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teorema de De Moivre Fórmula para calcular las potencias zn de un número complejo z. El teorema de De Moivre establece que si un número complejo z = r(cos x + i sin x), entonces zn = r n(cos nx + i sin nx), en donde n puede ser enteros positivos, enteros negativos, y exponentes fraccionarios
Fórmula de De Moivre La fórmula de De Moivre nombrada así por Abraham por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número cualquier número real) real) x y para cualquier entero cualquier entero n se verifica que:
Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos (i significa unidad imaginaria)) con la trigonometría imaginaria trigonometría.. La expresión "cos x + i sen x" a veces se abrevia como cis x. Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible derivar expresiones muy útiles para cos( nx) y sen(nx) en términos de cos( x) y sen( x). Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar expresiones explícitas para la enésima raíz de la unidad, unidad, eso es, números complejos z tal que z n = 1. La fórmula de De Moivre puede ser obtenida de la fórmula de Euler :
aplicando leyes de la exponenciación
Entonces, por la fórmula de Euler ,
• Teorema de Moivre [1] Si multiplicamos n números complejos, a partir de la expresión del producto de dos números complejos obtenemos que el producto de n números complejos equivale a un complejo cuyo módulo es el producto de los n módulos y el argumento, la suma de los n argumentos. De esta forma:
{( ) ( )}
z 1 z z 2 z 3 L z = r 1r 2r 3 Lr φ1 + φ2 + φ3 +L + φ + j φ1 + φ2 + φ3 +L + φ
nnnn
cos sin Tomando todos los complejos iguales z z z z z n 1 = queda como:
z n = r n{cos(nφ)+ j sin(nφ)}
2
= 3 = L = = , la expresión anterior
Por otro lado, la n-ésima potencia del número complejo z también puede expresarse, lógicamente como:
z n ={r (cos(φ )+ j sin(φ
))}
n
y igualando las dos últimas expresiones llegamos al Teorema de Moivre: