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Determinar los voltajes que ocurren en los nodos del circuito mostrado.
(3)
(4)
R3 R2 I2
R6
R4
(2)
(5)
R7 R1
(1)
R5
R8
R1 = 10 Ω R2 = 3 Ω R3 = 2 Ω R4 = 7 Ω R5 = 12 Ω R6 = 5 Ω R7 = 4 Ω R8 = 9 Ω
V6 = 12V I2 = 0.1A
(6) V6
Tema 1 Sistemas discretos y sistemas continuos. Introducción al MEF Introducción al método de los elementos finitos Eugenio Oñate, Francisco Zárate Copyright © CIMNE 2000
Ley de Ohm para cada elemento:
Resistencia (1) 1
(2)
R1
(2) 1 (3)
(4)
R3 R2 I2
R6
R4
(5) 1
R5
R3
R8
(6) V6
1
R4
R5
2 (5)
R6
2 (5)
R7
(1) 1
2 (5)
(2) 1
2 (5)
(3) (1)
2 (4)
(6)
R7 R1
R2
(4) 1
(2)
(3)
(3) 1
2
2 (6)
R8
2
Numeración local
Numeración global
I1 1 1 -1 = I2 R1 -1 1
V1 V2
I1 1 1 -1 = I2 R1 -1 1
I1 1 1 -1 = I2 R2 -1 1
V1 V2
I2 1 1 -1 = I3 R2 -1 1
I1 1 1 -1 = I2 R3 -1 1
V1 V2
I3 1 1 -1 = I4 R3 -1 1
I1 1 1 -1 = I2 R4 -1 1
V1 V2
I4 1 1 -1 = I5 R4 -1 1
I1 1 1 -1 = I2 R5 -1 1
V1 V2
I6 1 1 -1 = I5 R5 -1 1
I1 1 1 -1 = I2 R6 -1 1
V1 V2
I3 1 1 -1 = I5 R6 -1 1
I1 1 1 -1 = I2 R7 -1 1
V1 V2
I2 1 1 -1 = I5 R7 -1 1
I1 1 1 -1 = I2 R8 -1 1
V1 V2
I1 1 1 -1 = I6 R8 -1 1
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
Tema 1 Sistemas discretos y sistemas continuos. Introducción al MEF Introducción al método de los elementos finitos Eugenio Oñate, Francisco Zárate Copyright © CIMNE 2000
V1 V2 V2 V3 V3 V4 V4 V5 V6 V5 V3 V5 V2 V5 V1 V6
Ley de Kirchhoff para cada nodo:
Nodo (1) R1
(3)
(4)
R3 R2 I2
R8
I1 + I1 = 0 ;
R6
R1
R7
R2
I2 + I2 + I2 = I2 ; (5)
R7 R1
R5
R8
+
1 V-V R8 1 6
= 0
1 V2- V1 R1
+
1 V2- V5 R7
+
1 V-V R2 2 3
= I2
1 V-V R2 3 2
+
1 V3- V5 R6
+
1 V-V R3 3 4
= 0
Nodo (3) R2
R6
R3
I3 + I3 + I3 = 0 ; (1)
V1- V2
Nodo (2)
R4
(2)
1 R1
(6) V6
Nodo (4) R3
R4
I4 + I4 = 0 ;
1 V4- V3 R3
+
1 V-V R4 4 5
= 0
Tema 1 Sistemas discretos y sistemas continuos. Introducción al MEF Introducción al método de los elementos finitos Eugenio Oñate, Francisco Zárate Copyright © CIMNE 2000
Ley de Kirchhoff para cada nodo:
Nodo (5) R4
(3)
I2
R6
1 V-V R4 5 4
R4
(2)
(5)
R7 R1
(1)
R7
R5
(4)
R3 R2
R6
I5 + I5 + I5 + I5 = 0
R8
1 V5- V3 R6
+
1 V-V R7 5 2
+
1 V5- V6 R5
= 0
Nodo (6) R5
R5
+
R8
I6 + I6 = I6 ;
1 V6- V5 R5
+
1 V-V R8 6 1
= I6
(6) V6
Al estar prescrito el voltaje, desconocemos la intensidad
Tema 1 Sistemas discretos y sistemas continuos. Introducción al MEF Introducción al método de los elementos finitos Eugenio Oñate, Francisco Zárate Copyright © CIMNE 2000
Matriz de rigidez global
1 + 1 R1 R8 -
1 R1
-
1 R1
1 + 1 + 1 R1 R2 R7 -
1 R2
-
1 1 + + 1 R2 R3 R6
K= -
-
1 R8
1 R7
1 R2
-
1 R3
-
1 R6
-
1 R7
1 R3
-
1 R6
1 + 1 R3 R4
-
1 R4
-
-
1 R4
1 1 + + 1 + 1 R4 R5 R6 R7 -
1 R5
-
1 R8
-
1 R5
1 + 1 R5 R8
Tema 1 Sistemas discretos y sistemas continuos. Introducción al MEF Introducción al método de los elementos finitos Eugenio Oñate, Francisco Zárate Copyright © CIMNE 2000
Sistema global de ecuaciones
Ka=f
1 1 + R1 R8 -
1 R1
-
1 + 1 + 1 R1 R2 R7 -
-
1 R8
1 R1
1 R2
1 R7
-
1 R2
1 + 1 + 1 R2 R3 R6 -
1 R3
-
1 R6
1 R8
V1
I1
-
1 R7
V2
I2
1 R3
-
1 R6
V3
I3
1 + 1 R3 R4
-
1 R4
V4
-
-
1 R4
