B. Teorema Wilson Teorema Fermat dikemukakan oleh Pierre de Fermat (bangsa Perancis) pada tahun 1640 yang merupakan teorema fundamental dalam mengembangkan teori bilangan pada saat itu. Teorema berikutnya yang terkenal pula adalah Teorema Wilson yang dipublikasikan pertama kali Edward Waring (1770) tanpa mencantumkan buktinya. Sebenarnya Wilson bukanlah orang pertama kali mengemukakan teoremanya, sebab pada tahun 1682 Leibnis juga telah membicarakannya. Bukti Teorema Wilson pertama kali diberikan oleh Lagrange pada tahun 1771 dan menamakan teoremanya dengan sebutan Teorema Wilson. Sebelum membahas Teorema Wilson terlebih dahulu diperkenalkan teorema berikut yang akan membantu untuk membuktikan Teorema Wilson. Teorema 8.5 Jika p suatu bilangan prima, maka perkongruenan x 2 penyelesaian, penyelesaian, yaitu 1 dan p – 1. 1.
≡ 1
(mod p) mempunyai tepat dua
Bukti :
Misalkan r adalah suatu penyelesaian dari pengkongruenan x 2 ≡ 1 (mod p) maka (r 2 – 1) 1) ≡ 1 (mod p) → (r + 1) (r – 1) – 1) ≡ 1 (mod p), berarti p │ (r + 1) (r – 1). 1). Karena p suatu bilangan prima, maka p │ (r + 1) atau p │ (r - 1) yaitu (r + 1) ≡ 0 (mod p) atau (r – 1) – 1) ≡ 0 (mod p) → r ≡ -1 (mod p) atau r ≡ 1 (mod
p) → r ≡ (p – 1) – 1) (mod p) atau r ≡ 1 (mod p). Karena r suatu suatu penyelesaian dari pengkongruenan pengkongruenan x2 ≡ 1 (mod p), maka r adalah sisaan terkecil mod p. Dengan demikian, 1 dan p – 1 1 adalah penyelesaian dari 2 x ≡ 1 (mod p). Teorema 8.6
Misalkan p suatu bilangan prima selain 2 dan a´ adalah penyelesaian dari ax ≡ 1 (mod p) dengan a = – 1) (yaitu aa´ ≡ 1 (mod p), dengan 0
Bukti :
– 1 dan (a,p) = 1 maka ax ≡ 1 (mod p) mempunyai tepat satu penyelesaian. Ini Jika a = 1, 2, 3, ... , p – 1 berarti a´ ada sedemikian hingga aa´ ≡ 1 (mod p). Bagian (a) dibuktikan kontraposisinya, yaitu jika a´ ≡ b´ (mod p) maka a ≡ b (mod p). Misalkan a´ ≡ b´ (mod p) maka aa´ ≡ ab´ (mod p) ≡ 1 (mod p). Perlu diingat bahwa a´ dan b´ adalah penyelesaian. aa´b ≡ ab´b (mod p) ≡ b (mod p) dengan b = 1, 2, – 1). Kemudian, a ≡ b (mod p) sebab bb´ ≡ 1 (mod p). Jadi, (a) telah terbukti. 3, ... , (p – 1). Bagian (b) dibuktikan sebagai berikut. Jika a = 1, yaitu x ≡ 1 ( mod p), maka penyelesaiannya a´ = 1, sehingga a´ ≡ a (mod p). Jadi, a = p – 1, – 1) x ≡ 1 (mod p) atau –x ≡ 1 (mod p) → x ≡ -1 1, yaitu (p – 1) – 1, sehingga a´ ≡ a (mod p). (mod p). Jadi, a´ = p – 1, Teorema 8.7 – 1)! ≡ -1 (mod p). Jika p suatu bilangan prima, maka (p – 1)! Bukti :
– 1)! = 1 ≡ -1 (mod 2). Untuk p = 3, juga diperoleh (3 – 1)! – 1)! = 2 ≡ -1 (mod 3). Ambil Untuk p = 2, (2 – 1)! p˃3, barisan bilangan 1, 2, 3, ... , p – 1, – 1, dan kekongruenan ax ≡ 1 (mod p). Pada barisan bilangan 1, 2, 3, ... , p – 1, 1, kta menghilangkan 1 dan p – 1 1 sehingga tinggal 2, 3, 4, ... , p – 2. 2. Menurut Teorema 8.6, – 2) sedemikian sehingga aa´ ≡ 1 (mod p). Akan kita dapat memasangkan a dan a´ dari 2, 3, 4, ... ,(p – 2) diperoleh ½(p – 3) 3) buah pasangan bilangan tersebut tersebut yang kongruen mod p dengan 1.
