TEOREMA DE TRIANGULOS

TEOREMA DE TRIANGULOS

TEOREMA I ______________________________________________________________ 2 TEOREMA II ___________________________ ____________________________ ______ 3 TEOREMA III _____________________________________________________________ 3 TEOREMA IV _____________________________________________________________ 3 TEOREMA V _____________________________________________________________ 4 TEOREMA VI ___________________________ ____________________________ ______ 4 TEOREMA VII ____________________________________________________________ 5 TEOREMA VIII __________________________ ____________________________ ______ 6 TEOREMA IX _____________________________________________________________ 6 TEOREMA X ___________________________ ____________________________ ______ 7  TEOREMA XI _____________________________________________________________ 7  TEOREMA XII ____________________________________________________________ 8  TEOREMA XIII __________________________ ____________________________ ______ 8  TEOREMA XIV __________________________ ____________________________ ______ 9 TEOREMA XV ____________________________________________________________ 9 TEOREMA XVI __________________________ ____________________________ ______ 9 TEOREMA XVII __________________________________________________________ 10  TEOREMA XVIII XVIII _________________________ ____________________________ _____ 10  Teorema XIX ___________________________ ____________________________ _____ 11 Teorema XX ____________________________________________________________ 11 TEOREMA XXI ___________________________________________________________ 12 TEOREMA XXII __________________________________________________________ 12 Teorema XXIII __________________________ ____________________________ _____ 12 TEOREMA XXIV_________________________ ____________________________ _____ 13

TEOREMA I

Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales

Demostrar :
Corolario.- Las partes homologas de dos figuras congruentes son iguales.

TEOREMA II Si

dos lados de un triángulo y el Angulo comprendido son respectivamente iguales a dos lados y el

ángulo comprendido de otro triangulo, los dos triáng ulos son iguales. A

C

X

B

Demostrar:

ABC =

Z

Y

XYZ

AC =XZ CB = YZ
TEOREMA III

Dos triángulos son iguales si tienen iguales respectivamente un lado y los ángulos adyacentes a ese lado.

Demostrar: ABC = XYZ AB = XY
TEOREMA IV  En

todo triangulo isósceles los ángulos opuestos a los lados iguales son i guales 

Demostrar:
TEOREMA V  Si

dos ángulos de un triángulo son iguales los lados opuestos son ig uales, y el triángulo por lo tanto es isósceles.

Demostrar: AC = BC ABC = A´B´C´ por construcción AB = AB´ Volteamos el A´B´C´ para: B´ encaje en A A´ encaja en B
TEOREMA VI Si

los tres lados de un triángulo son respectivamente iguales a los tres lados de otro los dos triángulos son iguales.

Demostrar: ABC = A´B´C´ AB = A´B´ por hipótesis Transportamos el A´B´C´ por postulado 5 Unimos C Y C´ AC = AC´ por hipótesis BC = BC´ por hipótesis Por teorema
TEOREMA VII Si

de un punto situado en el interior de un triángulo se trazan rectas a los extremos de uno de los lados la suma de estas rectas es menor que la suma de los otros dos lados del triángulo.

Demostrar: CA + CB > AP + PB Prolongar recta Ap hasta CB Postulado 2 ACQ  AC + CQ > AP + PQ Postulado 3 PQB PQ + BQ > PB AC + CQ + PQ + BQ > AP + PQ + PB Axioma 5 AC + CB + PQ > AP + PQ + PB Axioma 8 AC + CB > AP + PB

lqqd 

Axioma 4

TEOREMA VIII

De un punto exterior a una recta no puede bajarse a esa recta más de una perpendicular.

Demostrar: PZ no es a XY Prolongar OP Postulado 2 OP = OP´ Trazamos P´Z POP´ es una recta por construcción PZP´ no es una recta < PZP´ no es colineal PZ no es XY

TEOREMA IX Si

de un punto de una perpendicular a una recta se trazan a la recta dos oblicuas cuyos pies están a igual distancia del pie de la perpendicular, esas dos oblicuas son iguales y forman ángulos iguales con la perpendicular.

Demostrar: PA = PB y que

TEOREMA X Si

de un punto de una perpendicular a una recta se trazan a esa recta dos oblicuas cuyos pies no equidisten de la perpendicular, la oblicua cuyo pie dista m ás es mayor que la otra.

