Teorema de Pitágoras
El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa ( hipotenusa (el el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángu lo recto). recto).
Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo el rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos catetos.. Pitágoras de Samos Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes , se establece que:
y , y la medida de la hipotenusa es
(1) De la ecuación (1 (1) se deducen ácilmente ! corolarios corolarios de de aplicación práctica:
Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas
Historia El Teorema de Pitágoras lle"a este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. #nteriormente, en $esopotamia y el #ntiguo Egipto se conoc%an ternas de "alores que se correspond%an con los lados de un triángulo rectángulo, y se utili&aban para resol"er problemas reerentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ning'n documento que eponga teóricamente su relación. a pirámide de *er+n, datada en el siglo - a. /., ue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones !002.
Designaciones convencionales Triángulos — Resumen de convenciones de designación
Vértices
A
B
C
BC
AC
AB
a
b
c
Lados (como segmento )
Lados (como longitud )
Ángulos
Demostraciones El 3eorema de 4itágoras es de los que cuenta con un mayor n'mero de demostraciones dierentes, utili&ando m+todos muy di"ersos. 5na de las c ausas de esto es que en la Edad $edia se eig%a una nue"a demostración del teorema para alcan&ar el grado de Magíster matheseos. #lgunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. 6tros autores, como el matemático estadounidense E. S. oomis, catalogó !78 pruebas dierentes en su libro de 198 The Pythagorean Proposition. En ese mismo libro, oomis clasiicar%a las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se reali&an comparaciones de áreas; dinámicas a tra"+s de las propiedades de uer&a, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de "ectores.
China el Chou Pei Suan Ching! " el Chui Chang Suang Shu
Prueba visual para un triángulo de a = 3, b = 4 y c = 5 como se ve en el Chou Pei Suan Ching, 5!" a# C#
El Chou Pei es una obra matemática de datación discutida en algunos lugares, aunque se acepta mayoritariamente que ue escrita entre el 2<< y el !<< a. /. Se cree que 4itágoras no conoció esta obra. En cuanto al Chui Chang parece que es posterior, está echado en torno al a=o 2< a. /. El Chou Pei demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado (a+b) que se parte en cuatro triángulos de base a y altura b, y un cuadrado de lado c.
$emostraci%n Sea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Se trata de demostrar que el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b. Es decir:
Si a=adimos tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado de lado c ormando la igura mostrada en la imagen, obtenemos un cuadrado de menor tama=o. Se puede obser"ar
que el cuadrado resultante tiene eecti"amente un lado de b - a. uego, el área de este cuadrado menor puede epresarse de la siguiente manera:
>a que
.
Es e"idente que el área del cuadrado de lado c es la suma del área de los cuatro triángulos de altura a y base b que están dentro de +l más el área del cuadrado menor:
/on lo cual queda demostrado el teorema.
Demostraciones su#uestas de $itágoras
Se cree &ue Pitágoras se bas% en la seme'an(a de los triángulos ABC, A)C y B)C# *a +gura coloreada hace evidente el cumplimiento del teorema# Se estima que se demostró el teorema mediante seme?an&a de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.@1A Sea el triángulo #B/, rectángulo en /. El segmento /C es la altura relati"a a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’ , proyecciones en ella de los catetos a y b, respecti"amente.
os triángulos rectángulos #B/, #C/ y BC/ tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en com'n, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son seme?antes. •
$e la seme'an(a entre ABC y A)C
y dos triángulos son seme?antes si hay dos o más ángulos congruentes.
•
$e la seme'an(a entre ABC y B)C
os resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:
4ero
, por lo que inalmente resulta:
*a relaci%n entre las super+cies de dos +guras seme'antes es igual al cuadrado de su ra(%n de seme'an(a# -n esto pudo haberse basado Pitágoras para demostrar su teorema 4itágoras tambi+n pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las supericies de iguras seme?antes. os triángulos 4 y 4S3 son seme?antes, de manera que:
Siendo r la ra&ón de seme?an&a entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus supericies:
6bt+nemos despu+s de simpliicar que:
4ero siendo
la ra&ón de seme?an&a, está claro que:
Es decir, "la relación entre las superficies de dos figuras semeantes es igual al cu adrado de la ra!ón de semean!a" . #plicando ese principio a los triángulos rectángulos seme?antes #/C y B/C tenemos que:
ue de acuerdo con las propiedades de las proporciones nos da:
(%) y por la seme?an&a entre los triángulos #/C y #B/ resulta que:
4ero seg'n (I)
, as% que:
y por lo tanto:
ue dando demostrado el teorema de 4itágoras.