Jika semua kekongruenan itu dikalikan satu sama lain diperoleh 2.3.4.5...(p – 2) ≡ 1 (mod p) atau (p – 2)! ≡ 1 (mod p). Sekarang, kedua ruas dikalikan dengan (p – 1), sehingga 2.3.4...(p – 2) (p – 1) ≡ (p – 1) (mod p) atau (p – 1)! ≡ (p – 1) (mod p) atau (p – 1)! ≡ -1 (mod p). Konvers Teorema Wilson juga benar, Jika (p – 1)! ≡ -1 (mod p), maka p suatu bilangan prima. Hal ini dibuktikan sebagai berikut.
Andaikan p bukan suatu bilangan prima, maka p = ab dengan a, b bilangan bulat positif dan a ≠ 1 atau a ≠ p, sehingga a│p dan a ≤ p – 1. Karena a(p – 1)! ≡ -1 (mod p), maka p│[(p – 1)! + 1]. Karena a│p maka a│[(p – 1)! + 1]. Juga , karena a ≤ p – 1, maka a merupakan salah satu faktor dari (p – 1)!, sehingga a│(p – 1)! Mengingat a│[(p – 1)! + 1] dan a│(p – 1)!, maka a│1. Terjadi suatu kontradiksi, karena a ≠ 1, sehingga pengandaian tidak benar. Jadi, p adalah suatu bilangan prima. Jika Teorema Wilson dan konversnya dituliskan secara bersama-sama, kita memperoleh bahwa “p suatu bilangan prima jika dan hanya jika (p – 1)! ≡ -1(mod p).” Dengan perkataan lain, syarat perlu dan cukup agar p suatu bilangan prima adalah (p – 1)! ≡ -1(mod p). Contoh 8.11
Pandang perkongruenan ax ≡ 1(mod 11) dan a´ adalah penyelesaiannya sehingga aa´ ≡ 1(mod 11). Hubungan a, a´ dan aa´ diberikan pada tabel sebagai berikut: a a´ aa´
1 1 1
2 6 1
3 4 1
4 3 1
5 9 1
6 2 1
7 8 1
8 7 1
9 5 1
10 10 1
Hasil kali pasangan yang kongruen modulo 11 adalah 2.6 ≡ 1 (mod 11), 3.4 ≡ 1 (mod 11), 5.9 ≡ 1 (mod 11), dan 7.8 ≡ 1 (mod 11). Jadi diperoleh buah kekongruenan. Hasil kali semua bilangan pada ruas kiri akan kongruen mod 11 dengan 1 pula, yaitu 2x6x3x4x5x9x7x8 ≡ 1 (mod 11) atau 9! ≡ 1 (mod 11) atau 1x2x3x4x5x6x7x8x9x10 ≡ 10 (mod 11). Jadi, diperoleh 10! ≡ 10 (mod 11) atau 10! ≡ -1 (mod 11). Contoh 8.12
Misalkan p = 7, tunjukkan bahwa 6! ≡ 6 (mod 7) atau 6! ≡ 1 (mod 7). Penyelesaian:
Perhatikan barisan bilangan dari 2 hingga 5. Hasilkali pasangan yang kongruen modulo 7, adalah
2.4 ≡ 1 (mod 7) dan 3.5 ≡ 1 (mod 7). Jadi diperoleh buah kekongruenan. Hasil kali semua bilangan pada ruas kiri akan kongruen mod 7 dengan 1, yaitu: 2.4.3.5 ≡ 1 (mod 7) → 1x2x3x4x5x6 ≡ 6(mod 7). Jadi, 6! ≡ 6 (mod 7) atau ditulis dengan 6! ≡ -1 (mod 7). Contoh 8.13
Misalkan p = 13, tunjukkan bahwa 12! ≡ 12 (mod 13) atau 12! ≡ -1 (mod 13) Penyelesaian:
Perhatikan barisan bilangan dari 2 hingga 11. Hasil kali pasangan yang kongruen modulo 13 dapat
dituliskan, 2.7 ≡ 1 (mod 13), 3.9 ≡ 1(mod 13), 4.10 ≡ 1 (mod 13), 5.8 ≡ 1 (mod 13), dan 6.11 ≡ 1 buah kekongruenan. Hasil kali semua bilangan pada ruas kiri (mod 13). Jadi, diperoleh akan kongruen mod 13 dengan 1 pula, yaitu 2x7x3x9x4x10x5x8x6x11 ≡ 1 (mod 13) → 1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12 ≡ 12 (mod 13). Ini berarti 12! ≡ 12 (mod 13) atau 12! ≡ -1 (mod 13). Contoh 8.14
Misalkan p = 19, tunjukkan bahwa 18! ≡ 18 (mod 19) atau 18! ≡ -1(mod 19) Penyelesaian:
Perhatikan barisan bilangan dari 2 hingga 17. Hasil kali pasangan yang kongruen modulo 19 dapat
dituliskan, 2.10 ≡ 1 (mod 19), 3.13 ≡ 1 (mod 19), 4.5 ≡ 1 (mod 19), 6.16 ≡ 1 (mod 19), 7.11 ≡ 1 (mod 19), 8.12 ≡ 1 (mod 19), 9.17 ≡ 1 (mod 19), 14.15 ≡ 1 (mod 19). Jadi diperoleh
buah kekongruenan. Hasil kali semua bilangan pada ruas kiri akan kongruen mod 19 dengan 1, ≡ 1 (mod 19) atau yaitu 2.10.3.13.4.5.6.16.7.11.8.12.9.17.14.15 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18≡ 18 (mod 19).
