Máster Máster Oficial fi cial en en Rede Redes s de Telecom elecomuni uni cación para Países Países en Desarro Desarroll llo o
A s i g n at As atu u r a: Dis ise eño e Ins Instala talaci ción ón de Sis Sistema temas s de Ra Radi dioc ocom omun unic ica aci cion one es
T4 Ca Capaci pacidad dad de d e un Enl nla ace
Departament Departamento o de d e Teoría Teoría de la Señal Señal y Comuni Comu nicacio caciones nes Universidad Universi dad Rey Rey Juan J uan Carlo Carlos s Eduardo Morgado Reyes
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Contenidos:
1.- Introducción Introducción al al Tráfico en Telecomu Telecomunicaci nicaciones ones 2.2.- Teor Teoría ía de de Colas Colas
3.- Procesos Procesos de Nacimiento Nacimiento y Muerte Muerte 4.- Sistem Sistemas as con con Pérdida Pérdidass
4.1.4.1.- Sin Reint Reintent entoo 4.2.4.2.- Con Reint Reintent entoo
5.- Sistem Sistemas as con con Esper Esperaa 6.- Otros Otros Aspect Aspectos os
2.1.2.1.- Eleme Elemento ntoss 2.2.2.2.- Presta Prestacio ciones nes
6.1.6.1.- Limitacio Limitaciones nes en los Modelos Modelos Clásicos Clásicos 6.2.- Predicció Predicciónn de Tráfi Tráfico co 6.3.6.3.- Simulació Simulaciónn de Tráfi Tráfico co 6.4.6.4.- Modelos Modelos de Movilida Movilidadd
7.- Otros Parámetro Parámetross de Calidad Calidad de Servicio Servicio en Teletráfico Teletráfico
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T4.- Capacida Capacidad d de un Enlace Enlace
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Contenidos:
1.- Introducción Introducción al al Tráfico en Telecomu Telecomunicaci nicaciones ones 2.2.- Teor Teoría ía de de Colas Colas
3.- Procesos Procesos de Nacimiento Nacimiento y Muerte Muerte 4.- Sistem Sistemas as con con Pérdida Pérdidass
4.1.4.1.- Sin Reint Reintent entoo 4.2.4.2.- Con Reint Reintent entoo
5.- Sistem Sistemas as con con Esper Esperaa 6.- Otros Otros Aspect Aspectos os
2.1.2.1.- Eleme Elemento ntoss 2.2.2.2.- Presta Prestacio ciones nes
6.1.6.1.- Limitacio Limitaciones nes en los Modelos Modelos Clásicos Clásicos 6.2.- Predicció Predicciónn de Tráfi Tráfico co 6.3.6.3.- Simulació Simulaciónn de Tráfi Tráfico co 6.4.6.4.- Modelos Modelos de Movilida Movilidadd
7.- Otros Parámetro Parámetross de Calidad Calidad de Servicio Servicio en Teletráfico Teletráfico
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1.- Introducción ntroducc ión (I ( I)
El objetivo de una red de telecomunicaciones es asegurar la interconexión de un conjunto de usuarios a un coste razonable. Alternativas:
Conectividad permanente: topología en malla.
Solución muy poco económica cuando el número de abonados crece. Además, los enlaces permanecen no utilizados durante mucho tiempo.
Jerarquización: redes en árbol. Conexiones de distinto tipo (capacidad) dependiendo del nivel. Necesidad de cálculo cálculo del número número de canales necesarios. necesarios.
(Ejemplo: ¿con cuántos canales conectar dos nodos a los que acceden 1000 abonados en cada extremo?)
Necesidad de estudiar el tráfico y planificar planificar la red. 14/11/2009
T4.- Capacida Capacidad d de un Enlace Enlace
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1.- Introduc ntro ducció ción n (I ( I I)
Un sistema de telecomunicaciones tiene que tratar con una demanda variante por parte de los usuarios: La predicción de esta demanda demanda sólo podrá tener un grado grado limitado de exactitud. exactitud. El sistema fracasará fracasará en su cometido si gran parte de la demanda no puede ser satisfecha (o sufre un retraso excesivo). El aumento de recursos (equipos, circuitos, frecuencias…) supone un importante gasto y debe realizarse de forma eficiente. planificación: optimización optimización de recursos recursos fijada una una calidad de servicios. servicios. Necesidad de planificación:
Teoría de Tráfico:
Tráfico ocupación de un recurso. Base para un adecuado dimensionado dimensionado de redes de telecomunicaciones. Se desarrolla considerando situaciones estacionarias y proporciona modelos analíticos del sistema y de su comportamiento. comportamiento.
