Teorema s

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FACULTAD DE INGENIERIA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

LEY DE OHM Los materiales en general poseen el comportamiento característico de oponer resistencia al flujo de la carga eléctrica. Esta propiedad física, o capacidad para resistir a la corriente, se conoce como resistencia y se representa con el símbolo R . La resistencia de cualquier material con un área de sección transversal uniforme A depende de ésta y su longitud l, como se muestra en la figura 2.1a). Se puede representar la resistencia (medida en el laboratorio), en forma matemática, como Para efectos de fabricación de circuitos, los resistores suelen hacerse de aleaciones metálicas y compuestos de carbono. El símbolo de circuito del resistor se presenta en la figura 2.1b), donde R significa la resistencia del resistor. El resistor es el elemento pasivo más simple. Se acredita a Georg Simon Ohm (1787-1854), físico alemán, el descubrimiento de la relación entre corriente y tensión en un resistor. Esta relación se conoce como ley de Ohm La ley de Ohm establece que la tensión v a lo largo de un resistor es directamente proporcional a la corriente i que fluye a través del resistor.

donde ρ se llama resistividad del material, en ohm-metros. Los buenos conductores, como el cobre y el aluminio, tienen baja resistividad, mientras que los aislantes, como la mica y el papel, tienen alta resistividad. En la tabla 2.1 se presentan los valores de ρ de algunos materiales comunes y se indica qué materiales se emplean como conductores, aislantes y semiconductores. El elemento de circuito que se usa para modelar el comportamiento de ρresistencia a la corriente de un material es el resistor .

Ohm definió la constante de proporcionalidad de un resistor como la resistencia, R . (La resistencia es una propiedad material que

puede cambiar si se alteran las condiciones internas o externas del elemento; por ejemplo, si hay cambios en la temperatura.) Así, la ecuación (2.2) se convierte en

la cual es la forma matemática de la ley de Ohm. R en la ecuación (2.3) se mide en la unidad llamada ohm, designada como Ω . Así, La resistencia R de un elemento denota su capacidad para resistirse al flujo de la corriente eléctrica; se mide en ohms ( Ω).

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De la ecuación (2.3) se deduce que

de modo que

Para aplicar la ley de Ohm como se establece en la ecuación (2.3), se debe prestar cuidadosa atención a la dirección de la corriente y la polaridad de la tensión. La dirección de la corriente i y la polaridad de la tensión v deben ajustarse a la convención pasiva de los signos, como se indica en la figura 2.1 b). Esto implica que la corriente fluye de un potencial mayor a uno menor, a fin de que v = iR . Si la corriente fluye de un potencial menor a uno mayor, v = - iR . Puesto que el valor de R puede ir de cero al infinito, es importante considerar los dos posibles valores extremos de R . Un elemento con R = 0 se llama cortocircuito, como se señala en la figura 2.2 a). En el caso de un cortocircuito,

lo que indica que la tensión es de cero pero que la corriente podría ser de cualquier valor. En la práctica, un cortocircuito suele ser un alambre conectado, que se supone que es un conductor ideal. Así, Un cortocircuito es un elemento de circuito con resistencia que se aproxima a cero. De igual forma, un elemento con R = ∞ se conoce como circuito abierto , como se señala en la figura 2.2 b). En el caso de un circuito abierto,

lo que indica que la corriente es de cero aunque la tensión podría ser de cualquiera. Así, Un circuito abierto es un elemento del circuito con resistencia que tiende al infinito.

Una cantidad útil en el análisis de circuito es el recíproco de la resistencia R , conocido como conductancia y denotado por G:

La conductancia es una medida de lo bien que un elemento conducirá corriente eléctrica. La unidad de conductancia es el mho (ohm escrito al revés) ohm recíproco, con el símbolo, la omega invertida. Aunque los ingenieros suelen usar el mho, en este libro se prefiere utilizar el siemens (S), la unidad de conductancia del SI:

Así, La conductancia es la capacidad de un elemento para conducir corriente eléctrica; se mide en mhos ( ) o siemens (S). La propia resistencia puede expresarse en ohms o siemens. Por ejemplo, 10 Ω equivale a 0.1 S. A partir de la ecuación (2.7) es posible escribir

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La potencia que disipa un resistor puede expresarse en términos de R .

