Teorema de Stokes Elvis Díaz, Xavier Gálvez Universidad Nacional de Loja Loja, Ecuador
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Abstract – El teorema de Stokes relaciona la integral de un campo vectorial sobre una curva cerrada que es borde de una superficie paramétrica simple con la integral de su rotacional de dicha superficie.
le mismo que el sentido positivo a lo largo de C, el cual es contrario al giro de las manecillas del reloj.
Palabras clave – derivadas parciales, integral, región, volumen, frontera.
I. INTRODUCCIÓN El teorema de Stokes puede considerarse como una versión del teorema de Green para una dimensión más alta. El teorema de Stokes relaciona una integral de superficie sobre una superficie S con una integral de línea alrededor de la curva frontera de S (que es una curva en el espacio). La orientación de S induce la orientación positiva de la curva frontera C. Esto significa que si uno camina alrededor de C en sentido positivo entonces la superficie siempre estará a la izquierda de uno. II. DESARROLLO DE CONTENIDOS
A. Teorema de Stokes Sean M, N y R funciones de las tres variables x, y y z, y suponga que tienen primeras derivadas parciales continuas en una bola abierta B de . Sea S una superficie suave a trozos contenida en B y C una curva cerrada, simple y suave a trozos que es la frontera de S. Si:
Fig. 1
La figura 1 también muestra representaciones de N y T. Otra definición del teorema de Stokes es: Sea S una superficie orientada y suave a segmentos, que está acotada por una curva frontera C suave a segmentos, cerrada y simple, cuya orientación es positiva. Sea F un campo vectorial cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta en R3 que contiene a S. Entonces la circulación del campo F alrededor de la frontera C, está dada por:
∮ Y si N es un vector normal saliente unitario de S, y T es un vector tangente unitario de C donde s unidades es la longitud de arco medida a partir de un punto particular de C hasta P, entonces: ∮
∬
El teorema de Stokes afirma que la integral de línea de la componente tangencial de un campo vectorial F alrededor de la frontera C de una superficie S puede calcularse evaluando la integral de superficie de la componente normal del rotacional de F sobre S. el teorema se ha restringido a superficies para las cuales N es un vector normal saliente de S. La figura 1 muestra una superficie S, con la curva C como frontera, a la cual se le aplica el teorema de Sokes. Una ecuación de S es de la frontera z = f(x, y), donde las primeras derivadas parciales de f son continuas en la región D, que es la proyección de S en el plano xy. La curva C es la proyección de C en el plano xy, y D y C satisfacen las condiciones de Green. El sentido positivo a lo largo de C es
∬
Es decir, si se imagina que se toma el vector normal N con la mano derecha, con el dedo pulgar apuntando en la dirección de N, los demás dedos apuntarán en la dirección positiva de C, como se muestra en la figura 2.
Fig. 2
La integral de línea puede escribirse en forma diferencial: o en forma vectorial: Para
se obtiene
III. EJERCICIOS DE APLICACIÓN
A. Ejemplo 1 Sea S la parte del paraboloide que permanece sobre el plano xy, orientado hacia arriba (ver la figura 3). Sea C su curva frontera en el plano xy orientada en el sentido contrario al de las manecillas del reloj. Verificar el teorema de Stokes para evaluando la integral de superficie y la integral de línea equivalente.
B. Ejemplo 2 Sea C el triángulo orientado situado en el plano como se muestra en la figura 4. Evaluar ∫
Fig. 3
Donde
Solución: Como integral de superficie, se tiene y
De acuerdo con el teorema se obtiene
Fig. 4 Solución: usando el teorema de Stokes, se empieza por hallar el rotacional de F. Como integral de línea, se puede parametrizar C como
Haciendo N = k, se tiene Considerando
,
Se puede usar el teorema de integral de flujo para un vector normal dirigido hacia arriba para obtener
IV. CONCLUSIONES
C. Ejemplo 3 Un líquido es agitado en un recipiente cilíndrico de radio 2, de manera que su movimiento se describe por el campo de velocidad √ √ Como se muestra en la figura 5. Hallar ∬ donde S es la superficie superior del recipiente cilíndrico.
Fig. 5 Solución: el rotacional de F está dado por
El teorema de Stokes nos permite entender cómo se comporta un campo rotacional como en el caso de la teoría electromagnética en donde se utiliza el teorema de Stokes para explicar el comportamiento de los campos electromagnéticos.
REFERENCIAS . [1] Ron, Larson Robert, Hostetler y Bruce, Edwards, Cálculo de Varias Variables: Matemáticas 3, 1ra ed., Ed. McGraw-Hill Interamericana, 2009. [2Louis Leithold, El Cálculo, 7ma ed., Ed. Oxford, 1994.