Teletráfico: estudio del tráfico en redes de telecomunicaciones.
Esos modelos analíticos se especifican probabilísticamente. Basado en teoría de colas.
Teoría de Colas:
Para estudio y modelado del comportamiento de sistemas donde aparece la “espera”.
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T4.- Capacida Capacidad d de un Enlace Enlace
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1.- Introdu ntr oducc cción ión (I (III)
El objetivo objetivo por tanto será será evaluar evaluar las prestacio prestaciones nes de un sistema sistema ante una demanda de tráfico.
Sistema a construir o ya construido pero sin incomodar a los usuarios. Opciones de evaluación: analítica / simulación mediante modelado.
Modelado realizar simplificaciones válidas sobre el modelo.
Modelo = representación de un sistema con el propósito de estudiarlo. Modelo de simulación = modelo que se puede representar mediante un algoritmo. Estáticos / Dinámicos Deterministas / Estocásticos Discretos / Continuos (En telecomunicaciones: dinámicos, estocásticos y discretos.)
Variables de estado = conjunto de variables que representan el estado del sistema en un momento dado.
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1.- Introducción (y IV)
Dimensionamiento determinación del número de recursos que debe asignarse a una red para que puedan efectuarse en ella las comunicaciones con unas características de calidad de servicio determinadas.
Recursos canales (FDMA, TDMA, CDMA).
Medida de calidad de servicio Grado de Servicio (GOS).
Sistema de pérdidas Probabilidad de pérdida. Sistema de espera Probabilidad de espera.
Dos tipos de asignación de esos recursos:
Rígida o proporcional. Troncal.
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T4.- Capacidad de un Enlace
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2.- Teoría de Colas
Teoría de Colas:
Disciplina matemática base para analizar y modelar redes de comunicaciones. Característica común: 1 servicio (servidor), 1 cola y varios clientes. Desarrollado inicialmente para redes telefónicas.
Los modelos analíticos de colas:
Se utilizan pese a que en la práctica algunas de las hipótesis en las que se basan no se cumplen con rigurosidad.
Ejemplo: parámetros invariantes en el tiempo.
Los resultados obtenidos son bastante buenos.
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T4.- Capacidad de un Enlace
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2.1.- Elementos Población
La población representa el número de usuarios que pueden solicitar el servicio. Parámetros relacionados:
Tiempo entre llegadas = τ (segundos)
Si la llegada de usuarios se produce en los instantes t 0 < t 1 < t 2 < … < t n, tendremos (k ≥ 1) τ k = t k − t k −1 τ k son muestras de una variable aleatoria.
− λτ (τ ≥ 0) En la mayoría de los casos, la fdp del tiempo f (τ ) = λ e entre llegadas se puede modelar como una F (τ ) = P (Γ ≤ τ ) = 1 − e −λτ distribución exponencial negativa. 1 1 (Sin memoria.) E [τ ] = var [τ ] = 2
λ
(τ ≥ 0)
λ
Tasa de llegadas = λ (usuarios/segundo) Número medio de usuarios que solicitan el servicio por unidad de tiempo. Se distribuye como una Poisson. 1
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T4.- Capacidad de un Enlace
λ =
E [τ ]
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Servidores
Representan el número de canales del sistema.
Parámetros relacionados:
Tiempo de servicio = s [segundos]
sk = tiempo que el usuario “k” ocupa un servidor.
sk son muestras de una variable aleatoria.
Su fdp se puede modelar como una exponencial negativa donde la media es el tiempo medio de servicio.
Tasa de servicio = μ [usuarios/segundo]
Número medio de usuarios atendidos por el servidor por unidad de tiempo. μ =
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T4.- Capacidad de un Enlace
1
E [ s ]
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Cola
Representa el conjunto de clientes que, habiendo intentado utilizar el servidor, se encuentran a la espera de que alguno quede libre.
Capacidad máxima de la cola: (en número de clientes)
Infinita sin pérdidas. Finita con pérdidas cuando llega a saturarse. Nula con pérdidas.
Disciplina: algoritmo utilizado para seleccionar al próximo cliente que ocupará el servicio.
Interviene cuando el número de llegadas (demanda de un servicio) supera la capacidad del servidor (capacidad para atender el servicio). Aparecen llamadas que no se pueden atender se guardan en una cola a la espera de ser cursadas.