La conductancia es

Con base en las ecuaciones (1.7) y (2.3),

La potencia que disipa un resistor también puede expresarse en términos de G como

Es posible calcular la potencia de varias maneras, mediante las ecuaciones (1.7), (2.10) o (2.11).

o sea

Cabe señalar dos cosas respecto de las ecuaciones (2.10) y (2.11):

o sea

1. La potencia disipada en un resistor es una función no lineal de la corriente o la tensión. 2. Puesto que R y G son cantidades positivas, la potencia disipada en un resistor siempre es positiva. Así, un resistor siempre absorbe potencia del circuito. Esto confirma la idea de que un resistor es un elemento pasivo, incapaz de generar energía.

EJEMPLO En el circuito que aparece en la figura 2.8, calcule la corriente i , la conductancia G y la potencia p.

Solución: La tensión en resistor es la misma que la tensión de la fuente (30 V), porque ambos están conectados al mismo par de terminales. Así, la corriente es

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LEYES DE KIRCHHOFF La ley de Ohm no es suficiente en sí misma para analizar circuitos. Pero cuando se le une con las dos leyes de Kirchhoff, hay un conjunto suficiente y eficaz de herramientas para analizar gran variedad de circuitos eléctricos. Las leyes de Kirchhoff las introdujo en 1847 el físico alemán Gustav Robert Kirchhoff (18241887). Se les conoce formalmente como la ley de la corriente de Kirchhoff (LCK) y la ley de tensión de Kirchhoff (LTK).

neta. Así, la validez de la LCK.

lo que confirma

Considérese el nodo de la figura 2.16. La aplicación de la LCK da como resultado

puesto que las corrientes i 1, i 3 e i 4 entran al nodo, mientras que las corrientes i 2 e i 5 salen de él. De la reordenación de los términos se obtiene

La primera ley de Kirchhoff se basa en la ley de la conservación de la carga, de acuerdo con la cual la suma algebraica de las cargas dentro de un sistema no puede cambiar. La ley de corriente de Kirchhoff (LCK) establece que la suma algebraica de las corrientes que entran a un nodo (o frontera cerrada) es de cero. Matemáticamente, la LCK implica que

donde N es el número de ramas conectadas al nodo e i n es la nésima corriente que entra al (o sale del) nodo. Por efecto de esta ley, las corrientes que entran a un nodo pueden considerarse positivas, mientras que las corrientes que salen del nodo llegan a considerarse negativas, o viceversa. Para comprobar la LCK, supóngase que un conjunto de corrientes i k ), k = 1, 2, … , fluye en k( t ), un nodo. La suma algebraica de las corrientes en el nodo es

La integración de ambos miembros de la ecuación (2.14) produce

Donde Sin embargo, la ley de la conservación de la carga eléctrica requiere que no cambie la suma algebraica de las cargas eléctricas en el nodo; esto es, que el nodo no almacene ninguna carga

La ecuación (2.17) es una forma alterna de la LCK: La suma de las corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de la s corrientes que salen de él. Obsérvese que la LCK también se aplica a una frontera cerrada. Esto podría juzgarse un caso generalizado, porque a un nodo se le podría considerar una superficie cerrada contraída en un punto. En dos dimensiones, una frontera cerrada es igual a una trayectoria cerrada. Como lo ilustra representativamente el circuito de la figura 2.17, la corriente total que entra a la superficie cerrada es igual a la corriente total que sale de ella. Una aplicación simple de la LCK es la combinación de fuentes de corriente en paralelo. La corriente combinada es la suma algebraica de la corriente suministrada por las fuentes individuales.

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Por ejemplo, las fuentes de corriente que aparecen en la figura 2.18a) pueden combinarse como en la figura 2.18 b). La fuente de corriente combinada o equivalente puede determinarse aplicando la LCK al nodo a.

Lo que puede interpretarse como Suma de caídas de tensión = Suma de aumentos de tensión (2.22)

o sea

Un circuito no puede contener dos corrientes diferentes, I 1 e I 2, en serie, a menos que I 1 = I 2; de lo contrario, se infringirá la LCK. La segunda ley de Kirchhoff se basa en el principio de la conservación de la energía: La ley de tensión de Kirchhoff (LTK) establece que la suma algebraica de todas las tensiones alrededor de una trayectoria cerrada (o lazo) es cero. Expresada matemáticamente, la LTK establece que

donde M es el número de tensiones (o el número de ramas en el lazo) y v m es la mésima tensión. Para ilustrar la LTK, considérese el circuito de la figura 2.19. El signo en cada tensión es la polaridad de la primera terminal encontrada al recorrer el lazo. Se puede comenzar con cualquier rama y recorrer el lazo en el sentido de las manecillas del reloj o en el sentido contrario. Supóngase que se inicia con la fuente de tensión y que recorre el lazo en el sentido de las manecillas del reloj, como se muestra en la figura; así, las tensiones serían -v 1, +v 2, +v 3, v 4 y + v 5, en ese orden. Por ejemplo, al llegar a la rama 3, la primera terminal encontrada es la positiva, y de ahí que se tenga +v 3. 3. En cuanto a la rama 4, se llega primero a la terminal negativa, y de ahí que -v 4. 4. Por lo tanto, la LTK establece