*os cuadrados compuestos en el centro y a la derecha tienen áreas e&uivalentes# .uitándoles los triángulos el teorema de Pitágoras &ueda demostrado# Es asimismo posible que 4itágoras hubiera obtenido una demostración gráica del teorema. 4artiendo de la coniguración inicial, con el triángulo rectángulo de lados a, b, c, y los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa Fi&quierda0, se construyen dos cuadrados dierentes: •
/no de ellos 0centro! está 1ormado por los cuadrados de los catetos, más cuatro triángulos rectángulos iguales al triángulo inicial#
•
-l otro cuadrado 0derecha! lo con1orman los mismos cuatro triángulos, y el cuadrado de la hipotenusa#
Si a cada uno de estos cuadrados les quitamos los triángulos, e"identemente el área del cuadrado gris (c) equi"ale a la de los cuadrados amarillo y a&ul (b G a), habi+ndose demostrado el teorema de 4itágoras.
Demostración de &uclides #ro#osición %' de Los &lementos
*igura &uclides + *a proposici%n 2#4 " de -uclides# *a super+cie del rectángulo ABC$ es el doble de la de cual&uiera de los triángulos sus bases son la misma 0$C!, y están entre las mismas paralelas# -sto es cuanto necesita -uclides para demostrar el teorema de Pitágoras#
*igura &uclides , *a proposici%n 2#36 3 de -uclides los paralelogramos ABC$ y -7C$ tienen áreas e&uivalentes, por tener igual base, y estar comprendidos entre las mismas paralelas#
*igura &uclides - *a demostraci%n de -uclides es puramente geom8trica# Su columna vertebral es la sencilla proposici%n 2#4 " de *os -lementos# El descubrimiento de los n'meros irracionales por 4itágoras y los 4itagóricos supuso un contratiempo muy serio.@A De pronto, las proporciones de?aron de tener "alide& uni"ersal, no siempre pod%an aplicarse. a demostración de 4itágoras de su teorema se basaba muy probablemente en proporciones, y una proporción es un n'mero racional. HSer%a realmente "álida como demostraciónI #nte esto, Euclides elabora una demostración nue"a que elude la posibilidad de encontrarse con n'meros irracionales. El e?e de su demostración es la proposición .8@2A de os Elementos:
En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.
Euclides (proposición I.47)
Basándose en la proposición .1@A de os Elementos, que equi"ale a decir que a igual base y altura, el área del paralelogramo dobla a la del triángulo, ("+ase Jigura Euclides 1). Se tiene el triángulo #B/, rectángulo en / ("+ase Jigura Euc lides !), y se construye los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa. a altura /C se prolonga hasta K. Seguidamente se tra&a cuatro triángulos, iguales dos a dos:
•
•
9riángulos AC: y AB$ son iguales, pues siendo A$=AC, y A:=AB, necesariamente B$=C:# Sus tres lados son iguales# 9riángulos AB; y CB2 análogamente, AB=B2, y B;=BC, as< &ue A;=C2# Sus tres lados son asimismo iguales#
#bundando en las anteriores consideraciones, n ótese que un giro con centro en #, y sentido positi"o, transorma #/* en #BD. > un giro con centro en B, y sentido tambi+n positi"o, transorma #BL en /B. En la demostración de eonardo da -inci se encontrará nue"amente con giros que demuestran la igualdad de iguras. -+ase (en la Jigura Euclides !) que:
# *as paralelas r y s comprenden al triángulo AC: y el rectángulo A):, los cuales tienen la misma base, A:# Por tanto de acuerdo con la proposici%n 2#4" de *os -lementos, A): tiene doble área &ue AC:, >v8ase 7igura -uclides ?# "# *as paralelas m y n contienen a AB$ y A$-C, cuya base com@n es A$# As< &ue el área de A$-C es doble de la de AB$# 4ero siendo #/*M#BD, resulta que el rectángulo #CK* y el cuadrado #DE/ tienen áreas equi"alentes. Caciendos+ ra&onamientos similares con los triángulos #BL y /B, respecto al cuadrado B/JL y al rectángulo CBK respecti"amente, se concluye que +stos 'ltimos tienen asimismo áreas iguales. # partir de lo anterior, surge de inmediato que: Nla suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos, es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusaN.
Demostración de $a##us
*a proposici%n 2#36 3 de -uclides los paralelogramos ABC$ y -7C$ tienen áreas e&uivalentes, por tener igual base, y estar comprendidos entre las mismas paralelas#
*a demostraci%n de Pappus parece ser unas musicales variaciones sobre un mismo tema, respecto a la de -uclides# 5nos 72 a=os despu+s que Euclides, 4appus@7A parece seguir su senda, y desarrolla una demostración del teorema de 4itágoras basada en la proposicón .!7@!A de os Elementos de Euclides: Dos paralelogramos de igual base, y entre las mismas paralelas, tienen superfcies equivalentes.