FIFO (o FCFS) LIFO (o LCFS) SJF (“Short Job First”) RR (“Round Robin”)
Sistema de colas conservativo:
Si hay un usuario en cola implica que no hay ningún servidor desocupado. El tiempo de servicio demandado no depende de la disciplina de la cola.
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Notación de Kendall
Utilizada para clasificar los sistemas especificando las características de los elementos que lo componen. A/B/C/K/m/z
A = distribución del tiempo entre llegadas τ . B = distribución del tiempo de servicio s.
D (determinista), M (memory-less; exponencial), E k (Erlang-k), Hk (hiperexponencial de k estados) o G (general; se aproximará a una de las anteriores según C x2 (0, 1, 1/k o ≥ 1)). Coeficiente de variación de una v.a. = C x =
C = número de servidores (canales). K = capacidad total máxima del sistema (usuarios en cola + servidores).
E [ x ]
Si K = C no existe cola. Por defecto, infinito.
m = tamaño de la población.
σ x
Por defecto, infinito.
z = disciplina de la cola.
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Por defecto, FIFO. T4.- Capacidad de un Enlace
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Distribuciones de Tiempo más utilizadas
Exponencial (sin memoria):
f (τ ) = λ e − λτ
(τ ≥ 0) F (τ ) = P (Γ ≤ τ ) = 1 − e −λτ 1 1 var [τ ] = 2 E [τ ] = λ
Erlang-k:
λ
k −1
f (τ ) =
k λ (k λτ )
(k − 1)!
e − k λτ
F (τ ) = P (Γ ≤ τ ) = 1 − e
(τ ≥ 0)
− k λτ
k −1
∑ j = 0
E [τ ] =
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(τ ≥ 0)
1 λ
var [τ ] =
(k λτ ) j j!
(τ ≥ 0)
1 k λ 2
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Procesos de Poisson
También llamados procesos totalmente aleatorios, modelan de forma adecuada la llegada de usuarios a sistemas reales.
Otra opción Procesos autosimilares: características similares en distintos instantes de tiempo.
Más ajustados a la realidad pero de peor manejo matemático.
Características:
P(llegada de usuario en t ) ≠ función de llegadas anteriores.
Probabilidad de llegada en un intervalo directamente proporcional a la longitud de éste. Probabilidad de más de una llegada en un intervalo lo suficientemente pequeño es despreciable. La llegada en un intervalo es independiente de llegadas pasadas o futuras.
Caso particular de proceso de Markov:
Probabilidad de siguiente estado sólo depende del estado actual y no de la historia.
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2.2.- Prestaciones Parámetros Orientados al Sistema
De interés para la explotación del sistema con el máximo beneficio y la menor inversión.
Intensidad de Tráfico = A (= I ) [Erlangs]
Demanda de recursos realizada por los usuarios. Utilización de los recursos desplegados. Interpretación Erlang = número de canales permanentemente ocupados necesarios para cursar todo el tráfico. AO = tráfico ofrecido A perdido = tráfico no cursado tiempo medio de servicio E [ s ] = = A = AC = tráfico cursado tiempo medio entre llegadas E [τ ] μ
Factor de utilización = ρ
Probabilidad de que un servidor esté ocupado o porcentaje de tiempo en que el servidor está ocupado. λ ' AC ⎛ AC ,1 ⎞ ρ ρ min = = ⇒ = ⎜ ⎟ λ’ = tasa efectiva (cursada) de llegada. Cμ C ⎝ C ⎠
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Parámetros Orientados al Sistema
Throughput (caudal) = Th [usuarios/segundo] Medida de la productividad del sistema. Número medio de usuarios servidos por unidad de tiempo.
Sin pérdidas Th = λ Thmax = μC
Th = ρμ C
Volumen de tráfico cursado por un servidor = V
Tiempo total de ocupación de ese servidor en un intervalo de tiempo de referencia (T ). V ≤ T También se puede definir A = V/T . Varía a lo largo del día franjas horarias y promedio en varios días. HC = Hora Cargada = hora del día con mayor tráfico.
A partir del tráfico en esta hora se realiza la planificación.
Unidades:
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De volumen: [LLR] (llamada de 120seg) y [CCS] (llamada de 100seg). De intensidad: [Erlang] (1Er = 30LLR/HC = 36CCS/HC) T4.- Capacidad de un Enlace
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Parámetros Orientados al Usuario
Medida de la QoS percibida por el usuario.