Ésta es una forma alternativa de la LTK. Adviértase que si se hubiera recorrido el lazo en el sentido contrario a las manecillas del reloj, el resultado habría sido +v 1, -v 5, +v 4, -v 3 y -v 2, igual que antes, salvo que los signos están invertidos. Así, las ecuaciones (2.20) y (2.21) permanecen iguales. Cuando fuentes de tensión se conectan en serie, la LTK puede aplicarse para obtener la tensión total. La tensión combinada es la suma algebraica de las tensiones de las fuentes individuales. Por ejemplo, en relación con las fuentes de tensión que aparecen en la figura 2.20a), la fuente de tensión combinada o equivalente en la figura 2.20b) se obtiene aplicando la LTK. O sea

Para no infringir la LTK, un circuito no puede contener dos tensiones diferentes V 1 y V 2 en paralelo a menos que V 1 = V 2.

La reordenación de los términos produce

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EJEMPLO: Halle las corrientes y tensiones en el circuito que se presenta en la figura 2.27 a).

Al aplicar la LTK al lazo 2,

como era de esperar, ya que los dos resistores están en paralelo. Se expresa v 1 y v 2 en términos de i 1 e i 2 como en la ecuación (2.8.1). La ecuación (2.8.4) se convierte en

La sustitución de las ecuaciones (2.8.3) y (2.8.5) en la ecuación (2.8.2) produce

o i 2 = 2 A. Con Con el valor de i 2, ahora se usan las ecuaciones (2.8.1) a (2.8.5) para obtener

Solución: Se aplica la ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff. Por efecto de la ley de Ohm,

Puesto que la tensión y la corriente de cada resistor están relacionados por la ley de Ohm como se indica, en realidad se están buscando tres cosas (v 1, v 2, v 3) o (i 1, i 2, i 3). En el nodo a, la LCK da como resultado

Al aplicar la LTK al lazo 1 como en la figura 2.27b),

Se expresa esto en términos de i 1 e i 2 como en la ecuación (2.8.1) para obtener

O sea

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RESISTORES EN SERIE Y DIVISOR DE TENSIÓN: La necesidad de combinar resistores en serie o en paralelo ocurre tan frecuentemente que justifica especial atención. El proceso de combinar los resistores se ve facilitado por su combinación de dos a la vez. Con esto presente, considérese el circuito de un solo lazo de la figura 2.29. Los dos resistores están en serie, ya que en ambos fluye la misma corriente i . Al aplicar la ley de Ohm a cada uno de los resistores se obtiene

La resistencia equivalente de cualquier número de resistores conectados en serie es la suma de las resistencias individuales.

Si se aplica la LTK al lazo (desplazándonos en el sentido de las manecillas del reloj), se tiene

De la combinación de las ecuaciones (2.24) y (2.25) se obtiene

O sea

Nótese que la ecuación (2.26) puede escribirse como

lo que implica que los dos resistores pueden remplazarse por un resistor equivalente R eq eq; esto es,

Así, en el caso de N resistores en serie,

Para determinar la tensión a lo largo de cada resistor de la figura 2.29, se sustituye la ecuación (2.26) en la ecuación (2.24) y se obtiene

Obsérvese que la tensión en la fuente v se divide entre los resistores en proporción directa a sus resistencias; a mayor resistencia, mayor caída de tensión. Esto se llama principio de división de tensión , y el circuito de la figura 2.29 se llama divisor de tensión. En general, si un divisor de tensión tiene N resistores resistores (R 1, R 2,. . ., R N N) en serie con la tensión en la fuente v , el nésimo resistor (R n) tendrá una caída de tensión de

Así, la figura 2.29 puede remplazarse por el circuito equivalente de la figura 2.30. Los circuitos de ambas figuras son equivalentes porque exhiben las mismas relaciones tensióncorriente en las terminales a-b. Un circuito equivalente como el de la figura 2.30 es útil en la simplificación del análisis de un circuito. En general,