1 1 1 1 + + + R4 R5 R6 R7 -
1 R5
-
1 R5
1 + 1 R5 R8
=
I4
V5
I5
V6
I6
Tema 1 Sistemas discretos y sistemas continuos. Introducción al MEF Introducción al método de los elementos finitos Eugenio Oñate, Francisco Zárate Copyright © CIMNE 2000
Sistema global de ecuaciones
Ka=f
V1
0.0
-0.2500
V2
0.1
-0.5000
-0.2000
V3
0.0
-0.5000
0.6429
-0.1429
V4
-0.2000
-0.1429
0.6762
-0.0833
V5
0.0
-0.0833
0.1944
12.0
I6
0.2111
-0.1000
-0.100
0.6833
-0.3333
-0.3333
1.0333
-0.2500 -0.1111
-0.1111
=
0.0
Se elimina la fila y columna Tema 1 Sistemas discretos y sistemas continuos. Introducción al MEF Introducción al método de los elementos finitos Eugenio Oñate, Francisco Zárate Copyright © CIMNE 2000
Sistema global de ecuaciones
Ka=f Sistema a resolver V1
1.3333
-0.2500
V2
0.1
-0.5000
-0.2000
V3
0.0
-0.5000
0.6429
-0.1429
V4
-0.2000
-0.1429
0.6762
-0.0833
V5
1.0
-0.0833
0.1944
12.0
I6
0.2111
-0.1000
-0.100
0.6833
-0.3333
-0.3333
1.0333
-0.2500 -0.1111
-0.1111
=
0.0
Se actualiza el vector de términos independientes Tema 1 Sistemas discretos y sistemas continuos. Introducción al MEF Introducción al método de los elementos finitos Eugenio Oñate, Francisco Zárate Copyright © CIMNE 2000
Solución del sistema global de ecuaciones
a =K-1 f V1
6.5773
3.8854
3.5691
3.4938
3.2303
1.333
V2
3.8854
8.2025
7.5348
7.3759
6.8195
0.1
V3
3.5691
7.5348
8.9448
8.5662
7.2412
0.0
3.4938
7.3759
8.5662
9.8496
7.3416
0.0
3.2303
6.8195
7.2412
7.3416
7.6930
1.0
V4 V5
=
I6
12.0
V1 = 12.3885 v V4 = 12.7376 v
V2 = 12.8202 v V3 = 12.7535 v V5 = 12.6819 v V6 = 12.000 v
De la ecuación eliminada se obtiene la intensidad en el nodo 6
-0.1111 V1 - 0.0833 V5 + 0.1944 V6 = I6 I6 = -0.0999 A Tema 1 Sistemas discretos y sistemas continuos. Introducción al MEF Introducción al método de los elementos finitos Eugenio Oñate, Francisco Zárate Copyright © CIMNE 2000
Ejercicio 1.1 Determinar la matriz de rigidez de la red eléctrica de la figura.
(2)
(1)
R1 R3
(4)
(7)
R2 R5
R4
R6
R8
(5)
(6)
R7 R10
R9
R11
(3)
(8)
R12
(9)
Tema 1 Sistemas discretos y sistemas continuos. Introducción al MEF Introducción al método de los elementos finitos Eugenio Oñate, Francisco Zárate Copyright © CIMNE 2000
Ejercicio 1.2 Determinar los voltajes en cada uno de los nodos de la red eléctrica de la figura.
(2)
(1)
R1 I4
R2
(4)
V3 (3)
R3 R5
(5)
R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 =
3Ω 1Ω 1Ω 7Ω 8Ω 4Ω
V3 = 12V I4 = 0.1A
R6
R4
(6)
Tema 1 Sistemas discretos y sistemas continuos. Introducción al MEF Introducción al método de los elementos finitos Eugenio Oñate, Francisco Zárate Copyright © CIMNE 2000
Ejercicio 1.3 Determinar los voltajes en cada uno de los nodos de la red eléctrica de la figura. I2
V1 (1)
(2)
R1 R2
R6
(3)
(6)
R5
(5)
R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 =
5Ω 2Ω 3Ω 6Ω 2Ω 5Ω
V1 = 12V I2 = 0.1A
R3
R4
(4)
Tema 1 Sistemas discretos y sistemas continuos. Introducción al MEF Introducción al método de los elementos finitos Eugenio Oñate, Francisco Zárate Copyright © CIMNE 2000
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