EJERCICIOS PROPUESTOS
A.-Evalúe
la integral de línea utilizando el teorema de Green .
1.-
C ( x y)dx ( x y)dy, C es el círculo con centro en el origen y radio 2.
2.-
C xydx x
3.-
C cos ydx x
2
4.-
C xydx x
3
5.-
C xy
6.-
(0,1) a (0,0) y de (0,0) a (0,1) C xdx ydy , C consta de los segmentos rectilíneos desde (0,1)
2
dy , C es el rectángulo co n vértices (0,0),(3,0),(3,1) y (0,1) .
2
(0, 0), 0), (5, (5, 0) y (5, (5, 2) y (0, (0, 2) . sen ydy , C es el rectángulo con vértices (0,
y dy C es el triángulo con vértices (0, (0, 0),(1 0),(1, 0) y (1 (1, 2) .
dx 2 x 2 ydy , C es el triángulo con vértices (0, (0, 0), 0), (2, (2, 2) y (2, (2, 4)
y la parábola 7.-
2
C ( y e
parábolas
y
y
x
1
x
2
(1,0)) a (0,1 (0,1). ). desde (1,0
)dx (2 x cos y 2 ) dy C es el límite o frontera de la región encerrada por las x
2
y x
y
2
.
8.-
C y dx x dy , C es la circunferencia x
9.-
C sen ydx x
3
3
cos
ydy C es la elipse
2
x
2
y
2
4
xy y
2
1
(Hacer un cambio de variable
utilizando rotación). 10. x
2
C xe
2 x
2
1,
11.-
y
C (e
x
dx ( x 4 2 x 2 y 2 ) x cos ydy C es el límite de la región entre las circunferencias
x
2
y
2
4.
e x cos y) dx ( sen y y) dy , donde C es el circuito que encierra la región
R : 0 x , 0 y sen x .
12.-
C
2 2 2 2 (e y x cos 2xy)dx (e y x sen2 xy)dy y donde C : x2 y 2
a
2
13.-
C (e
x
seny my )dx (e x cos y m )dy , donde C es la parte superior de C : x2 y 2
ax
y el eje X. B.-Evalúe mediante el teorema de Green
F dr (verifique
C
primero la orientación de la
curva)
1.- F( x, y )
y
y
ln( x 2 y 2 ), 2 tan 1 ( ) , C es la circunferencia ( x 2)2 ( y 3) 2
1
x
orientada en el sentido contrario al de las manecillas del reloj. 2.-Mediante
el
teorema
F( x, y) x( x y), xy2
de
Green,
calcule
el
trabajo
que
realiza
la
fuerza
al desplazar a una partícula desde el origen a lo largo del eje x
hasta (1, 0) , luego a lo largo del segmento rectilíneo hasta (0,1) y luego regresa al origen por el eje
y
.
3.-Una partícula parte del punto ( 2, 0 ) se mueve por el eje x hasta (2,0) y luego por el semicírculo
y
4
x
2
hasta el punto de inicio. Use el teorema de Green para calcular el
trabajo que hace el campo de fuerza F( x, y) x, x3 3xy 2
sobre esta partícula.