Jadi, 18! ≡ 18 (mod 19) atau 18! ≡ -1(mod 19). Definisi 8.1 Suatu kekongruenan berbentuk ax2+bx+c kekongruenan kuadrat.
≡ 0 (mod m) dengan a ≡ 0 (mod m) dinamakan
Teorema berikut dapat digunakan untuk menyelesaikan perkongruenan kuadrat. Teorema 8.8 Jika bilangan prima maka (x 2 +
atau p ≡ 1 (mod 4).
1) ≡ 0 (mod p) memiliki penyelesaian jika dan hanya jika p = 2
Bukti :
Untuk p = 2, (x2 + 1) ≡ 0 (mod 2) atau x 2 ≡ -1 (mod 2) yang menghasilkan x ≡ 1 (mod 2). Misalkan a adalah suatu penyelesaian dari (x 2 + 1) ≡ 0 (mod p) maka (a2 + 1) ≡ 0 (mod p) atau a 2 ≡ -1 (mod p) sehingga a2 + 1 = pk untuk suatu bilangan k. Jika a ganjil maka a 2 + 1 genap sehingga p atau k adalah 2 dan 2 bilangan bulat. Misalkan a genap dan p ganjil sehingga (a,p) = 1, maka menurut Teorema Fermat a p-1 ≡ 1 (mod p)
) ≡ 1 (mod p). Bilangan prima berbentuk p = 4k + 3 ( ) ≡ 1 (mod p), sehingga ( -1)( ) ≡ ( -1) ≡ 1 (mod p) atau -1 ≡ 1 (mod nampak tidak memenuhi karena akan diperoleh (-1) ( atau a2
2k+1
p) yaitu p│2 atau 2 = ph untuk suatu bilangan h. Hal ini mustahil karena p ganjil. Jadi, bilangan prima p berbentuk 4k+3 salah, sehingga haruslah p = 4k+1. Sekarang, perhatikan (p-1)! = (1) (2). (3)...
( ). ( )...(p-2).(p-1).
Dari sini diperoleh (p-1)
≡
-1 (mod p), (p-2)
≡
-2 (mod p), (p-3)
≡
-3 (mod p),...,
) ≡ ( ) -(
(mod p). Hasil ini disusun kembali menghasilkan : (p-1)! ≡ (1) (-1) (2) (-2)...
( ).*( )+ (mod p)
2 ≡ (-1) * ( )+ (mod p) (karena
( ) buah tanda negatif)
*() +2 (mod p). Andaikan )+2 2 )+ p berbentuk 4k+1, maka (-1) = 1 sehingga (-1) ≡ *( (mod p). Ini berarti *( 2 memenuhi kekongruenan (x +1) ≡ 0 (mod p). Jadi kekongruenan itu mempunyai penyelesaian. Menurut teorema Wilson, (p-1)! ≡ (-1) (mod p) sehingga (-1) ≡ (-1)
Contoh 8.15
Selesaikan kekongruenan (x2+1) ≡ 0 (mod 13) Penyelesaian:
Karena bilangan prima p = 13 berbentuk 4k+1, maka kekongruenan tersebut mempunyai penyelesaian.
( ) = 6! = 720 ≡ 5(mod 13). Dapat diperiksa kebenarannya dengan subtitusi 5
pada x dari kekongruenan yaitu 52+1= 26 ≡ 0 (mod 13).