Demostrar: PA > PC Tómese OB OB igual a OC, y trácese PB PB = PC Teorema IX PO prolongada tómese OP´ = OP y trácese P´A, P´B Entonces PA = P´A y PB = P´B PA + P´A > PB + P´B teorema VII 2PA > 2PB y PA > PB Axioma 8 PA > PC Axioma 8

TEOREMA XI

La perpendicular es la más corta de las rectas que pueden trazarse a una recta de un punto situado fuera de ella

Demostrar PO < PZ Prolongamos PO hasta P´ de suerte que OP´ sea igual a PO y trácese P´Z´ PZ + P´Z = 2PZ Axioma 8 PO + P´O = 2PO Axioma 8 PO + P´O < PZ + P´Z Axioma 4

2PO < 2PZ PO < PZ

Axioma 8 Axioma 5

TEOREMA XII

Dos triángulos rectángulos son iguales si la hipotenusa y un cateto del uno son respectivamente iguales a la hipotenusa y un cateto ca teto del otro.

Demostrar: ABC = A´B´C´. Colóquese el ABC al lado del del A´B´C´ de suerte que BC caiga sobre B´C´ y A´ y A queden queden en lados opuestos de B´C´ Entonces PA caerá sobre la prolongación de A´B´ (Sigue se esto de
TEOREMA XIII

Dos triángulos rectángulos son iguales si tiene iguales respectivamente la hipotenusa y uno de los ángulos adyacentes a ella.

Demostrar ABC = A´B´C´ Colóquese el ABC sobre A´B´C´ de manera que < A coincida con A´ y AC tome dirección de A´C´ C caerá sobre C AC = A´C´ AB tomara la dirección de A´B´
CB coincidirá con C´B´ ABC = A´B´C´

Teorema VIII

TEOREMA XIV 

Dos rectas situadas en un mismo plano y perpendicular a una tercera no pueden encontrarse por más que se prolongue.

Demostrar que AB y CD no pueden encontrarse en ningún punto si AB y CD prolongadas pudieran encontrarse en un punto, se tendría dos perpendiculares bajadas de un mismo punto a una recta r ecta lo cual es imposible Teorema VIII AB y CD C D prolongadas no pueden encontrarse.

TEOREMA XV  Si

dos o más rectas son paralelas, toda perpendicular a una de ellas es perpendicular a las otras.

Demostrar XY a CD Por el punto P se traza MN perpendicular a XY MN debe ser II AB Corolario 1 CD II a AB Hipótesis CD y MN deben coincidir Corolario 1 XY es MN por hipótesis XY es a CD.

TEOREMA XVI Si

dos paralelas son cortadas por una transversal los ángulos alternos  internos son iguales.

Demostrar
TEOREMA XVII Si

dos rectas situados en un mismo plano forman con una transversal ángulos alternos  internos iguales, esas dos rectas son paralelas.

Demostrar AB II CD Trazamos MN que pasa por el punto P MN II CD
TEOREMA XVIII Si

dos paralelas son cortadas por un transversal los ángulos correspondientes son iguales.

Demostrar
Teorema XIX

La suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a dos rectas

Demostrar
Teorema XX

La suma de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que el tercer lado; y la diferencia, menor.

Demostrar: AC + BC >AB AB  BC < AC AC + BC > AB por axioma 3 AC >AB  BC AB  BC < AC lqqd  AC  BC < AB

TEOREMA XXI Si dos lados de un

triángulo son desiguales, al mayor lado l ado se opone mayor ángulo.

Demostrar: < B por corolario (Todo ángulo externo de un triángulo es mayor que cualesquiera de los internos opuestos) < BAC > < XAC Axioma 10 Reemplazando
TEOREMA XXII Si

dos lados de un triángulo son desiguales, al mayor ángulo se opone mayor lado.

Demostrar: BC > CA Si CA fuera mayor que BC el CA lqqd 

Teorema XXIII Si

dos lados de un triángulo son respectivamente iguales iguales a dos lados lados del otro, y el ángulo ángulo comprendido por los dos lados del otro, y el ángulo comprendido por los dos primeros es mayor que el comprendido por los dos segundos, el tercer lado del primer triangulo es mayor que el tercer lado del segundo.

Demostrar: AB > XY AC = XY por hipótesis BC = YZ por hipótesis AY por postulado postulado 3 AP + PB > AY por postulado postulado 3 AB > AY por axioma 8 AY = XY AB > XY lqqd 

TEOREMA XXIV  Si dos lados de un

triángulo son respectivamente iguales a dos lados de otro, y el tercer lado del primer triangulo es mayor que el tercer lado del segundo, el ángulo opuesto al tercer lado es mayor en el primer triangulo que en el segundo.

Demostrar:
AB < XY < Z lqqd.