Tiempo medio de espera en cola = W
Tiempo medio en el sistema = T
μ
Es una v.a. y varía con el tiempo.
Número medio de usuarios en cola = N q = λ W
Es una v.a. y varía para cada usuario. Ti = Wi + S i 1 [ ] = + = + T W W E S Régimen permanente procesos estocásticos estacionarios.
Número medio de usuarios en el sistema = N = λ T
Es una v.a. y varía para cada usuario.
Es una v.a. y varía con el tiempo.
Otros:
N = N q +
λ μ
Fórmulas de Little
Probabilidad de que exista un servidor libre. Probabilidad de que la cola supere cierto valor. Tiempo medio de espera para los que entran en cola.
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Ejemplo 1
Un aparato registrador de tráfico toma medidas cada 3 minutos, durante la HC, del número de circuitos ocupados en un grupo.
Las medidas obtenidas se representan en el siguiente gráfico:
Determine el valor del tráfico cursado si la duración media de las llamadas es de 3 minutos
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Ejemplo 2
En un haz de cuatro circuitos, cada uno está ocupado un cuarto de hora diferente de la Hora Cargada. a) ¿Cuál es el tráfico cursado por cada circuito? ¿Y por el haz? b) ¿Y si coinciden los cuatro cuartos de hora?
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3.- Procesos de Nacimiento y Muerte (I)
Resultan interesantes porque la mayor parte de los sistemas de espera con tiempos de llegada y de servicio exponenciales se pueden modelar como procesos de nacimiento y muerte. Son un caso especial de los procesos de Markov donde sólo se realizan transiciones a estados adyacentes.
Estado del sistema: número de elementos del sistema. La evolución entre estados del sistema sólo depende del estado actual.
Gráficamente:
• Estado “n” del sistema
n Transiciones entre estados
• Eventos Nacimiento:
llegada de un elemento al sistema
Muerte: salida de un elemento del sistema
n
Consideraremos que las llegadas y salidas son independientes entre sí 14/11/2009
T4.- Capacidad de un Enlace
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3.- Procesos de Nacimiento y Muerte (II)
La transición entre estados tiene lugar con una determinada probabilidad Probabilidad de que suceda un nacimiento es la probabilidad de que, estando el sistema en el estado n-1, pase al estado n
λn-1
n-1
n
Probabilidad de que suceda una muerte es la probabilidad de que, estando el sistema en el estado n, pase al estado n-1
μn
Ecuación de conservación del flujo ( n>0)
En régimen permanente, el flujo de entrada y salida de cada estado coinciden
λ n −1 pn −1 14/11/2009
= μ n pn
pn
=
λ n −1 μ n
T4.- Capacidad de un Enlace
pn −1
,n > 0 20
3.- Procesos de Nacimiento y Muerte (III) λ0
λ2
λ1
pn
0
1
2
μ1
μ2
=
λ n −1 μ n
pn −1
μ3
Para obtener pn en función de p0: p1
=
λ 0
p2
=
λ 1
μ 1 μ 2
p0 p1
¿Y p0? =
...
λ 1 λ 0 μ 2 μ 1
p0
Si el sistema es estable, entonces:
∑ p
n
=1
n≥0
n
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pn
= p0 ∏ i =1
λ i −1 μ i
T4.- Capacidad de un Enlace
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3.- Procesos de Nacimiento y Muerte (y IV)
∞
1 = ∑ pn
Para obtener el valor de de p0:
n =0
∞
∞
n
n =1
n =1
i =1
1 = p0 + ∑ pn = p0 + ∑ p0 ∏
pn
=
n
p0
=
λ i −1 i
1 ∞
n
1 + ∑∏ n =1 i =1
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μ i
⎛ ∞ n λ i −1 ⎞ ⎟⎟ = p0 ⎜⎜1 + ∑∏ ⎝ n =1 i =1 μ i ⎠
∏ μ i =1
p0
λ i −1
λ i −1 μ i
T4.- Capacidad de un Enlace
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4.- Sistemas con Pérdidas 4.1.- Sin Reintento
Sistemas con Pérdidas y Sin Reintento: Sistema sin cola. Si la demanda supera la capacidad de servicio, las peticiones se rechazan y pierden. Las peticiones que llegan al sistema y no encuentran un servidor libre, se rechazan.