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RESISTORES EN PARALELO Y DIVISOR DE CORRIENTE: CORRIENTE: Considérese el circuito de la figura 2.31, donde dos resistores están conectados en paralelo y por lo tanto tienen la misma tensión. Con base en la ley de Ohm,

O sea

La aplicación de la LCK al nodo a produce la corriente total i como

Al sustituir la ecuación (2.33) en la ecuación (2.34) se obtienen

Debe subrayarse que esto sólo se aplica a dos resistores en paralelo. Con base en la ecuación (2.37), si R 1 = R 2, entonces R eq eq = R 1/2. Es posible extender el resultado de la ecuación (2.36) al caso general de un circuito con N resistores en paralelo. La resistencia equivalente es

Nótese que R eq eq siempre es menor que la resistencia del resistor menor en la combinación en paralelo. Si R 1 = R 2 +…….+ R N N = R , entonces

donde R eq eq es la resistencia equivalente de los resistores en paralelo:

o sea

o sea

Así, La resistencia equivalente de dos resistores en paralelo es igual al producto de sus resistencias dividido entre su suma.

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EJEMPLO En referencia al circuito que se muestra en la figura 2.44a), determine: a) la tensión V o, b) la potencia suministrada por la fuente de corriente, c ) la potencia absorbida por cada resistor.

La potencia absorbida por el resistor de 9 k Ω es

Solución: a) Los resistores de 6 y 12 Ω están en serie, así que su valor combinado es de 6 + 12 = 18 kΩ. De este modo, el circuito de la figura 2.44 a) se

transforma en el que se muestra en la figura 2.44b). Ahora se aplica la técnica de división de corriente para hallar i 1 e i 2.

Adviértase que la tensión a lo largo de los resistores de 9 y 18 k_ es el mismo, y que vo _ 9 000i 1 _ 18 000i 2 _ 180 V, como se esperaba. b) La potencia suministrada por la fuente es

c ) La potencia absorbida por el resistor de 12 k Ω es

La potencia absorbida por el resistor de 6 Ω es

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PROPIEDAD DE LINEALIDAD: La linealidad es la propiedad de un elemento que describe una relación lineal entre causa y efecto. Aunque tal propiedad se aplica a muchos elementos de circuitos, en este capítulo se limitará su aplicacion a resistores. Esta propiedad es una combinación de la propiedad de homogeneidad (escalamiento) y la propiedad aditiva.

EJEMPLO Suponga que Io = 1 A y aplique el principio de la linealidad para hallar el valor real de Io en el circuito de la figura 4.4.

La propiedad de homogeneidad establece que si la entrada (también llamada excitación) se multiplica por una constante, la salida (también llamada respuesta) se multiplica por la misma constante. En el caso de un resistor, por ejemplo, la ley de Ohm relaciona la entrada i con la salida v .

Si la corriente se incrementa por una constante k , la tensión se incrementa en consecuencia por k ; esto es, Solución:

La propiedad aditiva establece que la respuesta a una suma de entradas es la suma de las respuestas a cada entrada aplicada por separado. Con base en la relación tensióncorriente de un resistor, si

Si I o = 1 A, entonces V 1 = (3 + 5)I o = 8 V e I 1 = V 1/4 = 2 A. La aplicación de la LCK al nodo 1 da I 2 = I 1 + I o = 3 A V 2 = V 1 + 2 I 2 = 8 + 6 = 14 V, I 3 = V2/7 = 2A

La aplicación de la LCK al nodo 2 da I 4 = I 3 + I 2 = 5 A

entonces la aplicación de (i 1 + i 2) da como resultado

Por lo tanto, I s = 5 A. Esto demuestra que al suponer que I o = 1 da por resultado Is = 5 A, la fuente real de corriente de 15 A dará I o = 3 A como el valor real.

Se dice que un resistor es un elemento lineal a causa de que la relación tensión - corriente satisface las propiedades tanto de homogeneidad como de aditividad. En general, un circuito es lineal si es tanto aditivo como homogéneo. Un circuito lineal consta únicamente de elementos lineales, fuentes lineales dependientes y fuentes lineales independientes. Un circuito lineal es aquel cuya salida se relaciona linealmente con (o es directamente proporcional a) su entrada.

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SUPERPOSICION: El principio de superposición establece que la tensión entre los extremos (o la c orriente a través) de un elemento en un circuito lineal es la suma algebraica de las tensiones (o corrientes) a través de ese elemento debido a que cada fuente independiente actúa sola. El principio de superposición ayuda a analizar un circuito lineal con más de una fuente independiente, mediante el cálculo de la contribución de cada fuente independiente por separado.

