución

⎧x = 1 − α − β ⎪ ⎨y = α ⎪z = β ⎩ ⎧x = λ ⎪⎪ − 1 − λ ⎨y = 2 ⎪ ⎪⎩z = λ

b)

Valores de

Compatibilidad

Sistema a resolver


Solución Página 12

Sistemas Lineales

los parámetros Compatible a≠1 y -2 determinado

a=1

Compatible indeterminado

a=-2

incompatible

⎧ x + y + az = a 2 ⎪ ⎨(a - 1)y + (1 − a)z = a(1 - a) ⎪ (1 - a)(2 + a)z = (1 − a)a 2 ⎩ {x + y + z = 1

⎧x = 1 − α − β ⎪y α ⎨ = ⎪z = β ⎩

c)

Valores de Compatibilidad los parámetros

Sistema a resolver

a=4 y b=3

Compatible indeterminado

a=4 y b≠3

Compatible determinado

a≠4 y b=3

Compatible determinado

⎧ x + y + z = 3 ⎨ ⎩ y − 6 z = −2 ⎧ x + y + z = 3 ⎪ y − 6 z = −2 ⎨ ⎪ z = −1 ⎩ ⎧ x + y + z = 3 ⎪ y − 6 z = −2 ⎨ ⎪ z = 0 ⎩

a≠4 y b≠3

Incompatible

Solución

2

5.- La parábola es y = -9x +50x-59


Página 13

Tema 3.- Sistemas de Ecuaciones Lineales

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