Las llamadas que no se pueden cursar inmediatamente, se rechazan. Se supone que no hay reintento (¿otro sistema?). Estructura de un sistema con pérdidas
1 Población Población infinita infinita
.. .. .
C
El modelo de tráfico que estudia esta situación es el modelo de Erlang-B (Er B)
SISTEMA PÉRDIDA 14/11/2009
T4.- Capacidad de un Enlace
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4.1.- Sin Reintento
Hipótesis del modelo Erlang-B: 1.
2. 3. 4. 5.
Tamaño de la población es infinito. Característica: la tasa de peticiones de servicio no se ve afectada por el estado del sistema. Régimen de llegadas de Poisson. La v.a. tiempo de servicio (s) sigue una distribución exponencial. Número de servidores: c. No hay espera (Q = 0).
Notación Kendall: M/M/c/c/∞ 1
.. .. .
Población Población infinita infinita
C SISTEMA
Se supone que las unidades, una vez servidas, regresan a la población
PÉRDIDA 14/11/2009
T4.- Capacidad de un Enlace
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4.1.- Sin Reintento
Uno de los objetivos de la Teoría de Tráfico es diseñar el sistema con un determinado…
Grado de Servicio Representa el porcentaje de llamadas que no se atienden. Parámetros:
Probabilidad de bloqueo (PB): probabilidad de que todos los servidores estén ocupados. PB ⇒ mejor servicio
Probabilidad de pérdida (PP): probabilidad de que una llamada no sea atendida por el sistema. Probabilidad de demora (PD): probabilidad de que todos los servidores estén ocupados y una llamada solicitada tenga que esperar para ser cursada.
A0: tráfico ofrecido A perdido = A0 PP Ademorado = A0 PD 14/11/2009
T4.- Capacidad de un Enlace
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4.1.- Sin Reintento Modelo Erlang-B: predice lo que puede suceder en media (muchas horas con tráfico similar) 1
.. .. .
Población Población infinita infinita
λ k = λ , k = 0,1,..., c − 1 μ k = k μ , k = 1,..., c
C SISTEMA PÉRDIDA
La solución se obtiene modelando el sistema como un proceso de nacimiento y muerte: λ
0
λ
1 μ
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λ
λ
2 2μ
λ
C-1 3μ
(C-1)μ
¿Cuándo se produce bloqueo?
C Cμ
T4.- Capacidad de un Enlace
¿Cómo obtenemos PB, la probabilidad de bloqueo? 26
4.1.- Sin Reintento λ k = λ , k = 0,1,..., c − 1
Para el modelo Erlang-B
pn
=
n
p0
λ i −1
∏ μ i =1
μ k = k μ , k = 1,..., c
pn
n
λ
i =1
iμ
= p0 ∏
i
= p0 .
λ n
An
μ n n!
= p0 .
n!
La Probabilidad de bloqueo es la probabilidad de que el sistema esté en el estado “c” Ac
DISTRIBUCIÓN DE ERLANG-B
P B
P B(c,A0 )
p0
=
n
1 + ∑∏ n =1 i =1
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= pC = p0 .
c!
=
c
En Erlang-B:
c! An
PB=PP
∑ n!
Ac=A0(1-PP)
n =0
1 ∞
Ac
λ i −1 μ i
p0
=
1 c
1+ ∑ n =1
An n!
=
1 c
An
∑ n! n =0
T4.- Capacidad de un Enlace
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4.1.- Sin Reintento Erlang B
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T4.- Capacidad de un Enlace
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4.1.- Sin Reintento c/PB
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T4.- Capacidad de un Enlace
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Ejemplo 3
Para conectar cuatro grupos de terminales de datos a un ordenador central se proponen dos configuraciones, representadas en las figuras (a) y (b).
Sabiendo que cada grupo tiene 22 terminales y que, por término medio, están activos el 10% del tiempo, determine el número de circuitos que se necesitan en cada caso si probabilidad de bloqueo máxima es del 5%. (Nota: Modele el sistema de forma que las llamadas bloqueadas se pierden.)
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T4.- Capacidad de un Enlace
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Ejemplo 3 Tabla de Tráfico Erlang-B c/PB
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T4.- Capacidad de un Enlace
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Ejemplo 3 Gráfica de Erlang-B
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T4.- Capacidad de un Enlace
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4.- Sistemas con Pérdidas 4.2.- Con Reintento
Sistemas con Pérdidas y Con Reintento:
Si la petición de conexión no se cursa, la llamada vuelve al sistema como un reintento.