EJEMPLO Aplique el teorema de la superposición para hallar v en el circuito de la figura 4.6.

Solución: Puesto que hay dos fuentes, se tiene

Sin embargo, al aplicarlo deben tenerse en cuenta dos cosas: 1. Las fuentes independientes se consideran una a la vez mientras todas las demás fuentes independientes están apagadas . Esto implica que cada fuente de tensión se remplaza por 0 V (o cortocircuito) y cada fuente de corriente por 0 A (o circuito abierto). De este modo se obtiene un circuito más simple y manejable.

v = v 1 + v 2

donde v 1 y v 2 son las contribuciones de la fuente de tensión de 6 V y a la fuente de corriente de 3 A, respectivamente. Para obtener v 1, la fuente de corriente se iguala en cero, como se indica en la figura 4.7 a). La aplicación de la LTK al lazo de esta última figura se tiene

2. Las fuentes dependientes se dejan intactas, porque las controlan variables de circuitos. Con esto en cuenta, el principio de superposición se aplica en tres pasos: Pasos para aplicar el principio de superposición: 1. Apague todas las fuentes independientes, excepto una. Determine la salida (tensión o corriente) debida a esa fuente activa, aplicando las técnicas cubiertas en los capítulos anteriores. 2. Repita el paso 1 en cada una de las demás fuentes independientes. 3. Halle la contribución total sumando algebraicamente todas las contribuciones debidas a las fuentes independientes.

Así, v 1 = 4i 1 = 2 V

También se puede aplicar la división de tensión para obtener v 1 escribiendo

Para obtener v 2, 2, la fuente de tensión se iguala en cero, como en la figura 4.7b). Al aplicar el divisor de corriente,

Por lo tanto, v 2 = 4i 3 = 8 V

Y se halla v = v 1 + v 2 = 2 + 8 = 10 V

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TRANSFORMACION TRANSFORMACION DE FUENTES: Una transformación de fuentes es el proceso de remplazar una fuente de tensión vs en s erie con un resistor R por una fuente de corriente is en paralelo con un resistor R o viceversa.

2. Como se deduce de la ecuación (4.5), la transformación de fuente no es posible cuando R = 0, el cual es el c aso de una fuente de tensión ideal. Sin embargo, en una fuente de tensión real no ideal, R  0. De igual forma, una fuente de corriente ideal con R = ∞ no puede remplazarse por una fuente de tensión finita. En la sección 4.10.1 se abundará en fuentes ideales y no ideales. EJEMPLO Aplique la transformación de fuente para encontrar V o en el circuito de la figura 4.17.

Los dos circuitos de la figura 4.15 son equivalentes, en tanto tengan la misma relación tensión-corriente en las terminales a-b. Es fácil demostrar que en efecto son equivalentes. Si las fuentes se apagan, la resistencia equivalente en las terminales a-b en ambos circuitos es R . Asimismo, cuando las terminales a-b están en cortocircuito, la corriente correspondiente que fluye de a a b es isc = v s/R en el circuito de la izquierda e i sc sc = i s en el de la derecha. Así, v s/R = i s para que ambos circuitos sean equivalentes. En consecuencia, la transformación de fuente requiere que

Primero hay que transformar las fuentes de corriente y de tensión para obtener el circuito de la figura 4.18a). La combinación de los resistores de 4 y 2 Ω en serie y la transformación de la fuente de tensión de 12 V dan por resultado la figura 4.18b). Ahora se combinan los resistores de 3 y 6 Ω en paralelo, para obtener 2 Ω. Se combinan asimismo las fuentes de corriente de 2 y 4 A, para obtener una fuente de 2 A. Así, mediante la repetida aplicación de transformaciones de fuente, se obtiene el circuito de la figura 4.18c ). ).

La transformación de fuentes también se aplica a fuentes dependientes, siempre y cuando se maneje con cuidado la variable dependiente. Como se muestra en la figura 4.16, una fuente de tensión dependiente en serie con un resistor puede transformarse en una fuente de corriente dependiente en paralelo con el resistor o viceversa, confirmando que se satisfaga la ecuación (4.5).

Se deben tener en cuenta los siguientes puntos al tratar con la transformación de fuentes. 1. Como se advierte en la figura 4.15 (o 4.16), la flecha de la fuente de corriente apunta hacia la terminal positiva de la fuente de tensión.