4artimos del triángulo #B/ rectángulo en /, sobre cuyos catetos e hipotenusa he mos construido los cuadrados correspondientes. 4rolongando /C hacia arriba se obtiene el rectángulo /EL cuya diagonal /L determina en aqu+l dos triángulos rectángulos iguales al triángulo #B/ dado: •
*os ángulos agudos ;C2 y ABC tienen sus lados perpendiculares
•
-l lado C2 es igual al lado CB
En consecuencia los triángulos rectángulos #B/, /L y EL/ tienen sus tres lados iguales.
# *os paralelogramos AC;7 y A) tienen la misma base C;=), y están comprendidos entre las mismas paralelas, r y s# Por lo tanto tienen la misma super+cie >-lementos 2#36?
"# Aplicando el mismo principio a AC;7 y AC-$ 0base com@n AC, y paralelas m y n! resulta &ue ambos paralelogramos tienen super+cies asimismo e&uivalentes# De 1) y ) se sigue que las supericies de #/ED y #C$O son iguales. #nálogamente:
# C;B y B*) tienen la misma base C;=), y están comprendidos entre las paralelas s y t# Sus super+cies son e&uivalentes# "# C;B y C2:B tienen base com@n CB, y están entre las paralelas o y ## Sus super+cies son iguales# De dónde se deduce la equi"alencia de las supericies de B$C y de /*B. El teorema de 4itágoras queda demostrado.
Demostración de .has/ara
Bhasara desarrolla una demostraci%n grá+ca y algebraica del teorema de Pitágoras# BhasPara , el matemático y astrónomo hind' del siglo , nos da la siguiente demostración del teorema de 4itágoras. /on cuatro triángulos rectángulos de lados a, b y c se construye el cuadrado de lado c F i&quierda0, en cuyo centro se orma otro cuadrado de lado (a0b). edistribuyendo los cuatro triángulos y el cuadrado de lado (a0b), construimos la igura de la derecha, cuya supericie resulta ser la suma de la de dos cuadrados: uno de lado a Fa&ul0 y otro de lado b 0naran?a0. Se ha demostrado gráicamente que c M a G b #lgebraicamente: el área del cuadrado de lado c es la correspondiente a los cuatro triángulos, más el área del cuadrado central de lado (a0b), es decir:
epresión que desarrollada y simpliicada nos da el resultado c M a G b, y el teorema queda demostrado.
Demostración de Leonardo da Vinci
-l diseDo inicial, con el triángulo y los cuadrados de catetos e hipotenusa, es modi+cado por *eonardo da Einci al aDadir dos triángulos iguales al ABC el -C7 y el )2# En el elenco de inteligencias que abordaron el teorema de 4itágoras no alta el genio del enacimiento, eonardo da -inci. 4artiendo del triángulo rectángulo #B/ con los cuadrados de catetos e hipotenusa, eonardo a=ade los triángulos E/J y CK, iguales al dado, resultando dos pol%gonos, cuyas supericies "a a demostrar que son equi"alentes:
# Pol
•
•
$e inmediato vemos &ue tienen tres lados iguales A$=AC, AB=A, B;=BC=2 Asimismo es inmediata la igualdad entre los ángulos de los siguientes v8rtices o
A de A$;B y A de C2A
o
B de A$;B y de C2A
Se concluye que #DLB y /K# son iguales. De modo análogo se comprueba la igualdad entre #DLB y /BC. #demás, de un modo seme?ante a lo eplicado en la demostración de Euclides, nótese que un giro de centro #, y sentido positi"o, transorma /K# en #DLB. $ientras que un giro de centro B, y sentido negati"o, transorma /BC en #DLB. 3odo ello nos lle"a a que los pol%gonos #DEJLB y #/BCK tienen áreas equi"alentes. 4ues bien, si a cada uno le quitamos sus dos triángulos Figuales0 las supericies que restan or&osamente serán iguales. > esas supericies no son sino los dos cuadrados de los catetos en el pol%gono #DEJLB, por una parte, y el cuadrado de la hipotenusa en el pol%gono #/BCK, por la otra. El teorema de 4itágoras queda demostrado.
Demostración de 0ar1eld
-l pol
Larield construye un trapecio de bases a y b, y altura (aGb), a partir del triángulo rectángulo de lados a, b y c. Dicho trapecio resulta compuesto por tres triángulos rectángulos: dos iguales al dado, y un tercero, isósceles de catetos c. En consecuencia:
(g.1) como corresponde a la supericie del trapecio, pero asimismo tenemos una igura compuesta por tres triángulos, dos de ellos iguales, de modo que:
(g.) igualando la ecuación (g.) con la (g.1) obtenemos:
pasando el 1 R al otro miembro y simpliicando ...
epandiendo el miembro derecho ...
restando ab a ambos miembros, inalmente nos da:
y el teorema está demostrado.