El análisis simplificado de estos sistemas se basa en tres hipótesis: H1) Todas las llamadas que el sistema rechaza cuando está bloqueado se cursan en posteriores reintentos. H2) El tiempo que transcurre entre el instante en que una petición encuentra bloqueo y el reintento es aleatorio y estadísticamente independiente. H3) El tiempo medio entre reintentos es mayor que el tiempo medio de servicio.
Desde el p.d.v. analítico, distinguiremos entre llamada de primer intento y llamada de reintento. 14/11/2009
T4.- Capacidad de un Enlace
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4.2.- Con Reintento
Un sistema con reintentos se comporta de forma análoga a un sistema con pérdidas con las siguientes interpretaciones:
1) El tráfico ofrecido (A0) es el tráfico de primer intento + reintento A0
=
λ ' μ
λ: Tasa de peticiones de conexión de primer intento λ’: Tasa total de peticiones de conexión μ: Tasa de servicio ∞
∑
i λ ' = λ + λ P P P P B + (λ B ) B + .... = λ B
=
i =0
λ
1 − P B
2) El tráfico cursado (Ac) es el tráfico de primer intento.
Pero, ¿cómo se obtiene la probabilidad de bloqueo?
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T4.- Capacidad de un Enlace
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4.2.- Con Reintento
La PB de un sistema de llamadas perdidas con repetición se obtiene del mismo modo que si el sistema fuera sin reintentos, pero sustituyendo λ por λ ’. Problema: dependencia de todos los parámetros λ ' =
λ
1 − P B
Para un valor dado de λ (tasa de peticiones de conexión de primer intento), iterar hasta la convergencia: Obtención de la PB del modelo de Erlang-B con λ Obtención de λ’ como: Asignación:
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λ ' =
λ
1 − P B
λ ← λ '
T4.- Capacidad de un Enlace
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Ejemplo 4
Determine la probabilidad de bloqueo de un enlace de 10 circuitos entre una centralita y una central local sabiendo que el tráfico ofrecido, si se pudiera cursar en su totalidad, es de 7 Erlangs. Nota: Aplique el modelo de reintentos con llamadas perdidas y suponga población infinita.
Podemos aplicar el modelo de Erlang-B
A0'
(
' P B c, A0
)=
c
c! k A0'
∑ k = 0
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c
k !
T4.- Capacidad de un Enlace
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Ejemplo 4 1ª iteración: ' P B (c = 10, A0
= 7 ) ⇒ P B = 8% ⇒ A0' =
A0
1 − P B
=
7 = 7.6 1 − 0.08
2ª iteración: ' P B (c = 10, A0
= 7.6) ⇒ P B = 10.38% ⇒ A0' =
A0
1 − P B
=
7 = 7.81 1 − 0.1038
=
7 = 7.893 1 − 0.1132
3ª iteración: ' P B (c = 10, A0
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= 7.81) ⇒ P B = 11.32% ⇒ A0' =
T4.- Capacidad de un Enlace
A0
1 − P B
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Ejemplo 4 12% 7.95
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T4.- Capacidad de un Enlace
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5.- Sistemas con Espera (I)
Modelo de tráfico:
1 Población Población infinita infinita
2
.. .. .
C
Hipótesis del modelo:
SISTEMA DE ESPERA
H1) Población infinita H2) Régimen de llegada poissoniano H3) El tiempo de servicio sigue una distribución exponencial H4) “c” servidores H5) Q → ∞ A0= Acursado // A perdido = 0
Notación de Kendall: M/M/c/ ∞/ ∞ ⇒ Modelo de tráfico Erlang-C 14/11/2009
T4.- Capacidad de un Enlace
39
5.- Sistemas con Espera (II) λ k = λ
1 Población Población infinita infinita
⎧k μ , μ k = ⎨ ⎩cμ ,
2
.. .. .
C
k = 1,..., c k > c
SISTEMA DE ESPERA
Diagrama de estados λ
0
1 μ
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λ
λ
2 2μ
λ
C-1
(C-1)μ
λ
λ
C Cμ
T4.- Capacidad de un Enlace
C+1 Cμ
Cμ
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5.- Sistemas con Espera (III) Para determinar los parámetros relacionados con el grado de servicio: n
pn
=
n
p0
λ i −1
∏ μ i =1
pn
= p0 ∏
λ
i =1
iμ
c
λ
= p0 .
