Ejercicio nº 1.- Los lados de un triángulo miden, respectivamente, 3 cm, 4 cm y 5 cm. ¿Es ese triángulo rectángulo?
Solución:
Fecha: Según el teorema de Pitágoras,
2
a
2
b
2
c .
Como 5
2
2
3
2
4 , sí es rectángulo.
Ejercicio nº 2.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm y uno de los catetos mide 5 cm. ¿Cuánto mide el otro cateto?
Solución:
Por Pitágoras, 2
a
2
b
c
2
132 52
c
2
169 25
c
2
c
1 44 12 cm
Ejercicio nº 3.- Si los lados de un rectángulo miden, respectivamente, 16 cm y 30 cm, ¿cuánto mide su diagonal?
Solución:
Por Pitágoras, 2
a
2
b
c
2
2
a
162 302
a
1156
a
34 cm
Ejercicio nº 4.- Las dos diagonales de un rombo miden 10 cm y 20 cm respectivamente. ¿Cuánto mide el perímetro? (Aproxima el resultado hasta las centésimas).
Solución:
Por Pitágoras, 2
a
2
b
c
Perímetro
2
2
52 102
a
a
125
a
11, 1803... cm
4a 44,72 cm
Ejercicio nº 5.- Observa la figura. Si a 10 cm, ¿cuánto mide el lado
Solución:
Por Pitágoras, 2
b
102 102
b
200
b
14,1 cm
b ?
Ejercicio nº 6.- Calcula el radio de la circunferencia en la que está inscrito un pentágono regular de 8 cm de lado y 5,5 cm de apotema (aproxima hasta las décimas).
Solución:
Si r
2
es el radio,
r
2
b
c
2
r
2
42 5,52
r
46, 25
r
6,8 cm
Ejercicio nº 7.- Una recta corta a una circunferencia determinando una cuerda de 8 cm. El radio de la circunferencia mide 5 cm. ¿Cuál es la distancia que separa el centro de la circunferencia de la cuerda?
Solución:
Por Pitágoras, 2
a
2
b
c
2
2
b
2
a
c
2
2
b
52 42
b
9
b
3 cm
Ejercicio nº 8.- Calcula el radio de la circunferencia circunscrita a un cuadrado de 8 cm de lado.
Solución:
Por Pitágoras, x
2
42 42
x
32
x
5,7 cm
Ejercicio nº 9.- Calcula la longitud de la diagonal de este cubo:
Solución: Para la diagonal de la base: d
2
52 52
50
d
7,1 cm
d
Así: 2
a
52 7,12
a
75
a
8,7 cm
Ejercicio nº 10.- Dos de los lados de un triángulo rectángulo miden 8 cm y 15 cm. Calcula cuánto mide su hipotenusa y halla su perímetro y su área.
Solución:
Por Pitágoras, 2
a
2
b
c
2
a
2
82 152
15
17
a
289
a
17 cm
Así, Perímetro S
c c '
2
8
8 15 2
40 cm
60 cm2
Ejercicio nº 11.- El perímetro de un rombo mide 420 mm y la diagonal menor 126 mm. ¿Cuál es su área?
Solución:
Su lado mide 420 : 4 l
2
d
2
D
2
105 mm.
2 2
105
2
Por Tanto, su área es:
S
D
2
63
2
2
D
28 224 168 mm
168 126 10584 10 584 mm2 2
D d
2
Ejercicio nº 12.- Observa la figura y calcula el área y el perímetro del trapecio:
Solución:
Por Pitágoras, 2
a
2
b
c
2
2
a
42 7, 7,52
a
8 ,5 cm
Así, Perímetro
S
b
14 + 6 + 8,5 · 2
b ' h
2
14 6 7, 5 2
37 cm
75 cm2
Ejercicio nº 13.- Calcula la superficie y el perímetro de este segmento circular:
Solución:
2 c
2 a
2,8 · 2
2 b
2 c
32 1,152
c
2,8 cm
5 cm es la base del triángulo.
Área del sector circular:
S
r
2
n
3,14 ,14 32 135 135 10,6 cm2 360
360 b a 5, 6 1,15 Área del triángulo: S 3, 2 cm2 2 2 Así, el área del segmento es: 10, 6 3, 2 7, 4 cm2
Ejercicio nº 14.- Calcula el área y el perímetro de un hexágono regular de 8 cm de lado.
Solución:
c
2
2
a
2
b
c
2
82 42
Así, 8·6
Perímetro
Área
P a
2
48 cm
48 6,9 165, 6 cm2 2
c
6 ,9 cm
Ejercicio nº 15.- Observa estas tres fotografías e indica si son semejantes entre sí y por qué:
Solución:
12 8
7,5 5
A y B sí son semejantes.
13 12
9 7,5
B y C no son semejantes.
Ejercicio nº 16.- Mide las dimensiones de este rectángulo y construye un rectángulo semejante a él de forma que la razón de semejanza sea 3:
Solución:
1 5 · 3 4 5 cm 3 · 3 9 cm
Ejercicio nº 17.- En un mapa hecho a escala 1:400 000 la distancia que separa dos ciudades es de 8 cm. ¿A qué distancia real se encuentran ambas ciudades?
Solución:
1 400 000
8
x
x
3 200 000 cm 32 km
Ejercicio nº 18.- La distancia que separa dos puntos en la realidad es de 2 km. En un plano están separados por 5 cm. ¿Cuál es la escala del plano?
Solución:
200 000 5 Escala
40 000 1:40 000
Ejercicio nº 19.- Un rectángulo tiene unas dimensiones de 15 cm 20 cm. Si el lado menor de otro rectángulo semejante a él mide 6 cm, ¿cuánto mide el lado mayor?
Solución:
15 6
20
x
x
120 8 15
x
8 cm
Ejercicio nº 20.- Razona, apoyándote en los criterios de semejanza entre triángulos rectángulos, por qué son semejantes estos dos triángulos:
Solución: Dos triángulos rectángulos son semejantes si sus catetos son proporcionales.
3 6
5 0,5 10
Ejercicio nº 21.- Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 36 metros en el momento en que una estaca de 2 m proyecta una sombra de 1,5 metros.
Solución:
2 1,5
x
36
x
72 48 1,5
x
48 m
Ejercicio nº 22.- Observa las medidas del gráfico y calcula la altura del faro:
Solución:
9,6 1,6 8 m 8 400 x x 20 50 20 La altura del faro es: 20
20 m 16
21 6 m