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Se aplica la división de corriente a la figura 4.18c ), ), para obtener

Y

Alternativamente, puesto que los resistores de 8 y 2 _ de la figura 4.18 c ) están en paralelo, tienen la misma tensión vo entre sus extremos. Así,

TEOREMA DE THEVENIN

La comprobación de este teorema se dará más adelante, en la sección 4.7. Por ahora el principal interés es cómo hallar la tensión equivalente de Thevenin V Th Th y la resistencia R Th Th. Para hacerlo, supóngase que los dos circuitos de la figura 4.23 son equivalentes. Se dice que dos circuitos son equivalentes si tienen la misma relación tensióncorriente en sus terminales. Indáguese qué vuelve equivalentes a los circuitos de la figura 4.23. Si las terminales a-b están en circuito abierto (mediante la eliminación de la carga), ninguna corriente fluye, así que la tensión de circuito abierto entre las terminales a-b de la figura 4.23a) debe ser igual a la fuente de tensión V Th Th de la figura 4.23 b), ya que ambos circuitos son equivalentes. Así, V Th Th es la tensión de circuito abierto entre las terminales, como se indica en la figura 4.24 a); es decir,

El teorema de Thevenin establece que un circuito lineal de dos terminales puede remplazarse por un circuito equivalente que consta de una fuente de tensión V Th en serie con un resistor RTh, donde VTh es la tensión de circuito abierto en las terminales y R Th es la entrada o resistencia equivalente en las terminales cuando las fuentes independientes se apagan. De nueva cuenta, con la carga desconectada y las terminales a-b en circuito abierto, se apagan todas las fuentes independientes. La resistencia de entrada (o resistencia equivalente) del circuito apagado en las terminales a-b de la figura 4.23a) debe ser igual a R Th Th en la figura 4.23b), porque ambos circuitos son equivalentes. Así, R Th Th es la resistencia de entrada en las terminales cuando las fuentes independientes se apagan, como se muestra en la figura 4.24b); es decir,

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En ambos puede suponerse cualquier valor de Vo e io. Por ejemplo, puede usarse V o = 1 V o i o = 1 A, o incluso valores no especificados de Vo o io. Suele suceder que R Th Th adopte un valor

negativo. En este caso, la resistencia negativa (v = -iR ) implica que el circuito suministra potencia. Esto es posible en un circuito con fuentes dependientes; el ejemplo 4.10 lo ilustrará. El teorema de Thevenin es muy importante en el análisis de circuitos. Ayuda a simplificar un circuito. Un circuito complicado puede remplazarse por una sola fuente de tensión independiente y un solo resistor. Esta técnica de remplazo es una eficaz herramienta en el diseño de circuitos.Como ya se mencionó, un circuito lineal con una carga variable puede remplazarse por el equivalente de Thevenin, exclusivo para la carga. La red equivalente se comporta externamente de la misma manera que el circuito original. Considérese un circuito lineal que termina con una carga R L, como se advierte en la figura 4.26 a). La corriente V L a través de la carga y la tensión en sus terminales se determinan con facilidad una vez que se obtiene el equivalente de Thevenin del circuito en las terminales de la carga, como se muestra en la figura 4.26b). Con base en esta última figura, se obtiene

Para aplicar esta idea en el cálculo de la resistencia de Thevenin R Th Th se deben considerar dos casos. ■ CASO 1 Si la red no tiene fuentes

dependientes, se apagan todas las fuentes independientes. R Th Th es la resistencia de entrada que aparece entre las terminales a y b, como se advierte en la figura 4.24 b).

Nótese en la figura 4.26 b) que el equivalente de Thevenin es un divisor de tensión simple, lo que produce V L por mera inspección.

■ CASO 2 Si la red tiene fuentes dependientes,

se apagan todas las fuentes independientes. Como en el caso de la superposición, las fuentes dependientes no se desactivan, porque son controladas por las variables del circuito. Se aplica una fuente de tensión V o en las terminales a y b y se determina la corriente resultante i o. Así, R Th Th = v o/i o, o, como se señala en la figura 4.25a). Alternativamente, puede insertarse una fuente de corriente i o en las terminales a-b, como se muestra en la figura 4.25b), y hallar la tensión entre las terminales V o. De nuevo, R Th Th = v o/i o. Los dos métodos dan el mismo resultado.

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EJEMPLO Halle el circuito equivalente de Thevenin del circuito que aparece en la figura 4.27 a la izquierda de las terminales a-b. Halle después la corriente a través de R L = 6, 16 y 36 Ω.

da

o sea

como se obtuvo antes. Para hallar V Th Th también podría aplicarse la transformación de fuente. El circuito equivalente de Thevenin aparece en la figura 4.29. La corriente a través de RL es Solución: Se halla R Th Th apagando la fuente de tensión de 32 V (remplazándola por un cortocircuito) y la fuente de corriente de 2 A (remplazándola por un circuito abierto). El circuito se convierte en el que aparece en la figura 4.28 a).

