ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL
PROYECTO DE CÁLCULO INTEGRAL “TEOREMA DE PAPPUS PARA VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN” INTEGRANTES: - JEFFERSON ALEXANDER SOJOS SANCHEZ - RENATO ANDRES JARA ORDOÑEZ - GUSTAVO ARTURO SERRANO RIVERA - DANIEL ALEJANDRO AYALA CALDERON - LUIS ANTONIO VARGAS OROZCO - MARIA ELENA BRAVO VILLA CURSO: PARALELO 13
PROFESOR: ING. LUIS ANDRES VARGAS MIELES
FECHA DE PRESENTACION: GUAYAQUIL, 04 DE SEPTIEMBRE DEL 2015
TERMINO: 1T-2015
INDICE INTRODUCCION ........................................................................................................................ 3 OBJETIVOS ................................................................................................................................ 4 OBJETIVO GENERAL ........................................................................................................... 4 OBJETIVOS ESPECIFICOS ................................................................................................ 4 ANALISIS TEORICO ................................................................................................................. 5 PROBLEMAS DE APLICACIÓN .............................................................................................. 8 CONCLUSIONES ..................................................................................................................... 15 BIBLIOGRAFIA ......................................................................................................................... 16
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INTRODUCCION La presente investigación es referente al teorema de pappus para solidos de revolución, el cual nos permite mediante sus dos teoremas poder calcular el volumen que se genera al rotar una función, ya sea en los ejes o en cualquier función lineal que se requiera. De este teorema podemos realizarlo aplicando las operaciones conocidas como el cálculo integral, ya que para poder resolver los ejercicios propuesto utilizando el teorema se debe aplicar las bases que se conoce del cálculo integral. La investigación de los ejercicios propuestos en esta investigación son de dificultad media/alta de los cuales nos permiten tener una idea del teorema de pappus. Conjuntamente con la teoría, también se incluyen sus respectivas demostraciones las cuales presentan un proceso sencillo para aquellas personas que ya tengan una idea del cálculo integral.
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OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL -
El siguiente proyecto tiene como objetivo incentivar al estudiante la investigación de otras aplicaciones que pueden ser analizadas con el uso de los conceptos revisados en Cálculo Integral, adicionales a las estudiadas en clases.
OBJETIVOS ESPECIFICOS -
-
El teorema de pappus para volúmenes para solidos de revolución tiene como objetivo el de poder calcular los sólidos que se generan las rotar una función en cualquier eje. Un nuevo método de calcular volúmenes que se generan al rotar funciones en un plano.
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ANALISIS TEORICO Teorema del centroide de Pappus, también conocido como teorema de Guldin, teorema de Pappus-Guldin o teorema de Pappus, es el nombre de dos teoremas que relacionan superficies y volúmenes de sólidos de revolución con sus respectivos centroides.(1) PRIMER TEOREMA:
El área A, de una superficie de revolución generada mediante la rotación de una curva plana C alrededor de un eje externo a tal curva sobre el mismo plano, es igual a su longitud L, multiplicada por la distancia, d recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor de dicho eje
=
DEMOSTRACION:
=
Sea una curva plana definida por la función , en un intervalo cerrado donde es continua. Entonces, el área del sólido de revolución que se genera al girar la curva alrededor del eje de las es:
,
= 2 1 +
Por otra parte, la coordenada
del centroide de esta curva se calcula así:
∫ 1 + = ∫ 1 + Ya que
=
∫ 1 +
es la longitud de la curva plana indicada en el denominador.
Es fácil inferir que la ecuación se transforma en:
= 2
Con lo cual se completa la demostración.
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SEGUNDO TEOREMA:
El volumen, V, de un sólido de revolución generado mediante la rotación de un área plana alrededor de un eje externo, es igual al producto del área, A, por la distancia, d recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor del eje.
=
DEMOSTRACION:
≥
,
Sean dos funciones y continuas y definidas en el intervalo , tales que y que delimitan una región plana de área . El volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar esta región alrededor del eje x se calcula mediante el método de los anillos, lo que da como resultado:
=
Por otra parte, para calcular la coordenada del centroide de una región plana delimitada por las curvas y se emplea esta ecuación:
( +)∗( ) ∫ = 2 ∫ = ∫ 2 ∫ ∫ = 2
Ya que es el área comprendida por las dos curvas. Por tanto, la ecuación del volumen debe volver a ser escrita como:
= 2
Lo que completa la demostración. Si el cálculo se refiere a la coordenada cálculo es semejante, haciendo la salvedad de que, en est e caso:
el
= 2 ∗
Aunque el área se calcula como ya se indicó al principio.