λ n μ n! n
An
= p0 .
n!
n = 1,..., c
,
i
pn
= p0 ∏ i =1
n
λ n
λ
= p . ∏ iμ cμ μ c 0
j = c +1
n
n −c
c!
= p0 .
An c
n −c
c!
,
n>c
λ k = λ
⎧k μ , k = 1,..., c μ k = ⎨ ⎩ cμ , k > c ∞
Para obtener el valor de de p0
1 = ∑ pn n =0
p0
=
1 c
An
Ac ρ
∑ n! + c! 1 − ρ n =0
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T4.- Capacidad de un Enlace
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5.- Sistemas con Espera (IV) Probabilidad de Bloqueo (pr. de encontrar todos ∞
P B
∞
= ∑ pk = ∑ p0 k = c
k = c
Ak c
k − c
c!
=
p0 c!c
−c
∞
Ak
∑c k = c
k
=
los servidores ocupados) p0
c!c
−c
∞
∑ ρ
k
=
k = c
1 1 p0 Ac 1 = −c = −c c = = pc 1 − ρ c!c 1 − ρ c!c c 1 − ρ c! 1 − ρ p0
ρ c
p0 Ac
Probabilidad de Demora (pr. de que una llamada tenga que esperar por encontrar
todos los servidores ocupados) P B
= P D
Probabilidad de Pérdida es nula (Q → ∞
14/11/2009
)
T4.- Capacidad de un Enlace
42
5.- Sistemas con Espera (V) Erlang C C=1
14/11/2009
C=2
5
10 12
T4.- Capacidad de un Enlace
20
30
50
43
5.- Sistemas con Espera (VI) c/PB
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T4.- Capacidad de un Enlace
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5.- Sistemas con Espera (VII) Tiempo medio de espera
Relación de Little para el subsistema de espera
N q
= λ e .W q
Número medio de unidades presentes en el subsistema de espera
W q
=
Tiempo medio de permanencia en el subsistema de espera
Tasa media de llegadas al subsistema de espera
N q λ e
∞
N q
∞
= ∑ kpc + k = ∑ k ρ pc =∑ k ρρ k = 0
k = 0
⎛ A ⎞ pc + k = ⎜ ⎟ ⎝ c ⎠ 14/11/2009
∞
k
k = 0
k −1
pc
∞
= ρ pc ∑ k ρ k −1 k = 0
k
pc
T4.- Capacidad de un Enlace
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5.- Sistemas con Espera (y VIII) ∞
N q
= ρ pc ∑ k ρ k = 0
= ρ pc
k −1
∞
= ρ pc ∑
( ) = ρ p
d ρ k
k = 0
d ρ
d ⎛ 1 ⎞ ⎛ ∞ k ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ρ ρ p = ⎜ ⎟ ∑ c c d ρ ⎝ k =0 ⎠ d ρ ⎝ 1 − ρ ⎠ d
pc ρ ρ − (−1) = = P (1 − ρ )2 (1 − ρ ) 1 − ρ B ( ER−C ) 1 − ρ
De la relación de Little:
W q
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=
N q λ e
=
P B ( ER −C ) μ c(1 − ρ )
T4.- Capacidad de un Enlace
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Ejemplo 5
Una centralita sirve de puente entre 100 extensiones y 20 líneas de salida con las siguientes características:
En caso de saturación, las extensiones esperan el tiempo que sea necesario a que una de las líneas de salida quede libre. Cada extensión genera 3 llamadas durante la HC. La media de duración de las llamadas es de 2 minutos.
Calcule:
P D.
Tiempo medio de espera.
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T4.- Capacidad de un Enlace
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Ejemplo 6
Se trata de optimizar el número de circuitos C de un sistema en el que el tráfico ofrecido se estima en 3Er y donde la PB máxima será de 0.03.
¿Será mejor modelar el sistema como un sistema de pérdidas o de espera? Si, en caso de emergencia, el tráfico ofrecido aumentara un 20% ¿cómo afectaría al grado de servicio?
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T4.- Capacidad de un Enlace
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6.- Otros Aspectos 6.1.- Limitaciones en los Modelos Clásicos
La teoría de tráfico clásica tiene en cuenta una serie de simplificaciones del sistema que pueden no darse en sistemas reales. Por ejemplo:
Deserción de llamadas en espera:
Sistemas con espera los usuarios pueden esperar un tiempo ilimitado para ser atendidos. En la práctica existirá un límite en el tiempo de espera (descarte por tiempo, paciencia del llamante…) usuarios que estaban en cola pasan a ser tráfico perdido (no cursado). La QoS experimentada por un usuario depende por tanto de su respuesta (y de la del resto de usuarios) ante una espera:
Se modela el tiempo que un usuario está dispuesto a esperar como una distribución exponencial negativa.