Cuando R L = 6, I L = 30/10 = 3 A

Cuando R L = 16, I L = 30/20 = 1.5 A

Cuando R L = 36, I L= L= 30/40 = 0.75 A

Para hallar V Th Th considérese el circuito de la figura 4.28b). Al aplicar el análisis de malla a los dos lazos se obtiene -32 + 4 i 1 _ 12(i 1 - i 2) = 0

i 2 = 2 A

Al despejar i 1 se obtiene i 1 _ 0.5 A. Así, V Th Th = 12(i 1 - i 2) = 12(0.5 - 2.0) = 30 V

Alternativamente, es todavía más fácil aplicar el análisis nodal. Se ignora el resistor de 1 Ω, pues no fluye corriente por él. En el nodo superior, la LCK

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TEOREMA DE NORTON El teorema de Norton establece que un circuito lineal de dos terminales puede remplazarse por un circuito equivalente que consta de una fuente de corriente IN en paralelo con un resistor R N, donde IN es la corriente de cortocircuito a través de las terminales y RN es la resistencia de entrada o resistencia equivalente en las terminales cuando las fuentes independientes están desactivadas.

como se indica en la figura 4.38. Las fuentes dependientes e independientes se tratan igual que en el teorema de Thevenin. Obsérvese la estrecha relación entre los teoremas de Norton y de Thevenin: R N _ R Th Th como en la ecuación (4.9) e

Esto es en esencia la transformación de una fuente. Por esta razón, a la transformación de fuentes suele llamársele transformación de Thevenin-Norton. Puesto que V Th, Th, IN y R Th Th se relacionan de acuerdo con la ecuación (4.11), para determinar el circuito equivalente de Thevenin o de Norton se requiere Así, el circuito de la figura 4.37a) puede remplazarse por el de la figura 4.37 b). La comprobación del teorema de Norton se dará en la siguiente sección. Por ahora interesa principalmente cómo obtener R N N e IN . R N se halla de la misma manera que R Th Th. De hecho, por lo que ya se sabe sobre la transformación de fuente, las resistencias de Thevenin y de Norton son iguales; es decir,

Para encontrar la corriente de Norton I N N, se determina la corriente de cortocircuito que fluye de la terminal a a la b en los dos circuitos de la figura 4.37. Es evidente que la corriente de cortocircuito de la figura 4.37b) es I N N.

hallar: • La tensión de circuito abierto voc entre las terminales a y b. • La corriente de cortocircuito isc por las

terminales a y b. • La resistencia equivalente o de entrada R en en las terminales a y b cuando todas las fuentes

independientes están apagadas. Se pueden calcular dos de las tres siguiendo el método que implique el menor esfuerzo y emplearlas para obtener la tercera aplicando la ley de Ohm. El ejemplo 4.11 lo ilustrará. Asimismo, como

las pruebas en circuito abierto y en cortocircuito son suficientes para hallar cualquier equivalente de Thevenin o Norton de un circuito que contenga al menos una fuente independiente.

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EJEMPLO: Halle el circuito equivalente de Norton del circuito de la figura 4.39.

Solución: Se halla RN de la misma manera que se calculó R Th Th en el circuito equivalente de Thevenin. Iguale las fuentes independientes en cero. Esto propicia el circuito de la figura 4.40 a), del que se obtiene RN . Así,

Alternativamente, se puede determinar IN a partir de V Th Th/R Th Th. Se obtiene V Th Th como la tensión en circuito abierto entre las terminales a y b de la figura 4.40c ). ). Al aplicar el análisis de malla se obtiene

Y

Por lo tanto, Para hallar I N N se pone en cortocircuito las terminales a y b, como se muestra en la figura 4.40b). Se ignora el resistor de 5 Ω, porque se ha puesto en cortocircuito. Al aplicar el análisis de malla se obtiene

De estas ecuaciones se obtiene

como se obtuvo anteriormente. Esto también sirve para confirmar la ecuación (4.12c), que R Th Th = V oc oc /i sc sc = 4/1 = 4 Ω. Así, el circuito equivalente de Norton es el que se muestra en la figura 4.41.