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En caso de que se desee calcular el volumen del sólido de revolución alrededor de una recta que no tenga intersección con el área, de la forma aún se puede emplear este teorema a condición de que se calcule la distancia entre el centroide y dicha recta. (2)
= +
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PROBLEMAS DE APLICACIÓN
= ; ≥
1. Hallar el volumen de la curva que se genera al rotarla con respecto a la recta que se presenta en la siguiente figura que intersecta a los puntos (0,3) y (2,0). (3) Grafica
Área.
= = − = − − = |− − = = =
Coordenadas del centroide.
= = 8
= − = − = − − +− = (|− ) −+ − = + + + + = + = = ∴ , , ˄ , ∈ : = + = + = + Ecuación de la recta.
Calculo de Radio (R).
Por formula de distancia de un punto a una recta.
, + + | | ++ = √ + = + = = √ = √ ∙ √ √ = √ ∙ = √ = √ Consideramos la distancia desde el centroide de coordenadas
y la recta
=0
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Calculo de volumen por teorema de Pappus.
= = √ = √
2. Usando el teorema de Pappus halle el volumen del solido que se genera al rotar la región limitada por las ecuaciones alrededor de la recta Grafica
+ =
= + , = √
Intersecciones p 1 (0,0) p2(4,-8) Área
= = [ + +√ ] ⁄ ⁄ = + + = + +∙ = ++ = ++ =
Coordenada del centroide.
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= = [ + +√ ] = + + ⁄ ⁄ √ = + +∙ = + + = + + = 6 ++ = = = = ∙ + (√ ) = + = + + = + = + = = ∴ , Calculo del radio
Por formula de distancia de un punto a una recta.
Consideramos la distancia desde el centroide de coordenadas recta =0
+
,
y la
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+ | | ++ = √ + = √ + = √ = √ ∙ √ √ = √ = = √ = √
Calculo de volumen por teorema de Pappus.
3. Usando el teorema de Pappus halle el volumen del solido que se genera al rotar la región limitada por alrededor de la recta . Grafica
=
= √ , = , ≤ ≤
Intersecciones p (1,1) Área
= = [ √ ] = ⁄ 12
⁄ = | = = Coordenadas del centroide.
= = [ √ ] = ⁄ ⁄ = = = = = = 6 ̅= 2∙5 2 (√ ) 3 3 ̅= 5 44 + = 5 45 + 3 3 ̅= 5 4 5 + = 5 4| 5 2 + 5 ̅= 35 4 52 + 13 = 35 2415+2 6 ̅= 35 116 ̅= 1101 ∴ 25 8 , 1110 13
Calculo del radio (R).
Por formula de distancia de un punto a una recta.
Consideramos la distancia desde el centroide de coordenadas recta =0
,
y la
1 8 11 8 11 165550 1 1 1 | + +| 10 25 10 25 50 = √ + = √ 1 + 1 = √ 2 = √ 2 89 50 = √ 2 ∙ √ √ 22 = 81009√ 2 = 81009√ 2 = 2 = 289√ 1002 56 = 8960√ 2
Calculo del volumen por teorema de Pappus.
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CONCLUSIONES
Como se ha podido comprobar, el teorema de Pappus, es una gran herramienta al momento de aventurar en los problemas de cálculos de áreas y volúmenes de sólidos en revolución, por lo cual debería ser un teorema dominado por los estudiantes. Además de ser un teorema sencillo de aprender, también es bastante sencillo de aplicar en el momento, sin riesgo a equivocarse, si se tiene bastante claros los conceptos que se han de utilizar. Ha sido comprobado, que al resolver los mismos ejercicios indicados en el proyecto utilizando otros procedimientos (Técnica de los cascarones, diferenciales, etc.), el teorema de Pappus ofrece resultados correctos.
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BIBLIOGRAFIA (1) (20 de Junio de 2014). Obtenido de Tareas Plus: https://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/CALCULO-INTEGRAL/Teoremade-Pappus-conceptos (2) Lopez, S. M. (s.f.). El Teorema de Pappus Gauldin. Revista Sigma. (3) Seidenberg. (s.f.). Proyectiva, Elementos de Geometria. Cali, Colombia: Universidad de Santiago de Cali.
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