Variaciones del tráfico de un día a otro:
Un usuario “paciente” tendrá menor probabilidad de pérdida. Muchos usuarios “pacientes” aumentan la probabilidad de bloqueo.
En ocasiones realizar una media entre días no es suficiente. Se recomienda que la probabilidad de bloqueo no supere el 1% en los 30 días más cargados o el 7% en los 5 días más cargados.
Tráfico no balanceado entre grupos de usuarios:
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Dificultad para modelar fuentes de usuarios con grupos no homogéneos T4.- Capacidad de un Enlace
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6.2.- Predicción de Tráfico
A la hora de planificar la instalación de una nueva red de telecomunicaciones ¿cómo predecir el tráfico que será ofrecido?
Estudios de mercado. Experiencias previas del operador.
Otro problema distinto: ¿cómo predecir la evolución (aumento) del tráfico en una red existente?
Importancia a la hora de planificar/dimensionar ampliaciones futuras de la red. El operador ya dispone de datos reales sobre la red y puede detectar tendencias.
Data mining
A mayor largo plazo:
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Modelos basados en indicadores de actividad económica y en análisis histórico de datos. Espacio de desarrollo de nuevas técnicas (ejemplo: basadas en inteligencia artificial, redes neuronales…). T4.- Capacidad de un Enlace
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6.3.- Simulación de Tráfico (I)
Realizar modelados de redes complejas puede suponer una complejidad de cálculo excesiva. Desarrollo de herramientas de simulación de redes.
Permiten modificar todos los parámetros de la red: distribución de llegada de los usuarios, capacidad de los enlaces…
Ejemplos de herramientas:
FLAN (F- Links And Nodes):
Packet Tracer™:
Desarrollado y utilizado por Cisco como herramienta de entrenamiento para obtener la certificación CCNA14.
KIVA:
Desarrollado en Java y se distribuye con licencia pública GNU. Simulador de propósito general.
Basado en Java; para encaminamiento de paquetes (IP).
NS (Network Simulator):
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Orientado a simular eventos discretos. Desarrolló en lenguajes C++ y extensión TCL19 (orientada a objetos). Diseñado especialmente para el área de la investigación de redes telemáticas. T4.- Capacidad de un Enlace
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6.3.- Simulación de Tráfico (y II)
COMNET III™:
OPNET Modeler™:
Ampliamente utilizado en la industria. Su escalabilidad y flexibilidad lo hacen adecuado para procesos de investigación y desarrollo. Soporta un amplio rango de tecnologías tipo LAN, MAN y WAN.
OMNET ++:
Herramienta comercial desarrollada por CACI Products Inc; haciendo uso del lenguaje de programación MODSIM II. Para análisis detallado del funcionamiento y rendimiento de redes tipo LAN, MAN y WAN.
Puede ser manejado en Windows y en Unix. Versión libre, para fines académicos. (Versión comercial OMNEST desarrollado por Omnest Global, Inc.)
NCTUns (National Chiao Tung University, Network Simulator):
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Software libre sobre Linux. Ha recibido varios reconocimientos a nivel internacional (IEEE). Redes LAN, MAN y WAN. Simula en tiempo real y con una interfaz similar a la de los sistemas reales. T4.- Capacidad de un Enlace
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6.4.- Modelos de Movilidad
En determinado tipo de redes se hace necesario suponer un modelo de movilidad de los nodos (usuarios).
La mayoría de los investigadores, frecuentemente añaden sus propios modelos de movilidad.
Modelos para redes ad-hoc:
Random Walk Mobility Model: (con gran variedad de derivadas.)
Random Waypoint Mobility Model:
Determina las siguientes posiciones mediante probabilidades.
City Section Mobility Model:
Aleatoriedad ajustable.
A Probabilistic Version of the Random Walk Mobility Model:
Los nodos se desplazan por los límites de las áreas de simulación antes de cambiar de dirección y velocidad.
Gauss-Markov Mobility Model:
Incluye pausas entre cambios de dirección y velocidades.
Random Direction Mobility Model:
Simple y basado en direcciones y velocidades aleatorias.
El área de simulación representa las calles de una ciudad.
A Boundless Simulation Area Mobility Model
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