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MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA En un circuito dado, V Th Th y R Th Th son fijos. Al variar la resistencia de carga R L, la potencia suministrada a la carga varía como se indica gráficamente en la Figura 4.49. En esta figura se advierte que la potencia es mínima para valores pequeños o grandes de R L, pero máxima respecto de algún valor de R L entre 0 y ∞. Ahora se debe demostrar que esta máxima potencia ocurre cuando R L es igual a R Th Th. Esto se conoce como teorema de máxima potencia .

lo que demuestra que la transferencia de máxima potencia tiene lugar cuando la resistencia de carga RL es igual a la resistencia de Thevenin R Th. Th. Se puede confirmar fácilmente que la ecuación (4.23) brinda la máxima potencia demostrando que La máxima potencia transferida se obtiene sustituyendo la ecuación (4.23) en la ecuación (4.21), de lo que resulta

La ecuación (4.24) sólo se aplica cuando RL = R Th. Th. Cuando RL  R Th, Th, la potencia suministrada a la carga se calcula mediante la ecuación (4.21).

La máxima potencia se transfiere a la carga cuando la resistencia de la carga es igual a la resistencia de Thevenin vista desde la carga (R L = RTh). Para comprobar el teorema de la transferencia de máxima potencia, se deriva p en la ecuación (4.21) respecto a R L y se fija el resultado en cero. De ello se obtiene

Eso implica que

lo cual produce

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TEOREMA DE LA RECIPROCIDAD

TEOREMA MILLMAN

Es aplicable a cualquier red lineal pasiva, sin importar como sea su configuración. Ejemplo: En el siguiente circuito se tiene una fuente de voltaje en corriente directa de 10 Voltios, entre 1 y 2, que alimenta una red de resistencia.

Cada una de estas fuentes de voltaje tiene una resistencia interna diferente (resistencia propia de cada fuente). Todo esto, alimentando una carga (RL). Ver diagrama del circuito original (primer diagrama). El teorema de Millman nos muestra un método sencillo para obtener un circuito equivalente. (Segundo diagrama)

En la segunda malla de la red, entre los puntos 3 y 4, se inserta un amperímetro para medir la corriente. Una vez armado el circuito se ve que en la segunda malla hay una corriente de 20 mA. Si ahora se cambian de posición la fuente de voltaje y el amperímetro, quedando la fuente de voltaje entre los puntos 3 y 4, y el amperímetro entre los puntos 1 y 2, como se muestra en el segundo diagrama:

1 – Se obtiene “RM”, que es el valor de la resistencia equivalente en paralelo de todas las resistencias que van en serie con las fuentes de tensión tensión.. 1/RM = 1/REq = 1/R1 + 1/R2

Se observa que en el amperímetro se lee una corriente de 20 mA. En conclusión se puede afirmar que: “El hecho

de intercambiar la posición relativa de los puntos de inserción de la fuente de voltaje y del amperímetro no modifica los valores medidos”.

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CIRCUITO ELECTRICO DE UN ROBOT SEGUIDOR DE LUZ

MECANISMO: Aquí tenemos el diseño de un circuito electrico de un juguete en este caso un robot seguidor de luz . Consiste en que el juguete tiene dos ruedas traseras donde en cada rueda esta conectado un circuito aparentemente identico como se muestra en el diagrama , todo el ci rcuito esta alimentado por una fuente de voltaje de 9V y montado en un protoboard; ahora explicamos las conexiones en una rueda ya que ambas funcionan igual:

Despues el mismo diodo LED esta conectado con la base de otro transistor 2N2222A donde el ultimo esta conectado el colector con el motoreductor y el emisor a tierra.

Tenemenos un resistencia de 100 kΩ , otra de 1 kΩ y un fotoresistencia LDR conectados en

-2 LDR o fotoresistencias

conexión estrella , en especial la funcion de la fotoresistencia va ser la de captar la luz y transmitirla a traves de las conexiones. Despues tenemos 1 transistor 2N222A conectado su base con la resistencia de 1kΩ y su colector con esistencia de 1kΩ , diodo LED y otro r esistencia esencialmente la funcion del transistor es de la de entregar una señal de salida en respuesta de una señal de entrada

Basicamente el juguete funciona gracias a la luz que capta el fotoresistor y es transmitida en todo el circuito para que asi funcione correctamente el dispositivo. Componentes

-2 resistencias de 100kΩ a ¼ de vatio - 1 protoboard y alambres de conexiones -4 transistores 2N2222A -2 diodos LED rojos. -2 motorreductores de 3-12 VDC -2 llantas que se acoplen al motorreductor -1 bateria de 9v

- 1 rueda loca

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Teorema s

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